专题02 实数（考题猜想，12大题型）七年级数学下学期新教材湘教版

专题02 实数（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 求平方根、算术平方根（易错） · 题型二 算术平方根的实际应用 · 题型三 无理数的概念及大小估算 · 题型四 求一个数的立方根 · 题型五 利用立方根解决实际问题 · 题型六 实数的分类 · 题型七 实数与数轴的综合运用（重点） · 题型八 实数大小的比较 · 题型九 实数的运算（易错） · 题型十 实数的性质的应用（高频） · 题型十一 与实数有关的规律问题（难点） · 题型十二 实数的拓展创新题（难点） 题型一 求平方根、算术平方根 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）4的平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）36的平方根是（　　） A．6 B． C．0 D． 3．（23-24七年级下·湖南湘西·期中）已知的算术平方根是3，则a的平方根是 ． 题型二 算术平方根的实际应用 4．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）如图1，将两块边长均为的正方形纸板沿对角线前开，拼成如图2所示的一个大正方形，则大正方形边长的值在哪两个相邻的整数之间？（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 5．（2022·湖南长沙·模拟预测）有一个边长为的正方形和一个长为，宽为的长方形，作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，则该正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 题型三 无理数的概念及大小估算 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在实数、、0、、、、、9、中，无理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 8．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）为了满足广大人民群众日益增长的体育运动需求，也为了纪念北京奥运会成功举办，国务院批准，从年起，每年月日为“全民健身日”，长跑因为其便捷性及有效性是人们最喜爱的运动方式之一，普通人长跑公里的平均速度约为 左右，估计 的值在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 9．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）估计的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 题型四 求一个数的立方根 10．（23-24八年级上·河北保定·期中）若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）一个自然数的算术平方根为，那么的立方根是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·湖南·中考真题）的立方根是 ． 题型五 利用立方根解决实际问题 13．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）我们知道魔方可以看作是一个正方体，如图，有一个体积为的魔方，则魔方的棱长为 ． 14．（2024·湖南邵阳·一模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ）    A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 题型六 实数的分类 15．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）下列各数中：，，，，0，π，，其中负分数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）实数分类0，12，，，，，6． 整数集合：{__________________}； 负数集合：{__________________}； 无理数集合：{__________________}． 题型七 实数与数轴的综合运用 17．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（        ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 19．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）任意一个圆的周长与其直径之比为一个恒定的常数，此常数称为圆周率，圆周率一般用希腊字母来表示，对于下列说法中错误的是（　　） A． B．是一个无理数 C． D．在数轴上有唯一一个点与之对应 20．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）已知实数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④若x为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 21．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在数轴上表示实数 的点可能是（        ） A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 22．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（　　）    A． B． C． D． 题型八 实数大小的比较 23．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）下列实数中绝对值最小的是（    ） A．2 B． C．0 D． 24．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）下列实数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）下列实数中最小的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中） 3（填入或号）． 题型九 实数的运算 27．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 28．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 29．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算： 30．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）计算： (1) (2) 题型十 实数的性质的应用 31．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，求代数式的值． 32．（23-24八年级上·湖南永州·期中）已知的平方根是， ，求的平方根． 33．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的算术平方根． 题型十一 与实数有关的规律问题 34．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 35．（2023·湖南岳阳·一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 36．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）阅读材料并解决问题： 求的值． 令，等式两边同时乘2，则， 两式相减得，所以． 依据以上计算方法，计算 ． 题型十二 实数的拓展创新题 37．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如：，则的值为（　　） A． B． C． D． 38．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）现规定一种新运算：，其中a，b为有理数，则 ． 39．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ①______； ②______； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 40．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）我们规定一种运算：，例如，．按照这种运算规定， (1)用简便方法计算：； (2)当等于多少时，． 41．（24-25七年级上·湖南永州·期中）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：，． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按照这个规定请你计算：当时，的值． 42．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对． (1)若，则 ， ；（用含m的式子表示） (2)已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由． 43．（23-24七年级下·湖南湘西·期中）阅读材料： 新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数学和谐数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“数学和谐数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请你写出与本题中不同的一组“数学和谐数”是 ． (2)3，12，48，这三个数是“数学和谐数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”；若不是，请说出理由． (3)已知a，64，100，这三个数是“数学和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值． 44．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“show点”．如：，故点是“show点”． (1)点，点，点中，是“show点”的是______； (2)若点是“show点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“show点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． $$专题02 实数（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 求平方根、算术平方根（易错） · 题型二 算术平方根的实际应用 · 题型三 无理数的概念及大小估算 · 题型四 求一个数的立方根 · 题型五 利用立方根解决实际问题 · 题型六 实数的分类 · 题型七 实数与数轴的综合运用（重点） · 题型八 实数大小的比较 · 题型九 实数的运算（易错） · 题型十 实数的性质的应用（高频） · 题型十一 与实数有关的规律问题（难点） · 题型十二 实数的拓展创新题（难点） 题型一 求平方根、算术平方根 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）4的平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根．根据平方根的性质，即可求解． 【详解】4的平方根是． 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）36的平方根是（　　） A．6 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．根据平方根的定义进行计算即可求解． 【详解】解：36的平方根是 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖南湘西·期中）已知的算术平方根是3，则a的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的概念，“平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫作a的平方根；算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫作a的算术平方根．”熟练掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键． 【详解】的算术平方根是3， ， ， a的平方根是， 故答案为：． 题型二 算术平方根的实际应用 4．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）如图1，将两块边长均为的正方形纸板沿对角线前开，拼成如图2所示的一个大正方形，则大正方形边长的值在哪两个相邻的整数之间？（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】根据对角线乘积的一半求出大正方形的面积，即可确定出边长的范围． 【详解】解：根据题意得：大正方形的面积为， 则大正方形的边长为． ∵， ∴． 即大正方形边长的值在4和5之间． 故选：B． 【点睛】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（2022·湖南长沙·模拟预测）有一个边长为的正方形和一个长为，宽为的长方形，作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，则该正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出长方形与小正方形的面积之和确定出大正方形的面积，再求其算术平方根即可求出边长． 【详解】解：边长为的正方形的面积为，长为，宽为的长方形的面积为， ∴这两个图形的面积之和的正方形的面积为， ∴这两个图形的面积之和的正方形的边长为． 故选A． 【点睛】此题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 题型三 无理数的概念及大小估算 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在实数、、0、、、、、9、中，无理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义和立方根的计算，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数．无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定． 【详解】解：， 和是分数，是有理数，、、9是整数，是有理数， ∴、、、是无理数，共4个， 故选：C． 7．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：根据无理数的定义可知，四个选项中只有B选项中的数是无理数， 故选：B． 8．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）为了满足广大人民群众日益增长的体育运动需求，也为了纪念北京奥运会成功举办，国务院批准，从年起，每年月日为“全民健身日”，长跑因为其便捷性及有效性是人们最喜爱的运动方式之一，普通人长跑公里的平均速度约为 左右，估计 的值在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用夹逼法即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 9．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）估计的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的大小，再估算的大小．理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 【详解】解：∵ ∴， 那么， 即 故选：C． 题型四 求一个数的立方根 10．（23-24八年级上·河北保定·期中）若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键． 由，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 11．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）一个自然数的算术平方根为，那么的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即，那么x叫做a的算术平方根，即 ．如果一个数x的立方等于a，即，那么x叫做a的立方根，即 ．根据定义求解即可． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是． 故选：C． 12．（2023·湖南·中考真题）的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，8的立方根是， ∴的立方根是2． 故答案为：2． 题型五 利用立方根解决实际问题 13．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）我们知道魔方可以看作是一个正方体，如图，有一个体积为的魔方，则魔方的棱长为 ． 【答案】 【分析】正方体的体积是棱长的三次幂，已知体积求棱长，则是求体积的三次方根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，设正方体的棱长为， ∴，则， ∴正方体的棱长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念和求一个数的立方根是解题的关键． 14．（2024·湖南邵阳·一模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ）    A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键． 根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设正方体铁块的棱长为，根据题意，得 ， ， ∵， ∴， ∴该正方体铁块的棱长位于3和4两个相邻整数之间． 故选：B． 题型六 实数的分类 15．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）下列各数中：，，，，0，π，，其中负分数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】，据此进行分类即可求解． 【详解】解：由题意得 负分数有： ，，， 所以有个； 故选：D． 【点睛】本题考查了实数的分类，掌握分类的方法是解题的关键． 16．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）实数分类0，12，，，，，6． 整数集合：{__________________}； 负数集合：{__________________}； 无理数集合：{__________________}． 【答案】答案见详解 【分析】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键；因此此题可根据实数的分类进行求解 【详解】解：整数集合：{0，12，6….}； 负数集合：{，….}； 无理数集合：{，….}． 题型七 实数与数轴的综合运用 17．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置推出，进而逐项分析判断即可求解 【详解】解：由题意得，， ∴，，， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法得到，再根据数轴即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴数轴上表示实数的点可能是点Q， 故选：B． 19．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）任意一个圆的周长与其直径之比为一个恒定的常数，此常数称为圆周率，圆周率一般用希腊字母来表示，对于下列说法中错误的是（　　） A． B．是一个无理数 C． D．在数轴上有唯一一个点与之对应 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的定义，的意义，根据实数与数轴的关系，无理数的定义，值的意义进行解答即可． 【详解】解：A．是一个无理数，是一个有理数，，故A错误，符合题意； B．是一个无理数，故B正确，不符合题意； C．，故C正确，不符合题意； D．在数轴上有唯一一个点与之对应，故D正确，不符合题意． 故选：A． 20．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）已知实数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④若x为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了实数大小比较，绝对值，以及实数与数轴，解题的关键是根据数轴上点的位置，利用乘法法则，以及绝对值的代数意义判断即可得到结果． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，选项①正确； ∵， ∴，选项②正确； ∵， ∴，即，选项③正确； 表示数x表示的点到数a，b表示的点的距离之和，其最小值为数a，b表示的点的距离，即为，选项④错误， 则正确的个数为3． 故选C． 21．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在数轴上表示实数 的点可能是（        ） A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 【答案】B 【分析】由可得，再根据数轴上点的位置即可解答； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在数轴上表示实数 的点可能是点 B． 故选：B． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，正确计算是解题的关键． 22．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴判断出a、b的取值范围，再根据有理数的乘除法，加减法运算对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：由数轴可得：，且：， 则：A、，则A选项正确，符合题意； B、，则B选项错误，不符合题意； C、，则C选项错误，不符合题意； D、，则D选项错误，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数的乘除运算以及有理数的加减运算，判断出a、b的取值范围是解题的关键． 题型八 实数大小的比较 23．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）下列实数中绝对值最小的是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值、实数比较大小等知识，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键．首先确定各数的绝对值，比较大小即可获得答案． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴绝对值最小的是0． 故选：C． 24．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）下列实数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可． 【详解】解：，，，， ∴最大， 故选：C． 25．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）下列实数中最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较． 【详解】解：∵， ∵负实数小于一切正实数， ∴排除A、C， 又， ∴最小的数是， 故选：D． 26．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中） 3（填入或号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算．根据无理数的估算方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型九 实数的运算 27．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根与立方根，化简绝对值以及有理数的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 28．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查乘方，算术平方根，立方根的计算，掌握实数的计算法则是解题的关键． 先算乘方，绝对值，立方根，算术平方根的结果，再根式实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 29．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解题关键是正确理解绝对值的非负性是解答问题的关键． 先去绝对值和计算立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 30．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方、算术平方根、立方根、化简绝对值，再运算加减即可； （2）先计算乘方、立方根、化简绝对值，再运算乘法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型十 实数的性质的应用 31．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查无理数的估算，算术平方根，立方根的计算，掌握相反数，倒数，无理数的估算，算术平方根、立方根的计算，即实数的运算法则是解题的关键． 根据相反数，倒数，无理数的估算分别得到，代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∵，即， ∴， ∴． 32．（23-24八年级上·湖南永州·期中）已知的平方根是， ，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根、算术平方根及平方根，根据平方根与立方根可进行求解． 【详解】解：由的平方根是可得：， 解得：， 由可得， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案为：． 33．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，解二元一次方程组； （1）先根据平方根和立方根的定义求出、，然后估算出的范围即可求出； （2）根据（1）所求，结合平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得 解得 ∵， ∴ （2）当，，时，． 题型十一 与实数有关的规律问题 34．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（2023·湖南岳阳·一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】0 【分析】由已知可得的尾数1，7，9，3循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：，，，，，，…， 的尾数1，7，9，3循环， 的个位数字是0， 0，1，…，2023，一共有2024个数， ， 的结果的个位数字与的个位数字相同， 的结果的个位数字是0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 36．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）阅读材料并解决问题： 求的值． 令，等式两边同时乘2，则， 两式相减得，所以． 依据以上计算方法，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数计算中的规律，读懂阅读材料并知晓等式两边同乘的是幂的底数是解题的关键．根据阅读材料，可令，再利用等式的性质即可解题． 【详解】解：由题意知，令， 等式两边同时乘以，得 两式相减，得 故答案为：． 题型十二 实数的拓展创新题 37．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如：，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，读懂题中新定义运算规则并熟练掌握实数运算法则是解题的关键．根据题中运算规则变形，再进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 38．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）现规定一种新运算：，其中a，b为有理数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了定义新运算，整式的加减法，先根据新定义要求解答，再计算即可． 【详解】原式 ． 故答案为：． 39．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ①______； ②______； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①10；② (2) (3) 【分析】本题主要是考查新定义运算问题及完全平方公式，读懂定义及其运算法则是解题的关键． （1）①按照定义及平方差公式计算即可； ②按照定义及完全平方公式计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，4个一组，剩下三项，单独计算这三项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案． 【详解】（1）解：（1）①； ②； 故答案为：①10；②； （2）解：， 又是的共轭复数， ，， ； （3）解：， ，即， ，， ，， ， ∵， ， ． 40．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）我们规定一种运算：，例如，．按照这种运算规定， (1)用简便方法计算：； (2)当等于多少时，． 【答案】(1)1 (2)5 【分析】（1）根据定义，得，结合，简便计算即可． （2）根据定义，，结合转化为方程解答即可． 本题考查了新定义计算，平方差公式，解方程，熟练掌握定义，灵活解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得， ∵， ∴ ． （2）解：根据定义， ， ∵， ∴， 解得． 41．（24-25七年级上·湖南永州·期中）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：，． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按照这个规定请你计算：当时，的值． 【答案】(1) (2)当时答案为，当时答案为． 【分析】本题考查整式的加减，化简求值，理解“新定义”的运算方法是正确解答的前提，掌握去括号、合并同类项法则，求绝对值是正确计算的关键． (1)根据提供的方法进行计算即可； (2)根据提供的方法得到 ，再把代入计算即可． 【详解】（1）解∶ （2）解：当时，则 ， 当时，原式 当时，原式 42．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对． (1)若，则 ， ；（用含m的式子表示） (2)已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，； (2)时，存在正格数对，满足条件． 【分析】（1）直接根据新定义进行求解即可得到答案； （2）先根据定义求出c的值，然后根据广芙蓉正格数对的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； ， 故答案为：3；； （2）解：存在，，理由如下： 根据题中的新定义化简，得：， 解得：， ∴， 化简，得：， ∴， 依题意，x，y都为正整数，k是整数， 是奇数， ，3，9， 解得：，0，3， 当时，，，舍去； 当时，，，舍去； 当时，，， 综上，时，存在正格数对，满足条件． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，解题的关键在于能够准确地读懂题意． 43．（23-24七年级下·湖南湘西·期中）阅读材料： 新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数学和谐数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“数学和谐数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请你写出与本题中不同的一组“数学和谐数”是 ． (2)3，12，48，这三个数是“数学和谐数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”；若不是，请说出理由． (3)已知a，64，100，这三个数是“数学和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值． 【答案】(1)2，8，50 (2)3，12，48这三个数是“数学和谐数”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是24． (3)25或256． 【分析】本题考查了算术平方根的应用、“数学和谐数”的定义等知识点，正确理解“数学和谐数”的意义是解题的关键． （1）根据“数学和谐数”的定义写成一组“数学和谐数”即可； （2）根据“数学和谐数”的定义和算术平方根的定义即可求解； （3）根据“数学和谐数”的定义，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍建立方程，利用算术平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴2，8，50这三个数是“数学和谐数”． 故答案为：2，8，50 ． （2）解：∵． ∴3，12，48这三个数是“数学和谐数”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是24． （3）解：∵a，64，100，这三个数是“数学和谐数”， ∴a是正整数，， ∵， ∴分两种情况： ①当，即时，则最大算术平方根是80，最小算术平方根是， ∵“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍， ∴，解得：，符合题设，且符合“数学和谐数”的定义； ②当，即时，则最大算术平方根是，最小算术平方根是80， ∵“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍， ∴，解得：，符合题设，且符合“数学和谐数”的定义． 综上所述：a的值为25或256． 44．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“show点”．如：，故点是“show点”． (1)点，点，点中，是“show点”的是______； (2)若点是“show点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“show点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)的值为0或． 【分析】（1）根据“show点”的定义，计算即可判断； （2）根据“show点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“show点”的定义，求得m的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：点，，， 故点不是“show点”； 点，，， 故点是“show点”； 点，，， 故点不是“show点”； 故答案为：； （2）解：∵点是“show点”， ∴，整理得， 解得； （3）解：∵点是“show点”， ∴，整理得， ∴或， 当时，； 当时，． 综上，的值为0或． 【点睛】本题考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“show点”的定义是解题的关键． $$