专题02 实数（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）七年级数学下学期新教材湘教版

清单02 实数（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 平方根 平方根:如果有一个数r,使得,那么我们把r叫作a的一个平方根,也叫作二次方根. 注意:(1)负数没有平方根,0的平方根是0;(2)一般地,如果r是正数a 的一个平方根那么a的平方根有且只有两个:r与-r. 清单02 算术平方根 算术平方根:正数a的正平方根叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”. 注意:“正数”和“正平方根”,即算术平方根具有双重非负性. 清单03 无理数的概念 无理数:无限不循环小数叫作无理数. 清单04 立方根的求法 立方根:如果一个数b,使得,那么将b叫作a的一个立方根.a的立方根记作,读作“立方根号a”(或“三次根号a”). 开立方:求一个数的立方根的运算,叫作开立方. 清单05 立方根的应用 求立方根的两种方法(1)定义法:求一个数a的立方根通常用主方运算,先找出立方等于a的数,写出立方 式,再由立方式写出a的立方根的值;(2)借助计算器:直接利用计算器求一个数a 的立方根. 清单06 实数的概念及分类 概念:有理数和无理数统称为实数. 分类:(1)按定义分: (2) 按性质分:正实数、零、负实数, 清单07 实数与数轴 关系:实数和数轴上的点一一对应. 含义:(1)每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示; (2) 数轴上的每一个点都可以表示唯一的一个实数. 清单08 实数的运算 (1) 有关数、式、方程(组)的性质、法则、运算顺序和解法,对于实数仍然成立; (2)有理数的运算律在实数中仍然适用. 【考点题型一】求平方根、算术平方根（） 【例1】9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 【变式1-1】已知，则的值是（   ） A．3.142 B．31.42 C．314.2 D． 【变式1-2】的平方根是 ． 【考点题型二】算术平方根的实际应用（） 【例2】一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，则这个长方形信封的宽是 ． 【变式2-1】.图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 【变式2-2】为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 【考点题型三】无理数的概念及大小估算（） 【例3】在，，，这四个数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列实数、、、、中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】估计的值在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【变式3-3】估算的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【考点题型四】已知一个数的平方根，求这个数（） 【例4】一个正数的两个不同的平方根是和，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】若x是25的平方根，y是的算术平方根，则的值为 ． 【变式4-2】如果一个正数的平方根是与，那么 ． 【变式4-3】为实数，的平方根分别是与，则 ． 【变式4-4】若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ． 【考点题型五】求一个数的立方根（） 【例5】一个正数的两个平方根分别是和，则的立方根为（   ） A． B．2 C．1 D．0 【变式5-1】若的立方根为，则的值是 ． 【变式5-2】若4的平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 【变式5-3】已知 ，且，则的平方根为 ． 【考点题型六】利用立方根解决实际问题（） 【例6】如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知球体的体积，若一个球的体积是，则它的半径 ． 【变式6-3】如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个方块的棱长为 ． 【考点题型七】利用平方根、立方根解方程（） 【例7】解方程： 【变式7-1】若，则 ． 【变式7-2】求的值：． 【变式7-3】解方程： (1) (2) 【考点题型八】实数的分类（） 【例8】在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，0，，，． 有理数集合：｛     ｝； 无理数集合：｛    ｝； 负实数集合：｛     ｝． 【变式8-1】将下列各数的序号填在相应的集合里． ①，②，③，④，⑤（每两个3之间依次多1个0），⑥0，⑦，⑧，⑨ 有理数集合：{___________________________…}； 无理数集合：{___________________________…}； 正实数集合：{___________________________…}； 整数集合：{___________________________…}；． 【变式8-2】把下列各数填入相应集合的括号内 ，，，3.14，，，，，2.13133133313…（相邻两个1之间的3的个数逐次加1） 正分数集合：{_________…}； 负有理数集合：{_________…}； 无理数集合：{_________ …} 【考点题型九】实数与数轴的综合运用（） 【例9】如图，点A是硬币圆周上一点，点A与数2所对应的点重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】.在如图所示的数轴中，表示 的点可能落在（   ） A．1，2 之间 B．2，3 之间 C．3，4 之间 D．4，5 之间 【变式9-2】如图，在数轴上表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，正方形的面积为3，，则数轴上点A对应的数是 ． 【变式9-4】如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为，由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点． (1)图中点表示的数为________，点表示的数为________． (2)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，此长度为 ． (3)若，，均为实数，且满足，，为图中拼成的正方形的边长的小数部分，请计算的值． 【考点题型十】实数大小的比较（） 【例10】在中，最小的实数是（    ） A． B．0 C． D． 【变式10-1】比较大小： 2（选填“>”“=”或“<”）． 【变式10-2】比较大小： （填“＞”“＜”“＝”） 【变式10-3】比较与的大小关系． 【考点题型十一】实数的运算（） 【例11】计算： ； 【变式11-1】阅读下列材料： 小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，如果把方程组中的，看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程： 解：令 ． 原方程组化为 ， 解得 把代入 ，得 ，解得 所以原方程组的解为 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组 的解为_______． (3)在（2）的条件下 ， ，求 的值． 【变式11-2】.计算： (1)； (2)． 【变式11-3】计算： (1) (2) 【变式11-4】计算： (1) (2)． 【考点题型十二】实数的性质的应用（） 【例12】先化简再求值：，其中x，y满足． 【变式12-1】若和是有理数，且满足，则． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 【变式12-2】已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 【考点题型十三】新定义下的实数运算（） 【例13】我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【变式13-1】已知为任意的两位数，若的各位数字不同且不为0，这样的两位数称为“数”．把一个“数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以11的商记为．例如对调后的两位数为54，这两个数的和为99，，所以．计算： ．若，都是“数”，（，，，为整数）当时，则 ． 【变式13-2】如果，那么x叫做以a为底N的对数，记做．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的为 ． ①；②；③若，则；④． 【变式13-3】.【数学材料】 “对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果（且），那么叫作以为底的的对数，记作，其中叫作对数的底． 【初步运用】 （1）请把下列算式改写成对数的形式： ，对数的形式为______；，对数的形式为______； （2）若，则______；，则______； 【理解应用】 （3）若，若，求的值． 【问题解决】 （4）如图①，两条线段的长分别是，且，若化简的值． 【变式13-4】.对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． (1)根据上述运算填空：__________；__________；__________． (2)先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：__________． (3)如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是15，，，求的值． 【考点题型十四】 实数运算的实际应用（） 【例14】如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【变式14-1】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【变式14-2】（1）小丽计划在母亲节那天送份礼物妈妈，特设计一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是 ． （2）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由； 【变式14-3】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【变式14-4】为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 【考点题型十五】与实数运算相关的规律题（） 【例15】如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】.有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 【变式15-3】.观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子： ． 【提升训练】 一、单选题 1．的平方根是（　　） A． B．3 C． D．9 2．在0、2、、π四个数中，最小的数是（   ） A．0 B．2 C． D． 3．若实数，满足，，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 4．如图，以单位长度为1的直径画一个圆，从表示的点开始，将这个圆沿着数轴向右滚动一周，当圆上的一点由点到达点时，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 5．已知，满足，则下列判断一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知a，b为正整数，且，，则的最大值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 7．如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 8．面积为8的正方形的边长为，则的大致范围是（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．大于4 9．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表 15 下面有四个推断： ① ②一定有3个整数的算术平方根在之间 ③对于大于16的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差一定大于 ④与更接近的整数是15 所有合理推断的序号是（   ） A．② B．②③ C．②③④ D．①②③ 10．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 11．设表示不大于x的最大整数，则 的值为（ ） A．5 151 B．5150 C．5050 D．5049 二、填空题 12．写出一个比小的整数，可以是 ． 13．如图，数轴上标注了四段，若，则表示的点落在段 （填序号）． 14．如图，在数轴上的两个点表示为实数，，化简： ． 15．已知、均为正整数，若，，则的最大值为 ． 16．若一个正数的两个平方根分别是和，则a是 ． 17．定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的减法和乘法运算，规定，若，则的值为 ． 18．定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”： 19．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如： ，． （1）仿照以上方法计算： ； （2）若 ，写出满足题意的x的整数值 ． 20．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ． 21．在，，三个盒子里分别放一些小球，小球数依次为，，，记为．游戏规则如下：若三个盒子中的小球数不完全相同，则从小球数最多的一个盒子中拿出两个，给另外两个盒子各放一个（若有两个盒子中的小球数相同，且都多于第三个盒子中的小球数，则从这两个盒子字母序号在前的盒子中取小球），记为一次操作．若三个盒子中的小球数都相同，游戏结束．例如，，，，，游戏结束．n次操作后的小球数记为． （1）若，则第 次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ． 三、解答题 22．已知，求的平方根． 23．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，肇事汽车的车速大约是多少？（结果精确到） 24．已知的平方根是是最大的负整数． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 25．（1）计算： （2）解方程： 26．阅读材料：如果一个数的平方等于，规定，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空：①______；②______； (2)若是的共轭复数，求a，b的值； (3)已知，求的值． 27．规定：对于任意两个实数，代入代数式进行计算，计算的结果称为的“自胜数”，这种计算称为“自胜计算”． (1)若实数满足，求实数的“自胜数”． (2)已知实数在数轴上对应的点如图所示，则从这四个数中任选两个进行“自胜计算”，得到的“自胜数”最大值和最小值分别是多少？ (3)一组数：，，，，，，，，，，以两个数为一组，将这4050个数任意分成2025组进行“自胜计算”，并将这2025个“自胜数”相加，和为，求的最大值． 28．若一个各位数字都不为0的三位正整数满足：十位数字与个位数字之和减去百．位数字的差为4，则称这个三位数为“顺利数”，例如：123，因为，所以123是“顺利数”；同时定义任何一个顺利数（且a、b、c均为整数）的． (1)判断326与875是否为“顺利数”，并说明理由； (2)已知数（）是“顺利数”，且能被11整除，求所有符合题意的S的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 实数（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 平方根 平方根:如果有一个数r,使得,那么我们把r叫作a的一个平方根,也叫作二次方根. 注意:(1)负数没有平方根,0的平方根是0;(2)一般地,如果r是正数a 的一个平方根那么a的平方根有且只有两个:r与-r. 清单02 算术平方根 算术平方根:正数a的正平方根叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”. 注意:“正数”和“正平方根”,即算术平方根具有双重非负性. 清单03 无理数的概念 无理数:无限不循环小数叫作无理数. 清单04 立方根的求法 立方根:如果一个数b,使得,那么将b叫作a的一个立方根.a的立方根记作,读作“立方根号a”(或“三次根号a”). 开立方:求一个数的立方根的运算,叫作开立方. 清单05 立方根的应用 求立方根的两种方法(1)定义法:求一个数a的立方根通常用主方运算,先找出立方等于a的数,写出立方 式,再由立方式写出a的立方根的值;(2)借助计算器:直接利用计算器求一个数a 的立方根. 清单06 实数的概念及分类 概念:有理数和无理数统称为实数. 分类:(1)按定义分: (2) 按性质分:正实数、零、负实数, 清单07 实数与数轴 关系:实数和数轴上的点一一对应. 含义:(1)每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示; (2) 数轴上的每一个点都可以表示唯一的一个实数. 清单08 实数的运算 (1) 有关数、式、方程(组)的性质、法则、运算顺序和解法,对于实数仍然成立; (2)有理数的运算律在实数中仍然适用. 【考点题型一】求平方根、算术平方根（） 【例1】9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是， 故选：D． 【变式1-1】已知，则的值是（   ） A．3.142 B．31.42 C．314.2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键． 将化为，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1-2】的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义 计算即可得到答案． 【详解】解： ， 的平方根是， 故答案为：． 【考点题型二】算术平方根的实际应用（） 【例2】一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，则这个长方形信封的宽是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，设长方形信封的宽是，长为，根据面积为120列方程，求出x的值即可． 【详解】解：长宽之比为， 设长方形信封的宽是，长为， ， ， ， ，或（舍）， ， 即这个长方形信封的宽是， 故答案为：． 【变式2-1】.图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据图形间的关联分析问题是解题的关键．先根据图形间的关联得到，，从而得到第一空答案；求出大正方形的面积，即可求得第二空答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ； 正方形的面积， ． 故答案为：2；． 【变式2-2】为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用．设长方形的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为得到，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：设长方形的宽为，则长为． 依题意，得， 整理，得，解得（负值已舍去）． ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ， 正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 【考点题型三】无理数的概念及大小估算（） 【例3】在，，，这四个数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是无理数，故该选项不符合题意； B、不是无理数，故该选项不符合题意； C、，不是无理数，故该选项不符合题意； D、是无理数，故该选项符合题意； 故选：D 【变式3-1】下列实数、、、、中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解：、是无理数， 、、是有理数， 故选：B． 【变式3-2】估计的值在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的大小，因为，所以可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式3-3】估算的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先计算出，再估算出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， 故选：B． 【考点题型四】已知一个数的平方根，求这个数（） 【例4】一个正数的两个不同的平方根是和，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查数的平方根，解一元一次方程．根据一个数的两个平方根互为相反数即可求出a的值． 【详解】解：∵实数的两个不同的平方根为和， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式4-1】若x是25的平方根，y是的算术平方根，则的值为 ． 【答案】125或 【分析】根据题意，得，，代入计算即可． 本题考查了平方根，算术平方根，有理数的乘方，熟练掌握定义和乘方是解题的关键． 【详解】解：∵x是25的平方根， ∴． ∵y是的算术平方根， ∴． 当时，； 当时，； 综上所述，的值为：125或． 故答案为：125或． 【变式4-2】如果一个正数的平方根是与，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握正数两个平方根互为相反数是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得到， ， 故答案为：． 【变式4-3】为实数，的平方根分别是与，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．利用一个数的两个平方根互为相反数或都是0可得到，可求得，再由平方根的定义可求得的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ， ∴，则， 故答案为：9． 【变式4-4】若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：4． 【考点题型五】求一个数的立方根（） 【例5】一个正数的两个平方根分别是和，则的立方根为（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数． 根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于，列出方程，解出，再将代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数，将算出后，求立方根即可． 【详解】解：和是正数的平方根， ， 解得， 将代入， 正数， ， 的立方根为：， 故选：B． 【变式5-1】若的立方根为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义求解即可，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式5-2】若4的平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 【答案】或7 【分析】根据4的平方根是，的立方根是，得到，解得即可． 本题考查了平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：4的平方根是x，的立方根是y， 且4的平方根是，的立方根是， 故， 故或， 故答案为：7或． 【变式5-3】已知 ，且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，平方根，先由，分别得，，结合，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵16的平方根是 故答案为：． 【考点题型六】利用立方根解决实际问题（） 【例6】如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 【变式6-1】小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 【变式6-2】已知球体的体积，若一个球的体积是，则它的半径 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，由题意可得，从而得出，再根据立方根计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式6-3】如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个方块的棱长为 ． 【答案】4 【分析】根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， 则其边长为， 故答案为：4． 【考点题型七】利用平方根、立方根解方程（） 【例7】解方程： 【答案】 【分析】此题考查了立方根的应用．根据立方根的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 【变式7-1】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先将系数化为1，再将常数移到方程右边，最后根据立方根的定义解方程即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】求的值：． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟记定义是解题的关键．根据立方根的定义，即可解答． 【详解】解： 解：开立方，得： 移项、合并同类项，得 解得： 【变式7-3】解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时除以16，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以3后开立方得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型八】实数的分类（） 【例8】在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，0，，，． 有理数集合：｛     ｝； 无理数集合：｛    ｝； 负实数集合：｛     ｝． 【答案】有理数集合：｛，，0，，…｝； 无理数集合：｛，，，…｝； 负实数集合：｛，，，…｝． 【分析】本题考查实数分类，实数分为：有理数和无理数，其中整数和分数统称为有理数，无理数是无限不循环小数，根据定义逐项检验即可得到答案，熟记实数分类是解决问题的关键． 【详解】解： ，， 有理数集合：｛，，0，，…｝；无理数集合：｛，，，…｝；负实数集合：｛，，，…｝． 故答案为：有理数集合：｛，，0，，…｝；无理数集合：｛，，，…｝；负实数集合：｛，，，…｝． 【变式8-1】将下列各数的序号填在相应的集合里． ①，②，③，④，⑤（每两个3之间依次多1个0），⑥0，⑦，⑧，⑨ 有理数集合：{___________________________…}； 无理数集合：{___________________________…}； 正实数集合：{___________________________…}； 整数集合：{___________________________…}；． 【答案】①③④⑥⑦⑨； ②⑤⑧；①②③⑤⑦⑧⑨；①⑥⑨ 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数包括有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，根据实数的定义进行分类即可． 【详解】解：，， 有理数集合：{①③④⑥⑦⑨…}； 无理数集合：{②⑤⑧…}； 正实数集合：{①②③⑤⑦⑧⑨…}； 整数集合：{①⑥⑨…}． 【变式8-2】把下列各数填入相应集合的括号内 ，，，3.14，，，，，2.13133133313…（相邻两个1之间的3的个数逐次加1） 正分数集合：{_________…}； 负有理数集合：{_________…}； 无理数集合：{_________ …} 【答案】3.14，；，，；，，2.13133133313… 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此解答即可． 【详解】解：， 正分数集合：{ 3.14，，…}； 负有理数集合：{，，，…}； 无理数集合：{，，2.13133133313…，…}． 【考点题型九】实数与数轴的综合运用（） 【例9】如图，点A是硬币圆周上一点，点A与数2所对应的点重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，解题关键是求出硬币的周长．根据题意得到硬币的周长，再结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题． 【详解】解：硬币的直径为1个单位长度， 硬币的周长为， 点A为2， 点对应的实数是， 故选：B． 【变式9-1】.在如图所示的数轴中，表示 的点可能落在（   ） A．1，2 之间 B．2，3 之间 C．3，4 之间 D．4，5 之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解题关键．先估算出的大小，然后再利用不等式的性质估算即可． 【详解】解：∵， ， ， 点可能落在3，4 之间， 故选：C． 【变式9-2】如图，在数轴上表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算及用数轴上的点表示数．估算出的大小即可确定其在数轴上的大致位置． 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上的大致位置是数的位置， 故选：D． 【变式9-3】如图，正方形的面积为3，，则数轴上点A对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握正方形的面积公式． 先根据已知条件，利用正方形面积公式，求出正方形边长，从而得到即可． 【详解】解：正方形的面积为3， ， 数轴上点A对应的数是， 故答案为：． 【变式9-4】如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为，由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点． (1)图中点表示的数为________，点表示的数为________． (2)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，此长度为 ． (3)若，，均为实数，且满足，，为图中拼成的正方形的边长的小数部分，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了运用数轴上的点表示无理数，平方根，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先由题意得该半圆的半径为，再运用数轴知识进行求解即可； （2）先求出大正方形的面积为，再减去两个长方形的面积求得中心小正方形的面积，最后运用平方根知识进行求解即可； （3）先利用平方根的以及二次根式的性质等知识求得、、，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积为， 小正方形的对角线为， ， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，大正方形面积为，两个小长方形面积为， 小正方形的面积为， 小正方形的边长为，即小长方形的对角线的长度为； （3）解：，，均为实数，且满足，， ，， 为图中拼成的正方形的边长的小数部分， ， 当，，时，； 当，，时，； 综上所述，的值为或． 【考点题型十】实数大小的比较（） 【例10】在中，最小的实数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数比较大小，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键，将题中实数按大小顺序排列后，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴最小的实数是， 故选：D． 【变式10-1】比较大小： 2（选填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】比较大小： （填“＞”“＜”“＝”） 【答案】> 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大． 首先确定与1的大小，进行比较即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：>． 【变式10-3】比较与的大小关系． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，熟练掌握方法是解答本题的关键．先平方比较大小，再把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数的大小即可． 【详解】解：，， ， ． 【考点题型十一】实数的运算（） 【例11】计算： ； 【答案】3 【分析】本题考查实数计算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根等．根据题意先将每项计算出，再进行加法运算即可． 【详解】解：， ， ． 【变式11-1】阅读下列材料： 小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，如果把方程组中的，看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程： 解：令 ． 原方程组化为 ， 解得 把代入 ，得 ，解得 所以原方程组的解为 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组 的解为_______． (3)在（2）的条件下 ， ，求 的值． 【答案】(1) (2) (3)1或3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，实数的运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程组即可； （2）仿照题意利用换元法解方程组得到的值，进而求出x、y的值即可； （3）根据（2）所求求出a、b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：令， 原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）解：令， 原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ， ∴， ∴或． 【变式11-2】.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的乘方，立方根，算术平方根等知识，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先进行二次根式的乘方，求立方根，求算术平方根运算，再进行实数的加减； （2）先进行平方，求算术平方根，求立方根运算，再进行加减． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式11-3】计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算乘方、算术平方根和立方根，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别化简二次根式，立方根以及绝对值，然后再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-4】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再计算加减法即可得到答案； （2）先去绝对值，再根据实数的运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十二】实数的性质的应用（） 【例12】先化简再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的性质，先去括号，然后合并同类项化简整式，再由被开方数大于等于0求出x的值，进而求出y的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 【变式12-1】若和是有理数，且满足，则． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根，立方根，实数，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根，实数的概念； （1）根据是无理数，是有理数，可得，再根据立方根的概念求解即可； （2）根据是无理数，是有理数，可得，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得， 所以， 所以的立方根为2， 故答案为：2； （2）由题意，得， ， 解得， ， 的平方根为， 故答案为：． 【变式12-2】已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，还考查了倒数、相反数、三次根式等知识点，先根据倒数、相反数、三次根式的定义求出a、b、c的，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 【考点题型十三】新定义下的实数运算（） 【例13】我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值、算术平方根的性质，结合已知条件求出的值是解题的关键．根据集合的互异性可得，，推出，得到，再根据解出的值即可解答． 【详解】解：由集合的互异性可得，， ，， 集合中的元素， ，即， 又， ， 和都为负数， ， 又， ， ， ． 故选：D． 【变式13-1】已知为任意的两位数，若的各位数字不同且不为0，这样的两位数称为“数”．把一个“数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以11的商记为．例如对调后的两位数为54，这两个数的和为99，，所以．计算： ．若，都是“数”，（，，，为整数）当时，则 ． 【答案】 6 7 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，理解“数”的定义是解题的关键． 根据“数”的定义列出算式即可求得的值，先求得、列出等式整理即可解答． 【详解】解：； ， ∴， ∵， ∴，整理得：． 故答案为：6，7． 【变式13-2】如果，那么x叫做以a为底N的对数，记做．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的为 ． ①；②；③若，则；④． 【答案】①②③④ 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确． 根据对数的定义和乘方解题即可． 【详解】解：∵， ∴，说法①符合题意； 设，则， ∴， ∴，故说法④符合题意； 则，说法②符合题意； 设，则， 两边同时取以为底的对数，，则， 所以，即， 则， ∵， ∴，说法③符合题意； 故答案为：①②③④． 【变式13-3】.【数学材料】 “对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果（且），那么叫作以为底的的对数，记作，其中叫作对数的底． 【初步运用】 （1）请把下列算式改写成对数的形式： ，对数的形式为______；，对数的形式为______； （2）若，则______；，则______； 【理解应用】 （3）若，若，求的值． 【问题解决】 （4）如图①，两条线段的长分别是，且，若化简的值． 【答案】（1），；（2）3，；（3）当，时，，当，时，；（4）的值为 【分析】本题考查定义新运算，立方根，算术平方根的化简； （1）根据对数的定义求解即可； （2）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可； （3）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可； （4）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式，再结合数轴化简算术平方根即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对数的形式为； ∵， ∴对数的形式为； 故答案为：，； （2）若，则，解得； 若，则，解得（负数舍去）， 故答案为：3，； （3）∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 当，时，，； 当，时，，； （4）∵， ∴，，，， ∴， ∵由图形可得， ∴ ． 【变式13-4】.对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． (1)根据上述运算填空：__________；__________；__________． (2)先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：__________． (3)如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是15，，，求的值． 【答案】(1)、、 (2) (3) (4) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形求值，平方差公式的应用； （1）根据如果，那么，据此计算即可； （2）由得； （3）由得到，由得到，由得到，最后根据图中阴影部分的面积为计算即可． （4）由得到，，由图可得：矩形的面积是，，解得，即可得到，，再根据，得到，，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：、、； （2）解：∵，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴由（2）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为m，小正方形的边长为n， ∴图中阴影部分的面积为． （4）解：∵， ∴，， 由图可得：矩形的面积是，， ∴，解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 【考点题型十四】 实数运算的实际应用（） 【例14】如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】B 【分析】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与宽，理解图示，掌握乘法公式，实数的混合运算是解题的关键． 由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， ，，解得：，， ， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：． 【变式14-1】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 【变式14-2】（1）小丽计划在母亲节那天送份礼物妈妈，特设计一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是 ． （2）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由； 【答案】（1） ；（2）选择乙方案建成圆形，理由见解析 【分析】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可； （2）根据正方形的周长公式以及圆形的周长公式即可求出答案． 【详解】解：（1）∵正方体有6个面且每个面都相等， ∴正方体的一个面的面积． ∴正方形的棱长； 故答案为：； （2）甲方案：设正方形的边长为，则 ∴ ∴正方形的周长为： 乙方案： 设圆的半径为，则 ∴ ∴圆的周长为： ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴正方形的周长比圆的周长大 ， 故从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形． 【变式14-3】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 【变式14-4】为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 【答案】(1)1640元 (2)甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人 (3)元 【分析】本题考查实数计算，一元一次方程实际应用， （1）根据题意列出合起来购买服装的算式，再减去分开购买即为本题答案； （2）根据题意设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人，可知甲校参演人数大于人小于人，乙校区参演人数小于人，再列出一元一次方程即可； （3）根据题意先求出服装厂一件成本，再求出丙校区购买套数，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意：（元）， ∵两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元， ∴（元）， 答：甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省1640元； （2）解：设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人， ∵甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人， ∴，解得：， 乙校区参演人数为：（人）， 答：甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人； （3）解：∵甲校区参演人数为60人， 又∵甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%， ∴设服装厂每套服装成本元， ，即：， ∵丙学校购买的服装比甲校区少12套， ∴丙校区购买了：（套）， ∴（元）， 答：服装厂卖给丙学校服装时共获利1440元． 【考点题型十五】与实数运算相关的规律题（） 【例15】如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的规律探究．根据题意推导规律是解题的关键． 由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根，且前行的数据个数为，从而得到第n（n是整数，且）行从左向右数第个数，即可． 【详解】解：由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根， 前行的数据个数为， ∴第n（n是整数，且）行从左向右数第个数为， 故选：A 【变式15-1】.有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：A． 【变式15-2】将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律题，根据题意找到数据的规律是解体的关键． 根据题意可得每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到所在的位置． 【详解】， 解：由题意可得，每五个数一行，， ，， 故所在的位置是第七行第二个数，位置记为， 故答案为：． 【变式15-3】.观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子： ． 【答案】 【分析】根据式子中的基本规律，解答即可． 本题考查了二次根式的规律型问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键． 【详解】解：由， ，…， 故第n个式子为． 故答案为：． 【提升训练】 一、单选题 1．的平方根是（　　） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查求平方根，先根据，再求平方根求解即可． 【详解】解：，9的平方根是， 故选：A． 2．在0、2、、π四个数中，最小的数是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：C． 3．若实数，满足，，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及平方根，利用完全平方公式进行求解即可．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式：． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 故选：D． 4．如图，以单位长度为1的直径画一个圆，从表示的点开始，将这个圆沿着数轴向右滚动一周，当圆上的一点由点到达点时，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴和圆的基础知识，直径为1个单位长度的圆沿着数轴向右滚动一周，圆上一点A运动到了B的位置，说明之间的距离为圆的周长，再根据数轴的基础知识即可求解出B所表示的数． 【详解】解：由题意知，之间的距离为直径为1个单位长度的圆的周长， ∴， ∵A所表示的数为， ∴B所表示的数为， 故选：C． 5．已知，满足，则下列判断一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则． 根据题意，且的正负不能确定，再逐项进行判断即可． 【详解】解：∵ 且的正负不能确定， A．的正负不能确定，故A错误． B．的正负不能确定，故B错误， C．，故选项C正确， D. 的正负不能确定，故D错误， 故选：C． 6．已知a，b为正整数，且，，则的最大值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，分别估算出，的取值范围即可求出的最大值． 【详解】解：∵， ∴． ∵，a为正整数， ∴a的最大值是3， ∵， ∴， ∵，b为正整数， ∴b的最大值是2， ∴的最大值为5． 故选C． 7．如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，正方形的面积，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据图形可知正方形的边长为1，面积为1，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形，利用大正方形的面积公式求得对角线的长度，即圆的半径，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为1， 面积为1， 如图所示，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形， 则大正方形的面积为 设小正方形对角线长为，那么大正方形的边长为， 则， ， 圆的半径为， 点表示的数为． 故选：C． 8．面积为8的正方形的边长为，则的大致范围是（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．大于4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先根据题意表示出a的值，再利用夹逼法估算即可． 【详解】解：∵面积为8的正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴a的值在2和3之间， 故选：B． 9．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表 15 下面有四个推断： ① ②一定有3个整数的算术平方根在之间 ③对于大于16的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差一定大于 ④与更接近的整数是15 所有合理推断的序号是（   ） A．② B．②③ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式，根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断即可熟练掌握算术平方根的定义及求一个数的算术平方根是解题的关键． 【详解】解：由表中信息可知，， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴正整数，，的算术平方根在之间，故②符合题意； 由题意设，且， ∴， ∵， ∴， ∴，故③符合题意； ∵，， ∴， ∴与更接近的整数是15，故④符合题意； 综上，符合题意的有②③④， 故选：C． 10．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②；若，且，则，，据此可判断③；根据可得原方程为，解得，但不能得到，据此可判断④． 【详解】解：①，原说法正确； ②，原说法正确； ③若，且，则，，，原说法正确； ④∵， ∴， ∴，而并不一定成立，原说法错误； ∴说法正确的有3个， 故选：B． 11．设表示不大于x的最大整数，则 的值为（ ） A．5 151 B．5150 C．5050 D．5049 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，根据条件可得每一项都是组成，判断出，可得，进而得出规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故选：C． 二、填空题 12．写出一个比小的整数，可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数比较大小及无理数估算，估算出，取符合的整数，即可求解；会估算无理数是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 比小的整数可以为1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 13．如图，数轴上标注了四段，若，则表示的点落在段 （填序号）． 【答案】④ 【分析】此题考查了无理数的估算，实数与数轴，正确得出的取值范围是解本题的关键．根据得到，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 表示的点落在段④． 故答案为：④． 14．如图，在数轴上的两个点表示为实数，，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，算术平方根，立方根的含义，整式的加减运算的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键．由数轴可得出a ，b ，c的大小关系，可得，，再化简即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，， ∴，， ∴ ． 15．已知、均为正整数，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握夹逼法是解题关键．先估算出的范围，得到，进而得到，求出，即可求解． 【详解】解：， ， 为正整数，， ， ， ， ， ， 为正整数， 的最大值为， 故答案为：． 16．若一个正数的两个平方根分别是和，则a是 ． 【答案】2 【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是理解并掌握平方根的性质． 根据一个正数的平方根互为相反数，可得和的关系，根据互为相反数的和为0，可得a的值． 【详解】解：根据题意知， 解得：． 故答案为：2． 17．定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的减法和乘法运算，规定，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，由题意得到，求得，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 得： 解得：， 将代入得：， 解得：， 方程的解为：， ， 故答案为：． 18．定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及对“方程”的理解，解题的关键在于理解“方程”．先求出的解，再结合“方程”概念求解，即可解题． 【详解】解：， 解得， 互为“方程”的两个方程解之和为2， 方程的一个“方程”解为， 方程的一个“方程”为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 19．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如： ，． （1）仿照以上方法计算： ； （2）若 ，写出满足题意的x的整数值 ． 【答案】 4 4，5，6，7，8 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义实数运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义估算出，即可得到； （2）根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）∵， ∴，即， ∴满足题意的的整数值为4，5，6，7，8． 故答案为：4，5，6，7，8． 20．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ． 【答案】49 【分析】根据一个正数的两个平方根是和，得到，求得，结合就是所求正数，解答即可． 本题考查了平方根的应用，解方程，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是是和， ∴， 解得， ∴， 故答案为：49． 21．在，，三个盒子里分别放一些小球，小球数依次为，，，记为．游戏规则如下：若三个盒子中的小球数不完全相同，则从小球数最多的一个盒子中拿出两个，给另外两个盒子各放一个（若有两个盒子中的小球数相同，且都多于第三个盒子中的小球数，则从这两个盒子字母序号在前的盒子中取小球），记为一次操作．若三个盒子中的小球数都相同，游戏结束．例如，，，，，游戏结束．n次操作后的小球数记为． （1）若，则第 次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，以及数字找规律，解题的关键在于正确理解题干所示游戏规则． （1）根据题干所示游戏规则求解，即可解题； （2）根据题干所示游戏规则表示出前7次操作，观察操作后的结果得出其规律，结合规律求解，即可解题． 【详解】解：（1）根据游戏规则有，，，， 则第次操作后游戏结束； 故答案为：． （2）根据游戏规则有： ， ， ， ， ， ， ， ，，依次类推，可知从第4次操作开始，每3次操作一个循环， ， ， 故答案为：． 三、解答题 22．已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，平方根的定义，依据非负数的性质求得、的值是解题的关键．首先依据非负数的性质求得、的值，然后再求得的值，最后再求平方根即可． 【详解】解： ， ，， ，， ， 的平方根是， 的平方根为． 23．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，肇事汽车的车速大约是多少？（结果精确到） 【答案】肇事汽车的车速大约是 【分析】本题考查了算术平方根．代入题中数据到公式进行正确的计算是解题的给关键． 将题目中给定的，，代入到经验公式中，然后通过根式运算求出的值即可． 【详解】解：将，，代入得： 答：肇事汽车的车速大约是． 24．已知的平方根是是最大的负整数． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，平方根、立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意得出利用平方根及负数的基本性质即可求解； （2）把（1）中结果代入，再求其的算术平方根，即可作答． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得； 是最大的负整数． ， 解得． （2）， ， 的算术平方根为． 25．（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了求算术平方根、绝对值运算以及求立方根．解题的关键是掌握实数的混合运算法则以及求立方根的方法． （1）分别对算术平方根、绝对值进行化简，再进行计算即可； （2）通过移项，求立方根即可． 【详解】解：（1） （2） ． 26．阅读材料：如果一个数的平方等于，规定，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空：①______；②______； (2)若是的共轭复数，求a，b的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)5； (2)； (3)5 【分析】本题主要考查了完全平方公式应用，平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式的定义是关键． （1）按照定义及积的乘方计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出和的值； （3）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值从而可得答案． 【详解】（1）解：①原式， ②原式， 故答案为：（1）5；（2）； （2）解：∵，是的共轭复数， （3）解：由条件可知：， 即， ， 解得：， ． 27．规定：对于任意两个实数，代入代数式进行计算，计算的结果称为的“自胜数”，这种计算称为“自胜计算”． (1)若实数满足，求实数的“自胜数”． (2)已知实数在数轴上对应的点如图所示，则从这四个数中任选两个进行“自胜计算”，得到的“自胜数”最大值和最小值分别是多少？ (3)一组数：，，，，，，，，，，以两个数为一组，将这4050个数任意分成2025组进行“自胜计算”，并将这2025个“自胜数”相加，和为，求的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，绝对值的化简，数轴上点的表示，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． （1）根据非负数的性质，可求出m，n的值，再根据自胜数的定义即可求解； （2）根据数轴，可得，再根据自胜数的定义即可求解； （3）根据自胜数的定义，由（2）可知，任意两个组合，尽可能将大数都作为“自胜数”，那么这些“自胜数”的和就最大，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：， 所以， 所以， 所以的“自胜数”为； （2）解：由题意知，当时，的“自胜数”为，当时，的“自胜数”为， 因为，， 所以，， ， 所以， 所以从这四个结果中任选两个进行“自胜计算”得到的结果的最大值为，最小值为； （3）解：由（2）可知，任意两个组合，尽可能将大数都作为“自胜数”，那么这些“自胜数”的和就最大， 所以①， ②， 得到． 28．若一个各位数字都不为0的三位正整数满足：十位数字与个位数字之和减去百．位数字的差为4，则称这个三位数为“顺利数”，例如：123，因为，所以123是“顺利数”；同时定义任何一个顺利数（且a、b、c均为整数）的． (1)判断326与875是否为“顺利数”，并说明理由； (2)已知数（）是“顺利数”，且能被11整除，求所有符合题意的S的值． 【答案】(1)326不是“顺利数”，875是“顺利数”．理由见解析 (2)224 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算．整式加减的应用,关键是理解新定义. （1）根据“顺利数”的定义代入计算即可得出答案． （2）由“顺利数”的定义得出，再根据定义得出，能被11整除，是整数，再结合n，p，m的取值范围讨论判断即可． 【详解】（1）解：326不是“顺利数”，875是“顺利数”． 理由：∵， ∴326不是顺利数 ∵， ∴875是顺利数； （2）解：∵（，且 m，n，p 均为整数）是“顺利数“； ∴， ∴， ∵， ∴，且能被11整除，是整数， ∵， 当时，，此时能被11整除，此时，即； 当时，，此时能被11整除，此时（舍去）； 当时，无整数 p； 当时，无整数 p． ∴所有符合题意的S的值为224． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$