专题20 函数图象与几何图形的综合问题（讲练，3考点+4题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题20 函数图象与几何图形的综合问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形与函数综合问题 ►题型01 三角形与函数综合问题 考点二 四角形与函数综合问题 ►题型02 矩形与函数综合问题 ►题型03 菱形与函数综合问题 ►题型04 正方形与函数综合问题 考点三 圆与函数综合问题 ►题型05 圆与函数综合问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 函数图象与几何图形的综合问题 利用函数的图象和性质解决点在几何图形中的运动问题； 该专题内容是初中函数与几何综合压轴问题，非常重要，年年都会考查，分值为3分左右.预计2025年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形与函数综合问题 ►题型01 三角形与函数综合问题 1．（2024·江苏常州·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形的边长是（    ） A． B．4 C．6 D． 2．（2021·江苏淮安·中考真题）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是 ． 三角形和函数的综合问题常从以下角度考查： 1.三角函数与三角形边角关系：给出三角形的一些边或角的信息，利用正弦定理、余弦定理结合三角函数性质求解未知边角，比如已知两角一边，通过正弦定理得出边的关系，再借助三角函数值域求边长取值范围。 2.函数图像与三角形几何性质：以函数图像为背景，将三角形的顶点置于函数图像上，通过函数解析式获取点的坐标，从而计算三角形的面积、周长等。像把三角形顶点放在二次函数图像上，利用坐标求边长再算面积。 应对这类综合问题，方法如下： 1.熟练掌握定理公式：牢记正弦定理、余弦定理、三角函数的定义、诱导公式、恒等变换公式等，这是解题基础。 2.建立知识联系：看到三角形问题，联想到函数知识，如用三角函数表示角与边；看到函数图像中的三角形，思考几何性质与函数性质的关联，通过坐标建立等式求解 。 1．（2024·河南信阳·二模）如图1所示，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形外部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边的周长为（    ）    A．4 B．6 C． D． 2．（2024·河南焦作·一模）如图1，点从等腰直角三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到的中点．设点运动的路程为的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2023·河南郑州·三模）如图；点、、是等边三角形三条边不含端点上的点，，设线段的长为，三角形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 4．（2024·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点在第一象限，点，，，双曲线与边、分别交于、两点，并且把分成两部分． （1）若，则 ． （2）横纵坐标都为整数的点称为整点，若双曲线把分成的两部分中的整点个数相等（不含边界），则的取值范围为 ． 考点二 四角形与函数综合问题 ►题型02 矩形与函数综合问题 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点D在边上，连接，把沿折叠，使点B恰好落在边上点E处，反比例函数的图象经过点D，则k的值为（  ） A．10 B．20 C．30 D．40 2．（2024·江苏盐城·一模）如图①，在矩形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动，到达点时停止，设点所走的路程为，线段的长度，若与之间的函数图象如图②所示，则矩形的周长为（     ） A．10 B．18 C．20 D．28 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，矩形各边中点分别是、、、，，，为上一动点，过点作直线，若点从点开始沿着方向移动到点即停（直线随点移动），直线扫过矩形内部和四边形外部的面积之和记为设，则S关于的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． ►题型03 菱形与函数综合问题 4．（2024·江苏宿迁·一模）如图，菱形在直角坐标系中，点的坐标为，对角线，反比例函数经过点，则（　　） A．6 B．12 C． D．32 5．（2023·江苏苏州·一模）如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点P运动时的面积随时间变化的关系如图2，则a的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 6．（2023·江苏无锡·一模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（        ） A． B． C．20 D．24 ►题型04 正方形与函数综合问题 7．（2024·江苏·模拟预测）如图，正方形的顶点在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2024·江苏扬州·一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中小正方形的顶点A、B、C在坐标轴上，点D为小正方形与y轴的交点，顶点E在反比例函数的图像上，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．24 9．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知在正方形中，是对角线上一个动点，过作、的平行线分别交正方形的边于、和、，若，图中阴影部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（ ） A．B．C．D． 四角形（通常指四边形）和函数的综合问题，常从以下角度考查： 1.函数解析式与四边形性质结合：给出四边形的边长、顶点坐标等信息，通过几何关系确定函数中的参数，进而求出函数解析式，如在矩形中利用边长关系确定一次函数的系数。 2.函数图象与四边形判定：依据函数图象上点的坐标，计算线段长度、斜率等，判断四边形的形状 ，像根据平行四边形对边平行且相等的性质，利用直线斜率和两点间距离公式来证明一个四边形是平行四边形。 3.函数最值与四边形面积周长：借助函数求最值的方法，求解四边形面积或周长的最值问题，例如通过二次函数求抛物线与四边形所围图形面积的最大值。 解决这类综合问题，关键是要建立几何图形与函数之间的联系，将几何条件转化为函数语言，运用函数性质和几何定理逐步推导求解，同时要善于运用数形结合思想，通过画图辅助理解题意。 1．（2025·河北·一模）如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（   ） A．B． C． D． 2．（2025·甘肃嘉峪关·一模）如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（    ） A．42 B．46 C．48 D．50 3．（2025·河南开封·一模）如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北石家庄·三模）如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽池州·一模）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接，，．设点M运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（   ）    A．  B．  C．  D．   考点三 圆与函数综合问题 ►题型05 圆与函数综合问题 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为，且，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离与时间的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（　　） A．甲车在立交桥上共行驶； B．从F口出比从G口出多行驶； C．甲车从G口出，乙车从F口出； D．立交桥总长为 2．（2023·江苏南通·模拟预测）如图①，点A、B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是.图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（    ）    A． B． C． D． 圆和函数的综合问题在数学中常从以下方面考查： 考查方式 1.函数与圆的方程联立：给出圆的方程和函数表达式，通过联立方程组求解交点坐标，进而研究交点个数、位置关系等问题，如判断直线与圆的位置关系，可能涉及到一元二次方程判别式的应用。 2.圆中的动点与函数关系：圆上的动点坐标满足圆的方程，同时又与某函数存在关联，比如求动点到某直线距离的最值，可转化为函数的最值问题。 3.利用函数性质研究圆的性质：借助函数的单调性、奇偶性等性质来分析圆的相关性质，如圆的对称性等。 方法指导 1.熟练掌握圆的标准方程、一般方程以及各种函数的性质和图像特征，以便准确分析问题。 2.对于方程联立问题，要善于运用代数方法，通过判别式、韦达定理等解决交点问题。 3.处理动点问题时，可建立合适的函数模型，将几何问题转化为函数问题求解，利用函数求最值的方法得出结果。 1．（2024·广东深圳·二模）如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（    ） A．8 B．6 C． D． 2．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 3．（2023·广西南宁·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏苏州·一模）东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A为立交桥入口，D、G为出口，其中直行道为、、，且；弯道是以点O为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，期间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如右图所示，结合题目信息，下列说法错误的是（   ） A．该段立交桥总长为672 m B．从G口出比从D口出多行驶192m C．甲车在立交桥上共行驶22s D．甲车从G口出，乙车从D口出 $$专题20 函数图象与几何图形的综合问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形与函数综合问题 ►题型01 三角形与函数综合问题 考点二 四角形与函数综合问题 ►题型02 矩形与函数综合问题 ►题型03 菱形与函数综合问题 ►题型04 正方形与函数综合问题 考点三 圆与函数综合问题 ►题型05 圆与函数综合问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 函数图象与几何图形的综合问题 利用函数的图象和性质解决点在几何图形中的运动问题； 该专题内容是初中函数与几何综合压轴问题，非常重要，年年都会考查，分值为3分左右.预计2025年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形与函数综合问题 ►题型01 三角形与函数综合问题 1．（2024·江苏常州·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形的边长是（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质等知识点，如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在上运动时，，，易知，当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知，过点O作，解直角三角形可得，进而得出等边三角形的边长，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件． 【详解】如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B， 结合图象可知，当点P在上运动时，， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为4， ∴，即， ∴， 过点O作，垂足为D， ∴，则， ∴， 即等边三角形的边长为． 故选：A． 2．（2021·江苏淮安·中考真题）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是 ． 【答案】5 【知识点】动点问题的函数图象、解直角三角形的相关计算 【分析】在点B'到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达B点以后，且点C'到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在B'到达C之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B'C'的长度为a，BC的长度为a＋3，再根据△ABC的面积即可列出关于a的方程，求出a即可． 【详解】解：当点B'移动到点B时，重叠部分的面积不再变化， 根据图象可知B'C'＝a，， 过点A'作A'H⊥B'C'， 则A'H为△A'B'C'的高， ∵△A'B'C'是等边三角形， ∴∠A'B'H＝60°， ∴sin60°＝， ∴A'H＝， ∴，即， 解得a＝﹣2（舍）或a＝2， 当点C'移动到点C时，重叠部分的面积开始变小， 根据图像可知BC＝a＋3＝2＋3＝5， ∴△ABC的边长是5， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象和三角函数，关键是要分析清楚移动过程可分为哪几个阶段，每个阶段都是如何变化的，先是点B'到达B之前是一个阶段，然后点C'到达C是一个阶段，最后B'到达C又是一个阶段，分清楚阶段，根据图象信息列出方程即可． 三角形和函数的综合问题常从以下角度考查： 1.三角函数与三角形边角关系：给出三角形的一些边或角的信息，利用正弦定理、余弦定理结合三角函数性质求解未知边角，比如已知两角一边，通过正弦定理得出边的关系，再借助三角函数值域求边长取值范围。 2.函数图像与三角形几何性质：以函数图像为背景，将三角形的顶点置于函数图像上，通过函数解析式获取点的坐标，从而计算三角形的面积、周长等。像把三角形顶点放在二次函数图像上，利用坐标求边长再算面积。 应对这类综合问题，方法如下： 1.熟练掌握定理公式：牢记正弦定理、余弦定理、三角函数的定义、诱导公式、恒等变换公式等，这是解题基础。 2.建立知识联系：看到三角形问题，联想到函数知识，如用三角函数表示角与边；看到函数图像中的三角形，思考几何性质与函数性质的关联，通过坐标建立等式求解 。 1．（2024·河南信阳·二模）如图1所示，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形外部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边的周长为（    ）    A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、等边三角形的性质、求角的正弦值、已知余弦求边长 【分析】由题图2知，点P的运动过程分为两个阶段，第一个阶段运动的路程是，，即，第二个阶段运动的路程是2．第一阶段，在的垂直平分线上，设点P第一个阶段运动的终点为D，如图，连接，则，，，由，可得，则，进而可求等边三角形的周长． 【详解】解：由题图2知，点P的运动过程分为两个阶段，第一个阶段运动的路程是，，即，第二个阶段运动的路程是2． 第一阶段，在的垂直平分线上，设点P第一个阶段运动的终点为D，如图，连接，    ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴等边三角形的周长为． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，垂直平分线的判定与性质，等边三角形的性质，正弦，余弦等知识．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 2．（2024·河南焦作·一模）如图1，点从等腰直角三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到的中点．设点运动的路程为的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．由图象知，时，的面积为，当点在（）上运动时，的面积不变，为，当点位于点时，此时为等腰直角三角形，据此，利用的面积，求解即可． 【详解】解：由图象知，当点在点，即时，的面积为， 当点运动到点，此时时，的面积为， 而在运动到的过程中，的面积不变，为， 如图，当点在（）上运动时，的面积不变，为， ∴当点位于点时，此时为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积，即， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2023·河南郑州·三模）如图；点、、是等边三角形三条边不含端点上的点，，设线段的长为，三角形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的面积相等，难点是根据三角形的面积公式求出关于的函数解析式，过点作于，设，则，的面积为定值（常数），然后在中求得，进而得，再证得：，最后根据求出关于的函数解析式即可得出答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 不妨假设， ，则， ， 为等边三角形， ，，的面积为定值（常数），设为， 在中，，，， ， ， ，， ， 在和和中， ， ， ， ， ， 即：，其中， 关于的函数是二次函数，其中， 该函数的图象为抛物线的一部分． 故选：B 4．（2024·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点在第一象限，点，，，双曲线与边、分别交于、两点，并且把分成两部分． （1）若，则 ． （2）横纵坐标都为整数的点称为整点，若双曲线把分成的两部分中的整点个数相等（不含边界），则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，（1）过点作轴于点，过点作轴于点，设，根据正切的定义得，得到，再根据，由正切的定义得，可确定，根据，，轴，利用锐角三角函数得，，可确定，再根据函数图像上点的坐标特征即可得解； （2）先确定正比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，继而确定内部的整数点为，，和，再根据反比例函数（为常数，）的图像上点的横纵坐标之积为，即可得解； 解题的关键是掌握：反比例函数（为常数，）的图像上点的横纵坐标之积为． 【详解】解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点， 设， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 故答案为：； （2）设正比例函数的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴正比例函数的解析式为， 设一次函数的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴内部的整数点为，，和， 当双曲线过点时，， 当双曲线过点时，， 当双曲线过点时，， 当双曲线过点时，， ∴双曲线把分成的两部分中的整点个数相等（不含边界），则的取值范围为， 故答案为：． 考点二 四角形与函数综合问题 ►题型02 矩形与函数综合问题 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点D在边上，连接，把沿折叠，使点B恰好落在边上点E处，反比例函数的图象经过点D，则k的值为（  ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键．首先根据翻折变换的性质，可得；然后设点D的坐标是，在中，根据勾股定理，求出的长度，进而求出k的值． 【详解】解：∵沿折叠，使点B恰好落在边上点E处，点 ， ∴，，， ∴， ， 设点D的坐标是， 则，， ∵， ∴， 解得： ， ∴点D的坐标是， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴ 故选∶C． 2．（2024·江苏盐城·一模）如图①，在矩形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动，到达点时停止，设点所走的路程为，线段的长度，若与之间的函数图象如图②所示，则矩形的周长为（     ） A．10 B．18 C．20 D．28 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、矩形的性质、中位线的性质等，结合函数图象和点的运动轨迹判断出“当时，”，求出矩形的长和宽，计算周长即可，理解函数图象和点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：∵当时，最小， ∴此时，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴此时，， ∴是的中位线，， ∴矩形的周长， 故选：D． 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，矩形各边中点分别是、、、，，，为上一动点，过点作直线，若点从点开始沿着方向移动到点即停（直线随点移动），直线扫过矩形内部和四边形外部的面积之和记为设，则S关于的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了二次函数图象，矩形的性质，相似三角形等等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算．把M点的运动过程分为段（）和段（）两个过程，然后根据题意可知在段，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；同理当在BE段时，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；最后根据x与S的函数关系式对图象进行判断即可 【详解】解：如下图所示，当M点的运动过程在段 则由题意可知 ∵四边形是矩形，直线，H、E、F、G为的中点 ∴， ∴ ∵，， ∴ ∵直线 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 如下图所示，当M点的运动过程在段 同理当在段时 即 同理可以得到 ∴ ∴ ∴ 综上所述当M点的运动过程在段时，二次函数开口向下；当M点的运动过程在段时，二次函数开口向上； 故选：D． ►题型03 菱形与函数综合问题 4．（2024·江苏宿迁·一模）如图，菱形在直角坐标系中，点的坐标为，对角线，反比例函数经过点，则（　　） A．6 B．12 C． D．32 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理，根据点的坐标得出的长度，过点作轴于，设，由勾股定理计算得出点的坐标，再由菱形的性质得出点的坐标，代入函数解析式计算即可得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 过点作轴于，设， 由勾股定理得，， 解得， ∴，， ∴点， ∵菱形对边， ∴点的坐标为， 代入得，， 解得， 故选：B． 5．（2023·江苏苏州·一模）如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点P运动时的面积随时间变化的关系如图2，则a的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】作过点C作，再根据图像的三角形的面积可得CE=8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求即可． 【详解】解：过点C作于E， ∵菱形中，， ∴当点在边上运动时，的值不变，为， ，即菱形的边长是， ∵，即． 当点在上运动时，逐渐增大， ， ． 在中，， ，解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理等知识点，利用菱形的性质和勾股定理列出方程是解答本题的关键． 6．（2023·江苏无锡·一模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（        ） A． B． C．20 D．24 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C． 【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． ►题型04 正方形与函数综合问题 7．（2024·江苏·模拟预测）如图，正方形的顶点在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过作，过作于，过作于，设，，则有，，，，由四边形是正方形得，，又，故有，证明，根据性质得，，则，，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，过作于，过作于， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故选：． 8．（2024·江苏扬州·一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中小正方形的顶点A、B、C在坐标轴上，点D为小正方形与y轴的交点，顶点E在反比例函数的图像上，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．24 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．作轴于点N，过点C作于点M，先求得每个小正方形的边长，再求得，，利用相似三角形的性质结合勾股定理求得点E的坐标，据此求解即可． 【详解】解：作轴于点N，过点C作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设“L”型模具中小正方形的边长为m， 则， 解得：负值舍去， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 同理得：， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 9．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知在正方形中，是对角线上一个动点，过作、的平行线分别交正方形的边于、和、，若，图中阴影部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，几何问题与二次函数，设在正方形的边长为a，首先可证得四边形、都是矩形，四边形、都是正方形，可求得，，再由，即可求得则y与x之间的函数关系，据此即可判定． 【详解】解：设在正方形的边长为a， 四边形是正方形， ，，，， 过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N， 四边形、都是矩形， 四边形、都是正方形， ， ， ， 该函数的图象是开口向下的抛物线， 故选：D． 四角形（通常指四边形）和函数的综合问题，常从以下角度考查： 1.函数解析式与四边形性质结合：给出四边形的边长、顶点坐标等信息，通过几何关系确定函数中的参数，进而求出函数解析式，如在矩形中利用边长关系确定一次函数的系数。 2.函数图象与四边形判定：依据函数图象上点的坐标，计算线段长度、斜率等，判断四边形的形状 ，像根据平行四边形对边平行且相等的性质，利用直线斜率和两点间距离公式来证明一个四边形是平行四边形。 3.函数最值与四边形面积周长：借助函数求最值的方法，求解四边形面积或周长的最值问题，例如通过二次函数求抛物线与四边形所围图形面积的最大值。 解决这类综合问题，关键是要建立几何图形与函数之间的联系，将几何条件转化为函数语言，运用函数性质和几何定理逐步推导求解，同时要善于运用数形结合思想，通过画图辅助理解题意。 1．（2025·河北·一模）如图，在矩形中，点从点出发，沿着折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，设的面积为，点的运动时间为，则在点的运动过程中，关于的函数图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查几何图形面积与函数图象的结合，理解几何图形面积的变化情况，掌握函数图象的增减性是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当点位于边上时；当点位于边上时；当点位于上时；根据几何图形面积的变化情况确定函数图形的增减性即可求解． 【详解】解：由题意得，当点位于边上时，的面积随着点的运动匀速增加； 当点位于边上时，的高保持不变， ∴的值保持不变； 当点位于上时，的面积随着点的运动匀速减小， 故选：B． 2．（2025·甘肃嘉峪关·一模）如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（    ） A．42 B．46 C．48 D．50 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、函数的图象、勾股定理，从函数的图象获取信息是解题的关键．连接交于点O，由图象可知，当时，，利用菱形的性质计算出菱形的边长，再计算出当时的长，即可得出a的值． 【详解】解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形， ，，， 由图象可知，当时，， 此时，， ， 当时，， ， ， ． 故选：C． 3．（2025·河南开封·一模）如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键．连接，，则，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，根据可得，由可设，则，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：由正方形的性质可知点，关于直线对称，连接，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当点在上时，的值最小，此时的值最小， 点， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．（2024·河北石家庄·三模）如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故选：A． 5．（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作交于点，根据图象可得，当点运动到点时，面积最大，为，求出，根据当点运动到点时，停止运动，此时面积为，求出，再根据，即可． 【详解】解：设菱形的边长为：，过点作交于点， 由图可得，当点运动到点时，面积最大，为， ∴， 解得：； 当点运动到点时，停止运动，此时面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．（2025·安徽池州·一模）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度匀速运动到点B，C停止，连接，，．设点M运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（   ）    A．  B．  C．  D．   【答案】C 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了实际问题与二次函数（图形运动问题），依据题意正确列出函数解析式并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，点M在上，点N在上，设，则，进而可得，然后根据二次函数的图象与系数的关系及的图象与性质即可得出答案． 【详解】解：由题意知，点M在上，点N在上， 设，则， ， ， 该二次函数的图象开口向上， 当时，取得最小值，最小值为， 观察各选项可知，选项符合题意， 故选：． 考点三 圆与函数综合问题 ►题型05 圆与函数综合问题 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为，且，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离与时间的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（　　） A．甲车在立交桥上共行驶； B．从F口出比从G口出多行驶； C．甲车从G口出，乙车从F口出； D．立交桥总长为 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，由图象可知，两车通过，，弧时每段所用时间均为，通过直行道时，每段用时为，据此逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，两车通过，，弧时每段所用时间均为，通过直行道时，每段用时为． 因此，甲车所用时间为，故A正确，不符合题意； 根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走弧长，之和，用时为，则多走，故B正确，不符合题意； 根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，乙车从F口出，故C正确，不符合题意； 根据题意立交桥总长为，故D错误，符合题意； 故选：D． 2．（2023·江苏南通·模拟预测）如图①，点A、B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是.图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、求弧长 【分析】从图2看，当时，，即此时、、三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点从点走到、、三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点运动的速度，当时，，即是等边三角形，进而求解． 【详解】解：从图2看，当时，，即此时、、三点共线， 则圆的半径为， 当时，， 是直角三角形，且， 则点从点走到、、三点共线的位置时，如图所示，    此时，走过的角度为，则走过的弧长为， 点的运动速度是， 当时，，即是等边三角形， ， ， 此时点走过的弧长为：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 圆和函数的综合问题在数学中常从以下方面考查： 考查方式 1.函数与圆的方程联立：给出圆的方程和函数表达式，通过联立方程组求解交点坐标，进而研究交点个数、位置关系等问题，如判断直线与圆的位置关系，可能涉及到一元二次方程判别式的应用。 2.圆中的动点与函数关系：圆上的动点坐标满足圆的方程，同时又与某函数存在关联，比如求动点到某直线距离的最值，可转化为函数的最值问题。 3.利用函数性质研究圆的性质：借助函数的单调性、奇偶性等性质来分析圆的相关性质，如圆的对称性等。 方法指导 1.熟练掌握圆的标准方程、一般方程以及各种函数的性质和图像特征，以便准确分析问题。 2.对于方程联立问题，要善于运用代数方法，通过判别式、韦达定理等解决交点问题。 3.处理动点问题时，可建立合适的函数模型，将几何问题转化为函数问题求解，利用函数求最值的方法得出结果。 1．（2024·广东深圳·二模）如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、求过圆内一点的最长弦 【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点的运动时间是解题关键． 根据最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答． 【详解】解：如图，当点运动到过圆心，即为直径时，最长， 由图（b）得，最长时为6，此时， ， ， 此时点路程为90度的弧， 点从点运动到点的弧度为270度， 运动时间为， 故选：B． 2．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、求一点到圆上点距离的最值、其他问题(二次函数综合) 【分析】P为中点，D为中点，所以是的中位线，则，当最大时，则最大．由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，最大，分别求出B、C的坐标，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，如图所示：    ∵P为中点，D为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， 由圆的性质可知，当G、C、B三点共线且点在上时，最大， 把代入得：， 解得：或， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴， ∴， ∵半径为2， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、三角形的中位线定理、勾股定理，一点到圆上一点的最值问题等等，通过构造三角形中位线把求的最大值转换成求出的最大值是解题的关键． 3．（2023·广西南宁·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】先确定长的最大时点P的位置，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，设，则，，根据勾股定理计算t的值，可得k的值． 【详解】解：连接， 由对称性得：， ∵Q是的中点， ∴， ∵长的最大值为， ∴长的最大值为， 如图，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，过B作轴于D， ∵， ∴， ∵B在直线上， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得（舍）或， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用中位线的性质和圆的性质确定出点P的位置． 4．（2023·江苏苏州·一模）东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A为立交桥入口，D、G为出口，其中直行道为、、，且；弯道是以点O为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，期间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如右图所示，结合题目信息，下列说法错误的是（   ） A．该段立交桥总长为672 m B．从G口出比从D口出多行驶192m C．甲车在立交桥上共行驶22s D．甲车从G口出，乙车从D口出 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】由两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系图，在段行驶时间是8s，在段行驶时间是（s），通过计算可判断选项A和B；14s后乙车距点O的距离越来越远，甲车距点O的距离暂未改变，可判断选项C和D． 【详解】解：由题意可得（m）， 在段行驶时间是（s），（m） ，、、所对的圆心角均为 该段立交桥总长为：（m），A正确； 从G口出比从D口出多行驶：（m），B正确； 14s后乙车距点O的距离越来越远，甲车距点O的距离暂未改变， 甲车从G口出，乙车从D口出，D正确； 甲车在立交桥上行驶时间：（s），C错； 故选：C． 【点睛】本题考查行程问题，解题关键是从到一定点的距离与时间关系图中分析出实际的行程以及所用的时间，根据路程速度时间，计算各段的长度；本题的易错点是y表示车到点O的距离，若y值不变即表示绕圆心O行驶． $$