专题19 一次函数、反比例函数、二次函数中的多结论判定问题（讲练，3考点+4题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题19 一次函数、反比例函数、二次函数中的多结论判定问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次函数中的多结论判定问题 ►题型01 一次函数中的多结论判定问题 考点二 反比例函数中的多结论判定问题 ►题型02 反比例函数中的多结论判定问题 考点三 二次函数中的多结论判定问题 ►题型03 二次函数图形和性质中的多结论判定问题 ►题型04 二次函数图形和性质与字母系数的多结论判定问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 一次函数、反比例函数、二次函数中的多结论判定问题 理解概念，掌握图象与性质，会用多种方法求解析式。 结合情境体会意义。 2025年江苏可能会注重函数综合应用考查，多结论判定问题或与实际情境结合。考查方式上，选择、填空、解答题均可能出现，会涉及函数性质、图像特征、交点问题等。一次函数分值约3-5分，二次函数5-10分，反比例函数3-5分。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次函数中的多结论判定问题 ►题型01 一次函数中的多结论判定问题 1．（2023·江苏苏州·一模）甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车离开A地的距离与甲车行驶时间的函数图像．波波同学根据图文信息，解读出以下结论：①乙车速度是；②m的值为1；③a的值为40；④乙车比甲车早到达B地．其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】先由函数图象中的信息求出m的值，再根据“路程÷时间=速度”求出甲的速度，并求出a的值；先根据图形判断甲、乙两车中先到达B地的是乙车，再把y=260代入y=40x-20求得甲车到达B地的时间，再求出乙车行驶260km需要260÷80=3.25h，即可得到结论． 【详解】解：（千米小时）， 即乙车速度是，故①正确； 由题意，得．故②正确； ，则， 故③正确； 设甲车休息之后行驶路程与时间的函数关系式为，由题意， 得， 解得， ， 根据图形得知：甲、乙两车中先到达地的是乙车， 把代入得，， 乙车的行驶速度：， 乙车的行驶需要， ， 乙车比甲车早到达地．故④错误， 综上所述，正确结论的有①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是从图形中获得必要的信息进行计算，运用待定系数法求一次函数的解析式．解答此类试题时，需要掌握建立函数模型的方法以及采用分段函数解决问题的思想． 2．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处，交y轴于点E，若，，则下列结论正确的个数为（    ） ①O是的中点；    ②点的坐标为 ③线段；    ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】由矩形的性质可得出，由折叠的性质可得出，由直角三角形可得出可判断①，由勾股定理可判断③，设．则，则，由勾股定理可求出a的值，进一步即可得出点点的坐标为可判断②，求出直线的解析式，以及点E的坐标即可判断④． 【详解】解：∵是矩形， ∴， 由折叠的性质可得出， 在中，， ∴， 故O不是的中点，即①错误， ∵在矩形纸片中，， ∴， 由折叠性质可知，， 在中，，故③正确， ∴， 设．则． 在中， ， 即， 解得：， ∴，， 又∵点在第二象限， ∴点的坐标为：故②正确． ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴． ∴，， ∴故④正确， 综上②③④正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数的解析式，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用．掌握这些性质是解题的关键． 对于一次函数中的多结论判定问题，有以下方法指导：首先，要熟练掌握一次函数y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的性质，包括k决定函数的增减性，b决定函数与y轴的交点位置。其次，仔细分析每个结论，将其转化为与函数性质相关的问题，例如通过函数图像经过的象限判断k，b的正负。再者，可采用特殊值法或数形结合的方法，通过代入具体数值或画出函数图像来验证结论是否正确。 1．（2024·贵州黔南·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小红根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程的解为； ③； ④方程组的解为，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、利用图象法解一元一次方程、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【详解】解：由图象可知：的值随着值的增大而减小， 故结论①错误； 一次函数的图象过点， ， ， ， 当时，， ∴， 方程的解为， 故结论②错误； 直线过， ， ， ； 故结论③错误； 由图象可知：方程组的解为， 故结论④正确 正确的结论有1个； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键． 2．（2024·辽宁盘锦·一模）如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，准确分析判断是解题的关键．根据一次函数的性质和一次函数与一元一次方程的关系进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数＝经过第一、二、四象限， ∴，，故①③正确； ∵直线＝的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴，故②错误； ∵一次函数与的图象的交点横坐标为3， ∴方程的解是，故④正确； 综上所述，错误的有1个． 故选：A． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知小正同学家、体育场、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：某天早晨，小正从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中x表示时间，y表示小正离家的距离．下面4个结论：①体育场离小正同学家；②小正同学吃早餐用了；③小正同学骑自行车的平均速度是； ④小正同学从家到体育场然后回家再到学校的整个过程中，距离家是的时候，分别对应的时间是、、．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式 【分析】根据图象，得到达体育场，距离为，故体育场离小正同学家， 可判定①；锻炼了后，步行回家，走了；开始吃早饭，用时间为；然后骑车去学校，用时间为，行驶路程为， 骑车的平均速度为：；根据题意，到体育场的解析式为， 当时，，解得；设体育锻炼回家的路线的解析式为，根据题意得，解得即解析式为；当时，，解得；设到学校的解析式为，根据题意得，解得即解析式为；当时，，解得； 此题考查函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】根据图象，得到达体育场，距离为， 故体育场离小正同学家， 故①正确； 锻炼了后，步行回家，走了； 开始吃早饭，用时间为； 故②正确； 然后骑车去学校，用时间为，行驶路程为， 骑车的平均速度为：； 故③正确； 根据题意，到体育场的解析式为， 当时，，解得； 设体育锻炼回家的路线的解析式为， 根据题意得， 解得即解析式为； 当时，， 解得； 设到学校的解析式为， 根据题意得， 解得即解析式为； 当时，， 解得． 故④错误； 故选C． 4．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图所示，A、B两地相距．甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地．如图的折线和线段分别表示甲、乙两人与A地的距离，与时间x之间的函数，且与相交于点E．下列说法正确的个数有（　　） ①与x的函数关系是；②点E表示甲乙同时出发小时相遇；③甲骑自行车的速度是；④出发或时，甲乙两人相距． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据函数图象，利用待定系数法求出即可判断①正确；根据函数图象的意义即可判断②正确；求出点E的坐标然后求出甲骑自行车的速度即可判断③正确；先求出，根据题意列出方程，求出x的值，然后根据题意进行判断；求出当甲到达B地时，乙离B地5千米所走时间，即可求出第二种情况，判断④错误． 【详解】解：设与x的函数关系式是， ∵点，在函数的图象上， ∴， 解得， ∴与x的函数关系式是，故①正确； 由图可知，甲、乙同时出发小时，二人与A地距离相同，即二人相遇，故②正确； 当时，， ∴两人相遇地点与A地的距离是， ∴甲骑自行车的速度是，故③正确； 设线段对应的与x的函数关系式是， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得， ∴线段对应的与x的函数关系式是； 令， 解得： （甲小时已到达B地，不合题意，舍去），， 当甲到达B地时，乙离B地5千米所走时间为：（小时）， ∴经过小时或小时，甲、乙两人相距，故④不正确， ∴正确的有：①②③，共3个； 故选：C． 考点二 反比例函数中的多结论判定问题 ►题型02 反比例函数中的多结论判定问题 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断四边形是平行四边形，求出，结合平行四边形面积即可判断①；根据平行四边形的判定可判定②正确；再根据和点坐标特征求出、的长，可判断③；根据，得出，再结合，得出，即可判断④． 【详解】解：四边形是矩形，反比例函数， 设，，则点，，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则， ， ， 则， 四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， ，故①正确； 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形，故②正确； ， ， ， ，且，则， ， ， 直线的解析式为， ，且， ， ，故③错误； ， ， 解得， ， 即， ， ， （舍去）或，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数的图象经过，，下列命题： ①若 则； ②若，； ③过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，若，则四边形的面积为，其中真命题的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、已知比例系数求特殊图形的面积、判断反比例函数图象所在象限 【分析】利用反比例函数的增减性、对称性、反比例函数比例系数的几何意义分别回答即可． 【详解】解：①，比例系数， 图象分别位于第一、三象限，在所在的每一个象限随着的增大而减小， 当时，， 故①是假命题； ②当、两点关于原点对称时，，则， 故②是真命题； ③若，则． 过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，则四边形的面积为， 故③是真命题； 真命题有2个， 故选：C． 【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．解题的关键是掌握反比例函数的性质以及比例系数的几何意义． 反比例函数中多结论判定问题的方法指导如下：首先，要熟练掌握反比例函数y=kx+b的性质，包括当k>0时，函数在一、三象限，y随x增大而减小；当k<0时，在二、四象限，y随x增大而增大。其次，结合函数图象，通过图象直观分析各结论。对于涉及到点的坐标与函数值关系的结论，可将点代入函数解析式进行验证。对于一些关于面积、线段关系等结论，要利用反比例函数k的几何意义来判断。 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点、作轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质求线段长、已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合 【分析】作轴于，轴于，根据平行四边形的性质得，利用三角形面积公式得到，则有，再利用反比例函数的几何意义和三角形面积公式得到，，所以有；由，，得到；当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，所以不能判断，则不能确定；若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于，轴于，   四边形是平行四边形， ， ∴ ， ∵轴，轴，，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ， ，， ，故①正确； ，， ， ∵由题意可得，， ，故②正确； 当， 四边形是矩形， 不能确定与相等， 而， 不能判断， 不能判断， 不能确定，故③错误； 若四边形是菱形，则， 而， ， ， ，， ， ， ，故④正确， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、矩形的判定性质和菱形的性质． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是（    ） ①； ②当时，随的增大而减小，随的增大而增大； ③方程只有一个解为； ④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握图形的性质，图形交点的计算，根据交点求不等式的解集的方法是解题的关键． 根据直线与坐标轴的交点可得，，，，，可判定①；根据图象的性质，增减性可判定②；先算出反比例函数解析式，再联立方程组求解可判定③；根据图示的交点可判定④；由此即可求解． 【详解】解：直线与坐标轴交于、两点， 令时，，令，， ∴， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； 由图可知，当时，随的增大而减小，随的增大而增大，故②正确； ∵， ∴反比例函数解析式为， ∴， 解得，或， ∴方程的解为，故③错误； 由图可知，当时，，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B ． 考点三 二次函数中的多结论判定问题 ►题型03 二次函数图形和性质中的多结论判定问题 1．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … … … … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 设抛物线解析式为，将代入解得， ∵， 故抛物线的开口向下，故①错误； 由抛物线关于直线对称知， 当时，或， 故方程的根为和，故③正确； 当时，的取值范围是或，故④正确 ． 故选：C． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）已知二次函数的与的部分对应值如表： x 0 2 y 5 0 下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线；当时，；抛物线与轴的两个交点间的距离是；若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的一般式，二次函数的对称性、增减性以及待定系数法，是解题关键． 先根据表格数据列出关于a，b，c的方程组，求出二次函数表达式，再据此分析各个结论是否正确． 【详解】解：依题，把分别代入，得： ， 解得：， ∴该二次函数的表达式为， ∵ ∴抛物线的开口向上 ①正确； 抛物线的对称轴为直线， ②错误； 令，即，解得或，由抛物线开口向上可知，当时，， 当时，该结论错误。 ③错误； 抛物线与轴的两个交点间的距离是， ④正确； 若是抛物线上两点，则， ⑤正确， 综上，①④⑤正确，共3个正确， 故选：B． 3．（2024·江苏无锡·模拟预测）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表： 0 1 2 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①；②和3是关于的方程的两个根；③；④不可能为1． 其中正确结论的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．依据题意，通过表格确定函数的对称性、函数和坐标轴的交点等基本特征，进而求解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线． 又， ，故①正确． 又根据对称性， 当时，， 当时，． 和3是关于的方程的两个根，故②正确． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又当时，， 且当时，． ． ． ． ，故③错误． 若，则抛物线为． 当时，，与矛盾． ，故④正确． 综上正确的有①②④共3个． 故选：A． 4．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象与轴有两个交点，且经过，，，四个点，已知且，，则下列结论：①；②；③若则；④若，则；⑤若，则． 正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数图象与x轴有两个交点，得，得，故①错误；根据，得，得，根据，得，得，得，故②正确；若，得，得，，故③正确；若，当时，得，无法确定，无法确定；当时，得，；故④不正确；若，当时，得，；当时，可能大于0也可能小于0，的正负无法确定，⑤不正确． 【详解】对于二次函数， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴， 解得， 故①错误； ∵， 可得， 即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 根据抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∴， ∵， ∴， 即点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 又∵， ∴； ， ∴； 综上可得， 故②正确； ∵，∴， ∵，∴，， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则；故③正确； 若， 则与同号， 分两种情况讨论： 当时， ∵， ∴，无法确定， 则无法确定； 当时， ∵， ∴， 则； 故④不正确； 若， 则与同号， 分两种情况讨论： 当时， ∵， ∴， 则； 当时， ∵， ∴可能大于0也可能小于0， 则的正负无法确定， 故⑤错误． 综上，正确的结论有②③，共2个． 故选：C． ►题型04 二次函数图形和性质与字母系数的多结论判定问题 5．（2024·江苏扬州·三模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；，，判断，由此即可判断②；求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴， ，， 对称轴为直线 ，， 故①正确； ，， ， 故 故②错误； 二次函数的图象与轴的一个交点坐标为； 二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为； 时，； 将代入中，则 故③正确； 由函数图象可知，当当时，，故④正确； 故正确的个数为：个 故选：C 6．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】结合所给函数图象，抛物线的开口方向、对称性及二次函数与一元二次方程之间的关系对所给结论进行依次判断即可． 【详解】解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点， ，两点关于直线对称， ， ， 结论①正确； 直线是二次函数对称轴， ，即， ， 由函数图象可知，该二次函数开口向上，， ， 结论②错误； 该二次函数与轴有两个交点， ， 由图可知，当时，， 即，， ， ， 即， 结论③正确； ，即， ， ， ，即， ， ， ∴不一定正确， 结论④错误； 综上，正确结论为①③，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与性质、二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与系数的关系． 7．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴，点B坐标为，则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，根据对称轴为，即，判断①；时，，判断②；开口向下，，抛物线与轴交于负半轴，，，判断③；根据函数图象可以判断④，把握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，重点要理解抛物线的对称性． 【详解】解：根据对称轴为，即，，故①正确； 根据图象可得，当时，， 即，故②正确； 开口向下，， 抛物线与轴交于正半轴，， ，故③正确； 由图象可的点， 或中，，故④不正确． 故正确的个数为3个， 故选：C． 1.熟练掌握性质：牢记二次函数的对称轴公式x =-\frac{b}{2a}、顶点坐标公式(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})，以及函数的单调性、最值等性质，以便快速判断相关结论。 2.分析图像特征：根据二次函数图像的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等，直观分析结论的正确性。例如，开口向上a>0，开口向下a<0；与y轴交点为(0,c)。 3.特殊值法：对于一些不确定的结论，可代入特殊值进行验证。如取x = 0，x = 1等特殊点，判断函数值的情况。 4.推理计算：通过对函数表达式进行变形、计算，来验证结论。如判断两个函数值的大小关系，可通过作差法进行分析。 1．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，解出方程，故④不正确． 【详解】根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①正确； 将点，代入得出：， 得出：， ∴， 再代入得出：，故②不正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 根据图象可知：，故③正确； ∵方程， ∴， ∴ ∴故④不正确； 正确的个数是2个， 故选：B． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如下表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值： x … 1 2 4 … y … 3 5 3 … 下列说法：①函数图象的开口向下；②函数图象与x轴有两个交点；③函数的最大值是5；④当时，y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将，，代入函数解析式得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象的开口向下，故①正确，符合题意； 令，则， ∵， ∴函数图象与轴有两个交点，故②正确，符合题意； ∵， ∴函数的最大值为，故③错误，不符合题意； ∴当时，的值随值的增大而减小，故④正确，符合题意； 故正确的说法有3个， 故选：C． 3．（2024·湖北随州·二模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，以下结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，．其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质．将代入得，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④．解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ，故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则，故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则，， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④，共3个 故选：B． 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③ （实数）； ④若方程有一根为 ，则不等式 的解集是 ； ⑤若，且，则． 其中结论错误的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，最值的计算等方法是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴，与轴的交点可得，判定①②；根据二次函数最值的计算方法判定③；根据二次函数图象的对称轴可判定④；将变形得，则有，可判定⑤，由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； 根据图示可得，当时，， ∴，即，故②错误，符合题意； ∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， ∴实数（）时，，故③错误，符合题意； 由二次函数图示可得，时，二次函数， ∵对称轴直线为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， ∴不等式 的解集是 ，故④正确，不符合题意； 若，且， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确，不符合题意； 综上所述，错误的有②③，共2个， 故选：B ． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：    ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据交点确定不等式的解集 【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 6．（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（    ） ①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． ②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则． ③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、反比例函数与几何综合、利用垂径定理求值 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的图象和性质即可判断①；过点O作，垂足分别为M，N，连接，先证明四边形是矩形，再利用勾股定理，垂径定理求解即可判断②；先证明，进而得出点C的坐标，即可求解，进而判断③；先由一元二次方程根与系数的关系得出的值，再根据题意得出一元二次方程，求出a的值，进而求解即可判断④． 【详解】∵二次函数的图象经过两点， ∴当时，， ∵m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且， ∴，故①正确； 如图，过点O作，垂足分别为M，N，连接， ∴M、N分别为的中点，， ∵弦互相垂直， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，故②正确； 当点C在第一象限时，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∵点C是反比例函数的图象上一点， ∴； 当点C在第二象限时，同理可得 ∴； 综上，或，故③错误； 设矩形两边分别为m，n， ∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等， ∴， ∴， 解得（负舍）， ∴， ∵矩形对角线，故④正确； 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，反比例函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握知识点是解题的关键． $$专题19 一次函数、反比例函数、二次函数中的多结论判定问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次函数中的多结论判定问题 ►题型01 一次函数中的多结论判定问题 考点二 反比例函数中的多结论判定问题 ►题型02 反比例函数中的多结论判定问题 考点三 二次函数中的多结论判定问题 ►题型03 二次函数图形和性质中的多结论判定问题 ►题型04 二次函数图形和性质与字母系数的多结论判定问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 一次函数、反比例函数、二次函数中的多结论判定问题 理解概念，掌握图象与性质，会用多种方法求解析式。 结合情境体会意义。 2025年江苏可能会注重函数综合应用考查，多结论判定问题或与实际情境结合。考查方式上，选择、填空、解答题均可能出现，会涉及函数性质、图像特征、交点问题等。一次函数分值约3-5分，二次函数5-10分，反比例函数3-5分。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次函数中的多结论判定问题 ►题型01 一次函数中的多结论判定问题 1．（2023·江苏苏州·一模）甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车离开A地的距离与甲车行驶时间的函数图像．波波同学根据图文信息，解读出以下结论：①乙车速度是；②m的值为1；③a的值为40；④乙车比甲车早到达B地．其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处，交y轴于点E，若，，则下列结论正确的个数为（    ） ①O是的中点；    ②点的坐标为 ③线段；    ④ A．4 B．3 C．2 D．1 对于一次函数中的多结论判定问题，有以下方法指导：首先，要熟练掌握一次函数y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的性质，包括k决定函数的增减性，b决定函数与y轴的交点位置。其次，仔细分析每个结论，将其转化为与函数性质相关的问题，例如通过函数图像经过的象限判断k，b的正负。再者，可采用特殊值法或数形结合的方法，通过代入具体数值或画出函数图像来验证结论是否正确。 1．（2024·贵州黔南·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小红根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程的解为； ③； ④方程组的解为，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·辽宁盘锦·一模）如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知小正同学家、体育场、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：某天早晨，小正从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中x表示时间，y表示小正离家的距离．下面4个结论：①体育场离小正同学家；②小正同学吃早餐用了；③小正同学骑自行车的平均速度是； ④小正同学从家到体育场然后回家再到学校的整个过程中，距离家是的时候，分别对应的时间是、、．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图所示，A、B两地相距．甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地．如图的折线和线段分别表示甲、乙两人与A地的距离，与时间x之间的函数，且与相交于点E．下列说法正确的个数有（　　） ①与x的函数关系是；②点E表示甲乙同时出发小时相遇；③甲骑自行车的速度是；④出发或时，甲乙两人相距． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二 反比例函数中的多结论判定问题 ►题型02 反比例函数中的多结论判定问题 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数的图象经过，，下列命题： ①若 则； ②若，； ③过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，若，则四边形的面积为，其中真命题的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 反比例函数中多结论判定问题的方法指导如下：首先，要熟练掌握反比例函数y=kx+b的性质，包括当k>0时，函数在一、三象限，y随x增大而减小；当k<0时，在二、四象限，y随x增大而增大。其次，结合函数图象，通过图象直观分析各结论。对于涉及到点的坐标与函数值关系的结论，可将点代入函数解析式进行验证。对于一些关于面积、线段关系等结论，要利用反比例函数k的几何意义来判断。 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点、作轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是（    ） ①； ②当时，随的增大而减小，随的增大而增大； ③方程只有一个解为； ④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点三 二次函数中的多结论判定问题 ►题型03 二次函数图形和性质中的多结论判定问题 1．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … … … … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·广东茂名·模拟预测）已知二次函数的与的部分对应值如表： x 0 2 y 5 0 下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线；当时，；抛物线与轴的两个交点间的距离是；若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·模拟预测）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表： 0 1 2 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①；②和3是关于的方程的两个根；③；④不可能为1． 其中正确结论的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象与轴有两个交点，且经过，，，四个点，已知且，，则下列结论：①；②；③若则；④若，则；⑤若，则． 正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ►题型04 二次函数图形和性质与字母系数的多结论判定问题 5．（2024·江苏扬州·三模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴，点B坐标为，则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1.熟练掌握性质：牢记二次函数的对称轴公式x =-\frac{b}{2a}、顶点坐标公式(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})，以及函数的单调性、最值等性质，以便快速判断相关结论。 2.分析图像特征：根据二次函数图像的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等，直观分析结论的正确性。例如，开口向上a>0，开口向下a<0；与y轴交点为(0,c)。 3.特殊值法：对于一些不确定的结论，可代入特殊值进行验证。如取x = 0，x = 1等特殊点，判断函数值的情况。 4.推理计算：通过对函数表达式进行变形、计算，来验证结论。如判断两个函数值的大小关系，可通过作差法进行分析。 1．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如下表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值： x … 1 2 4 … y … 3 5 3 … 下列说法：①函数图象的开口向下；②函数图象与x轴有两个交点；③函数的最大值是5；④当时，y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·湖北随州·二模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，以下结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，．其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③ （实数）； ④若方程有一根为 ，则不等式 的解集是 ； ⑤若，且，则． 其中结论错误的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：    ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（    ） ①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． ②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则． ③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 $$