专题18 几何图形中的新定义型问题（讲练，3考点+5题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题18 几何图形中的新定义型问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的新定义型问题 ►题型01 三角形中的新定义型问题 考点二 四边形中的新定义型问题 ►题型02 矩形中的新定义型问题 ►题型03 菱形中的新定义型问题 ►题型04 正方形中的新定义型问题 考点三 圆中的新定义型问题 ►题型05 圆中的新定义型问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 几何图形中的新定义型问题 几何图形中的新定义型探究问题 该专题内容是初中几何图形探究最重要的部分，，非常重要，年年都会考查，分值为12分左右.预计2024年各地中考还将出现，在解答题中出现的可能性较大． 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的新定义型问题 ►题型01 三角形中的新定义型问题 1．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与 “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则 ． (2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． (3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 2．（2023·江苏扬州·模拟预测）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为邻似三角形． (1)[初步理解]如图，四边形中，对角线平分，，求证：和为邻似三角形； (2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图，若，，，求四边形的周长； (3)[拓展应用]如图，四边形中，和为邻似三角形，对角线平分，且．若，，，求的面积． 3．（2024·江苏扬州·二模）定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”； (3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）． 4．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 5．（2024·江苏盐城·一模）鹿鸣学堂数学兴趣小组在研究角平分线时进行了总结：角平分线的定义；角平分线的性质和判定；角平分线的作图以及与角平分线有关的构造… 【问题提出】①小王同学发现，三角形中的角平分线还有其他的结论： 如图①，是的角平分线，则有． 小丽同学的思路；如图①，过点分别作的垂线…； 小明同学的思路：如图②，过点B作，交延长线于点… 请你任选一种方法对小王同学的发现进行证明． 【结论应用】②如图，是的弦，在上作出一点，使得；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，不写作图步骤．） 【拓展延伸】③在中，平分，若，请求出面积的最大值． 三角形中的新定义型问题，关键在于理解新定义。首先，要仔细研读题目，明确新定义的概念、规则和条件，将其与三角形的性质、定理等基础知识相结合。其次，通过画图等方式直观呈现问题，有助于分析和探索。然后，尝试将新定义问题转化为熟悉的常规问题，利用已有的知识和方法进行求解。在求解过程中，要注意逻辑推理的严密性，确保每一步都有依据。最后，要对结果进行检验和反思，看是否符合新定义及三角形的相关要求。 1．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立，请你证明此结论． (3)已知：在等对角四边形中，，，，，求对角线的长． 2．（2025九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 3．（24-25八年级上·北京石景山·期末）对于线段与点（点P不在线段上）给出如下定义： Q为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段的“近距”，记作点P，线段如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“远距”，记作（点P，线段）． 如图，中，，，． (1)（点C，线段）______，（点C，线段）______； (2)点B关于直线的对称点为，连接．若点P在线段上，且（点P，线段）是点P，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点C作若点P在直线上，（点P，线段），直接写出（点P，线段）的取值范围． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 考点二 四边形中的新定义型问题 ►题型02 矩形中的新定义型问题 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 2．（2023·江苏无锡·二模）定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的“白银分割点”．    (1)应用：如图2，矩形ABCD中，，，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的“白银分割点”． (2)已知线段AB（如图3），作线段AB的一个“白银分割点”，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 3．（2024·江苏连云港·模拟预测）《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的打印纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准，打印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中．      (1)观察发现：如图，将纸次折叠，发现第次的折痕与纸较长的边重合、由此可求出纸较长边与较短边的比为________； (2)探究迁移：如图，将一张纸沿经过，两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上（为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点、点在是否为的中点？请说明理由； (3)拓展应用：利用一张纸经过裁剪，可获得一张边长为的正方形纸片．进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点． ►题型03 菱形中的新定义型问题 4．（2024·江苏扬州·二模）定义：两组邻边对应相等的四边形为“筝形”．如图①．在四边形中，，，那么四边形就是筝形． (1)在①平行四边形：②矩形：③菱形；④正方形中，“筝形”是______（填序号）； (2)如图①，连接，，请判断并证明对角线与的位置关系； (3)如图②，在筝形中，，，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形中找一点，连接、，使折线将筝形的面积等分（保留作图痕迹，不写作法）． 5．（2022·江苏淮安·一模）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【问题探究】 (1)如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形； (2)如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形的周长的最小值为___________； 【尝试应用】 (3)现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________． ►题型04 正方形中的新定义型问题 6．（2025·河南平顶山·一模）定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做“和谐奋进四边形”． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形； (2)如图1，“奋进四边形”中，，． ①当，且时，求的长； ②当时，求证：“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； (3)如图2，矩形中，，，点，分别为边，上一个动点，且，当四边形为“奋进四边形”时，直接写出的长． 7．（2021·湖北恩施·一模）定义：角的内部一点到角两边的距离比为：，这个点与角的顶点所连线段称为这个角的二分线．如图，点为内一点，于点，于点，且，则线段是的二分线． (1)如（图1）中，为的二分线，，，且，求的长； (2)如（图2），正方形中，，点是中点，证明：是的二分线； (3)如（图3），四边形中，，，且，，若，分别是，的二分线，证明：四边形是矩形． 8．（2025·河南周口·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____． 【问题解决】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积． 四边形中的新定义型问题，关键在于理解新定义。首先要仔细研读题目，明确新定义的概念、性质和特征，将其与已学的四边形知识建立联系。然后根据新定义进行推理和计算，可通过画图来直观呈现问题，帮助分析。同时，要善于运用转化思想，把新问题转化为熟悉的常规四边形问题求解。还要注意对特殊情况的讨论，确保答案的完整性。最后，要检验结果是否符合新定义及题目条件。 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形_____（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点． ①过作于点，试证明：； ②若，，求的长． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，若，，求折中线的长； (2)如图2，若，请探究折中线的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明理由； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 5．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点E使得，以为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． (1)如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接．求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． (2)①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线相交于点．连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：若正方形的四个顶点都在三角形的边上，我们称这个正方形为该三角形的“所容正方形”． (1)如图①，在中，，，，正方形是的“所容正方形”． ①求“所容正方形”的边长； ②将①中“所容正方形”的顶点D、G分别在上移动（不与点C重合），如图②，当点E和F中仅有一点落在线段上时，求的长； (2)如图③，若正方形是的“所容正方形”，且，，的面积分别为3，1，1，求的长． 7．（24-25九年级上·河南郑州·期中）定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． (1)下列四边形中，是“奋进四边形”的是_______； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)正方形中，点分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，连接，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； (3)如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作于点Q，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 考点三 圆中的新定义型问题 ►题型05 圆中的新定义型问题 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”． (1)如图1，在对角互余四边形中，，且．若，求四边形的面积和周长． (2)如图2，在四边形中，连接，点O是外接圆的圆心，连接，求证：四边形是“对角互余四边形”； (3)在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求线段的长． 2．（2024·江苏盐城·一模）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图①，四边形内接于，点在的延长线上，且．证明：四边形是“等对角四边形”． (2)如图②，在中，，，，平分，点在线段上，以点、、、为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． (3)如图③，在中，，，，若四边形是“等对角四边形”，且，则的最大值是______．（直接写出结果） 3．（2024·江苏南京·模拟预测）定义：当点在射线上时，把的值叫做点在射线上的射影值；当点不在射线上时，把射线上与点最近点的射影值，叫做点在射线上的射影值．例如：如图（1），三个顶点均在格点上，是边上的高，则点和点在射线上的射影值均为． (1)在中，下列说法： ①点在射线上的射影值小于1时，则是锐角三角形； ②点在射线上的射影值等于1时，则是直角三角形； ③点在射线上的射影值大于1时，则是钝角三角形． 其中，正确说法的序号是___________． (2)是射线上一点，，以为圆心，为半径画圆，是上任意点． ①如图（2），点在射线上的射影值为，求证：直线是的切线． ②如图（3），已知为线段的中点，设点在射线上的射影值为，点在射线上的射影值为，直接写出与之间的函数关系式． 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．    (1)若是“近直角三角形”，，，则　　度； (2)如图1，在中，，．若是的平分线， ①求证：是“近直角三角形”； ②在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“近直角三角形”？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点D为边上一点，以为直径的圆交于点E，连接交于点F，若为“近直角三角形”，且，求的长． 圆中的新定义型问题通常会以圆的基本性质为背景，通过给出一个新的概念、性质或规则来考查学生。 考查方式 1.概念理解：给出一个在圆中全新定义的概念，如“圆内友好点”等，让学生判断某些点是否符合该定义。 2.性质探究：定义一种圆中的新性质，要求学生通过推理、计算等方法探究该性质在不同情况下的表现，如探究新定义的圆中线段关系在不同位置时是否成立。 3.应用拓展：结合圆的常规知识与新定义，解决相关的几何问题，如利用新定义求圆中线段长度、角度大小等。 方法指导 1.仔细读题：准确理解新定义的内涵与外延，抓住关键信息。 2.画图分析：将问题中的条件和新定义通过图形直观呈现，有助于发现规律和关系。 3.类比迁移：联系圆的已有知识和方法，尝试将其应用到新定义问题中，通过转化、推理来解决问题。 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，则_________，_________； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，点在的延长线上，连接，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，若，请直接写出的长． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角的邻补角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“张望角”． (1)如图1，点D在的延长线上，是中的“张望角”，求证：； (2)如图2，内接于，点D在的延长线上，点E在上，连接，．连接，点F在上，，连接，连接并延长交的延长线于点，求证：是中的“张望角”； (3)如图3，在（2）的条件下，若是的直径，过点I作的垂线，点G为垂足，交于点H，若，，求的长． 3．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“正德四边形”． (1)若是圆的“正德四边形”，则是___________（填选项：．矩形；    ．菱形；    ．正方形） 若四边形是的正德四边形，若，，则___________； (2)如图，已知的半径为，四边形是的“正德四边形”求证：； (3)如图，四边形是“正德四边形”，为圆内一点，，，且，当的长度最小时，求的值． $$专题18 几何图形中的新定义型问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的新定义型问题 ►题型01 三角形中的新定义型问题 考点二 四边形中的新定义型问题 ►题型02 矩形中的新定义型问题 ►题型03 菱形中的新定义型问题 ►题型04 正方形中的新定义型问题 考点三 圆中的新定义型问题 ►题型05 圆中的新定义型问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 几何图形中的新定义型问题 几何图形中的新定义型探究问题 该专题内容是初中几何图形探究最重要的部分，，非常重要，年年都会考查，分值为12分左右.预计2024年各地中考还将出现，在解答题中出现的可能性较大． 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的新定义型问题 ►题型01 三角形中的新定义型问题 1．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与 “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则 ． (2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． (3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 【答案】(1)①是；② (2) (3)的值为4或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）①由题意得 ，，由融通三角形定义即可得出结论；②在线段上取点G，使，连接，证明，得出，即可证明； （2）在线段上取点G，使，连接，由（1）可得，设，由等腰三角形的性质证出，由三角形内角和即可求解； （3）分两种情况：当时；当时． 【详解】（1）①∵ ∴ ∵ ∴与是“融通三角形”； ②如图，在线段上取点G，使，连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）由题意可得： 在线段上取点G，使，连接 由（1）可知 ∴ ∴ ∴ 设 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，解得： ∴ ∴融通角是 （3）分两种情况：当时，如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴符合题意 ∴； 当时，过点D作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴符合题意 设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ 综上：的值为4或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 2．（2023·江苏扬州·模拟预测）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为邻似三角形． (1)[初步理解]如图，四边形中，对角线平分，，求证：和为邻似三角形； (2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图，若，，，求四边形的周长； (3)[拓展应用]如图，四边形中，和为邻似三角形，对角线平分，且．若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)23 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边证明边相等、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，理解邻似三角形的概念和性质是解题的关键． （1）根据，结合条件，可得，再由可得，即可求证； （2）由条件可推出，，再根据相似三角形的性质求出的长度即可求解； （3）过点作，过点作，先求的面积，根据相似三角形的性质求的长，再求和面积，最后根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴和为邻似三角形． （2）解：∵， ∴ 由（1）得： ∴ ∴ ∵和为邻似三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴ 四边形的周长为： （3）过点作，过点作，垂足分别为，如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∵和为邻似三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 3．（2024·江苏扬州·二模）定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”； (3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】该题主要考查了复杂作图-作垂线，作相等线段，以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是正确理解题意，作出对应图形． （1）根据“型三角形”的定义即可得出需要作以为直角边等腰直角三角形即可； （2）根据是“型三角形”，得出，设，则，，根据，证明，根据相似三角形的性质即可求出，从而求出，即可证明． （3）在上截取，再过点作交于点，即为所求； 【详解】（1）根据“型三角形”的定义即可得出，作以为直角边的“型三角形”即过点作的垂线，且等于，即以为直角边等腰直角三角形，如图：    （2）∵是“型三角形”， ， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴是“型三角形”． （3）在上截取，再过点作交于点，即为所求；    理由：∵是“型三角形”（为正整数），， ， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴是“型三角形”． 4．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形、正方形； (2)①的最小值是4；②；③或． 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、根据正方形的性质求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）根据菱形、正方形的对角线平分一组对角可得出答案； （2）①当，时，与最小，此时最小；利用直角 三角形的性质可求解； ②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，证明，，得出，从而得到平分，即可求解； ③先证明，，，四点共圆，不规则分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角， ∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”； ∵菱形、正方形的对角线平分一组对角， ∴菱形、正方形一定是“可折四边形”； 故答案为：菱形、正方形． （2）解：①当，时，与最小， ∴此时最小； ∵，对角线平分． ∴ ∴， ∴ 答：的最小值为4； ②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G， ① 又平分，平分 ， ② ①×2－②得 ∵，，， 又平分，平分 ∴， 平分 ∴ ③如图2 过作，， 又∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 则，，，四点共圆 ∴， 当时，如图3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 当时，如图4 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴同理可求得，，， ． 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．本题综合性较强，注意分类讨论，以免漏解． 5．（2024·江苏盐城·一模）鹿鸣学堂数学兴趣小组在研究角平分线时进行了总结：角平分线的定义；角平分线的性质和判定；角平分线的作图以及与角平分线有关的构造… 【问题提出】①小王同学发现，三角形中的角平分线还有其他的结论： 如图①，是的角平分线，则有． 小丽同学的思路；如图①，过点分别作的垂线…； 小明同学的思路：如图②，过点B作，交延长线于点… 请你任选一种方法对小王同学的发现进行证明． 【结论应用】②如图，是的弦，在上作出一点，使得；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，不写作图步骤．） 【拓展延伸】③在中，平分，若，请求出面积的最大值． 【答案】[问题提出]证明见解析；[结论应用]见解析；[拓展延伸]3 【知识点】角平分线的性质定理、作垂线(尺规作图)、90度的圆周角所对的弦是直径、相似三角形的判定与性质综合 【分析】[问题提出]用小丽的方法：如图①，过点 C 分别作，垂足为 D，E，过 P 作，垂足为 H. 则，根据，，可得；用小明的方法：如图②，过 B 作交延长线于点 D．证明，则，即． [结论应用]由，可知为上靠近的四等分点，如图③（④），作的垂直平分线，交于，交于，作的垂直平分线，交于，连接交于，根据圆周角定理可判断平分，则点即为所作； [拓展延伸] 如图⑤，延长，在延长线上截取，作的角平分线交的延长线于点 D，连接， 则，证明，则，平分，由（1）得，由平分，可得，则，由，可得，可求，，由，可知点 P 在以为直径的圆上，根据，求解作答即可． 【详解】[问题提出]解：用小丽的方法： 如图①，过点 C 分别作，垂足为 D，E，过 P 作，垂足为 H. ∵平分， ∴， ∵，， ∴； 用小明的方法： 如图②，过 B 作交延长线于点 D．          ② ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． [结论应用]解：∵， ∴为上靠近的四等分点， 如图③（④），作的垂直平分线，交于，交于，作的垂直平分线，交于，连接交于，点即为所作； [拓展延伸] 解：如图⑤，延长，在延长线上截取，作的角平分线交的延长线于点 D，连接，                     ⑤ ∵分别平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 平分， ∴由（1）得， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴点 P 在以为直径的圆上，当是等腰直角三角形时，面积最大， ∴， ∴的面积的最大值为3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，的圆周角所对的弦为直径等知识．熟练掌握角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦为直径是解题的关键． 三角形中的新定义型问题，关键在于理解新定义。首先，要仔细研读题目，明确新定义的概念、规则和条件，将其与三角形的性质、定理等基础知识相结合。其次，通过画图等方式直观呈现问题，有助于分析和探索。然后，尝试将新定义问题转化为熟悉的常规问题，利用已有的知识和方法进行求解。在求解过程中，要注意逻辑推理的严密性，确保每一步都有依据。最后，要对结果进行检验和反思，看是否符合新定义及三角形的相关要求。 1．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立，请你证明此结论． (3)已知：在等对角四边形中，，，，，求对角线的长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、多边形内角和问题 【分析】本题考查了四边形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意及四边形内角和定理计算即可； （2）根据题意得到，继而得到，即可得到结论； （3）分两种情况：当时，当时，分别计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ； （2）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，如图3，延长相交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 当时， 如图4，过点作于点，于点， ，四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，对角线的长为或． 2．（2025九年级下·浙江·专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、解非直角三角形 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 3．（24-25八年级上·北京石景山·期末）对于线段与点（点P不在线段上）给出如下定义： Q为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点P与线段的“近距”，记作点P，线段如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“远距”，记作（点P，线段）． 如图，中，，，． (1)（点C，线段）______，（点C，线段）______； (2)点B关于直线的对称点为，连接．若点P在线段上，且（点P，线段）是点P，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点C作若点P在直线上，（点P，线段），直接写出（点P，线段）的取值范围． 【答案】(1)1； (2) (3)（点P，线段） 【知识点】二次根式的乘法、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）过点C作于点D，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理即可求得答案； （2）过点P作于点D，连接，，设，则，利用勾股定理可得，再由，建立方程求解即可； （3）作，垂足为H，分三种情况：当点H为的中点时，当点H在线段的延长线上且时，当点H在线段的延长线上且时，分别求得点P，线段的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点C作于点D， 则， ，， ， ∵垂线段最短， ∴（点C，线段）； 在中，， ， ， 在中，， ∴（点C，线段）； 故答案为：1；． （2）解：过点P作于点D，连接，，如图2， 点B关于直线的对称点为， ，，， ， 由题意知：点P，线段是点P，线段的2倍， 即， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， 线段的长度为； （3）如图3，作，垂足为H，当点H为的中点时， 则，， ， 当点H在线段的延长线上且时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， 当点H在线段的延长线上且时， 同理可得， 综上所述，点P，线段． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，点P与线段的“近距”和“远距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 【答案】(1)； (2)①等腰三角形，理由见解析；②见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合“类勾股三角形”的定义得到是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）①根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，结合题意得到，根据三角形的定义即可求解； ②根据等腰三角形的性质得到，，在中，，在中，，由此得到，结合“类勾股三角形”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）解：①等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 是等腰三角形 ②由①得， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 【点睛】本题主要考查的新定义，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理的运用，理解新定义，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 考点二 四边形中的新定义型问题 ►题型02 矩形中的新定义型问题 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】[初步感知]证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可； [深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可； [拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可． 【详解】[初步感知]解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴； [深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； [拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． 2．（2023·江苏无锡·二模）定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的“白银分割点”．    (1)应用：如图2，矩形ABCD中，，，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的“白银分割点”． (2)已知线段AB（如图3），作线段AB的一个“白银分割点”，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】（1）利用折叠对应边相等得到等腰直角三角形，计算边长及边长比即可； （2）利用（1）中结论，作一个等腰直角三角形底角的角平分线与腰的交点即为比例 的“白银分割点”． 【详解】（1）四边形ABCD是矩形，，， ，，， 由折叠，点C落在边上的点F处， ，，， 中， 是等腰直角三角形， ， 又， 与均是等腰直角三角形， ， 点E是线段的“白银分割点”． （2）作法：过B作，在上取，连接，作的角平分线交于K，点K即为线段AB的“白银分割点”．    证明如下： 由（1）中证明可得，在等腰直角中，平分，，点E是线段的“白银分割点”．    同理，上图中作于点F， 平分， ，， 又 为等腰直角三角形 点K是线段的“白银分割点”． 【点睛】本题考查矩形及等腰直角三角形的边长比例计算及尺规作图，新定义的理解，需要结合题中构图分析原理找到目标作图的方法，能够总结模仿作图是解题的关键． 3．（2024·江苏连云港·模拟预测）《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的打印纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准，打印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中．      (1)观察发现：如图，将纸次折叠，发现第次的折痕与纸较长的边重合、由此可求出纸较长边与较短边的比为________； (2)探究迁移：如图，将一张纸沿经过，两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上（为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点、点在是否为的中点？请说明理由； (3)拓展应用：利用一张纸经过裁剪，可获得一张边长为的正方形纸片．进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点． 【答案】(1)； (2)理由见解析； (3)理由见解析． 【知识点】黄金分割、相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】（）设纸较长边的长为，较短边长为，易求得第一次折痕长为，根据第次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解； （）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导即可； （）延长相交于点，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明，进而可求得，即可证得结论． 【详解】（1）设纸较长边的长为，较短边长为，由题意，得第一次折痕长为， ∵第次的折痕与纸较长的边重合， ∴，即， 故答案为：； （2）点是的中点，理由如下：由（）得， 设，， 由折叠使得点和点重合得，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点是的中点； （3）如图，延长相于点，    ∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴是的黄金分割点． 【点睛】本题考查了矩形与折叠性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，黄金分割等知识，解题的关键是熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质． ►题型03 菱形中的新定义型问题 4．（2024·江苏扬州·二模）定义：两组邻边对应相等的四边形为“筝形”．如图①．在四边形中，，，那么四边形就是筝形． (1)在①平行四边形：②矩形：③菱形；④正方形中，“筝形”是______（填序号）； (2)如图①，连接，，请判断并证明对角线与的位置关系； (3)如图②，在筝形中，，，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形中找一点，连接、，使折线将筝形的面积等分（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)③④ (2)垂直平分； (3)见解析 【知识点】正方形性质理解、矩形性质理解、作垂线(尺规作图)、根据三角形中线求面积 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“筝形”的定义即可得出结论； （2）运用线段垂直平分线的判定定理即可； （3）利用三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形即可作出图形． 【详解】（1）解：根据“筝形”的定义可得：平行四边形和矩形不一定是筝形，菱形和正方形一定是筝形， 故答案为：③④； （2）解：垂直平分，理由如下： 如图，设与交于点， ，， 点、均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3）解：如图所示，点即为所求． 作出的中点，连接、，折线将筝形面积等分． 理由：在中， 为边中点， ， ， 同理：， ， ， 即四边形的面积四边形的面积， 折线将筝形面积等分． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了“筝形”的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、作图基本作图，三角形的面积等知识；熟练掌握“筝形”的定义，正确地作出图形是解题的关键． 5．（2022·江苏淮安·一模）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【问题探究】 (1)如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形； (2)如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形的周长的最小值为___________； 【尝试应用】 (3)现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________． 【答案】(1)一定 (2)四边形是“等邻边四边形”，理由见解析，四边形的周长最小值为 (3)或或14 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、四边形其他综合问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据等邻边四边形的定义和正方形的判定可得出结论； （2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形，利用全等三角形的性质证明即可； （3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形．分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形的邻边相等， ∴矩形一定是正方形； 故答案为：一定； （2）如图②，四边形是等邻四边形； 理由：连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴    ，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是等邻四边形， ∴， ∵， ∴的值最小时，四边形的周长最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时，， ∴四边形的周长的最小值为． （3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ①当时， ． ②当时，设， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． ③当时，点与重合，此时． ． 综上：四边形的面积为或或14． 【点睛】本题考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． ►题型04 正方形中的新定义型问题 6．（2025·河南平顶山·一模）定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做“和谐奋进四边形”． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形； (2)如图1，“奋进四边形”中，，． ①当，且时，求的长； ②当时，求证：“奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； (3)如图2，矩形中，，，点，分别为边，上一个动点，且，当四边形为“奋进四边形”时，直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)①；②详见解析 (3)为或 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求面积、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）根据“奋进四边形”定义即可得解； （2）①先证明四边形为正方形，得出，，再根据勾股定理求出即可； ②连接、，根据，，得出，证明垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据“和谐奋进四边形”的定义即可得出结论； （3）根据题意可知，分两种情况讨论：当或时，四边形是“奋进四边形”，先证明四边形为矩形，再由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：正方形有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角， 所以正方形是“奋进四边形”； （2）①解：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形， ，， ； ②证明：连接、，如图： ，， ， 垂直平分， ； “奋进四边形”是“和谐奋进四边形”； （3）解：，， 根据题意可知，分两种情况讨论：当或时，四边形是“奋进四边形”； 当时，连接，过点作于点，如图： ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ； 当时，连接，过点作于点，如图： 则， ， ， 四边形矩形， ，， ， ； 综上分析可知，为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，并注意进行分类讨论． 7．（2021·湖北恩施·一模）定义：角的内部一点到角两边的距离比为：，这个点与角的顶点所连线段称为这个角的二分线．如图，点为内一点，于点，于点，且，则线段是的二分线． (1)如（图1）中，为的二分线，，，且，求的长； (2)如（图2），正方形中，，点是中点，证明：是的二分线； (3)如（图3），四边形中，，，且，，若，分别是，的二分线，证明：四边形是矩形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）设，，则  ，根据勾股定理可得   ，组成方程组可求，的值，即可求的长； （2）过点作于点，可证四边形为矩形，，且，根据定义可证是的二分线； （3）分别过点，作直线于点，直线于点，根据角的二分线的定义可得，可证四边形是矩形，可得，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即点与点重合，点与点重合，可得四边形是矩形． 【详解】（1）解：设，， 则  ， ，， ，   ， 由组成方程组， 解得： （2）如图，过点作于点， 在正方形中，， 四边形为矩形， ， 点为中点， ， ， 是的二分线 （3）如图，分别过点，作直线于点，直线于点， ，， ， 是二分线， ， 是的二分线， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 点与点重合，点与点重合， 四边形是矩形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 8．（2025·河南周口·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____． 【问题解决】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（），；（）；（）或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （）如图，过点作于点，由（）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点的对应点在的上方时；②当点的对应点在的下方时， 分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：，； （）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （）如图，过点作于点， 由（）知，， ∴， ∵， ∴， 同理（）可得，， ∴， 由折叠的性质可知四边形为正方形， 连接，则，， 分两种情况：①如图，当点的对应点在的上方时， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴； ②如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得， ∴； 综上可得，的面积为或． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的性质，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解题的关键． 四边形中的新定义型问题，关键在于理解新定义。首先要仔细研读题目，明确新定义的概念、性质和特征，将其与已学的四边形知识建立联系。然后根据新定义进行推理和计算，可通过画图来直观呈现问题，帮助分析。同时，要善于运用转化思想，把新问题转化为熟悉的常规四边形问题求解。还要注意对特殊情况的讨论，确保答案的完整性。最后，要检验结果是否符合新定义及题目条件。 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）是比例三角形；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能， 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据比例三角形的概念判断即可； （2）①利用两角对应相等，证明即可； ②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解； （3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴ ∴是比例三角形， （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ； ②证明：由①知， ，即． ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形； （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ， ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ． 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形_____（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点． ①过作于点，试证明：； ②若，，求的长． 【答案】(1)是 (2)①见解析；②14 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由旋转的性质可得，，根据正方形的性质得，可得出，即可得出答案； （2）①首先证明四边形是矩形，则，，再证，根据全等三角形的判定和性质可得，，等量代换即可得； ②设，根据勾股定理求出的值即可，即可求解． 【详解】（1）将绕点旋转，与重合，点的对应点在的延长线上， ，， 四边形是正方形， ， ， ，即， ， ，， 四边形是“直等补”四边形． 故答案为：是； （2）①，理由如下： 如图 四边形是“直等补”四边形，，， ，， ， ，， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ； ②四边形是矩形， ，， ， ，， ， 设， ，则， 在中，， 解得：， ， ∴． 【点睛】本题是考查，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、三角函数综合 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，理解新定义是解题的关键． （1）先证四边形是矩形，可得，即可求解； （2）由锐角三角函数可求，设，，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】（1）证明：作于则， 四边形是正方形， 四边形是矩形． 四边形是正方形， ， ． 是等高底三角形． （2）解：作 于点， ，， ， ， ， ， 设， ，， ， 在 中，，， ， ， ， 设，，，则， 在中由勾股定理得：， 解得， ． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，若，，求折中线的长； (2)如图2，若，请探究折中线的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明理由； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1)； (2)折中线的长等于，理由见解析； (3)折中线的长为或． 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，即可解答； （2）证明，列出比例式，求出，代入比例式求解即可； （3）当时，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作，交的延长线于点F，证明，再，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， 在菱形中，，， 为等边三角形， 点E为的中点， ，， 在中，， ， ， 在中，， 折中线的长为 （2）解：折中线的长等于，理由如下： 在菱形中，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 折中线的长等于； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， ，， 在中，， 在中，， ，， 在中，， ； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F， 四边形是平行四边形． ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 得， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 综上，折中线的长为或 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质掌握相似三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 5．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点E使得，以为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． (1)如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接．求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． (2)①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线相交于点．连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 【答案】(1)详见解析 (2)①，见解析；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得到四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可解答； （2）①根据菱形的性质及勾股定理得到，再根据角平分线的定义及平行线的性质可得到；根据等腰三角形的性质及勾股定理列方程即可解答．②根据平行线的性质及中位线的定义，再根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，　　 ∴四边形为平行四边形， ∴为菱形， 即菱形为菱形的伴随菱形； （2）解：①理由如下 过点作于点、于点， 过点作于点，连接， ∵四边形为菱形， ∴，点在的平分线上，　 ∴， ∵， 由勾股定理可得，　　 ∴， ∴平分， ∴， ∴点在的平分线上，　　 即， 又∵，　 ∴， ∴；      ②∵四边形为菱形， ∴，点在的平分线上，　 ∴， ∵， 由勾股定理可得，　　 ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，， ∴， ∴在中，， 即， 解得：，（舍）， ∴， 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，掌握菱形的性质及判定是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：若正方形的四个顶点都在三角形的边上，我们称这个正方形为该三角形的“所容正方形”． (1)如图①，在中，，，，正方形是的“所容正方形”． ①求“所容正方形”的边长； ②将①中“所容正方形”的顶点D、G分别在上移动（不与点C重合），如图②，当点E和F中仅有一点落在线段上时，求的长； (2)如图③，若正方形是的“所容正方形”，且，，的面积分别为3，1，1，求的长． 【答案】(1)①2  ②或 (2)2 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； ②如图②（1），当点E落在上，作，垂足为H，设，根据全等三角形的性质和锐角三角函数得到， ， ，根据勾股定理得到结论；如图②（2），当点F落在上，作，垂足为I，，设，同理可求，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图③，设，作交于H，根据全等三角形的性质和相似三角形的性质得到，， ，即，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：①四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 即， ， ， 解得， 所容正方形的边长为2； ②如图②（1），当点E落在上，作，垂足为H，设， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得舍去，' ； 如图②（2），当点F落在上，作，垂足为I， 设，同理可得，，，， 在中，， 即， 解得舍去， ， 综上所述：的长为或； （2）解：如图③， 设，作交于H， ， ，， ， ，， ∵， ∴∽， ∴， ，即， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． 7．（24-25九年级上·河南郑州·期中）定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． (1)下列四边形中，是“奋进四边形”的是_______； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)正方形中，点分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，连接，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； (3)如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作于点Q，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①证明，② (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、正方形性质理解、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）根据各四边形的特征即可求解； （2）①证得．根据四边形是“奋进四边形”得，即可求证； ②过点N作，可得四边形为矩形，推出，由①可得．根据题意可得、为等腰直角三角形，据此即可求解； （3）过点P作，垂足为D，分类讨论当时，当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：直角梯形的对角线不一定相等，矩形四个内角均为直角且对角线相等； 菱形的对角线不相等，正方形四个内角均为直角且对角线相等； 故答案为：②④； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是“奋进四边形”， ， ； ②如图1，过点N作，垂足为E， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知， ，即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． （3）解：如图2，过点P作，垂足为D， 中，， 根据勾股定理得，， 四边形为“奋进四边形”， ． 第一种情况： 当时，如图2， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， ； 第二种情况： 当时， ， 设．则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， 故答案为：或 【点睛】本题考查了特殊四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识点，几何综合性较强． 考点三 圆中的新定义型问题 ►题型05 圆中的新定义型问题 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”． (1)如图1，在对角互余四边形中，，且．若，求四边形的面积和周长． (2)如图2，在四边形中，连接，点O是外接圆的圆心，连接，求证：四边形是“对角互余四边形”； (3)在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求线段的长． 【答案】(1)四边形的面积为，周长为； (2)见解析； (3)线段的长是． 【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由四边形是对角互余四边形，，得，则，可求得， ，于是可求得，； （2）延长交于点E，连接，由是的直径，得，而，则，即可证明四边形是“对角互余四边形”； （3）作于点F，使点F与点A在直线的异侧，由，根据勾股定理得，可证明，得，，所以，由，得，而，则，因为，所以，连接，证明，可求得． 【详解】（1）解：如图1， ∵四边形是对角互余四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为，周长为； （2）证明：如图2，延长交于点E，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是“对角互余四边形”； （3）解：如图3，作于点F，使点F与点A在直线的异侧， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长是． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 2．（2024·江苏盐城·一模）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图①，四边形内接于，点在的延长线上，且．证明：四边形是“等对角四边形”． (2)如图②，在中，，，，平分，点在线段上，以点、、、为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． (3)如图③，在中，，，，若四边形是“等对角四边形”，且，则的最大值是______．（直接写出结果） 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、已知圆内接四边形求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，垂径定理，解直角三角形； （1）证明，即可证明四边形是“等对角四边形”； （2）根据新定义分两种情况讨论，或，分别解直角三角形，进行计算即可求解； （3）作的外接圆，作关于的，根据新定义得出在上运动，当在的延长线上时取得最大值，最大值为，进而根据垂径定理以及勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ， ， ， ， ， ， 四边形是“等对角四边形”； （2）如图所示，过点作于点，作交于点， ∵以点、、、为顶点构成的四边形为“等对角四边形”， ∴或 ∵在中，，，， ∴，， ①当时，如图所示， ∴，则 ∵平分，则 ∴ 设，则，， ∴ ∴ 解得： ∴； ②当时， 设，则 ∴ 解得： ∴ 综上，或； （3）如图所示，作的外接圆，作关于的， ∵ ∴ 则在上运动，当在的延长线上时取得最大值，最大值为， ∵在中，，，， ∴ ∴， 如图所示，过点作，则，过点作交的延长线于点，连接，， ∴，四边形是矩形， ∴， 在中， ∴ 在中， ∴的最大值为 3．（2024·江苏南京·模拟预测）定义：当点在射线上时，把的值叫做点在射线上的射影值；当点不在射线上时，把射线上与点最近点的射影值，叫做点在射线上的射影值．例如：如图（1），三个顶点均在格点上，是边上的高，则点和点在射线上的射影值均为． (1)在中，下列说法： ①点在射线上的射影值小于1时，则是锐角三角形； ②点在射线上的射影值等于1时，则是直角三角形； ③点在射线上的射影值大于1时，则是钝角三角形． 其中，正确说法的序号是___________． (2)是射线上一点，，以为圆心，为半径画圆，是上任意点． ①如图（2），点在射线上的射影值为，求证：直线是的切线． ②如图（3），已知为线段的中点，设点在射线上的射影值为，点在射线上的射影值为，直接写出与之间的函数关系式． 【答案】(1)②③ (2)①见解析；②（） 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据射影值的定义一一判断即可． （2）①根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，可得，由相似三角形的性质可得，根据切线的判定定理可得答案；②图形是上下对称的，只考虑B在直线上及上方部分的情形．分两种情况考虑：当时，设，根据，可得，根据，得，根据，得，得；当时，y不存在． 【详解】（1）解：①错误．点B在射线上的射影值小于1时，可以是钝角，故不一定是锐角三角形； ②正确．点B在射线上的射影值等于1时，，是直角三角形； ③正确．点B在射线上的射影值大于1时，是钝角，故是钝角三角形； 故答案为：②③． （2）解：①如图1，作于点H， ∵点B在射线上的射影值为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； ②图形是上下对称的，只考虑B在直线上及上方部分的情形． 过点D作，作，    当时，如图2， 设， ∵D为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴①， ∵， ∴②， ①②消去h，得； 如图3，当点N与点O重合时，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴； 当时， 点B与点A重合，点D与点M重合，点D在中点， ∴， ∴； 当时，不存在， ∴y不存在． 综上所述，（）． 【点睛】本题考查新定义——射影值．熟练掌握射影值的定义，相似三角形的判定和性质，圆切线判定，勾股定理，面积法求三角形高，分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题，添加辅助线，是解题的关键． 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．    (1)若是“近直角三角形”，，，则　　度； (2)如图1，在中，，．若是的平分线， ①求证：是“近直角三角形”； ②在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“近直角三角形”？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点D为边上一点，以为直径的圆交于点E，连接交于点F，若为“近直角三角形”，且，求的长． 【答案】(1)20 (2)①详见解析；②存在， (3)或． 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、垂径定理的实际应用 【分析】（1）根据题意可得不可能是或，当时，，，不成立；故时，，，由此即可得到答案； （2）①由是的平分线得到，再由在中，，得到，则，由此即可证明； ②当是近直角三角形，得到或，当时，可证得此时D、E重合不符合题意；当时，得到，则，可证明，得到，即，则，； （3）分两种情况：当时，是近直角三角形，当时，是近直角三角形，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴不可能是或， 当时，， ∴， ∴不成立； 当时，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：20； （2）①证明：如图1所示，∵是的平分线， ∴ ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴是“近直角三角形”； ②解：如图所示，假设在边上存在点E（异于点D），使得是“近直角三角形” ∵在中，， ∴， ∵是近直角三角形， ∴或， 当时， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴此时D、E重合不符合题意； 当时，   ， ∴， 又∵， 则， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图所示，由（2）①可知，当时，是近直角三角形，    ∴由垂径定理得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，由（2）②可知当时，是近直角三角形， 过点A作交于点H，交于点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为线段的垂直平分线， ∵是圆的直径， ∴G为圆心，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则（圆的半径）， ∵点H是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴ 解得：， ∴ 在中，， ∴综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，垂径定理，圆周角定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够正确理解题意和掌握相似三角形的性质与判定． 圆中的新定义型问题通常会以圆的基本性质为背景，通过给出一个新的概念、性质或规则来考查学生。 考查方式 1.概念理解：给出一个在圆中全新定义的概念，如“圆内友好点”等，让学生判断某些点是否符合该定义。 2.性质探究：定义一种圆中的新性质，要求学生通过推理、计算等方法探究该性质在不同情况下的表现，如探究新定义的圆中线段关系在不同位置时是否成立。 3.应用拓展：结合圆的常规知识与新定义，解决相关的几何问题，如利用新定义求圆中线段长度、角度大小等。 方法指导 1.仔细读题：准确理解新定义的内涵与外延，抓住关键信息。 2.画图分析：将问题中的条件和新定义通过图形直观呈现，有助于发现规律和关系。 3.类比迁移：联系圆的已有知识和方法，尝试将其应用到新定义问题中，通过转化、推理来解决问题。 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，则_________，_________； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，点在的延长线上，连接，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，若，请直接写出的长． 【答案】(1)90，120； (2)证明过程见详解； (3)或或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、已知圆内接四边形求角度、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由已知，根据“圆内接四边形对角互补”可知：，从而由已知、根据“等对角四边形”的定义可得：； （2）由已知、根据“圆内接四边形对角互补”和“等对角四边形”的定义可知：，从而根据“等角对等边”得到，由“同弧所对的圆周角相等”得，由已知、根据“直角三角形两锐角互余”可得：，根据“等对角四边形”的定义可得出结论； （3）分、、、共四种情况，利用三角函数知识解决问题即可． 【详解】（1）解：“等对角四边形”内接于， ， ， ， 故答案为：90，120； （2） 证明：“等对角四边形”内接于，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是“等对角四边形”； （3）解：①“等对角四边形”内接于，且其一个内角为， ， 若， 则， 从而， 连接，如图： ， ， ， 在中，； ②若，则， 从而， 连接，， 过点作于点， 如图： ， ， ， 在中，， ， 在中，， ； ③若，则， 从而， 连接，如图： ， ， ， 在中，； ④若，则， 从而， 连接，， 过点作于点， 过点作于点，如图： ， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得：， ， ， ， 在中，， 综上所述，的长为或或或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了四边形内角和定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解直角三角形，圆的相关性质，勾股定理及应用等知识，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角的邻补角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“张望角”． (1)如图1，点D在的延长线上，是中的“张望角”，求证：； (2)如图2，内接于，点D在的延长线上，点E在上，连接，．连接，点F在上，，连接，连接并延长交的延长线于点，求证：是中的“张望角”； (3)如图3，在（2）的条件下，若是的直径，过点I作的垂线，点G为垂足，交于点H，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题中“张望角”的定义和角平分线的定义得到，结合三角形的外角性质可得结论； （2）先根据圆周角定理和角平分线定义可得平分，再根据圆周角定理，结合圆内接四边形的性质可证明平分，进而根据“张望角”的定义可得结论； （3）连接，，先证明得到，进而证明得到，过F作于M，在上截取，连接，，证明，求得， ，，过I作于K， ，在中，由勾股定理求得，进而可求解． 【详解】（1）证明：是中的“张望角”， ∴分别是，的平分线 ； （2）证明：， ， ， 即平分， ， ， ∵四边形内接于， ， ， ， ， 即平分， 是中的“张望角”； （3）解：连接，， 是中的“张望角”， ∴， ∵， ∴，又， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴，又， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴，又， ∴，即， ∴， ∴， 过F作于M，在上截取，连接，，则垂直平分， ∴， ∴， 设，则， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 设，又， ∴，解得（负值已舍去）， ∴， ∴， 由得，则； ∵， ∴， ∴， 过I作于K，则是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去），即， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解题的关键． 3．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“正德四边形”． (1)若是圆的“正德四边形”，则是___________（填选项：．矩形；    ．菱形；    ．正方形） 若四边形是的正德四边形，若，，则___________； (2)如图，已知的半径为，四边形是的“正德四边形”求证：； (3)如图，四边形是“正德四边形”，为圆内一点，，，且，当的长度最小时，求的值． 【答案】(1)；； (2)证明见解析； (3)． 【知识点】证明四边形是正方形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）根据平行四边形的性质得，由圆内接四边形可得，从而可证明平行四边形是矩形，最后通过四边形是“正德四边形”，即可求解； 根据“正德四边形”定义得出，再由即可求解； （）过点作直径，分别连接，，，，，由圆周角定理，由四边形是“正德四边形”，所以，故，然后三角形外角性质和弧、弦、圆心角的关系得出，最后通过勾股定理即可求解； （）连接交于，设的长度为，，由“正德四边形”定义得，再证明，然后根据性质和勾股定理得出，利用，求出的最小值，再利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∵四边形是“正德四边形”， ∴， ∴四边形是正方形， 故选：； ∵四边形是的正德四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过点作直径，分别连接，，，，， ∵的直径， ∴， ∴， ∵四边形是“正德四边形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交于，设的长度为，， ∵四边形是“正德四边形”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴的长度最小值为，即， ∴，整理得：， 解得：， ∴， ∴，， 由上得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解方程等知识，熟练掌握知识点的运用是解题的关键． $$