专题17 几何中多结论判定问题（讲练，3考点+6题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题17 几何中多结论判定问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的多结论判定问题 ►题型01 三角形中的多结论判定问题 考点二 四边形中的多结论判定问题 ►题型02 平行四边形中的多结论判定问题 ►题型03 矩形中的多结论判定问题 ►题型04 菱形中的多结论判定问题 ►题型05 正方形中的多结论判定问题 考点三 圆中多结论判定问题 ►题型06 圆中多结论判定问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 几何中多结论判定问题 三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判 该专题内容是初中几何图形性质和判定中最重要的部分，是几何图形性质和判定的基础，非常重要，年年都会考查，分值为6分左右.预计2024年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的多结论判定问题 ►题型01 三角形中的多结论判定问题 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，和的对应点分别是和，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．A，C，D三点在一条直线上 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，是的高，，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．①④ D．②③④ 3．（2024·江苏无锡·一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点均为格点，给出下列三个命题： ①点到点的最短距离为； ②点到直线的距离为； ③直线所交的锐角为； 其中，所有正确命题的序号为 ．（填序号） 1.熟练掌握定理性质：要对三角形的内角和定理、全等三角形判定定理、相似三角形性质等基础知识烂熟于心，这是判断结论的依据。 2.仔细分析条件：认真研读题目所给条件，包括边的长度、角的度数、三角形的特殊关系等，挖掘隐含条件。 3.灵活运用方法：可通过直接推导、计算边长角度来判断；也可采用反证法，假设结论成立看是否与已知矛盾；还能利用特殊值法、特殊图形法进行验证，对于复杂问题，要善于将其分解为多个简单的小问题逐步分析。 1．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边的边长为3，点D在边上， ，线段在边上运动， ，有下列结论： ①与一定不相等； ②与可能相似； ③ 四边形面积的最大值为 ； ④ 四边形周长的最小值为 ．其中，正确结论的序号为（　　） A．② ④ B．② ③ C．① ② ③ D．② ③ ④ 3．（2022·江苏盐城·一模）如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的是 ．（填序号） 考点二 四边形中的多结论判定问题 ►题型02 平行四边形中的多结论判定问题 1．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，P是边上的动点（），将沿翻折得，射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（　　） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点P运动的过程中，线段的最小值为2； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③．其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 ►题型03 矩形中的多结论判定问题 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023·江苏无锡·三模）如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕上的点G处，点H在上（如图3），给出四个结论：①的长为10；②的周长为18；③；④的长为，其中所有正确的结论有（　　）    A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ ►题型04 菱形中的多结论判定问题 7．（2024·江苏无锡·一模）如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则以下结论：①；②与相似；③当时，则；④当时，．其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 8．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点与延长线上的点重合．交于点，交延长线于点．交于点于点，则下列结论：①，②，③，④．正确的是（    ） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ ►题型05 正方形中的多结论判定问题 9．（2022·江苏无锡·三模）如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论： ①； ②四边形AFCE的面积是定值； ③当时，E为△ADC的内心； ④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等． 其中正确的结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1.分析条件：仔细研读题目所给条件，包括边的长度、角的度数、平行或垂直关系等，将其标注在图形上，便于直观分析。 2.依据性质定理：熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形等四边形的性质与判定定理，通过条件推导四边形的类型及相关结论，如由对边平行且相等可判定平行四边形。 3.灵活运用方法：常采用直接推导、反证法、特殊值法等。对于一些复杂结论，可通过构造辅助线，将四边形转化为三角形等熟悉的图形来求解。 4.检验结论：得出结论后，要检验其是否符合四边形的基本性质及题目条件。 1．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，在中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（14-15八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，不与各端点重合，且，连接、交于点M，延长到H，使，连接、，则以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024九年级·江苏南通·专题练习）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，在菱形中，，点M、N是边上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处，下列结论：①；②若，则；③若菱形边长为4，M是的中点，连结，则线段；④若，则，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（22-23八年级下·江苏·期中）如图，点O为边长为1的正方形的中心，平分交于点E，延长到点F，使，连结交的延长线于点H，连结交于点G，连结．则以下四结论中：①，②，③，④．正确结论个数为 ． 考点三 圆中多结论判定问题 ►题型06 圆中多结论判定问题 1．如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1.熟悉定理性质：牢记圆的相关定理，如垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及其推论等，这是判断结论的基础。 2.结合图形分析：仔细观察图形，明确已知条件在图中的位置和关系，通过作辅助线等方法，构造出可利用定理的基本图形。 3.进行逻辑推理：根据已知条件和定理，逐步推导各个结论，注意推理的严谨性，有时需采用反证法或特殊值法来验证结论。 4.多角度思考：从不同角度分析问题，如考虑圆与直线的位置关系、圆中三角形的性质等，确保不遗漏可能的结论。 1．如图，在中，是直径，点，，在圆上，，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，点、、是上的点，且，，，的平分线交于，下列4个判断：①的半径为5；②的长为；③在弦所在直线上存在3个不同的点，使得是等腰三角形；④在弦所在直线上存在2个不同的点，使得是直角三角形；正确判断的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为中点时EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（  ）    A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，为的直径，，、分别交于点、，于点，于点，，下列结论：；；；；上述结论中正确的是 填上所有正确结论的序号 5．如图，边长为4的正方形内接于，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的面积随点E位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号填上） $$专题17 几何中多结论判定问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的多结论判定问题 ►题型01 三角形中的多结论判定问题 考点二 四边形中的多结论判定问题 ►题型02 平行四边形中的多结论判定问题 ►题型03 矩形中的多结论判定问题 ►题型04 菱形中的多结论判定问题 ►题型05 正方形中的多结论判定问题 考点三 圆中多结论判定问题 ►题型06 圆中多结论判定问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 几何中多结论判定问题 三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判 该专题内容是初中几何图形性质和判定中最重要的部分，是几何图形性质和判定的基础，非常重要，年年都会考查，分值为6分左右.预计2024年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的多结论判定问题 ►题型01 三角形中的多结论判定问题 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，和的对应点分别是和，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．A，C，D三点在一条直线上 【答案】D 【知识点】等边对等角、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由旋转的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可得，可证点，点，点，点四点共圆，可得，即可求解． 【详解】解：连接， 将绕点逆时针旋转，得到， ，，，，， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， 点，点，点三点共线， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，是的高，，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．①④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先利用等腰三角形的“三线合一”得到平分，，再利用斜边上的中线性质可对①进行判断；由于垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，则利用可判断，从而得到与不全等，于是可对②进行判断；根据余角的性质可得，，结合对顶角的性质得出，根据等角对等边即可对③进行判断；连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理得到，然后利用等线段代换可对④进行判断． 【详解】解：∵，，是的高， ∴平分，， ∴为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴，所以①正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴与不全等，所以②错误； ∵，， ∴， ， ∴， 又， ∴， 同理，， ∴， 又，， ∴ ∴，即是等腰三角形，所以③正确； 连接，如图， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∵，， ∴，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，勾股定理等． 3．（2024·江苏无锡·一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点均为格点，给出下列三个命题： ①点到点的最短距离为； ②点到直线的距离为； ③直线所交的锐角为； 其中，所有正确命题的序号为 ．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】点到直线的距离、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，等腰三角形性质，平行线的性质，①利用勾股定理求解可得结论；②构造，利用面积法求解即可；③平移线段到，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：由图可知点A到点的最短距离为，故①正确； 如图，取格点E，连接，，则C，D，F，E共线，过点A作于点H，   ， ， ，故②正确； 取格点J，连接，，延长，交于点K，则， ∵， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 直线，所交的锐角为，故③正确； 综上分析可知，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 1.熟练掌握定理性质：要对三角形的内角和定理、全等三角形判定定理、相似三角形性质等基础知识烂熟于心，这是判断结论的依据。 2.仔细分析条件：认真研读题目所给条件，包括边的长度、角的度数、三角形的特殊关系等，挖掘隐含条件。 3.灵活运用方法：可通过直接推导、计算边长角度来判断；也可采用反证法，假设结论成立看是否与已知矛盾；还能利用特殊值法、特殊图形法进行验证，对于复杂问题，要善于将其分解为多个简单的小问题逐步分析。 1．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形判定和性质，同角的余角性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，是解决本题的关键． 根据，，得到，根据，得到，判断①正确；根据，，得到，判断②正确；过H作于I，根据角平分线性质得到，根据，即得，判断③不正确；连接，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，根据三角形外角性质得到，根据，推出，即得，判断④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴②正确； ③过H作于I， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴③不正确； ④如图，连接， ∵，平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴④正确． ∴正确的有：①②④． 故选：B． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边的边长为3，点D在边上， ，线段在边上运动， ，有下列结论： ①与一定不相等； ②与可能相似； ③ 四边形面积的最大值为 ； ④ 四边形周长的最小值为 ．其中，正确结论的序号为（　　） A．② ④ B．② ③ C．① ② ③ D．② ③ ④ 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、线段问题(轴对称综合题) 【分析】①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；③过P作于E，过D作于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；④作点D关于直线的对称点，作，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长为：，即此时四边形周长有最小值；再由，，，可得的最小值，即可得解． 【详解】解：①∵线段在边上运动，， ∴， ∴与不可能相等，故①正确； ②设， ∵，， ∴，即， 假设相似， ∵， ∴，即， ∴，解得或（经检验是原方程的根）， 又∵， ∴解得的或符合题意， 即与可能相似，故②正确； ③如图，过P作于E，过D作于F， 设， 由，，得，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴四边形面积为：， 又∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为：， 即四边形面积最大值为，故③正确； ④如图，作点D关于直线的对称点，作，连接交于点，在射线上取， 此时四边形的周长为：，即此时四边形周长有最小值 ∴，， 且， ∴，， 在中，，， ∴， 在中， 由勾股定理可得，， ∴四边形的周长为： ，故④错误， 故选：C． 【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解． 3．（2022·江苏盐城·一模）如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据题意先证DE是△ABC的中位线，则DE=BC；①正确；证出DF=BC，则四边形DBCF是平行四边形；②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=BD，则CF=CD，得出∠CFE=∠CDE，证∠CDE=∠EGF，则∠CFE=∠EGF，得出EF=EG，③正确；作EH⊥FG于H，由等腰三角形的性质得出FH=GH=FG=1，证△EFH∽△CEH，则，求出EH=2，由勾股定理的EF=，进而得出BC=2，④正确． 【详解】解；∵CD为斜边AB的中线， ∴AD=BD， ∵∠ACB=90°， ∴BC⊥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AE=CE，DE=BC；①正确； ∵EF=DE， ∴DF=BC， ∴四边形DBCF是平行四边形；②正确； ∴CF∥BD，CF=BD， ∵∠ACB=90°，CD为斜边AB的中线， ∴CD=AB=BD， ∴CF=CD， ∴∠CFE=∠CDE， ∵∠CDE+∠EGC=180°，∠EGF+∠EGC=180°， ∴∠CDE=∠EGF， ∴∠CFE=∠EGF， ∴EF=EG，③正确； 作EH⊥FG于H，如图所示： 则∠EHF=∠CHE=90°，∠HEF+∠EFH=∠HEF+∠CEH=90°，FH=GH=FG=1， ∴∠EFH=∠CEH，CH=GC+GH=3+1=4， ∴△EFH∽△CEH， ∴， ∴EH2=CH×FH=4×1=4， ∴EH=2， ∴EF=， ∴BC=2DE=2EF=2，④正确. 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 考点二 四边形中的多结论判定问题 ►题型02 平行四边形中的多结论判定问题 1．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，P是边上的动点（），将沿翻折得，射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（　　） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点P运动的过程中，线段的最小值为2； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形、折叠问题 【分析】本题考查翻折变换，轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）画出图形，求出，根据等角对等边即可判断其正确； （2）画出图形，证明出是等边三角形，从而得到，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断其正确； （3）画出反例的图形，即可判断其错误； （4）画出图形，连接交AP于点，根据，即可判断其正确． 【详解】解：（1）如图所示，当时， ∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故（1）符合题意； （2）如图所示，当落在上时，点E和重合， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故（2）符合题意； （3）如图所示， 当点P靠近点C时，在四边形外部，此时， ∴，故（3）不符合题意； （4）如图所示，连接交于点O， ∵将沿翻折得， ∴垂直平分， ∴，故（4）符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③．其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、利用平行四边形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】由平行四边形的性质可得，，，，即可得，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②，由平行四边形的性质可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∵ ∴，且点E是中点 ∴， ∴①正确 ∵E、F分别是、中点 ∴， ∵G是中点， ∴，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴②正确， ∵四边形是平行四边形， ∴，，且 ∴ ∴③正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． ►题型03 矩形中的多结论判定问题 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图1中，作于，于，由，推出，由，，可得，故①正确，如图2中，延长交的延长线于，作于．易证，可得，设，则，通过计算即可一一判断． 【详解】解：如图，作于，于． ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， 平分，故①正确， 如图中，延长交的延长线于，作于． 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 设，则， ， ，， ， ，故②正确， ， ， ， ，故③正确， ， ，故④错误， 故选：A 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． ①由勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质即可判定①；②如图：连接，然后说明，即可判定②；③先证明四边形是矩形，然后求得为定值，即可判定③；④设，则，，则，再运用二次函数的性质求得x的取值范围即可判定④． 【详解】解：①如图： ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，且相似比为，即①正确； ②如图：连接， ∵，点H是线段的中点， ∴， ∴点D，E，C，F在同一个圆的圆周上，即②正确； ③由②可得：， ∴点H在的垂直平分线上， 如图：过点H分别作，，垂足分别是M、N， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴的面积不随线段长度的增大而增大，即③错误； ④由①可知，且相似比为， 设，则，， ∴， 当面积大于9，即， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 当时，解得：或， ∴的x的取值范围为：， ∴，即④正确； 综上，正确的有①②④共3个． 故选B． 5．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质判定①，证明可判定②，证明可判定③，证明可判定④． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∴，故①正确； ，， 在中，由勾股定理可得：， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴，故③正确； 在中，， ∵，， ∴， ， ， ∴， ， ∴，故②正确； ， ， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ，故④错误， 综上，正确的有3个． 故本题选：C． 6．（2023·江苏无锡·三模）如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕上的点G处，点H在上（如图3），给出四个结论：①的长为10；②的周长为18；③；④的长为，其中所有正确的结论有（　　）    A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、正方形性质理解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作，交、于点、，可知四边形为正方形，可求得的长，可判断①，且和为等腰三角形，设，则可表示出、、，利用折叠的性质可得到，在中，利用勾股定理可求得，再利用，可求得、和，则可求得，即可判断②③④，可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点、，    四边形为矩形， ，， 由折叠可得，且， 四边形为正方形， ， 故①正确； ， 和为等腰直角三角形，且， 设，则，，， 又由折叠的可知，   在中，由勾股定理可得， 即，解得， ，，， 又， ， ， ， ， ，即，   ，，故④错误； ， 又和为等腰直角三角形，且，， ，， 的周长， ， 故②不正确；③正确； 综上可知正确的为①③， 故选：A． 【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质及方程思想等．过点作的平行线，构造等腰直角三角形，利用方程思想在中得到方程，求得的长度是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． ►题型04 菱形中的多结论判定问题 7．（2024·江苏无锡·一模）如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则以下结论：①；②与相似；③当时，则；④当时，．其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用证明，得，，可知①正确；根据是等边三角形，再利用角的和差关系，由，，得与不相似，可知②错误；过点作于，过点作于点，利用含的直角三角形的性质及勾股定理，分别表示出，作比即可判断③④，从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形是菱形， ，， ， ，是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ，， 是等边三角形， ， ， ， 在菱形中，已知，则， ， ， 与不相似，故②错误； 过点作于，过点作于点， ，， ， 设菱形的边， 在中，，，则， ，，则； 在中，，则，， ，则； 过点作于，如图所示： 是等边三角形， ， 在中，，，则， ，，则； ， ，， ， 在中，，，则， ， ，则； ；；故③正确，④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊的直角三角形的性质等知识．综合性较强，熟练掌握各定理是解题的关键． 8．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点与延长线上的点重合．交于点，交延长线于点．交于点于点，则下列结论：①，②，③，④．正确的是（    ） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确； 根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断②正确； 由得 ，求出即可判断③正确；根据 即可判断④错误. 【详解】由折叠性质可知: , ∵, ∴. ∴. ∴.故①正确; ∵, ∴. ∵, ∴.故②正确; ∵, ∴. ∵, 故③正确； ∵, ∴. ， ， ， ， 与 不相似.故④错误； 故选: ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键. ►题型05 正方形中的多结论判定问题 9．（2022·江苏无锡·三模）如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论： ①； ②四边形AFCE的面积是定值； ③当时，E为△ADC的内心； ④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等． 其中正确的结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、根据等边对等角证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=45°，从而可判定①正确；由已知及①可得△CAF∽△DAE，由△CAF∽△DAE可得∠ADE=∠CDE=45°，，由正方形的性质可证明△ADE≌△CDE，可得AE=CE，即可判断②；即有∠EAC=∠ECA，再由∠AEC=135°可得∠EAC=∠ECA=22.5°，从而CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD，即可判定③正确；连接BD交AC于点O，由∠ADE=∠CDE=45°知，点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，由知，点F的运动速度是点E的运动速度的倍，即④错误，因而可确定答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴AD=CD，∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=∠ACB=45°， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠FAE=∠DAC=45°， ∵∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=∠DAC=45°， ∴∠CAF=∠DAE，故①正确； ∵△AEF、△DAC都是等腰直角三角形， ∴ 即， ∵∠CAF=∠DAE， ∴△CAF∽△DAE， ∴∠ADE=∠ACB=45°，， ∵∠ADC=90°， ∴∠ADE=∠CDE=45°， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE(SAS)， ∴AE=CE，， ∴∠EAC=∠ECA，， ∴四边形AECF的面积是定值，故②正确； ∵∠AEC=135°， ∴， ∵∠DAC=∠DCA=45°=2∠EAC=2∠ECA， ∴CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD， ∵∠ADE=∠CDE=45°， ∴DE平分∠ADC即点E是△ADC角平分线的交点，从而是△ADE的内心，故③正确； 如图，连接BD交AC于点O， ∵∠ADE=∠CDE=45°， 当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合， ∴点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC， ∵，且点F与点E的运动时间相同， ∴，即点F与点E的运动速度不相同，故④错误 故选：C ． 【点睛】本题是一个综合性较强的题目，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，点的运动路径的确定等知识，熟练运用这些知识是正确解答本题的关键．确定点E的运动路径是本题的难点所在． 1.分析条件：仔细研读题目所给条件，包括边的长度、角的度数、平行或垂直关系等，将其标注在图形上，便于直观分析。 2.依据性质定理：熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形等四边形的性质与判定定理，通过条件推导四边形的类型及相关结论，如由对边平行且相等可判定平行四边形。 3.灵活运用方法：常采用直接推导、反证法、特殊值法等。对于一些复杂结论，可通过构造辅助线，将四边形转化为三角形等熟悉的图形来求解。 4.检验结论：得出结论后，要检验其是否符合四边形的基本性质及题目条件。 1．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，在中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是得出． 由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得，可判断①；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质与判定得出，可得，再证明，可判断②；由，可得，结合，则，可判断③；设，则，再分别表示：，，从而可判断④． 【详解】解：①是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ；故①正确； ②如图，延长，交延长线于， 四边形是平行四边形， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，不一定与相等,故②不正确； ③， ， ， ，故③错误； ④设， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④，共2个， 故答案为：B. 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、正方形性质理解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明，可得，可判断结论①；由，可判断结论②；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可推出，可判断结论③；证明，可判断结论④；即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论①错误； 在中，， ∴， ∴，故结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故结论④正确， ∴正确结论的个数是个． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，掌握正方形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（14-15八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，不与各端点重合，且，连接、交于点M，延长到H，使，连接、，则以下四个结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】由题意得△ABD是等边三角形，然后可证判定①，则有，根据三角形外角的性质可判定②，然后可得，则有，，然后可判定③，最后根据全等三角形的性质及等积法可进行判断④． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴、都是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； ∵， ∴的面积等于四边形的面积， ∵是等边三角形，其面积为， ∴，故④错误； 综上所述：正确的个数有3个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（2024九年级·江苏南通·专题练习）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点作交于点，求出，再证明，即可知④正确． 【详解】解：旋转得到， ， 四边形为正方形，，，在同一直线上， ， ，故①正确； 旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； 设正方形边长为， ，， ， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，即，解得：， ， ，故③正确； 过点作交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ，， ， ，故④正确； 综上所述：正确结论有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解． 5．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，在菱形中，，点M、N是边上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处，下列结论：①；②若，则；③若菱形边长为4，M是的中点，连结，则线段；④若，则，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据一线三等角基本模型可得可知，可知①正确；根据相似三角形的性质可得，再利用三角形内角和定理可知②正确；作交的延长线于点H，利用含30度角的直角三角形的性质得，再根据勾股定理可得的长，则③正确；设，则，设，则，利用相似三角形的性质可得，，再根据可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， 由折叠性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图，作交的延长线于点H 在中，， 由①得： ∴， ∵M是的中点， ∴ ∴， ∴，故③正确； 设，则，设，则， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，根据相似三角形的性质是判断④的关键． 6．（22-23八年级下·江苏·期中）如图，点O为边长为1的正方形的中心，平分交于点E，延长到点F，使，连结交的延长线于点H，连结交于点G，连结．则以下四结论中：①，②，③，④．正确结论个数为 ． 【答案】2 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质证明 【分析】由四边形是边长为1的正方形得，则，即可证明,得，则，可证明，进而证明，得，根据三角形的中位线定理得，可判断①正确；由， 得，则 ，由勾股定理得 ，则 所以 ，可判断③正确；因为，，判断②错误；由，得 ，可知，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为1的正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵O为正方形的中心， ∴O为的中点， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∴， 故④错误， 综上所述，①③正确， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线性质、角平分线定义、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识．解答此题的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用． 考点三 圆中多结论判定问题 ►题型06 圆中多结论判定问题 1．如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、根据矩形的性质与判定求线段长、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了矩形的性质和三角形外心，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，解题的关键是掌握以上知识点． 连接、，作于，连接，如图，先确定，则垂直平分，则可判断点在上，再根据可判定与圆相切；接着利用可判断圆心不是与的交点；然后根据四边形为的内接矩形可判断与的交点是圆的圆心． 【详解】解：连接、，作于，连接，，如图， 是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ， ，， 点O位于的垂直平分线上， 点，，三点共线， ， ， 与圆相切； ， 点不是的中点， 圆心不是与的交点； ， ， 四边形为的内接矩形， 与的交点是圆的圆心； （1）错误，（2）（3）正确． 故选：C． 2．如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】应用切线长定理求证、全等三角形综合问题、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了切线长定理，三角形的内心以及全等三角形综合，由切线长定理即可判断①；证即可判断②；取的中点，连接，可得，即可判断③；连接，根据可得，结合可得，即可判断④． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴关于对称， ∴，故②正确； 取的中点，连接，如图所示： 则， 即：， ∴以为圆心，为半径，则四点共圆，故③正确； 连接，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：平分； 同理可得：平分； ∴M是的内心．故④正确； 故选：D． 1.熟悉定理性质：牢记圆的相关定理，如垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及其推论等，这是判断结论的基础。 2.结合图形分析：仔细观察图形，明确已知条件在图中的位置和关系，通过作辅助线等方法，构造出可利用定理的基本图形。 3.进行逻辑推理：根据已知条件和定理，逐步推导各个结论，注意推理的严谨性，有时需采用反证法或特殊值法来验证结论。 4.多角度思考：从不同角度分析问题，如考虑圆与直线的位置关系、圆中三角形的性质等，确保不遗漏可能的结论。 1．如图，在中，是直径，点，，在圆上，，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形 【分析】如图，连接，，在中，利用三边关系可得，从而得出，则可判断结论①；利用勾股定理求得，得到，则可判断结论②；结合可判断结论③；结合可判断结论④． 【详解】解：如图，连接，， ∵在中，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，则结论①错误； ∵在中，是直径，， ∴， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； ∵， ∴， ∴，则结论③错误； ∵， ∴， ∴，则结论④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查弧和弦的关系．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，推论中的两条弧是指同为优弧或劣弧．也考查了直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角形的三边关系定理等知识．正确理解和掌握同圆或等圆中的弧和弦的关系是解题的关键． 2．如图，点、、是上的点，且，，，的平分线交于，下列4个判断：①的半径为5；②的长为；③在弦所在直线上存在3个不同的点，使得是等腰三角形；④在弦所在直线上存在2个不同的点，使得是直角三角形；正确判断的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】正方形的判定定理理解、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】利用勾股定理求出AB即可判断①正确；如图1中，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC于N．证明四边形CMDN是正方形，求出CM，可得结论②正确；利用图形法，即可判断③错误；利用图形法即可判断④正确． 【详解】解：如图1中，连接AB . ∵∠ACB=90°， ∴AB是直径， ∴， ∴⊙O的半径为5．故①正确， 如图1中，连接AD，BD，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC于N． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴， ∴AD=BD， ∵∠M=∠DNC=90°，CD=CD， ∴△CDM≌△CDN（AAS）， ∴CM=CN．DM=DN， ∵∠M=∠DNB=90°，DA=DB， ∴Rt△DMA≌Rt△DNB（HL）， ∴AM=BN， ∵∠M=∠MAN=∠DNC=90°， ∴四边形CMDN是矩形， ∵DM=DN， ∴四边形CMDN是正方形， ∴CD=CM， ∵AC+CB=CM-AM+CN+BN=2CM=14， ∴CM=7， ∴CD=7，故②正确， 如图2中，满足条件的点E有4个，故③错误， 如图3中，满足条件的点F有2个，故④正确， ∴正确的结论是①②④，共3个 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 3．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为中点时EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（  ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD=PB，得出P为的中点，与实际不符，即可判定正误； ②先求出∠BOC，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误； ③由∠BOC=60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误； ④通过条件可证明△ BCF∽△ PCB，可得到∠ CFE=∠ FCE，便可判断正误； ⑤通过④可得∠DFB＝∠CBP． 【详解】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1， ∵M，C是半圆上的三等分点， ∴∠BAH=30°， ∵BD与半圆O相切于点B． ∴∠ABD=90°， ∴∠H=60°， ∵∠ACP=∠ABP，∠ACP=∠DCH， ∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°， ∵∠PBD=90°-∠ABP， 若∠PDB=∠PBD，则∠ABP+60°=90°-∠ABP， ∴∠ABP=15°， ∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合， ∴∠PDB不一定等于∠ABD， ∴PB不一定等于PD， 故①错误；    ②∵M，C是半圆上的三等分点， ∴∠BOC=×180°＝60°， ∵直径AB=8， ∴OB=OC=4， ∴的长度= ， 故②正确； ③∵∠BOC=60°，OB=OC， ∴∠ABC=60°，OB=OC=BC， ∵BE⊥OC， ∴∠OBE=∠CBE=30°， ∵∠ABD=90°， ∴∠DBE=60°， 故③错误； ④∵ M，C是半圆上的三等分点， ∴∠BPC=30°，∠COB=60° ∴△COB为等边三角形， ∴∠OBC=60° 又CF⊥OC， ∴∠CBF=30°， 又∠PCB=∠BCF， ∴△PCB∽△BCF， ∴∠CFB=∠CBP， 又P为的中点， ∴∠PBC=45°， ∴∠CFE=45°， 又∠CEF=90°， ∴∠FCE=45°， ∴EF=EC， 故④ 正确； ⑤由④可得出，∠DFB＝∠CBP正确， 故⑤ 正确． ∴②④ ⑤正确，故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是熟练掌握这些性质，并能灵活应用． 4．如图，为的直径，，、分别交于点、，于点，于点，，下列结论：；；；；上述结论中正确的是 填上所有正确结论的序号 【答案】①②③④ 【知识点】利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】先利用等腰三角形的性质求出、的度数，即可求的度数，根据垂径定理即可判断①③，再运用弧、弦、圆心角的关系即可判断②④. 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①正确， ∵， ∴，故②正确， ∴， ∵， ∴ ∴，故④正确 ∵ ∴ ∵ ∴，故③正确， 在中，， ∵， ∴，故⑤不正确， 故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，圆心角，弦，弧的关系．构造合适的辅助线是解题的关键． 5．如图，边长为4的正方形内接于，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的面积随点E位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号填上） 【答案】①②④ 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用弧、弦、圆心角的关系求证、根据正方形的性质证明 【分析】①连接，，，，利用互余关系及同圆中相等圆心角所对的弧相等，得到，则可得，可以判断①； ②根据可证，根据全等三角形的性质得到，则可得到是等腰直角三角形，可以判断②； ③由，则这两个三角形的面积相等，可求得四边形的面积始终等于的面积，可以判断③； ④根据，可知，则，由是等腰直角三角形及根据勾股定理得到，则的周长为：，由垂线段最短可以求得的最小值，从而可以判断④． 【详解】连接，，，，如图， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 而的面积是固定不变的， 故③错误； ∵， ∴， ∴， 即， 在等腰中，， ∴， 则当最小时，的周长最小， 由垂线段最短知，当时，最小，且最小值为2， 即的周长最小值为， 故④正确； 综上，正确的序号为①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题是圆的综合题，关键是熟练掌握全等三角彤的判定和性质，相等的圆心角所对的弧相等，等弦对等弧，等腰直角三角形的判定，勾股定理，面积的计算，正方形的性质，垂线段最短，综合性较强，有一定的难度． $$