专题16 统计与概率（讲练，2考点+4题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题16 统计与概率 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 统计 ►题型01 数据收集与整理 ►题型02 数据分析 考点二 概率 ►题型01 概率 ►题型02 频率和概率 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 统计与概率 统计分析与概率求解 概率与统计是中考数学中的必考考点，虽然难度不大，但是分值占比较大。题型方面则是选择、填空题、解答题都有。并且，由于其特有的计算类型，易错点也比较的统一，所以需要考生在审题和计算上要特别留心。整体来说，这个考点的考题属于中考中的中低档考题，而越是容易拿分越要细心练习，否则,此类问题上一失分，压轴题都作对都不一定能抵消别人的超越。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 统计 ►题型01 数据收集与整理 1．（2024·江苏南京·模拟预测）截止到2022年12月初，南京市已经开通了两类地铁线一一市区地铁线（1号，2号，3号，4号，10号）和市域地铁线（S1，S3，S6，S7，S8，S9）．经过长期统计，其日客运量有一定规律性．下图是某月连续13天两类地铁线日客运量的折线统计图． (1)在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是___________万人，最少的一天总人数是___________万人； (2)根据图提供的信息，再写出三个不同类型的结论． 【答案】(1)262.8；165.4 (2)见解析 【知识点】折线统计图 【分析】本题考查了折线统计图． （1）由折线统计图得出结论即可； （2）由统计图得出结论即可； 【详解】（1）解：由统计图可知：在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是（万人）， 最少的一天总人数是（万人）， 故答案为：262.8；165.4； （2）解：①对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日（周一到周五）的日客运量； ②市区地铁线平均日客运量是市域地铁线的7～8倍； ③市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大． 2．（2025·江苏盐城·模拟预测）某商场前五个月销售额共计万元．下表表示该商场年前月的月销售额（统计信息不全）．图表示该商场服装部各月销售额占商场当月销售额的百分比情况统计图． 年某商场月销售额统计表单位：万元 月份 月 月 月 月 月 商场月销售额 年某商场服装部各月销售额占商场当月销售额的百分比统计图（图）： 年某商场月份服装部各卖区销售额占月服装部销售额的百分比统计图（图）： (1)商场月的销售额是多少万元？ (2)服装部月的销售额是多少万元？小明同学观察图后认为，服装部月的销售额比服装部月的销售额减少了，你同意他的看法吗？请说明理由． (3)在该商场服装部，下设、、、、五个卖区，图表示在月份，服装部各卖区销售额占月服装部销售额的百分比情况统计图．结合所给信息，试着给出下个月各卖区广告投资的建议，并说明理由． 【答案】(1)90万元 (2)25.2万元；同意，理由见解析 (3)建议增大、卖区的广告投资，加强管理；理由见解析 【知识点】折线统计图、由扇形统计图推断结论 【分析】本题考查了扇形统计图和折线统计图的应用，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况． （1）总销售额减去另外4个月的销售额即可得； （2）2月份销售额乘以服装部销售额所占百分比即可得，计算出3月份服装部的销售额即可比较； （3）由扇形统计图中各部分所占百分比即可得． 【详解】（1）解：商场月份的销售额是（万元）， 答：商场月的销售额是万元； （2）解：服装部月的销售额是（万元）， 服装部月的销售额是（万元）， ， 服装部月的销售额比服装部月的销售额减少了， 分别是万元和万元，服装销售额各点当月的和， 则月为（万元），月为万元， 故小明的看法正确，同意他的看法； （3）解：、、销售额占月服装部销售额的百分比较高，、销售额占月服装部销售额的百分比较低， 因此建议增大、卖区的广告投资，加强管理． 3．（2025·江苏宿迁·一模）某校团委发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食．为了让同学们理解这次活动的重要性，团委在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有___________名； (2)请把条形统计图补充完整； (3)在扇形统计图中，“剩一半左右”对应的扇形的圆心角是___________度． (4)团委通过数据分析，这次被调查的所有学生一餐浪费的食物价值可以供20名学生一周伙食支出．据此估算，该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供多少名学生一周伙食支出？ 【答案】(1)100 (2)图见解析 (3)90 (4)该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供800名学生一周伙食支出． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据“没有剩”的人数除以占比即可求解； （2）根据总人数减去其他类型的人数，然后补全统计图即可求解； （3）根据“剩一半”的人数除以总人数乘以，即可求解； （4）用4000除以100乘以20即可求解． 【详解】（1）解：这次被调查的同学共有（名）， 故答案为：100； （2）解：“剩少量”的人数为：人， 补充统计图，如图： （3）解：“剩一半左右”对应的扇形的圆心角是， 故答案为：90； （4）解：（人）， 故该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供800名学生一周伙食支出． ►题型02 数据分析 4．（2025·江苏·一模）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，我学校举行有关垃圾分类的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示： 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 b 7 八年级 a 8 c 请你根据以上提供信息，解答下列问题： (1)上表中 ， ， (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)我校七、八年级共1100名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ 【答案】(1)7.5；7；7.5 (2)八年级，理由见解析 (3)990人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求一组数据的平均数、求中位数、求众数 【分析】本题主要考查数据的分析和处理，解题的关键是掌握中位数、平均数、众数的求解方法，并且能够借此分析数据． （1）分别对七年级和八年级数据分析，得到平均数、中位数和众数； （2）依据平均数、众数、中位数进行分析； （3）根据调查中合格学生的占比求解． 【详解】（1）解：八年级平均数； 七年级分数7出现了6次，众数是7； 八年级数据从小到大排列，第十名同学和第十一名同学的成绩分别是7，8， ∴中位数． 故答案为∶7.5，7，7.5； （2）解：从表格来看，七年级和八年级的平均数一样，通过分析数据的众数和中位数， 八年级的数据均大于七年级的数据， ∴八年级掌握垃圾分类知识较好； （3）解：由数据可知，七年级有18人合格，八年级有18人合格， 我校此次合格的人数为（人）， 答：我校七、八年级1100名学生中测试成绩合格的大约有990人． 5．（2024·江苏苏州·模拟预测）某校开展了“学习二十大”的知识竞赛(百分制)，七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了名学生的成绩，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如下 (数据分成五组：，，，，)； b． 七年级成绩在的数据如下 (单位: 分)：． c.七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中 ， ; (2)下列推断合理的是 ； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． (3)竞赛成绩分及以上记为优秀，该校七年级有名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 【答案】(1)， (2)①② (3)七年级有名学生成绩优秀的学生人数约为人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、运用中位数做决策、求众数、运用方差做决策 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数的计算及决策，运用样本百分比估算总体数量的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数，众数的概念和计算方法即可求解； （2）根据平方数，方差可判定推理①；根据中位数可判定②，即可求解； （3）根据样本估算总体数量的方法即可求解． 【详解】（1）解：七年级成绩在的数据从小到大的排序为：． ∵七年级有人，中位数是第15，16名同学的成绩的平均数， ∴， ∵出现次数最多的是， ∴， 故答案为：，； （2）解：①七年级、八年级的平均数都是，七年级的方差为，八年级的方差为，八年级学生成绩的波动程度较小， ∴①推理正确； ∵八年级成绩的中位数是，小明同学的成绩是分， ∴他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩， ∴②推理正确； 故答案为：①②； （3）解：七年级竞赛成绩分及以上的人数有（人）， ∴（人）， ∴七年级有名学生成绩优秀的学生人数约为人． 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）为了解学生对《长津湖》和《长津湖之水门桥》这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：《长津湖》得分：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表： 平均数 众数 中位数 《长津湖》 8.2 9 b 《长津湖之水门桥》 7.8 c 8 《长津湖之水门桥》得分情况扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中的b= ，c= ； (2)根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？ 请说明理由； (3)若该校九年级1200名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下《长津湖之水门桥》这部作品大约可得到多少个满分？ 【答案】(1)8.5，8 (2)该校九年级学生对《长津湖》评价更高，理由见解析 (3)420个 【知识点】借助调查做决策、由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数 【分析】本题考查统计表，扇形统计图，中位数、众数、平均数，解题的关键是∶ （1）根据中位数、众数的意义可求出b、c的值； （2）通过平均数、中位数、众数的比较得出答案； （3）求出两部作品满分人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：《长津湖》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是8.5，即， 《长津湖之水门桥》调查得分∶6分占，7分占，8分占，9分占，10分占， 出现次数最多的是8分，因此众数是8，即． 故答案为：8.5，8； （2）解：该校九年级学生对《长津湖》评价更高， 理由为：《长津湖》调查得分的平均数、中位数、众数均比《长津湖之水门桥》高； （3）解：《长津湖之水门桥》调查得分为“10分”所占的百分比为：， ∴（个）． 答：这两部作品一共大约可得到420个满分． 分类 概念 注意事项 总体 所要调查对象的全体对象叫做总体. 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体. 个体 总体中的每一个考察对象叫做个体. 总体包括所有的个体. 样本 从总体中抽取的部分个体叫做样本. 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体. 样本容量 样本中个体的数目称为样本容量.（无单位） 一般地,样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确. 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫 做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”、“绘画”、“书法”和“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： 所开设校本课程条形统计图所开设校本课程扇形统计图 (1)参加此次问卷调查的学生人数是 人，将条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，选择“书法”的学生所对应的扇形圆心角的度数是 ； (3)请估计该校七辆级名学生中选择“绘画”课程的约有多少人？ 【答案】(1)，补图见解析； (2)； (3)人． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（）用选择“街舞”的人数除以其百分比可求出参加此次问卷调查的学生人数，进而求出选择“绘画”的学生人数，即可补全条形统计图； （）用乘以选择“书法”的人数占比即可求解； （）用乘以选择“绘画”的人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【详解】（1）解：参加此次问卷调查的学生人数是人， 故答案为：， ∴选择“绘画”的学生人数为人， 补全条形统计图如下： （2）解：选择“书法”的学生所对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：； （3）解：， 答：估计该校七辆级名学生中选择“绘画”课程的约有人． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）为了解学生对《长津湖》和《长津湖之水门桥》这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：《长津湖》得分：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表： 平均数 众数 中位数 《长津湖》 8.2 9 b 《长津湖之水门桥》 7.8 c 8 《长津湖之水门桥》得分情况扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中的b= ，c= ； (2)根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？ 请说明理由； (3)若该校九年级1200名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下《长津湖之水门桥》这部作品大约可得到多少个满分？ 【答案】(1)8.5，8 (2)该校九年级学生对《长津湖》评价更高，理由见解析 (3)420个 【知识点】借助调查做决策、由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数 【分析】本题考查统计表，扇形统计图，中位数、众数、平均数，解题的关键是∶ （1）根据中位数、众数的意义可求出b、c的值； （2）通过平均数、中位数、众数的比较得出答案； （3）求出两部作品满分人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：《长津湖》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是8.5，即， 《长津湖之水门桥》调查得分∶6分占，7分占，8分占，9分占，10分占， 出现次数最多的是8分，因此众数是8，即． 故答案为：8.5，8； （2）解：该校九年级学生对《长津湖》评价更高， 理由为：《长津湖》调查得分的平均数、中位数、众数均比《长津湖之水门桥》高； （3）解：《长津湖之水门桥》调查得分为“10分”所占的百分比为：， ∴（个）． 答：这两部作品一共大约可得到420个满分． 3．（2024·江苏常州·模拟预测）“走进数学世界，感受完美生活．”为增进全体学生对数学文化的了解，临海学校组织了趣味数学知识竞赛，随机抽取若干名学生的成绩，对数据进行整理和分析，现将抽取的学生成绩用（分）表示，并将调查数据分成四组：，，，，其中组分数段内，所有学生得分各不相同，组学生的成绩分别为：86、86、88、86、83、86． 根据调查数据绘制了以下不完整的统计图： 根据图中信息回答下列问题： (1)本次共抽查了 名学生，请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，组所对应的圆心角的度数为 ； (3)竞赛成绩超过80分视作优秀，若该校有2400名学生，根据抽样调查结果，估计该校有多少名学生获得优秀？ 【答案】(1)20，见解析 (2)54 (3)估计该校有1800名学生获得优秀 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体： （1）根据A组分数段人数除以所占比例即可得到调查总人数，再求出C组人数即可补全条形统计图； （2）用乘以C组所占比例即可求出组所对应的圆心角的度数； （3）求出样本中优秀所占比例，再乘以2400即可得出结论． 【详解】（1）解：本次共抽查的人数为：（人）， C组人数为：（人）， 补全条形统计图； 故答案为：20； （2）解：C组人数所占比例为：， C组所对应的圆心角的度数为， 故答案为：54； （3）解：（名）， 答：估计该校有1800名学生获得优秀． 4．（2024·河南周口·二模）为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下． a．甲校学生成绩的扇形统计图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：72，73，73，75，75，77，78，78． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表： 学校 平均数 中位数 甲 n 乙 (1)填空： _______， _______； (2)在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有q人，则p_______q（填“”或“”）； (3)通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由，并给出一条合理化的建议． 【答案】(1)；74 (2) (3)乙学校学生的“思维创新能力”更强；理由见解析（写出一条，合理即可） 【知识点】由扇形统计图求某项的百分比、利用平均数做决策、求中位数、运用中位数做决策 【分析】本题考查中位数、平均数以及扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数的定义和百分比之和为1求解即可； （2）根据题意求出，即可求解； （3）根据中位数、平均数即可解答． 【详解】（1）解：甲班组人数所占的百分比为， ， ， 甲校学生成绩排在第20，21位的是73，75， 所以甲校学生成绩的中位数； （2）解：，理由如下： 抽取的甲校的学生中，成绩的平均分为， ． 乙校的学生中，成绩的平均分为，中位数为，且， ． ； （3）解：乙校学生的“思维创新能力”更强， 理由如下：在抽取的竞赛学生的成绩中，乙校学生成绩的平均数和中位数均比甲校大． 建议：加强学生思维训练，鼓励学生进行创造性的活动；多引导学生自主学习，激发学生的学习兴趣和挑战欲望（写出一条，合理即可）． 5．（2024·江苏镇江·二模）2023年9月18日，据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第四课定于9月21日下午15时45分开课，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮将面向全国青少年进行太空科普授课，3名航天员展示介绍中国空间站梦天实验舱工作生活场景，演示球形火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验，并与地面课堂进行互动交流．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 成绩频数分布表 成绩x（分） 频数 4 a 14 b 4 50名学生“航空航天知识”测试成绩（百分制）扇形统计图 A： B： C： D： E： 成绩在这一组的是：（单位：分） 70  70  71  72  72  74  77  77  78  78  78  79  79  79 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中________，________．在这次测试中，成绩的中位数是________分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为________． (2)这次测试成绩的平均数是76.6分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)10，18，78.5， (2)乙的说法不正确，理由见解析 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数 【分析】本题考查求中位数、平均数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据频率频数总数，即可求出的值，再由各组频数之和等于样本容量可求出的值，根据中位数的定义求出中位数，用成绩不低于80分的人数除以被测试的人数； （2）根据平均数、中位数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ， 将这50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是78.5， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为； 故答案为：10，18，78.5，； （2）解：乙的说法不正确， 利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是78.5分，甲的测试成绩是77分，因此甲的成绩在一半以下． 6．（2024·江苏盐城·三模）某校九年级组织某次数学测试中，有一道满分为分的数学小作文题，其评分标准分为A、B、C、D、E五个等级，分别对应得分1分、3分、5分、8分、分． 为了解九年级学生数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以人为一组进行了随机分组，并从中随机抽取了3个小组学生的答卷进行统计分析，过程如下：    【整理与描述】 （1）请补全第1小组得分条形统计图； （2）在第2小组得分扇形统计图中，求“得分为8分”这一项所对应的圆心角度数为 ； 【分析与估计】 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 第1小组 a 8 第2小组 b 1 3 第3小组 5 c （3）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ； （4）若该校九年级有名学生，请你估计该校九年级学生在测试中得分为分的人数； 【评价与建议】 （5）结合你的分析，请给第2小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），，；（4）人；（5）见解析 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求一组数据的平均数、求中位数、求众数 【分析】本题考查了统计图与数据的分析结合，熟练掌握统计图与数据分析是解题的关键． （1）小组人数人减去其他等级的人数即可； （2）用乘以“得分为8分”这一项的百分比即可； （3）根据平均数、众数和中位数的定义计算即可； （4）利用样本估计总体计算即可； （5）第2小组的学生得1分和3分的占，据此解答即可． 【详解】（1）第一小组等级的人数为（人）， 补全条形图如图：    （2）由图可知第2小组“得分为8分”这一项的百分比为， 则第2小组“得分为8分”这一项所对应的扇形圆心角为， 故答案为：； （3）第1小组得分出现次数最多的是分，共出现8次，因此众数为， 第2小组得分的平均数为， 第3小组得分的中位数为， 故答案为：，，； （4）（人）， 答：估计该校九年级学生在测试中得分为分的人数为人； （5）第2小组的学生得1分和3分的占，因此要加强对知识的学习和巩固（合理即可）． 考点二 概率 ►题型01 概率 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）某校举办手抄报评比，组委会将同学们交来的作品分为四组，并对每一组的件数进行统计．已知，从第一组至第四组的作品数量之比依次为，第三组的件数是，请回答以下问题： (1)经评比，第二组和第四组分别有件和件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？ (2)手抄报评比结束后，组委会决定从件最优秀的作品，，，中选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示，的概率． 【答案】(1)第四组，理由见解析； (2)． 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法和或画树状图法，简单的概率公式，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设第四组的作品数量为件，根据题意算出第二组与第四组的作品数量，即可算出概率，得出结论； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及刚好展示的结果，即可求解． 【详解】（1）解：第四组的获奖率较高．理由如下： 设第四组的作品数量为件，则第一组的作品数量为件，第二组的作品数量为件，第三组的作品数量为件， ， 解得：， 第二组的作品数量为件， 第四组的作品数量为件， 第二组的获奖率为，第四组的获奖率为， ∵， 第四组的获奖率较高； （2）解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中刚好展示，的结果有：，，共种， 刚好展示，的概率为． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学从学校，两个餐厅中随机选择一个餐厅就餐． (1)求甲、乙恰好选择的都是餐厅的概率； (2)甲、乙选择餐厅，丙、丁选择餐厅的概率是___________． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表或画树状图法求概率，概率公式求概率，解题的关键是数形结合． （1）利用概率公式求解即可； （2）画出树状图，得出所有的结果数和甲、乙选择餐厅，丙、丁选择餐厅的结果数，即可求解． 【详解】（1）解：甲有，两个餐厅可选择，乙也有，两个餐厅可选择， 甲、乙的选择有：，，，， 甲、乙恰好选择的都是餐厅的概率是； （2）画树状图如下： 由图可知，一共有种等可能的结果数，其中甲、乙选择餐厅，丙、丁选择餐厅的结果数有种， 甲、乙选择餐厅，丙、丁选择餐厅的概率是， 故答案为：． 3．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球． (1)从甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________； (2)从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率以及根据概率公式求概率． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及从两个袋子中摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种， ∴从甲袋子中摸出的球是白球的概率是． 故答案为：． （2）（2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从两个袋子中摸出的球都是红球的结果有4种， ∴从两个袋子中摸出的球都是红球的概率为． 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）在一个箱子里放有1个白球和3个红球，它们除颜色外其余都相同． (1)若小明从箱子里任意摸出一个球，求摸出这个球是红球的概率； (2)若小明第一次从箱子里任意摸出一个球，记下颜色后放回，第二次再从中任意摸出一个球．请用树状图或列表格的方法求出两次摸出的球一次是红球，一次是白球的概率． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、概率公式等知识点．掌握“概率所求情况数与总情况数之比”是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可． （2）用列表法表示出所有的等可能情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵箱子里放有1个白球和3个红球， ∴小明从箱子里任意摸出一个球，摸出这个球是红球的概率为； （2）解：列表如下： 白 红 红 红 白 （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 所有等可能的情况有16种，其中两次摸出的球一次是红球，一次是白球的情况有6种， 所以摸出的球中两次摸出的球一次是红球，一次是白球的概率为． 5．（2025·江苏宿迁·一模）一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字，和． (1)从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是无理数的概率是______； (2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为请用列表法或画树状图法求出x与y的乘积是有理数的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出小球上的数字是无理数的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及x与y的乘积是有理数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出小球上的数字是无理数的结果有2种， 从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是无理数的概率是． 故答案为： （2）解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中x与y的乘积是有理数的结果有：，，，共3种， 与y的乘积是有理数的概率为． ►题型02 频率和概率 6．（2024·江苏苏州·一模）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果． (1)根据频率与概率关系的知识，请估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率约是______（精确到0.01），其中红球的个数是______； (2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列表或画树状图法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率． 【答案】(1)0.75，3 (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）通过图中的数据，随着次数的增多，摸到红球的频率越稳定在0.75左右，得出红球的概率，再用红球的概率乘以总球数，即可得出红球的个数； （2）画树状图，得出所有等可能的情况是，找出符合条件的情况是，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是0.75， （个）， 答：红球的个数是3个． 故答案为：0.75，3； （2）由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球． 列表如下： 白 红1 红2 红3 白 白，红1 白，红2 白，红3 红1 红1，红2 红1，红3 红2 红2，红3 红3 可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6种，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有3种结果，即（白，红1），（白，红2），（白，红3）， 所以摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率是． 7．（2024·江苏镇江·中考真题）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：    (1)__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）； (2)求实践组摸到黄球的频率； (3)根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？ 【答案】(1)，； (2)； (3)实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 【知识点】由条形统计图推断结论、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了频率分布直方图，概率的计算公式，解题关键是正确判断． （1）直接判断得图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数； （2）用频率公式可得； （3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 【详解】（1）解：图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数； 故答案为：，． （2）解：实践组摸到黄球的频率； （3）解：实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 8．（2024·江苏泰州·三模）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别． 将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验． 下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 (1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为__________； (2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球后，则“一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率”与“一次性摸出两个球颜色不相同的概率”相等．你同意小明的意见吗？请说明理由． 【答案】(1)2 (2)不同意，见解析 【知识点】已知概率求数量、列表法或树状图法求概率、由频率估计概率 【分析】（1）用总球数乘以摸到红球的概率即可得出答案； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求出概率，即可得出答案． 此题考查了列表法或树状图法求概率以及利用频率估计概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：由表可得：当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率为， ∴红球的个数：； （2）解：不同意小明的意见；理由如下： 列表：设红球为，白球为，， 一共有12种等可能的结果，一次性都摸到球的颜色相同的情况有4种，一次性都摸到球的颜色不相同的情况有8种， ∴一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率，一次性摸出两个球恰好颜色不同的概率， ∵， ∴“一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率”与“一次性摸出两个球颜色不相同的概率”不相等． 公式法 P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 【注意事项】 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏. 2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等. 3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示. 画树状图法 当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1) 明确试验由几个步骤组成； 2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果； 3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 用频率估计概率的方法 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 1．（2024·江苏扬州·三模）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同． (1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的概率为 ； (2)小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率，用树状图或表格求概率，熟悉掌握树状图或表格法列出所有可能性是解题的关键． （1）根据摸出的可能性运算求解即可； （2）运用列表法列出所有可能性，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸出的球为标有数字的结果有种， ∴摸出的球为标有数字的概率为； （2） 列表如下： 0 1 2 0 1 2 由表格可知，共有种等可能的结果． 其中点在坐标轴上的结果有：，，，，，共种， ∴点在坐标轴上的概率为． 2．（2024·江苏扬州·三模）2024年4月26日，扬州早茶文化周在江苏扬州运河三湾生态文化公园开幕，以美食为媒，共叙友好情谊，共话合作发展．今年上榜的21道早茶（早餐）地标美食，其中北京2道，北京养身五黑粥和北京豆汁；上海1道上海蟹壳黄；南京1道秦淮八绝；扬州3道等等，包括扬州蟹黄包，扬州三丁包两种扬州包子和扬州翡翠烧麦3道早茶有幸入围．监定专家小组在品尝后，给出了一个提议：从北京2道中选取一道，从扬州3道中选取一道，拼成一个“京扬汇”．（若每道被选中的机会均等） (1)若在扬州3道里面，选出“扬州三丁包”的概率为______； (2)请用列表或树状图的方法，若从“京扬汇”中，同时选中“北京豆汁”和“扬州包子”的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用树状图或列表法求解概率， （1）总计有3道扬州菜，选出1道“扬州三丁包”的概率是； （2）北京养身五黑粥、北京豆汁、扬州蟹黄包，扬州三丁包、扬州翡翠烧麦分别用1、2、3、4、5来代表，根据题意先列出表格，得出同时选中“北京豆汁”和“扬州包子”（扬州包子包含两种包子）的结果数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得每道扬州菜被选中的概率相同， ∴总计有3道扬州菜，选出1道“扬州三丁包”的概率是； 故答案为：； （2）解：北京养身五黑粥、北京豆汁、扬州蟹黄包，扬州三丁包、扬州翡翠烧麦分别用1、2、3、4、5来代表， 根据题意列表如下： 3 4 5 1 2 由表格可知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中，同时选中“北京豆汁”和“扬州包子”（扬州包子包含两种包子）的结果有2种， ∴． 3．（2024·江苏徐州·三模）为了丰富学生文化生活，某校举办了学生“百科知识竞赛”．比赛题库分类为：A．时事政治；B．历史文化；C．生活常识；D．艺术知识．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小明参加“单人组”，他从中随机抽取一组比赛题库，恰好抽中“生活常识”题库的概率是______． (2)小华和小冬组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛题库不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小华和小冬都没有抽到“艺术知识”题库的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：李小明参加“单人组”，他从中随机抽取一组比赛题库，恰好抽中“生活常识”题库的概率是； （2）列表如下： A B C D A B C D 由表知，共有12种等可能结果，其中小华和小冬抽到题库不同且都没有抽到“艺术知识”题库有6种结果， 所以小华和小冬都没有抽到“艺术知识”题库的概率为． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． (1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； (2)若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； （2）解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 5．（2024·江苏盐城·三模）用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． (1)如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为 ； 如图2，用2个电子元件①，②组成一个电路系统，系统正常工作的概率为 ；          (2)如图3，用3个电子元件①，②，③组成一个电路系统，现提供两种连接方案，已知方案1电路系统正常工作的概率为，求出方案2电路系统正常工作的概率，说明哪种连接方案更稳定可靠．（用画树状图或列表方法求解） 【答案】(1)； (2)方案2电路系统正常工作的概率；方案1更稳定 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）根据概率公式得出只用1个电子元件①，得出该电路为断路的概率；先列表得到用2个电子元件①，②组成一个电路系统时，所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； （2）先列表得到方案2的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】（1）解：只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为； 每个元件正常工作分别记为：，，每个元件不能正常工作分别记为：，， 用2个电子元件①，②组成一个电路系统，所有情况如下表：      ∵从到的电路共4种等可能结果，其中该电路为正常状态的有1种， ∴该电路为正常状态的概率为； （2）解：每个元件正常工作分别记为：，，，每个元件不能正常工作分别记为：，，，列表如下：      ∵共有8种等可能的情况数，其中该电路为正常状态的有2种， ∴方案2电路系统正常工作的概率为； ， 方案1更稳定可靠． 6．（2024·江苏苏州·二模）一条平江路，半座姑苏城．不少人来到平江路，不仅仅满足于逛街品尝美食和拍照留念的“打卡游”，她们更期待穿上与周围环境相协调的传统服饰，深入探索街区的魅力．这天，小希和小傅两人来到一家汉服店，老板介绍有A，B，C，D四款汉服可供选择． (1)小希选中的汉服是B款的概率是 ； (2)小希和小傅各自挑选一款喜欢的汉服，请用树状图或者列表的方法求出她们心有灵犀选中同一款汉服的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，正确的列出表格，掌握概率公式，是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，进行求解即可． 【详解】（1）解：小希选中的汉服是B款的概率是； （2）列出表格如下： A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 共16种等可能的结果，其中两人选中同一款汉服的结果有4种， ∴． 7．（2024·江苏连云港·二模）某年级组对该年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你爸妈如果给你添一个弟弟（或妹妹），你的态度是什么？”共有如下四个选项（要求仅选择一个选项）： A．非常愿意 B．愿意 C．不愿意 D．无所谓 下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答以下问题： (1)试问本次问卷调查一共调查了多少名学生？并补全条形统计图； (2)若该年级共有300名学生，请你估计全年级可能有多少名学生支持（即态度为“非常愿意”和“愿意”）爸妈给自己添一个弟弟（或妹妹）？ (3)在年级活动课上，老师决定从本次调查回答“非常愿意”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“非常愿意”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到的两名同学中刚好有这位男同学的概率． 【答案】(1)40名；条形图见解析 (2)120名 (3) 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）用选的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，再用总人数乘以选所占的百分比得到选的人数，然后用总人数分别减去选、、的人数得到选的人数，再补全条形统计图； （2）利用样本估计总体，用300乘以样本中选和选所占的百分比可估计全年级支持的学生数； （3）“非常愿意”的四名同学分别用1、2、3、4表示，其中1表示男同学，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解： （名， 所以本次问卷调查一共调查了40名学生， 选的人数（人， 选的人数（人 补全条形统计图为： （2）解：（名， 所以估计全年级可能有120名学生支持； （3）解：“非常愿意”的四名同学分别用1、2、3、4表示，其中1表示男同学， 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果数为6， 所以选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率． 【点睛】本题考查了样本容量，条形统计图，用样本估计总体，用列表法或树状图法求概率，解题关键是通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． 8．（2024·江苏宿迁·二模）甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩(百分制)统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲剧社中一名学生的声乐成绩是分，表演成绩是分，按声乐成绩占，表演成绩占计算学生的综合成绩，则这名学生的综合成绩为________分； (2)入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件： 首先，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于分；其次，两项测试成绩都低于分的人数占比不超过． 那么甲剧社________．(填“符合”或“不符合”)入选参加展演的条件； (3)主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，请用画树状图或列表的方法求出被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率． 【答案】(1) (2)符合 (3) 【知识点】借助调查做决策、求加权平均数、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查统计的应用、列表法与树状图法； （1）运用加权平均数计算公式即可； （2）由图可知，甲剧社声乐成绩低于75分的人数只有3人，高于75分的人数明显比低于75分的人数多，故满足至少有一项的平均成绩不低于75分；甲剧社学生中两项测试成绩都低于60分的人数为1人，计算占比可知满足第一个条件，即可得出答案． （3）观察统计图可得符合条件的学生人数．通过画树状图列出所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：这名学生的综合成绩为(分)， 故答案为：76； （2）由图可知，甲剧社声乐成绩低于75分的人数只有3人，高于75分的人数12人，高于75分的人数明显比低于75分的人数多，显然甲剧社声乐成绩的平均成绩不低于75分， ∴满足第一个条件； ∵甲剧社学生中两项测试成绩都低于60分的人数为1人，占比为， ∴满足第二个条件． ∴甲剧社符合入选参加展演的条件． 故答案为：符合． （3）由图可知，甲、乙剧社符合条件的学生各有2人，分别记为：甲1，甲2，乙1，乙2， 画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中被抽选到的这两名学生分别来自不同剧组的结果有8种， ∴被抽选到的这两名学生分别来自不同剧组的概率为． $$专题16 统计与概率 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 统计 ►题型01 数据收集与整理 ►题型02 数据分析 考点二 概率 ►题型01 概率 ►题型02 频率和概率 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 统计与概率 统计分析与概率求解 概率与统计是中考数学中的必考考点，虽然难度不大，但是分值占比较大。题型方面则是选择、填空题、解答题都有。并且，由于其特有的计算类型，易错点也比较的统一，所以需要考生在审题和计算上要特别留心。整体来说，这个考点的考题属于中考中的中低档考题，而越是容易拿分越要细心练习，否则,此类问题上一失分，压轴题都作对都不一定能抵消别人的超越。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 统计 ►题型01 数据收集与整理 1．（2024·江苏南京·模拟预测）截止到2022年12月初，南京市已经开通了两类地铁线一一市区地铁线（1号，2号，3号，4号，10号）和市域地铁线（S1，S3，S6，S7，S8，S9）．经过长期统计，其日客运量有一定规律性．下图是某月连续13天两类地铁线日客运量的折线统计图． (1)在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是___________万人，最少的一天总人数是___________万人； (2)根据图提供的信息，再写出三个不同类型的结论． 2．（2025·江苏盐城·模拟预测）某商场前五个月销售额共计万元．下表表示该商场年前月的月销售额（统计信息不全）．图表示该商场服装部各月销售额占商场当月销售额的百分比情况统计图． 年某商场月销售额统计表单位：万元 月份 月 月 月 月 月 商场月销售额 年某商场服装部各月销售额占商场当月销售额的百分比统计图（图）： 年某商场月份服装部各卖区销售额占月服装部销售额的百分比统计图（图）： (1)商场月的销售额是多少万元？ (2)服装部月的销售额是多少万元？小明同学观察图后认为，服装部月的销售额比服装部月的销售额减少了，你同意他的看法吗？请说明理由． (3)在该商场服装部，下设、、、、五个卖区，图表示在月份，服装部各卖区销售额占月服装部销售额的百分比情况统计图．结合所给信息，试着给出下个月各卖区广告投资的建议，并说明理由． 3．（2025·江苏宿迁·一模）某校团委发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食．为了让同学们理解这次活动的重要性，团委在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有___________名； (2)请把条形统计图补充完整； (3)在扇形统计图中，“剩一半左右”对应的扇形的圆心角是___________度． (4)团委通过数据分析，这次被调查的所有学生一餐浪费的食物价值可以供20名学生一周伙食支出．据此估算，该校4000名学生一餐浪费的食物价值可供多少名学生一周伙食支出？ ►题型02 数据分析 4．（2025·江苏·一模）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，我学校举行有关垃圾分类的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示： 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 b 7 八年级 a 8 c 请你根据以上提供信息，解答下列问题： (1)上表中 ， ， (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)我校七、八年级共1100名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ 5．（2024·江苏苏州·模拟预测）某校开展了“学习二十大”的知识竞赛(百分制)，七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了名学生的成绩，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如下 (数据分成五组：，，，，)； b． 七年级成绩在的数据如下 (单位: 分)：． c.七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中 ， ; (2)下列推断合理的是 ； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． (3)竞赛成绩分及以上记为优秀，该校七年级有名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）为了解学生对《长津湖》和《长津湖之水门桥》这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：《长津湖》得分：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表： 平均数 众数 中位数 《长津湖》 8.2 9 b 《长津湖之水门桥》 7.8 c 8 《长津湖之水门桥》得分情况扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中的b= ，c= ； (2)根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？ 请说明理由； (3)若该校九年级1200名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下《长津湖之水门桥》这部作品大约可得到多少个满分？ 分类 概念 注意事项 总体 所要调查对象的全体对象叫做总体. 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体. 个体 总体中的每一个考察对象叫做个体. 总体包括所有的个体. 样本 从总体中抽取的部分个体叫做样本. 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体. 样本容量 样本中个体的数目称为样本容量.（无单位） 一般地,样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确. 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫 做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”、“绘画”、“书法”和“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： 所开设校本课程条形统计图所开设校本课程扇形统计图 (1)参加此次问卷调查的学生人数是 人，将条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，选择“书法”的学生所对应的扇形圆心角的度数是 ； (3)请估计该校七辆级名学生中选择“绘画”课程的约有多少人？ 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）为了解学生对《长津湖》和《长津湖之水门桥》这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分，并进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：《长津湖》得分：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表： 平均数 众数 中位数 《长津湖》 8.2 9 b 《长津湖之水门桥》 7.8 c 8 《长津湖之水门桥》得分情况扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中的b= ，c= ； (2)根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？ 请说明理由； (3)若该校九年级1200名学生都对这两部作品进行打分，请你估计一下《长津湖之水门桥》这部作品大约可得到多少个满分？ 3．（2024·江苏常州·模拟预测）“走进数学世界，感受完美生活．”为增进全体学生对数学文化的了解，临海学校组织了趣味数学知识竞赛，随机抽取若干名学生的成绩，对数据进行整理和分析，现将抽取的学生成绩用（分）表示，并将调查数据分成四组：，，，，其中组分数段内，所有学生得分各不相同，组学生的成绩分别为：86、86、88、86、83、86． 根据调查数据绘制了以下不完整的统计图： 根据图中信息回答下列问题： (1)本次共抽查了 名学生，请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，组所对应的圆心角的度数为 ； (3)竞赛成绩超过80分视作优秀，若该校有2400名学生，根据抽样调查结果，估计该校有多少名学生获得优秀？ 4．（2024·河南周口·二模）为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下． a．甲校学生成绩的扇形统计图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：72，73，73，75，75，77，78，78． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表： 学校 平均数 中位数 甲 n 乙 (1)填空： _______， _______； (2)在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有q人，则p_______q（填“”或“”）； (3)通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由，并给出一条合理化的建议． 5．（2024·江苏镇江·二模）2023年9月18日，据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第四课定于9月21日下午15时45分开课，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮将面向全国青少年进行太空科普授课，3名航天员展示介绍中国空间站梦天实验舱工作生活场景，演示球形火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验以及又见陀螺实验，并与地面课堂进行互动交流．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 成绩频数分布表 成绩x（分） 频数 4 a 14 b 4 50名学生“航空航天知识”测试成绩（百分制）扇形统计图 A： B： C： D： E： 成绩在这一组的是：（单位：分） 70  70  71  72  72  74  77  77  78  78  78  79  79  79 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中________，________．在这次测试中，成绩的中位数是________分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为________． (2)这次测试成绩的平均数是76.6分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 6．（2024·江苏盐城·三模）某校九年级组织某次数学测试中，有一道满分为分的数学小作文题，其评分标准分为A、B、C、D、E五个等级，分别对应得分1分、3分、5分、8分、分． 为了解九年级学生数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以人为一组进行了随机分组，并从中随机抽取了3个小组学生的答卷进行统计分析，过程如下：    【整理与描述】 （1）请补全第1小组得分条形统计图； （2）在第2小组得分扇形统计图中，求“得分为8分”这一项所对应的圆心角度数为 ； 【分析与估计】 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 第1小组 a 8 第2小组 b 1 3 第3小组 5 c （3）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ； （4）若该校九年级有名学生，请你估计该校九年级学生在测试中得分为分的人数； 【评价与建议】 （5）结合你的分析，请给第2小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议． 考点二 概率 ►题型01 概率 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）某校举办手抄报评比，组委会将同学们交来的作品分为四组，并对每一组的件数进行统计．已知，从第一组至第四组的作品数量之比依次为，第三组的件数是，请回答以下问题： (1)经评比，第二组和第四组分别有件和件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？ (2)手抄报评比结束后，组委会决定从件最优秀的作品，，，中选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示，的概率． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位同学从学校，两个餐厅中随机选择一个餐厅就餐． (1)求甲、乙恰好选择的都是餐厅的概率； (2)甲、乙选择餐厅，丙、丁选择餐厅的概率是___________． 3．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球． (1)从甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________； (2)从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？ 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）在一个箱子里放有1个白球和3个红球，它们除颜色外其余都相同． (1)若小明从箱子里任意摸出一个球，求摸出这个球是红球的概率； (2)若小明第一次从箱子里任意摸出一个球，记下颜色后放回，第二次再从中任意摸出一个球．请用树状图或列表格的方法求出两次摸出的球一次是红球，一次是白球的概率． 白 红 红 红 白 （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 5．（2025·江苏宿迁·一模）一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字，和． (1)从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是无理数的概率是______； (2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为请用列表法或画树状图法求出x与y的乘积是有理数的概率． ►题型02 频率和概率 6．（2024·江苏苏州·一模）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果． (1)根据频率与概率关系的知识，请估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率约是______（精确到0.01），其中红球的个数是______； (2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列表或画树状图法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率． 白 红1 红2 红3 白 白，红1 白，红2 白，红3 红1 红1，红2 红1，红3 红2 红2，红3 红3 7．（2024·江苏镇江·中考真题）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：    (1)__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）； (2)求实践组摸到黄球的频率； (3)根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？ 8．（2024·江苏泰州·三模）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别． 将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验． 下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 (1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为__________； (2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球后，则“一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率”与“一次性摸出两个球颜色不相同的概率”相等．你同意小明的意见吗？请说明理由． 公式法 P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 【注意事项】 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏. 2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等. 3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示. 画树状图法 当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1) 明确试验由几个步骤组成； 2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果； 3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 用频率估计概率的方法 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 1．（2024·江苏扬州·三模）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同． (1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的概率为 ； (2)小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率． 0 1 2 0 1 2 由表格可知，共有种等可能的结果． 其中点在坐标轴上的结果有：，，，，，共种， ∴点在坐标轴上的概率为． 2．（2024·江苏扬州·三模）2024年4月26日，扬州早茶文化周在江苏扬州运河三湾生态文化公园开幕，以美食为媒，共叙友好情谊，共话合作发展．今年上榜的21道早茶（早餐）地标美食，其中北京2道，北京养身五黑粥和北京豆汁；上海1道上海蟹壳黄；南京1道秦淮八绝；扬州3道等等，包括扬州蟹黄包，扬州三丁包两种扬州包子和扬州翡翠烧麦3道早茶有幸入围．监定专家小组在品尝后，给出了一个提议：从北京2道中选取一道，从扬州3道中选取一道，拼成一个“京扬汇”．（若每道被选中的机会均等） (1)若在扬州3道里面，选出“扬州三丁包”的概率为______； (2)请用列表或树状图的方法，若从“京扬汇”中，同时选中“北京豆汁”和“扬州包子”的概率． 3 4 5 1 2 3．（2024·江苏徐州·三模）为了丰富学生文化生活，某校举办了学生“百科知识竞赛”．比赛题库分类为：A．时事政治；B．历史文化；C．生活常识；D．艺术知识．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小明参加“单人组”，他从中随机抽取一组比赛题库，恰好抽中“生活常识”题库的概率是______． (2)小华和小冬组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛题库不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小华和小冬都没有抽到“艺术知识”题库的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明 A B C D A B C D 4．（2024·江苏苏州·中考真题）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． (1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； (2)若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 5．（2024·江苏盐城·三模）用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． (1)如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为 ； 如图2，用2个电子元件①，②组成一个电路系统，系统正常工作的概率为 ；          (2)如图3，用3个电子元件①，②，③组成一个电路系统，现提供两种连接方案，已知方案1电路系统正常工作的概率为，求出方案2电路系统正常工作的概率，说明哪种连接方案更稳定可靠．（用画树状图或列表方法求解）           6．（2024·江苏苏州·二模）一条平江路，半座姑苏城．不少人来到平江路，不仅仅满足于逛街品尝美食和拍照留念的“打卡游”，她们更期待穿上与周围环境相协调的传统服饰，深入探索街区的魅力．这天，小希和小傅两人来到一家汉服店，老板介绍有A，B，C，D四款汉服可供选择． (1)小希选中的汉服是B款的概率是 ； (2)小希和小傅各自挑选一款喜欢的汉服，请用树状图或者列表的方法求出她们心有灵犀选中同一款汉服的概率． A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 7．（2024·江苏连云港·二模）某年级组对该年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你爸妈如果给你添一个弟弟（或妹妹），你的态度是什么？”共有如下四个选项（要求仅选择一个选项）： A．非常愿意 B．愿意 C．不愿意 D．无所谓 下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答以下问题： (1)试问本次问卷调查一共调查了多少名学生？并补全条形统计图； (2)若该年级共有300名学生，请你估计全年级可能有多少名学生支持（即态度为“非常愿意”和“愿意”）爸妈给自己添一个弟弟（或妹妹）？ (3)在年级活动课上，老师决定从本次调查回答“非常愿意”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“非常愿意”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到的两名同学中刚好有这位男同学的概率． 8．（2024·江苏宿迁·二模）甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩(百分制)统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲剧社中一名学生的声乐成绩是分，表演成绩是分，按声乐成绩占，表演成绩占计算学生的综合成绩，则这名学生的综合成绩为________分； (2)入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件： 首先，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于分；其次，两项测试成绩都低于分的人数占比不超过． 那么甲剧社________．(填“符合”或“不符合”)入选参加展演的条件； (3)主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，请用画树状图或列表的方法求出被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率． $$