专题15 几何类比学习型问题（讲练，3考点+6题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题15 几何类比学习型问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的类比学习问题 ►题型01 等腰三角形中的类比学习 ►题型02 直角三角形中的类比学习 考点二 四边形中的类比学习问题 ►题型01 矩形中的类比学习 ►题型02 菱形中的类比学习 ►题型03 正方形中的类比学习 考点三 圆中的类比学习问题 ►题型01 圆中的类比学习 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 几何类比学习 数学思想中的类比学习法 该专题内容是初中几何中最重要的部分，是几何压轴中非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2024年各地中考还将出现，在解答题中出现的可能性较大． 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的类比学习问题 ►题型01 等腰三角形中的类比学习 1．（2023·江苏盐城·模拟预测）【特例感知】 （1）如图，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图，和是等腰直角三角形，，写出线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展运用】 （3）如图，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 2．（2024·河南许昌·一模）问题解决 （1）如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．则线段，的数量关系为__________，的度数为__________； 类比迁移 （2）如图2，是等腰直角三角形，，点D，E分别在，边上，，交于点F，且． ①判断线段之间的数量关系并说明理由； ②求的度数． 拓展探究 （3）如图3，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点E是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. ►题型02 直角三角形中的类比学习 3．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 4．（2024·江苏盐城·三模）已知：中，． 操作发现： 如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，设旋转角为，的面积为，的面积为，当 °时，与全等，此时与的数量关系是 ． 猜想论证： 当绕点顺时针旋转得到如图1所示的位置时，试猜想上述与的数量关系是否成立，若成立，请为加以证明；若不成立，请说明理由． 类比探究： 如图2，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，设的面积为，的面积为，试求与比值． 拓展提升： 如图3，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，，则的最大值为 ． 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 1．（2024·江苏南通·二模）直观感知： （）如图，在四边形中，是等边三角形，，，将绕点顺时针旋转得，点与点重合，点的对应点是点．补全图形，并直接写出的度数； 类比探究： （）如图，在四边形中，，，，，，求的长． 拓展运用： （）如图，在四边形中，，，，，，在的变化过程中时，求的最大值． 2．（2024·甘肃兰州·一模）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形 变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线． 【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明： ①；②； 【类比探究】（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明： 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动（），直线与直线相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值． 3．（2024·江苏盐城·二模）【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点是上一点，连接，过点作于，交于点． 【特例猜想】如图，当时，直接写出与之间的数量关系为_____； 【问题探究】如图，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由； 【类比运用】如图3， 连接， 若，，，求的长． 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）（1）【感知】如图1，在等边三角形的外角内引射线，作点关于的对称点点在 内，连接，、分别交于点、．求的度数．    （2）【类比探究】如图2，把（1）中的“等边三角形”改为“等腰直角三角形，其余条件不变．    ①________； ②猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，点为射线上的点，且，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，在内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交 于点、，当点为的重心时，求线段的长．    考点二 四边形中的类比学习问题 ►题型01 矩形中的类比学习 1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）（1）【操作发现】 如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示． ①问：的值是否变化?若不变，求的值；若变化，请说明理由． ②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度． （2）【类比探究】 如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则面积的最大值为_____． 2．（2022·江苏扬州·三模）在矩形中，， 【问题发现】 (1)如图1，E为边上的一个点，连接，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由． 【类比探究】 (2)如图2，G为边上的一个点，E为边延长线上的一个点，连接交于点H，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图3，点E从点B出发沿射线运动，连接，过点B作的垂线交射线于点F，过点E作的平行线，过点F作的平行线，两平行线交于点H，连接，在点E的运动的路程中，线段的长度是否存在最小值？ 若存在，求出线段长度的最小值；若不存在，请说明理由． 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 3）对角线互相平分且相等； 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心. 【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半. 矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形. 【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明． ►题型02 菱形中的类比学习 3．（2024·江苏盐城·一模）综合与探究 【特例感知】 （1）如图1，E是正方形外一点，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接.求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在菱形中，，P是的中点，将线段分别绕点P顺时针旋转得到，交于点G，连接，求四边形的面积； 【拓展提升】 （3）如图3，在平行四边形中，，∠B为锐角且满足. P是射线上一动点，点C、D同时绕点P顺时针旋转得到点，当△为直角三角形时，直接写出的长． 4．（2024·江苏盐城·三模）【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到， ①旋转中心是点______；旋转角最少是______度． ②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由． 【结论应用】 （2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点（不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长． 菱形的性质： 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心. 菱形的判定： 1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3）四条边相等的四边形是菱形. 【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分． 菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）. 菱形的周长公式：周长l=4a（其中a为边长）. ►题型03 正方形中的类比学习 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则______； 【知识迁移】如图3，，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为______． 6．（2023·江苏盐城·一模）【问题思考】如图1，点E是正方形内的一点，过点E的直线，以为边向右侧作正方形，连接，直线与直线交于点P，则线段与之间的关系为______． 【问题类比】 如图2，当点E是正方形外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 如图3，点E是边长为6的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P到边的最大距离为______（直接写出结果）． 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 【补充】正方形对角线与边的夹角为45°. 正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 正方形的面积公式： ＝对角线乘积的一半=2S△ABC=4S△AOB. 正方形的周长公式：周长= 4a 1．（2023·江西上饶·模拟预测）综合与探究    (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 2．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 3．（2024·广西贺州·三模）综合与实践 【课本再现】 （1）如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．在实验与探究中，小州发现通过证明，可得．请帮助小州完成证明过程． 【类比探究】 （2）如图②，若四边形是矩形，为对角线上任意一点，过作，交于点，当时，求证：． （3）如图③，若四边形是平行四边形，为对角线上任意一点，点在上，且，求证：． 4．（2024·江西鹰潭·二模）在数学兴趣小组活动中，同学们由一道有关正方形中两条互相垂直的线段的数量关系的问题出发，进行了一系列类似的数学探究活动，请你解决以下问题． 【母题溯源】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，，垂足为点G，则 ； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点E是上一点，，垂足为点G，求的值； （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求的值； 5．（2024·湖北孝感·模拟预测）（1）【问题情景】：如图1，正方形中，点是边上一点（不与点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路： ①小聪：过点作的延长线的垂线； ②小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． （2）【类比探究】如图2，点是菱形的边上一点（不与点重合），，连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______（用含的代数式表示）； （3）【学以致用】：如图3，在（2）的条件下，连接，与相交于点，当时，若，求的值． 6．（2024·辽宁阜新·三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_____； （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则______． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求 ①的值； ②连接，若，求的值． 考点三 圆中的类比学习问题 ►题型01 圆中的类比学习 1．（2023·江苏淮安·一模）问题背景： 如图1，四边形是的内接四边形，连接、，，求证：． (1)方法感悟 小颖认为可用截长法证明：如图1-1，在上截取，连接，只需证明______，可得______即可； 小军认为可用补短法证明：如图1-2，延长至点，使得，连接，只需证明______，可得______即可； (2)类比探究 如图2，四边形是的内接四边形，连接、，是的直径，，试用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展提升 如图3，四边形是的内接四边形，连接、，若是的直径，，，，则________． 2．（2022·江苏盐城·一模）【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角”与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？ 【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题： 解：连接BC，OA，OC，OB，OD． 如图2，在△BCE中，， ∵，， ∴∠AEC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD） 即：∠AEC的度数＝（的度数+的度数） (1)如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED的度数是 　 　． (2)【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角． 如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系． 【灵活运用】 (3)如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由． 性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．） 解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明． 判定 1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. 3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 1．（2023·河南商丘·一模）如图，在上有位于直径的两侧的定点和动点，，点在半圆弧上运动不与、两点重合，过点作直线的垂线，垂足为点． (1)如图，求证：； (2)类比（1）中的情况，当点运动到什么位置时，？请在图中画出，并说明理由． (3)如图，当点运动到某一位置时，有时，求的度数． 2．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）【特例感知】 如图①，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD＝5，BD＝12，则点D到直线BC的距离为 　 　，点D到直线AB的距离为 　 　． （2）【类比迁移】 如图②，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，探索线段AB、BE、BC之间的数量关系，并说明理由． （3）【问题解决】 如图③，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，，BD平分∠ABC，BD＝，AB＝12，则△ABC的内心与外心之间的距离为 　 　． 3．（2023·山东青岛·二模）【问题提出】如图1，为内接三角形，已知，圆的半径为R，探究a，R，之间的关系．    【解决问题】 如图2，若为锐角，连接并延长交于点D，连接，则，在中，为的直径，，所以． 所以在中建立a，R，的关系为________________． 所以在内接三角形中，a，R，之间的关系为________________． 类比锐角求法，当为直角和钝角时都有此结论． 【结论应用】 已知三角形中，，则外接圆的面积为________． 4．（2024·山东淄博·二模）已知，内接于，平分交边于点E，连接． (1)如图1，过点D作直线，求证：是的切线： (2)小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列的探究，发现线段之间存在着一种数量关系； 【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当时，线段之间满足数量关系 【推理证明】延长AC到点P使得 平分 又 为正三角形 【类比探究】如图2，当时，试猜想线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； 【一般归纳】如图3，当时，试猜想线段之间满足的数量关系（用含有的三角函数表示），并证明你的结论； 【拓展应用】如图4，过点E作，垂足为G，过点E作，垂足为H，求证：． $$专题15 几何类比学习型问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的类比学习问题 ►题型01 等腰三角形中的类比学习 ►题型02 直角三角形中的类比学习 考点二 四边形中的类比学习问题 ►题型01 矩形中的类比学习 ►题型02 菱形中的类比学习 ►题型03 正方形中的类比学习 考点三 圆中的类比学习问题 ►题型01 圆中的类比学习 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 几何类比学习 数学思想中的类比学习法 该专题内容是初中几何中最重要的部分，是几何压轴中非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2024年各地中考还将出现，在解答题中出现的可能性较大． 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 三角形中的类比学习问题 ►题型01 等腰三角形中的类比学习 1．（2023·江苏盐城·模拟预测）【特例感知】 （1）如图，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图，和是等腰直角三角形，，写出线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展运用】 （3）如图，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段问题(旋转综合题)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可得线段与的数量关系； （2）通过证明，可得结论； （3）通过证明，可得，则点的运动路线是以为圆心，为半径的圆，即可求解． 【详解】解：（1）线段与的数量关系是：． 理由：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作，且，连接，，       ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴点的运动路线是以为圆心，为半径的圆， ∴当在的延长线上时，的值最大，最大值为：， ∴的最大值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 2．（2024·河南许昌·一模）问题解决 （1）如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．则线段，的数量关系为__________，的度数为__________； 类比迁移 （2）如图2，是等腰直角三角形，，点D，E分别在，边上，，交于点F，且． ①判断线段之间的数量关系并说明理由； ②求的度数． 拓展探究 （3）如图3，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点E是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）①；②；（3）长的最小值为，最大值为． 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，，进而根据三角形外角的性质即可求解； （2）证明，得出，，进而根据（1）的方法即可求解； （3）由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上，根据题意画出图形，连接．当点在线段上时，取得最小值，当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值，利用勾股定理以及线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，即． ∴， ∴． ∴，，即； ∴； （3）长的最小值为，最大值为． 由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上（，则，劣弧所对的圆周角是）． 如解图1所示，． ∵， ∴． 连接．当点在线段上时，取得最小值， 如解图1所示，此时． ∴． ∴长的最小值为． 当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值． 如解图2所示，由（2），知． ∴长的最大值为8． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. ►题型02 直角三角形中的类比学习 3．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；；（） 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解； （2）①先证和是等腰直角三角形，可得，，，，可求，，通过证明，可求，即可求解； ②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）连接，，，由题意可得点在线段的垂直平分线上运动，由题意易得，当点E与点A重合时，过点M作于点H，当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，进而得出点M的运动轨迹，然后问题可求解． 【详解】（）证明：连接， ∵，， 且当时，， ，，，， ， ， ∴∠EDF， ， 在和中， ， ∴， ， ， 即； （），理由如下： 过点作于，于， ，， ， ，， 和是等腰直角三角形， ，，，，， ， ， 设，则， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ； 如图4，当点在射线上时，过点作于，于， ，， ， ，， 和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴， ， 设，， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ； 当点在的延长线上时，如图5， ，， ， ，， 和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴， ， 设，， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ； 综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，； （3）解：连接，，，如图（1）， 的中点为，， ， ∴点在线段的垂直平分线上运动， ∵点D为靠近B的四等分点， ∴， 由（2）得， ∴ 当点E与点A重合时，过点M作于点H，如图， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，代入得， ∴； 当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，如图， ∵，代入得， ∴， ∴， 如图，点M的运动轨迹即为的长， ∵在Rt中， ∴ ∴ ∴点运动的路径长为 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 4．（2024·江苏盐城·三模）已知：中，． 操作发现： 如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，设旋转角为，的面积为，的面积为，当 °时，与全等，此时与的数量关系是 ． 猜想论证： 当绕点顺时针旋转得到如图1所示的位置时，试猜想上述与的数量关系是否成立，若成立，请为加以证明；若不成立，请说明理由． 类比探究： 如图2，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，设的面积为，的面积为，试求与比值． 拓展提升： 如图3，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，，则的最大值为 ． 【答案】操作发现：，；猜想论证：成立，证明见解析；类比探究：；拓展提升：的最大值为． 【知识点】根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】操作发现：根据旋转的性质和三角形的判定与性质可得当时，，进而得到，，即可得到与的数量关系； 猜想论证：过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，得到，可得，即可证明； 类比探究：过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，得到，进而得到，最后根据三角函数求出的值即可； 拓展提升：在旋转过程中，当时，，，此时的值最大，，根据三角函数求出即可． 【详解】操作发现：如图，当时，又旋转可得：，，， ， ， 此时，， ， 即， 故答案为：，； 猜想论证：成立，证明如下： 如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ， ， ， 又， ， ， ， ； 类比探究： 如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 由论证猜想得， 又，， ， ， ，， ， 在中，， ； 拓展提升：在旋转过程中，当时，，，此时的值最大， ， ， ，， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查了三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线． 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 1．（2024·江苏南通·二模）直观感知： （）如图，在四边形中，是等边三角形，，，将绕点顺时针旋转得，点与点重合，点的对应点是点．补全图形，并直接写出的度数； 类比探究： （）如图，在四边形中，，，，，，求的长． 拓展运用： （）如图，在四边形中，，，，，，在的变化过程中时，求的最大值． 【答案】（）补图见解析，；（）；（）． 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质、已知正切值求边长 【分析】（）根据题意补全图形即可，设相交于点，由旋转得，由等边三角形的性质得，即得，得到，由三角形内角和定理得，再根据三角形外角性质即可得到的度数； （）将绕点顺时针旋转得，点与点重合， 点的对应点是点，连接，可得是等腰直角三角形，得到，，，进而得，再利用勾股定理即可求解； （）将各边扩大到倍，绕点顺时针旋转的度数，得，点与点重合，点的对应点是点，连接，可得，得到，，进而得，得到，即得，利用勾股定理得，由三角形三边性质得当点共线时，此时最大，也最大，的最大值为，此时，据此即可求解． 【详解】解：（）补图如下： 设相交于点， 由旋转可得，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）将绕点顺时针旋转得，点与点重合， 点的对应点是点，连接， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴； （）将各边扩大到倍，绕点顺时针旋转的度数，得，点与点重合，点的对应点是点，连接， ∴ ， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， 当点共线时，此时最大，也最大， ∴的最大值为，此时， ∴， 即的最大值． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形的外角性质和内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，三角形的三边性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·甘肃兰州·一模）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形 变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线． 【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明： ①；②； 【类比探究】（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明： 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动（），直线与直线相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）选①证明，由中线得出，再用证明，利用全等的性质得出，由等量代换得出． （2）由（1）①得结论得出，从而得出，由平行的性质得出，由旋转的性质得出，进一步可得出，利用，由全等的性质得出，最后等量代换可得出． （3）延长至点M，使得，连接，同（2）可得∶， 由全等的性质得出，，由旋转的性质得出，当点G在上时和当点G在的延长线上时，分别求出，则在点D的运动过程中，点G在以为直径的上运动．取的中点O，连接，，由三角形三边关系得出 ，当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大．解直角，即可求出，进一步即可求出． 【详解】解：（1）选择结论① 证明： ∵为的中线 ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）延长至M，使得，连接， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵，绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图2，延长至点M，使得，连接， 同（2）可得∶． ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 当点G在上时， ∴， 当点G在的延长线上时， ∴， 在点D的运动过程中，点G在以为直径的上运动． 取的中点O，连接，， ∵ 当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大． ∵， ∴为直角三角形． ∵， ∴． ∵为直径, ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了三等三角形的判定以及性质，平行线的判定以及性质，旋转的性质，以及三角形三边关系得应用，勾股定理等知识点，分析出当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大是解题的关键． 3．（2024·江苏盐城·二模）【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点是上一点，连接，过点作于，交于点． 【特例猜想】如图，当时，直接写出与之间的数量关系为_____； 【问题探究】如图，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由； 【类比运用】如图3， 连接， 若，，，求的长． 【答案】［特例猜想］；［问题探究］当时，（1）中的结论不成立，此时，理由见解析；［类比运用］ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】［特例猜想］根据已知条件得到，，得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论； ［问题探究］根据已知条件得到，得到，证明，根据相似三角形的性质得到，推出，证明，根据相似三角形的性质得到结论； ［类比运用］如图，连接，等腰三角形三线合一性质得到，继而得到，设，则，则根据勾股定理得到，得到，再根据勾股定理建立关于的方程即可得到结论． 【详解】解：［特例猜想］与之间的数量关系为：． 理由：当时，则， ∵是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ［问题探究］当时，（1）中的结论不成立，此时， 理由：∵，是边上的高，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ADG∽△CDE， ∴， ∴； ［类比运用］如图，连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是边上的高，，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质，勾股定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）（1）【感知】如图1，在等边三角形的外角内引射线，作点关于的对称点点在 内，连接，、分别交于点、．求的度数．    （2）【类比探究】如图2，把（1）中的“等边三角形”改为“等腰直角三角形，其余条件不变．    ①________； ②猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，点为射线上的点，且，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，在内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，、分别交 于点、，当点为的重心时，求线段的长．    【答案】（1） ； （2）①；②结论：．证明见解析；（3）． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、重心的有关性质、圆周角定理 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可． （2）如图2中，①利用圆周角定理解决问题即可． ②结论：．如图中，连接，在上取一点，使得，连接．证明，推出，推出可得结论． （3）如图3中，连接，，在上取一点，使得．构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：如图中， 点是点关于的对称点， ，，． 等边三角形中，，， ，得． 在中，， ． 在中，， ． （2）解：①如图中，， 点是的外接圆的圆心， ， ， ． 故答案为． ②结论：． 理由：如图2中，连接，在上取一点，使得，连接．    ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图中，连接，，在上取一点，使得．    ， ，则是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 同②法可证，， ∴， ∴， ∴． 即． ∵点为的重心， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ 过点作于点，    设，则,， ∵ ∴ 在中， ， 即 解得：(负值舍去) ∴ 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，重心的定义，等边三角形的性质，勾股定理；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 考点二 四边形中的类比学习问题 ►题型01 矩形中的类比学习 1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）（1）【操作发现】 如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示． ①问：的值是否变化?若不变，求的值；若变化，请说明理由． ②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度． （2）【类比探究】 如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则面积的最大值为_____． 【答案】（1）①不变，，②的长为或；（2）16 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解即可； ②分两种情形：如图中，当点E在线段上时，如图中，当点E在的延长线上时，分别求出，可得结论； （2）如图3中，连接，过点G作于点H．解直角三角形求出，证明，推出，由题意，推出点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值，由此可得结论． 【详解】解：（1）①的值不变，理由如下： 如图2中，连接．    ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵在图1中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J．    ∵， ∴， ∴， ， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图中，当点E在的延长线上时，同法可得，    ∴， 综上所述，的长为或． （2）如图3中，连接，过点G作于点H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆， 当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值， ∴的面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 2．（2022·江苏扬州·三模）在矩形中，， 【问题发现】 (1)如图1，E为边上的一个点，连接，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由． 【类比探究】 (2)如图2，G为边上的一个点，E为边延长线上的一个点，连接交于点H，过点C作的垂线交于点F，试猜想与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图3，点E从点B出发沿射线运动，连接，过点B作的垂线交射线于点F，过点E作的平行线，过点F作的平行线，两平行线交于点H，连接，在点E的运动的路程中，线段的长度是否存在最小值？ 若存在，求出线段长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)存在，长度的最小值为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，即可得解； （2）过点作的垂线交于点，证明，即可得解； （3）过点作于点，连接，则四边形是矩形，证明，得出，根据，可得，得出在上运动，当时，最小，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作的垂线交于点，如图所示： 则四边形为矩形， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下， 如图，过点作于点，连接，则四边形是矩形， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴在上运动， ∴当时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，， 即长度的最小值为． 【点睛】本题考查了，相似三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 3）对角线互相平分且相等； 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心. 【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半. 矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形. 【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明． ►题型02 菱形中的类比学习 3．（2024·江苏盐城·一模）综合与探究 【特例感知】 （1）如图1，E是正方形外一点，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接.求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在菱形中，，P是的中点，将线段分别绕点P顺时针旋转得到，交于点G，连接，求四边形的面积； 【拓展提升】 （3）如图3，在平行四边形中，，∠B为锐角且满足. P是射线上一动点，点C、D同时绕点P顺时针旋转得到点，当△为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）6或18或或 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，从而得出； （2）连接，作，交的延长线于，作于，可证得是等边三角形，进而求得，可证得，从而得出，从而求得，可证得，从而，进而求得，根据得，求得，进一步得出结果； （3）以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立坐标系，作，交的延长线于点，作于，作轴，过点作于，作于，可求得直线的解析式为，从而设，可证得，从而，，进而表示出的坐标，同样得出点坐标，从而表示出和，分三种情形列方程：当时，根据勾股定理列出方程，求得的值，进而得出，同样方法得出当时和当时的情况． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ； （2）如图2， 连接，，作，交的延长线于，作于， ∵线段绕点P顺时针旋转得到， ∴ 是的中点， ∴垂直平分， 四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ，，垂直平分， ∴三点共线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 由得， ，     ， ， ； （3）如图2， 以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立坐标系， 作，交的延长线于点，作于，作轴，过点作于，作于， ， 直线的解析式为，设， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ，即：， ，， ，即， ， 同理可得：，， ，即：， ， 当时， ， ， ， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述：的长为6或18或或 【点睛】本题考查了解直角三角形，一元二次方程的应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形和平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线和数形结合． 4．（2024·江苏盐城·三模）【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到， ①旋转中心是点______；旋转角最少是______度． ②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由． 【结论应用】 （2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点（不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长． 【答案】（1）①；90；②他的发现正确，理由见解析 （2）①，②10；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据图形可直接得到结论； ②首先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据旋转中线段的相等关系进行等量代换即可得到结论； （2）①由（1）得再求解即可； ②过作于，交延长线于，先根据有一组邻边相等的矩形是正方形证四边形是正方形．再设，利用（1）中②的结论，在中利用勾股定理可求出； （3）连接，过点H作，由菱形的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，再由三角函数求出得出，最后求解即可． 【详解】解：（1）①经过旋转后得到， 旋转中心是点；旋转角度最少是90度； 故答案为：，90； ②他的发现正确，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （2）①由（1）得 的周长， 故答案为：； ②如图，过作于，交延长线于， ，， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 是的中点， , ，由（1）中②的结论可得， 设，则， ， 在中，， ， 即， 故答案为：10； （3）如图，连接，过点H作， 菱形中，， ， 点沿折叠，得到，点沿折叠，得到，，， ， ， ， ， ， 【点睛】此题主要考查了图形的旋转、折叠问题，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形及勾股定理，是一道不错的综合题熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 菱形的性质： 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心. 菱形的判定： 1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3）四条边相等的四边形是菱形. 【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分． 菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）. 菱形的周长公式：周长l=4a（其中a为边长）. ►题型03 正方形中的类比学习 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则______； 【知识迁移】如图3，，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为______． 【答案】初探猜想：，理由见解析 类比探究： 知识迁移： 拓展应用： 【知识点】全等三角形综合问题、四边形其他综合问题、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】初探猜想：证明，进而结论得证； 类比探究：如图2，过作于，过作于，则四边形均为矩形，，，证明，进而可求结果； 知识迁移：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于，则四边形是矩形，四边形是矩形，，同理类比探究，，则，由为等边三角形，，可得，，由勾股定理得，，然后计算求解即可； 拓展应用：以、为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，先根据勾股定理求出的长，再证和全等得出，求的最小值转化为求的最小值，当A、G、N在一条直线上时最小，即为的长，在等腰直角中求出的长即可． 【详解】初探猜想：解：，理由如下： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； 类比探究：解：如图2，过作于，过作于， ∴， ∵矩形， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 知识迁移：解：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ∵， 同理类比探究，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴； 拓展应用：解：以、为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（2023·江苏盐城·一模）【问题思考】如图1，点E是正方形内的一点，过点E的直线，以为边向右侧作正方形，连接，直线与直线交于点P，则线段与之间的关系为______． 【问题类比】 如图2，当点E是正方形外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 如图3，点E是边长为6的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P到边的最大距离为______（直接写出结果）． 【答案】【问题思考】，；【问题类比】：【问题思考】中的结论成立，理由见解析；【拓展应用】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、90度的圆周角所对的弦是直径、其他问题(旋转综合题) 【问题思考】根据“”证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案； 【问题类比】同理证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案； 【拓展应用】根据可得点的运用轨迹即为以为直径的上，所以当点位于右侧，且经过圆心时，动点P到边的距离最大，据此解答即可． 【详解】解：问题思考： 设和交于点， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 故答案为：，； 问题类比： 问题思考中的结论仍然成立，理由如下： 设和交于点， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 故答案为：，； 拓展应用： ∵， ∴点的运用轨迹即为以为直径的上， 如图： 当点位于右侧，且经过圆心时，动点P到边的距离最大， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， ∴， 即动点P到边的最大距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及确定出点的运动轨迹是解本题的关键． 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 【补充】正方形对角线与边的夹角为45°. 正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 正方形的面积公式： ＝对角线乘积的一半=2S△ABC=4S△AOB. 正方形的周长公式：周长= 4a 1．（2023·江西上饶·模拟预测）综合与探究    (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 设与相交于点P，如图1中，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论：，理由如下： ∵， ∴． 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H． ∴ ∵，      ∴四边形是矩形． ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 2．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 【答案】（1）4；4；（2）；类比探究：见解析；拓展延伸： 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、已知正切值求边长 【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知识点，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形是正方形，求解面积即可； （2）如图，过点作于点，于点．证明，从而证明，即可求得结论； 类比探究： 先证明，从而证明，即可证明结论； 拓展延伸：过点作于点，于点．先证明，即可证明，，从而证明，根据，即可求得，由重叠部分的面积，即可求得结果． 【详解】解：操作发现：（1）四边形是正方形， ， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为； 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形的面积是4， 故答案为：4，4； （2）如图，过点作于点，于点． 是正方形的中心， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 类比探究： 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 拓展延伸： 过点作于点，于点． 同（2）可知四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， 重叠部分的面积 ． 3．（2024·广西贺州·三模）综合与实践 【课本再现】 （1）如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．在实验与探究中，小州发现通过证明，可得．请帮助小州完成证明过程． 【类比探究】 （2）如图②，若四边形是矩形，为对角线上任意一点，过作，交于点，当时，求证：． （3）如图③，若四边形是平行四边形，为对角线上任意一点，点在上，且，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，证明即可； （2）过点作于点，反向延长交于点，证明，可得，证明，，可得结论； （3）过作，交于点，证明，可得，再证明，可得，，结论得证． 【详解】（1）证明：∵四边形，是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴． （2）过点作于点，反向延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过作，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵，∠OBG是公共角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识．掌握正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（2024·江西鹰潭·二模）在数学兴趣小组活动中，同学们由一道有关正方形中两条互相垂直的线段的数量关系的问题出发，进行了一系列类似的数学探究活动，请你解决以下问题． 【母题溯源】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，，垂足为点G，则 ； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点E是上一点，，垂足为点G，求的值； （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求的值； 【答案】（1）1；（2）；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）证明则，即可得到； （2）证明，即可得到答案； （3）过点C作交的延长线于点H，证明四边形为矩形，则，证明，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为1； （2）解：∵四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：如图3，过点C作交的延长线于点H， ， ， ∴四边形为矩形， ， ∵， ， ， ， ． 5．（2024·湖北孝感·模拟预测）（1）【问题情景】：如图1，正方形中，点是边上一点（不与点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路： ①小聪：过点作的延长线的垂线； ②小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． （2）【类比探究】如图2，点是菱形的边上一点（不与点重合），，连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______（用含的代数式表示）； （3）【学以致用】：如图3，在（2）的条件下，连接，与相交于点，当时，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、四边形其他综合问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）小聪的证明：作交的延长线于，证明，得到，从而证明是等腰直角三角形，，从而得到； 小明的证明：在上截取，使得．证明，得出，则可得出结论； （2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求解； （3）过点作交的延长线于点，证明，得出，在上截取，使，连接，作于点．由（2）可知，，求出和，则可得出答案． 【详解】解：（1）小聪的证明：作交的延长线于， 顺时针旋转得到， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ； 小明的证明：在上截取，使得． ∵，由图可知， ∴． ∵顺时针旋转得到， ∴． ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ； （2）如图2，在上截取，使得，连接， ∵四边形是菱形，， ， ， ， ∵将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）过点作交的延长线于点， 设菱形的边长为． ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，， ∵， ∴， ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点． 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 6．（2024·辽宁阜新·三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_____； （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则______． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求 ①的值； ②连接，若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）①；② 【知识点】根据正方形的性质证明、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）设与交于点G，根据正方形的性质得到，，根据同角的余角相等得到，从而，得到，即可解答； （2）同（1）思路可得，，从而，根据相似三角形的性质即可解答； （3）过点C作交的延长线于点H，则，因此四边形为矩形，则，由等角的余角相等与对顶角相等得到，从而证得，根据相似三角形的性质即可解答； （4）①如图，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，与相交于点N，由，，得到，从而，又，因此，有．根据，得到，由，可设， ，在中，根据勾股定理有，代入可求得a的值，从而，，进而根据轴对称的性质得到，根据即可求得，从而； ②根据勾股定理求得，根据得到，即可求得，从而，进而根据勾股定理即可解答． 【详解】解：（1）如图，设与交于点G， 四边形是正方形， ，， ∵， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：1 （2）如图，设与交于点G， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． （3）证明：如图，过点C作交的延长线于点H， ， ， 四边形为矩形， ， ∵， ∴， ∵ ， ∵， ， ∴， ， ； （4）①如图，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，与相交于点N， ，， ∴，， ， ， ∵， ， ， 在，，， ， ∵在中，， 设，则， ∵在中，， ，解得（负值舍去）， ，． 由翻折可得点A与点C关于对称， ， ， ， ， ； ②，，， ， 由①得， ，即 又，， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等角对等边，勾股定理，锐角三角函数，综合运用相关知识是解题的关键． 考点三 圆中的类比学习问题 ►题型01 圆中的类比学习 1．（2023·江苏淮安·一模）问题背景： 如图1，四边形是的内接四边形，连接、，，求证：． (1)方法感悟 小颖认为可用截长法证明：如图1-1，在上截取，连接，只需证明______，可得______即可； 小军认为可用补短法证明：如图1-2，延长至点，使得，连接，只需证明______，可得______即可； (2)类比探究 如图2，四边形是的内接四边形，连接、，是的直径，，试用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展提升 如图3，四边形是的内接四边形，连接、，若是的直径，，，，则________． 【答案】(1)，，，； (2)，证明见解析； (3)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】（1）如图1-1，在上截取，连接，可得，证明是等边三角形，可证明，得出，则结论得证； 如图1-2，延长至点，使得，连接，证明是等边三角形，则 ，，，证明，即可得到结论； （2）如图2，是的直径，得到，，由得到，，则是等腰直角三角形，则，证明，则，即可得到结论． （3）过点作交于点，证明，求出，再证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）小颖认为可用截长法证明如下：， ， 如图1-1，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ； 小军认为可用补短法证明： 如图1-2，延长至点，使得，连接， ， ，， ∴ ， 是等边三角形， ，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，，，； （2），证明如下： 如图2，过点A作交于点， 是的直径， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形，   ，， ， ∴ ， ，   ， ． 即； （3）如图3，过点作交于点， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ， ∴， ∵ ∴， 在中，，设 ∴， ，   ∴， ． 故答案为： 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键． 2．（2022·江苏盐城·一模）【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角”与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？ 【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题： 解：连接BC，OA，OC，OB，OD． 如图2，在△BCE中，， ∵，， ∴∠AEC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD） 即：∠AEC的度数＝（的度数+的度数） (1)如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED的度数是 　 　． (2)【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角． 如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系． 【灵活运用】 (3)如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1)127.5° (2)（的度数﹣的度数） (3)不变，30° 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】（1）连结BC，利用题干中推导方法推导并代入计算即可； （2）类比题干中解决问题的方法，连接OA，OB，OC，OD，BC，将圆周角转化为圆心角，从而转化为弧的度数，得出答案； （3）连接OA，作轴于H，综合运用（1）（2）中探索的结论，将∠FGO表示为（的度数﹣的度数）＝（ 的度数﹣ 的度数），再利用点A（，1），求出∠AOH的度数，从而得出答案． 【详解】（1）解：连结BC， ∵∠AEC是△BEC的外角， ∴∠AEC=∠EBC+∠ECB， ∵的度数，的度数， ∴∠AEC的度数＝（的度数+的度数）， ∴∠AEC＝（65°+40°）＝52.5°， ∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣52.5°＝127.5°， 故答案为：127.5°； （2）（2）连接OA，OB，OC，OD，BC， ∵∠E＝∠ABC﹣∠BCE ＝∠AOC﹣∠BOD ＝（的度数﹣的度数）， ∴∠E＝（的度数﹣的度数）； （3）（3）∠FGO的度数不变，连接OA，作AH⊥x轴于H， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴（ 的度数+的度数＝（的度数+的度数）， ∴的度数+的度数＝的度数+的度数， ∴的度数﹣的度数＝的度数﹣的度数， 由（2）知，∠FGO＝（的度数﹣的度数）＝（的度数﹣的度数）， ∵点A（，1）， ∴OH＝，AH＝1， ∴， ∴∠AOH＝30°， ∴∠AON＝120°，∠AOB＝60°， ∴， ∴∠FGO的度数不变，为30°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆心角和圆弧之间的关系、三角函数等知识，是圆的综合题，利用前面探索的结论进行角和弧度之间的转化是解题的关键． 性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．） 解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明． 判定 1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. 3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 1．（2023·河南商丘·一模）如图，在上有位于直径的两侧的定点和动点，，点在半圆弧上运动不与、两点重合，过点作直线的垂线，垂足为点． (1)如图，求证：； (2)类比（1）中的情况，当点运动到什么位置时，？请在图中画出，并说明理由． (3)如图，当点运动到某一位置时，有时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)当点运动到为直径时，，画图见解析，理由见解析 (3) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定，解直角三角形等等： （1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，再由同弧所对的圆周角相等得到，据此可证明； （2）由，要使得，则，故当为直径时，； （3）先解直角三角形得到，由相似三角形的性质得到，再求出得度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ∵， ， ； （2）解：如图所示，当点运动到为直径时，， 理由：，是的直径， ，， ， 在和中， ， ； （3）解：当点运动到某一位置时，有时，如图所示， ，， ∴ ， ∴， ∽， ， ， ，， ． 2．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）【特例感知】 如图①，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD＝5，BD＝12，则点D到直线BC的距离为 　 　，点D到直线AB的距离为 　 　． （2）【类比迁移】 如图②，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，探索线段AB、BE、BC之间的数量关系，并说明理由． （3）【问题解决】 如图③，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，，BD平分∠ABC，BD＝，AB＝12，则△ABC的内心与外心之间的距离为 　 　． 【答案】（1），；（2）AB+BC＝2BE，理由见解析；（3） 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E，利用面积法求出DE，再利用角平分线的性质定理可得DF＝DE解决问题； （2）如图②中，结论：AB+BC＝2BE，只要证明 （ASA），推出AF＝CE，（HL），推出AF＝BE即可解决问题； （3）如图③中，由（2）可知：四边形BEDF是正方形，BD是对角线，作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM，由切线长定理可知：AN＝，推出ON＝10﹣8＝2，由面积法可知内切圆半径为4，在中，理由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，作DE⊥BC于点E， ∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC， ∴DF＝DE， ∵BC是直径， ∴， ∴BC＝， 在△BCD中，BC•DE＝BD•DC， ∴DE＝， ∴DF＝DE＝； （2）AB+BC＝2BE，理由如下： 如图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，连接AD，DC， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA， ∴DF＝DE，， ∴， ∴， 又∵， ∴∠ADC＝∠EDF， ∴∠FDA＝∠CDE， ∵， 在△DFA和△DEC中 ， ∴（ASA）， ∴AF＝CE， 在和中 ， ∴（ HL）， ∴BF＝BE， ∴AB+BC＝BF﹣AF+BE+CE＝2BE； （3）如图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM， 由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线， ∵BD＝14，正方形BEDF的边长为：＝14， 由（2）可知BC＝2BE﹣AB＝16， ∴AC＝＝20， 由切线长定理可知AN＝， ∴ON＝＝2， 设内切圆的半径为r，则， 解得r＝4，即MN＝4， 在中，OM＝． 【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（2023·山东青岛·二模）【问题提出】如图1，为内接三角形，已知，圆的半径为R，探究a，R，之间的关系．    【解决问题】 如图2，若为锐角，连接并延长交于点D，连接，则，在中，为的直径，，所以． 所以在中建立a，R，的关系为________________． 所以在内接三角形中，a，R，之间的关系为________________． 类比锐角求法，当为直角和钝角时都有此结论． 【结论应用】 已知三角形中，，则外接圆的面积为________． 【答案】【解决问题】；；【结论应用】 【知识点】解直角三角形的相关计算、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理 【分析】【解决问题】如图，连接并延长交于点D，连接，则，根据圆周角定理可得，再由锐角三角函数，即可求解； 【结论应用】利用解决问题中的结论，求出圆的半径即可求解. 【详解】【解决问题】如图，连接并延长交于点D，连接，则， 在中，∵为的直径，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【结论应用】解：设外接圆的半径为R， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴外接圆的面积为． 故答案为： 【点睛】本题是圆的综合题，考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，圆周角定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．（2024·山东淄博·二模）已知，内接于，平分交边于点E，连接． (1)如图1，过点D作直线，求证：是的切线： (2)小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列的探究，发现线段之间存在着一种数量关系； 【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当时，线段之间满足数量关系 【推理证明】延长AC到点P使得 平分 又 为正三角形 【类比探究】如图2，当时，试猜想线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； 【一般归纳】如图3，当时，试猜想线段之间满足的数量关系（用含有的三角函数表示），并证明你的结论； 【拓展应用】如图4，过点E作，垂足为G，过点E作，垂足为H，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)类比探究：AB+AC＝AD 一般归纳： 拓展应用：详见解析 【知识点】解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、垂径定理的推论 【分析】（1）连接并延长交于点F，根据垂径定理推理和切线的判定定理进行证明即可； （2）①延长到点，使得，证明，则，证明为等腰直角三角形，即可得到结论； ②由①中证明，同理可得，过点D作于Q，在中，，得到，即可得到； ③连接与交于点K，证明，得到为等腰三角形，得到垂直平分，设，求出，求出，求出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点F， ∵平分 ∴ ∵为直径 ∴ 又∵ ∴ ∴是的切线 （2）①数量关系： 证明如下：延长到点，使得 ∵平分 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ②数量关系： 证明如下：由①中证明，同理可得 ∴ 过点D作于Q 在中， ∴ ∴ ③证明：连接与交于点K ∵，， ∴ ∴ ∴为等腰三角形 ∴垂直平分 设 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了解直角三角形、切线的判定定理、垂径定理的推论、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，准确推理是解题的关键． $$