重难点06 圆的综合训练（9大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

重难点06 圆的综合训练 中考数学中《圆的综合训练》部分主要考向分为五类： 一、圆的基本性质 二、直线与圆的位置关系 3、 正多边形与圆 4、 圆中的相关计算 5、 综合应用 中考数学中，圆的基本性质与直线与圆的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有，通常选择、填空题会出圆的基本性质，如垂径定理、圆周角定理、弧长与面积的求法、切线的性质等，基本都是基础应用，难度不大，个别会出选择题的压轴题，难度稍大．简答题部分，一般会把切线的判定和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，此时难度变大，综合性较强，需要认真应对。 考向一：圆的基本性质 【题型1】垂径定理的应用 1.圆中模型“知2推3”：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意2个成立，剩余的3个都成立． 2.常做辅助线：连半径、作弦心距； 3.注意平分弦的直径垂直于弦这句话是不对的（如果被平分的弦也是直径，则直径与该弦不一定垂直）。 1．（2025·山东聊城·一模）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 3．（2024·山东菏泽·二模）HUAWEI Mate60Pro是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持AI隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦长，半径，垂足为，弓形高长．则半径的长为 ． 4．（2023·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，．连接，．    (1)求点的坐标； (2)求的值． 【题型2】圆心角、圆周角的求解 1．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 2．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 1．（2024·山东滨州·中考真题）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 ． 2．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·山东聊城·中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·山东滨州·中考真题）如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．    5．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    8．（2024·山东潍坊·三模）如图，的边为的直径．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边，于点，．再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，射线与交于点．点为上一点，连接，．若，则的度数为 ． 9．（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 考向二：直线与圆的位置关系 【题型3】切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等； 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（    ）      A． B． C．当与相切时， D．当时， 3．（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 【题型4】切线的判定 切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； 切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径； 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，是的直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，． (1)求的长度； (2)延长到点，连接，使得．求证：是的切线． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 4．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 考向三：正多边形与圆 【题型5】求正多边形的半径、边心距、边长 正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 在Rt△AOC中，（1），期中AO为多边形半径，OC为多边形的边心距，AC为边长的一半；（2） 1．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 2．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 3．（2025·山东枣庄·一模）如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ． 4．（2024·山东聊城·三模）如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 5．（2024·山东青岛·模拟预测）正六边形内接于，的半径为，则该正六边形的面积为 ． 考向四：圆中的相关计算 【题型6】面积的计算 1.求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． 2.求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2023·山东济南·中考真题）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．    3．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 4．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【题型7】线段长度的计算——三角比 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    2．（2023·山东济南·中考真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． (1)求的度数； (2)若，求直径的长． 3．（2023·山东泰安·中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是 ．（精确到．参考数据：）    4．（2023·山东·中考真题）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．    (1)求证：； (2)P是上一点，，求； (3)在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长． 5．（2025·山东聊城·一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为9，，求的值． 【题型8】线段长度的计算——相似 1．（2025·山东济南·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 2．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 3．（2023·山东淄博·中考真题）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 5．（2025·山东济南·一模）如图，在中，，点是上一点，以为直径的交于点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，⊙的半径为4，求的长． 考向五：综合应用 【题型9】圆与其他知识的综合应用 1．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济宁·二模）如图，、、所组成的图形叫做勒洛三角形．它是以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间做一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形若，顶点A与数轴上表示的点重合，将勒洛三角形向右沿数轴滚动两周，则点A对应的数是（    ） A． B．5 C． D． 3．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为 ．    4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为 ．    5．（2024·山东日照·三模）探究与推理 如图1，在矩形中，，，连接，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连接交于点，设运动的时间为秒； (1)用含有t的式子表示． (2)当t为何值时，点E恰好落在线段上； (3)如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由． 38．（2023·山东·中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论． 7．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 8．（2024·山东青岛·二模）在一个图形的内部（含边界）任取一点构造直角，使直角绕着顶点旋转，与该图形相交能构成一个新的封闭区域，那么我们称这个图形为“底弦图”，其中直角所对的“线”称为“直角弦”． (1)如图1，“底弦图”是一个半径为3的圆，的顶点在上，所对的即为它所对的“直角弦”．小乐同学发现，在旋转过程中，所对的“直角弦”的长度是定值，该定值为____________； (2)如图2，“底弦图”是一个边长为3的正方形，的顶点在正方形的中心，折线即为所对的“直角弦”．在旋转过程中所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________． (3)如图3，“底弦图”是一个长为6，宽为4的矩形．，在旋转过程中的两边与矩形分别相交于点E，F（点E在AB上，点F在BC上），所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________． （建议用时：120分钟） 1．（2024·山东青岛·一模）如图，点P在y轴正半轴上，交x轴于A，B两点，连接并延长交于C，且的半径为，．若函数的图像过C点，则k的值是 ． 2．（2025·山东·一模）如图，是的内接三角形，点是弧的中点，已知，，则 度． 3．（2024·山东·中考真题）如图，是的内接三角形，若，，则 ． 4．（2025·山东·一模）如图，四边形内接于⊙O，的延长线相交于点E，的延长线相交于点F，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．    (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； (3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值． 6．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 7．（2023·山东临沂·中考真题）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A．60° B．90° C．180° D．360° 8．（2023·山东·中考真题）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．    9．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线交于点O，以O为圆心作菱形的内切圆，分别交于E、F、G、H，若，则阴影部分面积为 （结果保留π）． 10．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 12．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·山东济南·一模）如图，在中，是的内接三角形，是的直径，在上取一点D，使，过点C的切线分别与的延长线交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．    (1)求证：是切线； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 15．（2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求线段的长． 16．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 17．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点经过两点，交对角线于点，连接交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 18．（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径且，点在圆上且，的平分线交于点，连接并过点作，垂足为，则（   ） A．3 B． C． D． 19．（2024·山东青岛·三模）如图，点C是以点O为圆心，为直径的半圆上一点，连接，，．若，，则的值是 ． 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 圆的综合训练 中考数学中《圆的综合训练》部分主要考向分为五类： 一、圆的基本性质 二、直线与圆的位置关系 3、 正多边形与圆 4、 圆中的相关计算 5、 综合应用 中考数学中，圆的基本性质与直线与圆的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有，通常选择、填空题会出圆的基本性质，如垂径定理、圆周角定理、弧长与面积的求法、切线的性质等，基本都是基础应用，难度不大，个别会出选择题的压轴题，难度稍大．简答题部分，一般会把切线的判定和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，此时难度变大，综合性较强，需要认真应对。 考向一：圆的基本性质 【题型1】垂径定理的应用 1.圆中模型“知2推3”：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意2个成立，剩余的3个都成立． 2.常做辅助线：连半径、作弦心距； 3.注意平分弦的直径垂直于弦这句话是不对的（如果被平分的弦也是直径，则直径与该弦不一定垂直）。 1．（2025·山东聊城·一模）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形内角和定理，由垂径定理可得，由定理可得，，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 3．（2024·山东菏泽·二模）HUAWEI Mate60Pro是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持AI隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦长，半径，垂足为，弓形高长．则半径的长为 ． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键在于利用垂径定理和勾股定理构造关于半径的方程． 先根据证明，然后设半径，最后利用勾股定理列出关于的方程，求出即可． 【详解】解：，， ，， 设半径，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 4．（2023·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，．连接，．    (1)求点的坐标； (2)求的值． 【分析】（1）如图，连接，，过点P作，垂足为D，由垂径定理得，由，得，，由切线性质，得 ，，进一步可证四边形是矩形，得， 中，，于是的坐标； （2）如图，由等腰三角三线合一，得，由圆周角定理，而，从而，中，，于是． 【详解】（1）如图，连接，，过点P作，垂足为D，则 ∵点， ∴，    ∵与轴相切于点 ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ 中， ∴点的坐标 （2）如图，， ∴ 而 ∴ 中， ∴ 【题型2】圆心角、圆周角的求解 1．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 2．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 1．（2024·山东滨州·中考真题）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 ． 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； 根据圆内接四边形的性质得到，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2023·山东聊城·中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接， ∵点I是的内心，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C．    4．（2023·山东滨州·中考真题）如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．    【分析】根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时，    ∵分别与相切于两点 ∴， ∵． ∴ ∵， ∴， 当点在上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 5．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解． 本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵四边形是的内接四边形 ∴， ，， ， ，，， ， 解得， ， ． 故选：C 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的直径，， ∴，，则， ∴， 故选：A． 7．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为．    方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为．      8．（2024·山东潍坊·三模）如图，的边为的直径．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边，于点，．再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，射线与交于点．点为上一点，连接，．若，则的度数为 ． 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据题意可得：平分，从而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答．本题考查了角平分线的性质，圆周角定理，作图基本作图，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：为的直径， ， 由题意得：平分， ， ， ， 故答案为：． 9．（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； （2）解：， 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 考向二：直线与圆的位置关系 【题型3】切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等； 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（    ）      A． B． C．当与相切时， D．当时， 【分析】如图，由题意可得：，，，，从而可判断A，B，如图，当与相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案． 【详解】解：如图，由题意可得：   ，，，， ∴，故A符合题意； ，故B不符合题意； 如图，当与相切时， ∴，    ∴， ∴，故C符合题意； 当时，如图，    ∴， ∴，， ∴，故D不符合题意； 故选AC 3．（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 【分析】（1）根据直径性质得到，,根据，，运用勾股定理可得； （2）根据．，得到．得到，结合， 得到，得到，得到四边形是平行四边形； （3）连接．根据，得到，，根据切线性质得到，．得到，．得到，得到，运用勾股定理得； （4）过点A作射线，使，连接．得到，，根据．，可得，根据，得到，得，得到．根据，得到，即得． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴, ∵，， ∴ 故答案为：； （2）证明：∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，连接． ∵在中，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 又∵， ∴ ∴． ∴， 在中，， ∴在中，； （4）解：如图，过点A作，使，连接． 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【题型4】切线的判定 切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； 切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径； 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：所对的弧是同弧 ， ， ， 即， 为直径， ， ， ， ， ， 与相切． （2）解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，是的直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，． (1)求的长度； (2)延长到点，连接，使得．求证：是的切线． 【分析】此题主要考查圆切线的综合，解题的关键是熟知切线的判定及三角函数的应用．证明直线是圆的切线常用的方法：（1）若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有公共点，连圆心，证垂直，（2）在已知条件中，未给出直线与圆有公共点时，那么就应从圆心向这条直线作垂线，再证明垂线段的长度与半径相等即可，即“无公共点，作垂直，证半径”． （1）先证明，得，求出的圆心角度数，进而根据弧长公式求出的长度， （2）由证明，进而可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵是的直径，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的长度； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴即， ∴． 又∵为的半径， ∴是的切线 3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； （）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解； 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的直径为． 4．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线． （2）过作于点， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 考向三：正多边形与圆 【题型5】求正多边形的半径、边心距、边长 正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 在Rt△AOC中，（1），期中AO为多边形半径，OC为多边形的边心距，AC为边长的一半；（2） 1．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 2．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 3．（2025·山东枣庄·一模）如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ． 【分析】本题考查圆周角的性质，正多边形的性质以及等腰三角形的性质．连接，，首先，由正五边形内角和公式求出内角的度数，进而得到的度数，然后，根据等腰三角形性质求出和的度数，求出的度数，最后通过，求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 则与是上弧所对的圆心角和圆周角， ∴，， ∵五边形为正五边形， ， 在等腰，， ∴； 同理：， ， ∴； 故答案为：． 4．（2024·山东聊城·三模）如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，根据题意求出中心角的度数是解题的关键．根据求出，继而求出，再根据求出的度数，则由边数中心角得解． 【详解】解：连接，在优弧上取点D，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 5．（2024·山东青岛·模拟预测）正六边形内接于，的半径为，则该正六边形的面积为 ． 【分析】本题考查的是正多边形和圆，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．连接，易证是等边三角形，由等边三角形的性质可得正六边形的边长． 【详解】解：连接， 设边的高为h， ∵多边形是正六边形，的半径为， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ， 正六边形的面积为 故答案为：． 考向四：圆中的相关计算 【题型6】面积的计算 1.求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． 2.求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 2．（2023·山东济南·中考真题）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．    【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和， ， ， 故答案为：． 3．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于O， 由题意得，分别是正方形四条边的中点， ∴点O为正方形的中心， ∴，    根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积， ∴， ∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半 ∴， 故选：B． 4．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 【详解】（1）如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴； 故答案为：． 【题型7】线段长度的计算——三角比 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 2．（2023·山东济南·中考真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． (1)求的度数； (2)若，求直径的长． 【分析】（1）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案； （2）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出，再根据正切的定义，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵是直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴的直径的长为． 3．（2023·山东泰安·中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是 ．（精确到．参考数据：）    【分析】设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，经过圆外一点A的两条直线都与圆O相切，所以为的角平分线，，同时由切线的性质得到，在中，，求出，即为圆的半径，进而确定出圆的直径． 【详解】解：设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，如下图所示：    ∵分别为圆O的切线， ∴为的角平分线，即， 又∵, ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 则这张光盘的半径为； 故答案为：． 4．（2023·山东·中考真题）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．    (1)求证：； (2)P是上一点，，求； (3)在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长． 【分析】（1）由D是的中点得，由垂径定理得，得到，根据同圆中，等弧对等弦即可证明； （2）连接，证明，设的半径为r，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到； （3）过点B作交于点G，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解． 【详解】（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵且为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，    ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， 解得，经检验，是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点B作交于点G，    ∴ ∵，是的平分线， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 5．（2025·山东聊城·一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为9，，求的值． 【分析】本题考查了切线的判定定理、圆内接四边形的性质、解直角三角形、角平分线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由等边对等角结合角平分线的定义可得，推出，结合题意得出，即可得证； （2）由圆内接四边形的性质证明出，再证明出，结合，得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵的直径为9，为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型8】线段长度的计算——相似 1．（2025·山东济南·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 【分析】（1）由，，可得，进而有，根据比例的基本性质即可得出结论成立； （2）连接，由菱形可得，进而证明，得即可求出的长； （3）如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，，先利用勾股定理求出，，再证明得出，从而得出即可得出最小值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接， 在菱形中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， （3）解：如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即， ， 最小值为 ． 2．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线； （2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果． 【详解】（1）证明：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． 3．（2023·山东淄博·中考真题）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【分析】连接, 根据等腰三角形的性质得到, 根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论. 【详解】连接, ∵, ∴ ∴, ∵, ∴是等边三角形,    ∴ , ∵，, ∴, ， ∴, ∵, ， ， 即的半径为 ， 故选: . 4．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 【分析】（1）过点F作，垂足分别为，则，进而表示出两个三角形的面积，即可求解； （2）过点A作于点，表示出两三角形的面积，即可求解； （3）连接，证明得出，证明，得出，即可，恒等式变形即可求解； （4）连接，证明，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点F作，垂足分别为， ∵点是的内心， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图所示，过点A作于点，    ∵， ∴， 由（1）可得， ∴； （3）证明：连接，    ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， （4）解：如图所示，连接，    ∵点是的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·山东济南·一模）如图，在中，，点是上一点，以为直径的交于点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，⊙的半径为4，求的长． 【分析】（）连接，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可求证； （）证明，根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 考向五：综合应用 【题型9】圆与其他知识的综合应用 1．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意作出图形，设圆心为O，直线与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作直线，连接，求出，，进而证明是等腰直角三角形，得到，由，易证是等腰直角三角形，求出，再根据，利用勾股定理即可求，再根据垂径定理即可求出的长，即可得出结果． 【详解】解：如图，设圆心为O，直线与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作直线，连接， 在直线中， 令，则，令，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，点O为圆心， ， ， 半径为4的圆被直线所截得的弦长为， 故选：C． 2．（2024·山东济宁·二模）如图，、、所组成的图形叫做勒洛三角形．它是以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间做一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形若，顶点A与数轴上表示的点重合，将勒洛三角形向右沿数轴滚动两周，则点A对应的数是（    ） A． B．5 C． D． 【分析】本题考查了实数与数轴的关系、等边三角形的性质、求弧长，利用等边三角形的性质及三角形内角和求得三条弧长的和，然后根据实数与数轴的关系即可求解，结合已知求得是解题的关键． 【详解】解：是等边三角形， ， ， 的长度即为以半径的半圆的弧长， ， 点表示的数为， 将勒洛三角形向右沿数轴滚动两周，则点A对应的数是， 故选：A 3．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为 ．    【分析】先根据点，的坐标得，进而得的半径为1，然后再在中利用锐角三角函数求出，进而得，最后再证为等边三角形即可求出的度数． 【详解】解：点，， ， 过原点， 为的半径， 为的切线， ，， 在中，，，， ， ， ， 又， 三角形为等边三角形， ， 即的度数为． 故答案为：． 4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为 ．    【分析】设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（2024·山东日照·三模）探究与推理 如图1，在矩形中，，，连接，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连接交于点，设运动的时间为秒； (1)用含有t的式子表示． (2)当t为何值时，点E恰好落在线段上； (3)如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由． 【分析】本题属于圆综合题，主要考查了解直角三角形，切线的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质等知识，熟练掌握解直角三角形，切线的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质等知识是解题的关键． （1）根据矩形和折叠的性质以及勾股定理，可求出，再由，可得，即可求解； （2）根据折叠的性质可得垂直平分，从而得到，再由，即可求解； （3）连接，先求出，，然后分两种情况：当与边相切于时，当与边相切于时，即可求解． 【详解】（1）依题可知，由折叠可知． 在矩形中，，，， ， ， 又， ， ． ， （2）由折叠可知垂直平分， ， ， 点恰好落在线段上， ， ， ； （3）当或时，与矩形的边相切，理由如下： 连接， 依题可知，为的中点，为的中点，，，即半径为， ， 在矩形中，， 又，，， ， ，， ①当与边相切于时，如图①所示， 连接， ， 又， 、、三点共线， 过作于， 四边形为矩形， ， ， 解得； ②当与边相切于时，如图②所示． 连接，并延长交于， ，， 四边形为矩形， ，， 又，， 四边形为矩形， ， ， 解得； 综上所述，或． 38．（2023·山东·中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【分析】（1）根据，是半径，可得是的切线，根据是的切线，由切线长定理可得，进而根据，得出，，根据得出，根据垂径定理的推论得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，即可证明； （2）延长至使得，连接，，根据圆内接四边形对角互补得出，证明，结合已知条件证明，进而证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 延长至使得，连接，，如图所示    ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， 又是直径，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴． 即． 7．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得； 深入探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证； 启发应用：延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得． 【详解】解：初步感知：∵点，，均在上，， ∴， 故答案为：45． 深入探究：延长至点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由圆周角定理得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 启发应用：如图，延长至点，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2024·山东青岛·二模）在一个图形的内部（含边界）任取一点构造直角，使直角绕着顶点旋转，与该图形相交能构成一个新的封闭区域，那么我们称这个图形为“底弦图”，其中直角所对的“线”称为“直角弦”． (1)如图1，“底弦图”是一个半径为3的圆，的顶点在上，所对的即为它所对的“直角弦”．小乐同学发现，在旋转过程中，所对的“直角弦”的长度是定值，该定值为____________； (2)如图2，“底弦图”是一个边长为3的正方形，的顶点在正方形的中心，折线即为所对的“直角弦”．在旋转过程中所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________． (3)如图3，“底弦图”是一个长为6，宽为4的矩形．，在旋转过程中的两边与矩形分别相交于点E，F（点E在AB上，点F在BC上），所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）如图所示，连接，则是的直径，由此求出的长即可得到答案； （2）如图所示，连接，根据正方形的性质证明，得到，则可推出，则在旋转过程中所对的“直角弦”的长度是定值3； （3）过点P作于H，则四边形是矩形，证明，得到，可得． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵， ∴是的直径， ∴的长， ∴在旋转过程中，所对的“直角弦”的长度是定值，该定值为； 故答案为：； （2）解：在旋转过程中所对的“直角弦”的长度是定值3，理由如下： 如图所示，连接， ∵点P是正方形的中心， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在旋转过程中所对的“直角弦”的长度是定值3， 故答案为：3； （3）解：如图所示，过点P作于H，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8 （建议用时：120分钟） 1．（2024·山东青岛·一模）如图，点P在y轴正半轴上，交x轴于A，B两点，连接并延长交于C，且的半径为，．若函数的图像过C点，则k的值是 ． 【分析】连接，由圆周角定理可知，，在中由勾股定理可计算的长；由垂径定理可知，进而确定点C的坐标，最后将点C坐标代入即可计算出k的值． 【详解】解：如图，连接， 是直径， 由圆周角定理可知 在中，由勾股定理可得：， 轴是直径所在的直线，且轴， 由垂径定理可得： 点C的横坐标，纵坐标 将代入，解得：． 2．（2025·山东·一模）如图，是的内接三角形，点是弧的中点，已知，，则 度． 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，弧，弦，角之间的关系，根据圆周角定理，求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，圆内接四边形的对角互补，求出的度数，等弧对等弦，得到，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内接三角形，点是弧的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：100． 3．（2024·山东·中考真题）如图，是的内接三角形，若，，则 ． 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·山东·一模）如图，四边形内接于⊙O，的延长线相交于点E，的延长线相交于点F，，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查圆的内接四边形互补、三角形的内角和定理等知识点，由题意得，结合即可求解； 【详解】解：∵四边形内接于⊙O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C 5．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．    (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； (3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值． 【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A、B、D、E四点共圆； （2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线； （3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，解直角三角形求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A、B、D、E四点共圆； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线；    （3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接， ∵， ∴， ∵点M是边的中点， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴点P一定在的垂直平分线上， ∴点P在直线上， ∴当时，有最小值， ∵， ∴在中，， ∴圆心P与点M距离的最小值为． 6．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接    ∵， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∴。 ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图：连接 ∵是的直径， ∴, 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2023·山东临沂·中考真题）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A．60° B．90° C．180° D．360° 【分析】根据旋转的性质，以及正多边形的中心角的度数，进行判断即可． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为：， ∴正六边形绕其中心旋转或的整数倍时，仍与原图形重合， ∴旋转角的大小不可能是； 故选B． 8．（2023·山东·中考真题）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．    【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：． 9．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线交于点O，以O为圆心作菱形的内切圆，分别交于E、F、G、H，若，则阴影部分面积为 （结果保留π）． 【分析】本题主要考查菱形的性质，切线的性质，连接，可证明由勾股定理得根据面积法可得，根据阴影部分面积可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∴ 连接，则经过点O， ∵是菱形的内切圆， ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∴ 又 ∴阴影部分面积， 故答案为： 10．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 11．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）．    A． B． C． D． 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题知， ， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 12．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 13．（2025·山东济南·一模）如图，在中，是的内接三角形，是的直径，在上取一点D，使，过点C的切线分别与的延长线交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理和切线的性质求得，，推出，由等边对等角求得，推出，由等角对等边即可证明； （2）先推出，推出，求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径，是的切线，切点为点C， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 14．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．    (1)求证：是切线； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 【分析】（1）连接OC，证明，即可得到结论； （2）连接AC，证明，从而可得，再代入求值即可； （2）连接，证明，从而可得，，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，        ∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴半径， ∴是切线； （2）连接，        ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，      ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 15．（2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求线段的长． 【分析】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质定理得到，根据平行线的判定定理得到，得到，得到，即可得到结论； （2）证明，求出，证明，求出． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，则，    ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，    ∵O为正方形中心， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， 而正方形的边长， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 而， ∴． 17．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点经过两点，交对角线于点，连接交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)已知的半径与菱形的边长之比为，求的值． 【分析】（1）利用垂径定理得，利用菱形的性质得，利用半径相等得，即可证明，据此即可证明结论成立； （2）设，由题意得，求得，由勾股定理得到，求得，利用菱形的性质求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，由垂径定理知， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴设， ∵的半径与菱形的边长之比为， ∴在中，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∴． 18．（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径且，点在圆上且，的平分线交于点，连接并过点作，垂足为，则（   ） A．3 B． C． D． 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，含30度角直角三角形特征，等腰三角形的判定与性质，由圆周角定理得到，由，求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：C． 19．（2024·山东青岛·三模）如图，点C是以点O为圆心，为直径的半圆上一点，连接，，．若，，则的值是 ． 【分析】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，正弦函数等；过点C作于H，利用勾股定理求出，再利用面积法求出，再由正弦函数定义即可求解；掌握圆的基本性质，能利用面积法求出的长是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于H， 是直径， ， ，， ， ， ， ， ∴ ， 故答案为：． 83 / 83 学科网（北京）股份有限公司 $$