重难点05 二次函数的综合应用综合训练（10大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

重难点05 二次函数的综合应用 中考数学中《二次函数的综合应用》部分主要考向分为五类： 一、线段问题 二、角度问题 3、 面积问题 4、 存在性问题 5、 其他应用 二次函数是中考数学的必考考点，本题型常以解答题的形式出现，考查类型为线段最值（含周长）问题、面积最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题，常结合二次函数的性质、相似或全等三角形的性质、图形的平移、图形的旋转等知识进行综合考查．本题型几乎每年作为压轴题考查，其中探究设问常以三角形周长、面积或线段最值为起始，确定一个点后，再以该点为定点确定两条或三条线段和的最小值（将军饮马模型的应用），或者以平移、旋转为背景，探究特殊图形（如平行四边形、菱形、等腰三角形等），综合考查学生的几何直观、模型观念等核心素养，同时着重培养学生数形结合思想、动态探究和静态分析等数学思维．二次函数综合题体现了数形结合思想和方程思想，对我们能力的要求比较高，解决此类问题的关键是要提高我们的数学建模俞力、阅读理解能力和运算能力。 考向一：线段问题 【题型1】二次函数的综合应用——线段长度及最值 （1） 异侧和的最小值： 连接AB与直线l交于点P，此时PA+PB最小； （2） 同侧和的最小值： 作A关于直线l的对称点A’，连接A’B与直线l交于点P，此时PA+PB最小； （3） 同侧差的最大值： 延长AB与直线l交于点P，此时PA-PB最大； （4） 异侧差的最大值： 作A关于直线l的对称点A’,延长A’B与直线交于点P，此时PA-PB最大。 1．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 2．（2022·山东泰安·中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 3．（2025·山东济南·一模）抛物线交x轴于，B两点（B在A的右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点． (1)求此抛物线的表达式； (2)如图1，连接，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长； (3)如图2，过动点M作的平行线交y轴于点N，若射线平分线段，求点M的坐标． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 考向二：角度问题 【题型2】二次函数的综合应用——角度 对于特殊角的存在性问题，常构造直角三角形，利用特殊角的三角比进行求解； 对于倍角问题， ，利用等腰三角形和外角定理可构造出2α； 对于半角问题，一是可以做已知角的角平分线得到半角，二是可以类比倍角问题，构造等腰三角形得到半角。 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·山东济南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)连接，当时，求所有符合条件的点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴方于点C，点F是抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点F在第一象限运动时，作交BC于H，求线段最大值； (3)过点F作轴交直线于点D，交x轴于点E，若，求点F的坐标； 5．（2023·山东济宁·一模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中、，M是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m， (1)求抛物线的解析式； (2)连接BM，交线段AC于点D，求的最大值（其中符号S表示面积）； (3)连接CM，是否存在点M，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 考向三：面积问题 【题型3】二次函数的综合应用——三角形的面积 铅垂法： ； 等底等高法： l与AB平行，则l上的任意一点P’都可得到 1．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 3．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：      (1)当点M在上时，求t的值； (2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值； (3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 4．（2022·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）． (1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式； (2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标； (3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 【题型4】二次函数的综合应用——四边形的面积 1．（2022·山东烟台·中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，抛物线与y轴交于点A，直线经过点A，与x轴交于点B，且与抛物线的另一交点C的横坐标为5． (1)求点A、C的坐标和抛物线的函数表达式； (2)将沿y轴向上平移到，点恰好与点A重合，点B的对应点为点B′，判断点B′是否在抛物线上，说明理由； (3)如图2，点P是直线上方的抛物线上的一个动点，那么平面直角坐标系内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形面积最大？如果存在，求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 考向四：存在性问题 【题型5】二次函数的综合应用——三角形相关的存在性 1 平面直角坐标系中，则； 2 等腰三角形：需要讨论腰是哪条线段，或者讨论哪个角为顶角； 3 直角三角形：需要讨论斜边是哪条线段，或者讨论哪个角为直角。 4 若，当时，两直线垂直。 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 3．（2025·山东济南·一模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． (1)如图1，求该抛物线的解析式； (2)作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． 4．（2024·山东济南·一模）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．已知点，．抛物线的对称轴是直线，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)当是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长； (3)过点P作x轴的垂线，垂足为N，设直线交直线于点F，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 5．（2024·山东枣庄·三模）如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，． (1)求点 M 的坐标及抛物线的解析式； (2)点 P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当 时，求点P的坐标； (3)点D是线段 (包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标． 【题型6】二次函数的综合应用——平行四边形的存在性 1 一般结合平行四边形的定义、性质和判定定理来求解； 2 若已知三个顶点，求另一个顶点时，用对角线互相平分的四边形是平行四边形来找第四点坐标计算量最小，即已知，则设第四点为,若AB为边： ；若AB为对角线，则 1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 3．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； (3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 【题型7】二次函数的综合应用——矩形的存在性 根据平行四边形的存在性列出方程组，再结合对角线相等列出方程组即可。 1．（2024·山东淄博·二模）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，． (1)求该抛物线及直线的函数表达式； (2)如图2，在上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作，交于点D，过点P作轴，交于点E．在点P运动的过程中，请求出周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于D，交抛物线于E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，作轴，交直线于点F，四边形为矩形，当矩形的周长为9时，求m的值； (3)如图2，作的中垂线交于M，于Q，在延长线上取点N，使，求点N与y轴的最远距离． 3．（2023·山东济南·一模）抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)如图，连接，点P在线段上，作直线轴，与抛物线交于点Q．以线段为边构造矩形，边在y轴上． ①当矩形周长最大时，求点P坐标． ②在①的条件下，点T在第四象限内，作射线，当时，求的值． 【题型8】二次函数的综合应用——菱形的存在性 根据平行四边形的存在性列出方程组，再结合临边相等列出方程组即可。 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式及，两点的坐标； (2)如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 2．（2024·山东东营·二模）如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标． (3)为拋物线上一动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标； (3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【题型9】二次函数的综合应用——正方形的存在性 1．（2024·山东菏泽·二模）如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值． 2．（2024·山东淄博·二模）如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 考向五：其他应用 【题型10】二次函数的综合应用——其他应用 1．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 2．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 3．（2023·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．    (1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围． （建议用时：120分钟） 1．（2024·山东济宁·一模）如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数，当时，y的最大值为4；当时，y的最大值为4.5． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点M是二次函数图象的对称轴上一点，当的周长最小时，求点M的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·山东日照·二模）二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接、交于点，过点作轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，当时，求直线的解析式； (3)如图2，连接，请判断是否有最大值，如有请求出最大值及有最大值时点的坐标，如没有请说明理由 4．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023·山东泰安·中考真题）如图1，二次函数的图象经过点．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点P在二次函数对称轴上，当面积为5时，求P坐标； (3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由． 6．（2024·山东青岛·三模）已知，如图，中，，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是N，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)连接，是否存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由． 7．（2022·山东枣庄·中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的关系式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025·山东·一模）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E． (1)若点E的坐标为，求的解析式； (2)设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标； (3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 9．（2024·山东菏泽·二模）如图，二次函数的图象与直线交于、两点． (1)请直接写出关于x的不等式的解集：______； (2)求二次函数表达式； (3)点E是线段（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线于点N、若以点P，N，A为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2024·山东淄博·二模）如图1所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，求的最小值； (3)如图所示，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点， ①若以，，为顶点的三角形与相似，求的面积； ②若点恰好是线段的中点，点是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2023·山东东营·三模）已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由． 13．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．    (1)求点C，D的坐标； (2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标； (3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标； ②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值． 14．（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．     (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 二次函数的综合应用 中考数学中《二次函数的综合应用》部分主要考向分为五类： 一、线段问题 二、角度问题 3、 面积问题 4、 存在性问题 5、 其他应用 二次函数是中考数学的必考考点，本题型常以解答题的形式出现，考查类型为线段最值（含周长）问题、面积最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题，常结合二次函数的性质、相似或全等三角形的性质、图形的平移、图形的旋转等知识进行综合考查．本题型几乎每年作为压轴题考查，其中探究设问常以三角形周长、面积或线段最值为起始，确定一个点后，再以该点为定点确定两条或三条线段和的最小值（将军饮马模型的应用），或者以平移、旋转为背景，探究特殊图形（如平行四边形、菱形、等腰三角形等），综合考查学生的几何直观、模型观念等核心素养，同时着重培养学生数形结合思想、动态探究和静态分析等数学思维．二次函数综合题体现了数形结合思想和方程思想，对我们能力的要求比较高，解决此类问题的关键是要提高我们的数学建模俞力、阅读理解能力和运算能力。 考向一：线段问题 【题型1】二次函数的综合应用——线段长度及最值 （1） 异侧和的最小值： 连接AB与直线l交于点P，此时PA+PB最小； （2） 同侧和的最小值： 作A关于直线l的对称点A’，连接A’B与直线l交于点P，此时PA+PB最小； （3） 同侧差的最大值： 延长AB与直线l交于点P，此时PA-PB最大； （4） 异侧差的最大值： 作A关于直线l的对称点A’,延长A’B与直线交于点P，此时PA-PB最大。 1．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q； （3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C， ∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3） 如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），   由轴对称的性质可知CQ=EQ， ∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ， 要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小， ∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小， 设直线AE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AE的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为（1，-2）； （3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E， ∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形， ∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°， ∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°， ∴∠FMP=∠EPB， ∴△FMP≌△EPB（AAS），   ∴PE=MF，BE=PF， 设点P的坐标为（1，m）， ∴， ∴，， ∴点M的坐标为（1-m，m-2）， ∵点M在抛物线上， ∴，   ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（-1，0）； 同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）； 如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m）， 同理可证△PEB≌△BFM（AAS）， ∴， ∴点M的坐标为（3-m，-2）， ∵点M在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（，-2）； 如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时， 同理可以求得点M的坐标为（，2）； 综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）． 2．（2022·山东泰安·中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为 根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ． 又抛物线经过点，对称轴为直线， 解得∶ 抛物线的表达式为． （2）解∶①设直线的表达式为． 点A，B的坐标为，， ∴， 解得∶ ， 直线的表达式为． 根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称， ． 设点N的坐标为． 轴， ． ∴ ． ， 解，得． 点M的坐标； ②连接与交与点E． 设点M的坐标为，则点N的坐标为 四边形是正方形， ，，． ∵MN⊥x轴， 轴． E的坐标为． ． ． ∴P的坐标． 点P在抛物线上， ． 解，得，． 点P在第四象限， 舍去． 即． 点M坐标为． 3．（2025·山东济南·一模）抛物线交x轴于，B两点（B在A的右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点． (1)求此抛物线的表达式； (2)如图1，连接，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长； (3)如图2，过动点M作的平行线交y轴于点N，若射线平分线段，求点M的坐标． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴，垂足为，交于点，证明，得到，求出，进而求出点的坐标，进而求出的长即可； （3）求出直线的解析式，设，平行求出直线的解析式，进而得到点的坐标，中点坐标公式求出点坐标，代入直线的解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线过 解得： 抛物线解析式为： （2）抛物线与轴交于， 令，则：， ， ∵， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：，把代入得：， 解析式为：， 如图，过点作轴，垂足为，交于点， ， ∴， ∵， ， 又 ， ， 又， ， 设，则 解得： ； （3） 同（2）法可得：直线解析式为： 由（2）知解析式为： 设 设的解析式为：，把代入，得：， 解析式为： 中点为 将代入 得： 解得：（舍）， ． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 考向二：角度问题 【题型2】二次函数的综合应用——角度 对于特殊角的存在性问题，常构造直角三角形，利用特殊角的三角比进行求解； 对于倍角问题， ，利用等腰三角形和外角定理可构造出2α； 对于半角问题，一是可以做已知角的角平分线得到半角，二是可以类比倍角问题，构造等腰三角形得到半角。 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出 ，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①在中，令，，解得，即， 在中，令，则，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 如图，作轴于，则，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点在第三象限， ∴； ②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点． ∴设，，设直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为； 联立得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 联立， 得出， ∴点在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则， ， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为， ∵， ∴线段的最小值为． 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 3．（2024·山东济南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)连接，当时，求所有符合条件的点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，勾股定理，等腰三角形的性质； （1）利用待定系数法求解析式，即可解答； （2）设，利用勾股定理列式计算即可解答； （3）过点作，交的延长线于点，设点为的中点，连接，，根据题意得到是等腰直角三角形，点，，，在圆上，设，利用勾股定理列式计算求出点，求出直线的解析式即可解答． 【详解】（1）抛物线，过点，， ∴， 解得， 抛物线的解析式为． 当时，， 解得． （2）由（1）知抛物线的对称轴为，设． ， ． ， ， 即， 解得， 点的坐标为或． （3）存在，． 如图，过点作，交的延长线于点．设点为的中点，连接． ， 是等腰直角三角形， 点在圆上． ， ， ． ∴ 点在上． 设，则． 解得（舍去）， 点． 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式． 当时，， ． 4．（2023·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴方于点C，点F是抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点F在第一象限运动时，作交BC于H，求线段最大值； (3)过点F作轴交直线于点D，交x轴于点E，若，求点F的坐标； 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设点，过点F作轴于点N，交于点M，过点A作交y轴于点K，求得，得到，证明，推出关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分点F在x轴上方和下方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设点，过点F作轴于点N，交于点M，过点A作交y轴于点K，    令，则， ∴， ∵， ∴，，的解析式为， ∴，， ∴， ∵， ∴，则，， ∵，， ∴， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当，有最大值，最大值为； （3）解：当点F在x轴上方时，如图，延长射线交x轴于点N，    ∵，点C的坐标是， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标是， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 由， 解得（不合题意，舍去），， 当时，， ∴点F的坐标是， 当点F在x轴下方时，如图，设交x轴于点H，    ∵，， ∴， ∴是等腰三角形，是的角平分线且三线合一， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 由， 解得（不合题意，舍去），， 当时，， ∴点F的坐标是， 综上所述，点F的坐标是或． 5．（2023·山东济宁·一模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中、，M是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m， (1)求抛物线的解析式； (2)连接BM，交线段AC于点D，求的最大值（其中符号S表示面积）； (3)连接CM，是否存在点M，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）代入点A和点B的坐标到二次函数解析式即可求解； （2）和是等高的两个三角形，面积比的最大值即是底边的最大值，构造相似三角形，用m表示相似比求最大值即可； （3）做辅助线构造等腰三角形可得二倍角关系，建立一次函数图像，与二次函数交点的横坐标即为所求． 【详解】（1）解：（1）分别代入、到抛物线解析式， 解得：； 故答案为：． （2）设直线的解析式为， 将点和点代入中， ， 解得：， 直线的解析式为， 如图所示，过点M作轴交于于点G，过点A作交与点F， G点的纵坐标与M点的纵坐标相同， M为抛物线上的一点， 设M(m，)， 又G点在直线AC上，直线的解析式为， ， ， 又， ， ， ， ， 的最大值为． 故答案为：． （3）过点C作轴，延长交x轴于点T． ， ， ， ， 为等腰三角形， ． 在中，， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点和点代入中， 解得：， 直线的解析式为， M是直线和抛物线的交点，， 令， ， ， ， 解得（舍去）或 故答案为：． 考向三：面积问题 【题型3】二次函数的综合应用——三角形的面积 铅垂法： ； 等底等高法： l与AB平行，则l上的任意一点P’都可得到 1．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． （3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； （3）解：如图1，    当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4，    当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 3．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：      (1)当点M在上时，求t的值； (2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值； (3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）证明， 则 ， 即可求解； （2）由 即可求解； （3）当点在的平分线上时，则 ，在中， ，即可求解． 【详解】（1）∵平行四边形， ∴，，， 由题意得∶，， 如下图，点在上时，    ∵，，， ∴， ∴， 则 即 解得： （2）如上图， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， 则， ∴， ∴为等腰三角形， 则 过点作于点， 则 即 解得∶ ， 则 ， 设中边上的高为，则 即： ，故有最大值， 当时， 的最大值为； （3）存在， 理由∶ 如下图， 过点作于点，    当点在的平分线上时，则 ， 在中， ， 解得： 4．（2022·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）． (1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式； (2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标； (3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式； （2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果； （3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果． 【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得， -9+6m+3m=0， ∴m=1， ∴y=-x2+2x+3； （2）证明：∵y=-x2+m（2x+3）， ∴当2x+3=0时，即时，， ∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是； （3）如图， 连接OP， 设点P（m，-m2+2m+3）， 设PD的解析式为：y=kx+b， ∴， ∴， ∴PD的解析式为：y＝， 当x＝0时，y＝， ∴点N的坐标是（0，）， ∴， ∵S=S△PAM-S△BMN， ∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB， ∵ ， 当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3， ∴点B的坐标是（0，3），OB＝3， ， ∴＝＝， ∴当时，， 当时，， ∴点的坐标是（1，4）． 【题型4】二次函数的综合应用——四边形的面积 1．（2022·山东烟台·中考真题）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4， ∴C （0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， ∴x＝﹣3， ∴A （﹣3，0）， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（1，0）， ∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3）， ∴4＝﹣3a， ∴a＝﹣， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4； （2）如图1， 作DF⊥AB于F，交AC于E， ∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4）， ∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m， ∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m， ∵S△ABC＝＝＝8， ∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+， ∴当m＝﹣时，S最大＝， 当m＝﹣时，y＝﹣＝5， ∴D（﹣，5）； （3）设P（﹣1，n）， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形， ∴PA＝PC， 即：PA2＝PC2， ∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2， ∴n＝， ∴P（﹣1，）， ∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC ∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝， ∴Q（﹣2，）． 2．（2025·山东济南·模拟预测）如图1，抛物线与y轴交于点A，直线经过点A，与x轴交于点B，且与抛物线的另一交点C的横坐标为5． (1)求点A、C的坐标和抛物线的函数表达式； (2)将沿y轴向上平移到，点恰好与点A重合，点B的对应点为点B′，判断点B′是否在抛物线上，说明理由； (3)如图2，点P是直线上方的抛物线上的一个动点，那么平面直角坐标系内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形面积最大？如果存在，求出点P的坐标，并直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出，将点A与C代入即可求解析式； （2）由平移至，可知且，再由点与点A重合，可求，即可判断点是在抛物线上； （3）过P作轴于点D，交于点E，设，，过C作于点F，由，当时，最大值，以点A，C，P，Q为顶点的平行四边形面积，所以当最大时，平行四边形面积最大，即可求，当时，或； ；当时，或． 【详解】（1）解：∵C的横坐标为5， ， ， ∵直线经过点A， ∴当时，， ， ∵抛物线经过点A、C， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）当时，， ， 平移至， 且， ∵点与点A重合， ∴点的纵坐标为2， ， ∵当时，， ∴点在抛物线上； （3）过P作轴于点D，交于点E， 设，， ， 过C作于点F， ， ∵， ∴当时，最大值， ∵以点A，C，P，Q为顶点的平行四边形面积， ∴当最大时，平行四边形面积最大， ∴将代入抛物线表达式，得， ∴， ∴过点P平行直线为， ， 设Q点为， 当时， ， 或， 或； 当时，， 设直线的解析式为， 得， ， ， ∴过C点与平行的直线为， 设， ， 或， 或； 综上所述：Q点坐标为或或． 考向四：存在性问题 【题型5】二次函数的综合应用——三角形相关的存在性 1 平面直角坐标系中，则； 2 等腰三角形：需要讨论腰是哪条线段，或者讨论哪个角为顶角； 3 直角三角形：需要讨论斜边是哪条线段，或者讨论哪个角为直角。 4 若，当时，两直线垂直。 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可； （2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． 2．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解； （2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解； （3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴，（舍）， ∴． ∵在直线上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图，作轴于点， 对于，令x=0，则y=-6， ∴点C（0，-6），即OC=6， ∵A（3，0）， ∴OA=3， ∵点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵∠CAP=90°， ∴， ∵， ∴， ∵∠AOC=∠AMP=90°， ∴， ∴， ∴，即， ∴（舍），， ∴， ∴点． （3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点， ∵， ∴点， ∴， ∵PN⊥x轴， ∴PN∥y轴， ∴∠PNQ=∠OCB， ∵∠PQN=∠BOC=90°， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵EN⊥y轴， ∴EN∥x轴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是． 3．（2025·山东济南·一模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． (1)如图1，求该抛物线的解析式； (2)作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分两种情况讨论：当在轴上方时和当在轴下方时，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理确定点的坐标，然后代入函数解析式并求解，进一步即可获得答案； ②分两种情况讨论，当点在的上方时，作于点，设，求得，，利用待定系数法求得；当点在的下方时，点在的垂直平分线上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，可得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：①分两种情况讨论： 当在轴上方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入， 得， 整理得， 解得或， ∴； 当在轴下方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， 设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入， 得， 整理得， 解得或， ∴． 综上所述，点的坐标为或； ②当点在的上方时，，且，如图，作于点， ∴，，，设， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，代入得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴； 当点在的下方时，，且，如图， ∴点在的垂直平分线上， ∴， 综上，点E的坐标为或． 4．（2024·山东济南·一模）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．已知点，．抛物线的对称轴是直线，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)当是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长； (3)过点P作x轴的垂线，垂足为N，设直线交直线于点F，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线的对称轴可知点，则可设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由（1）可设，过点D作，垂足为E，由题意易得，，，，然后根据三角函数值可进行求解； （3）由题意易得，，点F为线段的中点，然后根据中点坐标公式及题意可求出m的值，进而根据题意可分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，且过， ∴ ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， ∴抛物线的解析式为：， 即：， 把代入得， ， ∴； （2）解：由（1）可设，过点D作，垂足为E， ∵是等边三角形， ∴，， ， 在中， ， ∴，， ∴边长为； （3）解：存在， ∵， ∴，． 当时，点P在x轴的上方， ∵， ∴点F为线段的中点， ∴， ∴， 设直线的解析式为： 把代入得： ∴直线的解析式为： 点F代入整理得，， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，如图，设线段的中点为R， ∴，， ∵， ∴M为的中点， ∴，， ∴，， ∴， 代入整理得，， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上可知，存在或，使． 5．（2024·山东枣庄·三模）如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，． (1)求点 M 的坐标及抛物线的解析式； (2)点 P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当 时，求点P的坐标； (3)点D是线段 (包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过点P作轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出p的值，从而得出点P的坐标； （3）由可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当，可推导B与点Q重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为q，则，，从而得到，解得q的值，从而得到点Q的坐标，最后综合①②即可； 【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且， ∴ 将，代入，得 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E，    设直线的解析式为， 将，代入，得 ，解得， ∴直线AC的解析式为 设点P的横坐标为 则，， ∴ ∵，∴，解得， ∴ （3），， ∵在中，，以点Q，N，C为顶点的三角形与相似， ∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形， 又∵轴，直线交直线于点N， ∴，即点N不与点O是对应点． 故分为和两种情况讨论： ①当时，由于轴， ∴轴，即在x轴上， 又∵点Q在抛物线上， ∴此时点B与点Q重合， 作出图形如下：      此时， 又∵ ∴，即此时符合题意， 令， 解得：(舍去) ∴点Q的坐标，也即点B的坐标是． ②当时，作图如下：    ∵轴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴，即此时符合题意， ∵， ∴，即 ∵，， ∴ ∴， 设点的横坐标为q，则，， ∴， ∴， 解得：(舍去)， ∴， ∴点Q的坐标是 综上所述：点Q的坐标是，； 【题型6】二次函数的综合应用——平行四边形的存在性 1 一般结合平行四边形的定义、性质和判定定理来求解； 2 若已知三个顶点，求另一个顶点时，用对角线互相平分的四边形是平行四边形来找第四点坐标计算量最小，即已知，则设第四点为,若AB为边： ；若AB为对角线，则 1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解． （3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴①， 将点代入得， ∴②， 联立①②得，， ∴解析式为； （2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，    ∴，， 则， ∴ 解得：或（舍去）， （3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，    ， ∵， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∴ 解得： ∴点的坐标为或 如图3，当为平行四边形的对角线时，，，    由对称性可知，， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或 综上所述，点的坐标为或或或． 2．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解； （3）分3种情况求解：当时；当时；当时；根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴点，点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意，， ∴， 当四边形是平行四边形时，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为， ∴ ∴， 解得（不合题意，舍去），； （3）解：存在，理由如下． 由题意，， ∴，． 当时，点P在x轴的上方， ∵， ∴点E为线段的中点， ∴，， ∴， 代入整理得，， 解得（不合题意，舍去），． 当时，点P在x轴上，此时点E与点M重合，所以此种情况不存在； 当时，点P在x轴的下方，点E在射线上， 如图，设线段的中点为R，      ∴，， ∴． ∵， ∴M为的中点， ∴，， ∴， 代入整理得，， 解得（不合题意，舍去），． 综上可知，存在或，使． 3．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； (3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式； （2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解； （3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， 可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为． 【详解】（1）将，代入，得 ，解得 ∴抛物线解析式为： （2）二次函数，当时， ∴点 设点，点， 当为边，为对角线时， ∵四边形为平行四边形， ∴，互相平分 ∴解得，（舍去）或 点Q坐标； 当为边，为对角线时， 同理得， 解得，或， ∴ ∴点Q坐标或 综上，点Q坐标，或或； （3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，同理可得 设直线的解析式为： 则，解得 ∴直线： 同理由点，，可求得直线 ： 设点，， 则，，， 中，， ∴， 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴； 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴ ∴， 即． ∵ ∴时，，有最大值，最大值为． 【题型7】二次函数的综合应用——矩形的存在性 根据平行四边形的存在性列出方程组，再结合对角线相等列出方程组即可。 1．（2024·山东淄博·二模）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，． (1)求该抛物线及直线的函数表达式； (2)如图2，在上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作，交于点D，过点P作轴，交于点E．在点P运动的过程中，请求出周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形勾股定理，分类讨论是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）证明，得求出直线的解析式，设点P的坐标，则点E的坐标，得；当时，取得最大值，即，当时，的周长取得最大值； （3）设点P的坐标，设点Q的坐标，分所求情况讨论：当点P在y轴右边的抛物线上时，当时，，则，列方程求解m；当点P在y轴左边的抛物线上时，同理求解． 【详解】（1）解：（1）将点，代入， 得，， 解，得， 所以，该抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入， 得， 解，得， 所以，直线的函数表达式为； （2）如图，过点A作轴，交于点F， 因为，轴， 所以，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 在和中， ， 所以， 所以，， 由直线和点， 得点F坐标为， 所以，， ，， 所以，的周长， 所以，的周长．的周长， 设点P的坐标，则点E的坐标， 所以， 所以，当时，取得最大值， 即，当时，的周长取得最大值： 此时点P的坐标为； （3）设点P的坐标，设点Q的坐标 ①当点P在y轴右边的抛物线上时，存在即可存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，过点P作轴，交y轴于点M，过点B且平行于y轴的直线于点N，如图（1）， 所以，，，，， 因为，当时，， 所以，， 即，， 解，得，（舍） 所以，点P的坐标为， 由题意，易得线段的中点坐标为， 因为，点Q与点P关于线段的中点成中心对称， 所以， 所以，点Q的坐标为； ②当点P在y轴左边的抛物线上时，存在即可存在点Q使以B，C，P，为顶点为对角线的四边形是矩形，过点P作轴，交x轴于点N，交过点C且平行于x轴的直线于点M，如图（2）， 同①得，， 即，， 解，得， 所以，点P的坐标为， 同理，因为点Q与点P关于线段的中点成中心对称， 所以，， 所以，点Q的坐标为 综上所述，点Q的坐标为或． 2．（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于D，交抛物线于E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，作轴，交直线于点F，四边形为矩形，当矩形的周长为9时，求m的值； (3)如图2，作的中垂线交于M，于Q，在延长线上取点N，使，求点N与y轴的最远距离． 【分析】（1）由一次函数表达式求得B、A的坐标，把这两点坐标分别代入二次函数表达式中即可求解； （2）根据四边形为矩形，由点P的坐标可得点D、E的坐标，则可得的长度；由点E的坐标可得点F的坐标，则可得的长度，根据矩形周长建立关于m的方程即可求解． （3）由（2）知可求得点Q的坐标，从而求得点M的坐标及点N的坐标，则点N横坐标的绝对值即为点N到y轴的距离，即可求得距离的最大值． 【详解】（1）解：对于，令，得；令，得， 则； 把B、A的坐标分别代入中，得：， 解得：， 则； （2）解：四边形为矩形，轴， 轴； ， ， ； 轴，且点F在直线上， 点与F点的纵坐标相同， 即， ， ， 则， ， 即四边形是正方形； 由题意得，即， 解得：； 即； （3）解：垂直平分， 点是的中点， 由（2）知，点Q的坐标为， 轴，， 轴， 三点的纵坐标相同， 点在直线上， ， ， 即， ； ， ， 即； 点N横坐标的绝对值即为点N到y轴的距离， 而点N在第二象限，点N到y轴的距离为， ， 当时，d有最大值，且最大值为． 3．（2023·山东济南·一模）抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)如图，连接，点P在线段上，作直线轴，与抛物线交于点Q．以线段为边构造矩形，边在y轴上． ①当矩形周长最大时，求点P坐标． ②在①的条件下，点T在第四象限内，作射线，当时，求的值． 【分析】（1）将点、代入函数，利用待定系数法即可解答； （2）①根据题意，得矩形的周长，即可求解； ②证明矩形为正方形，得到，即可解答． 【详解】（1）解：将点、代入函数，得， 解得， 抛物线解析式为 （2）解：①设的解析式为 将代入解析式，得， 解得， 的解析式为， 设，则， 则矩形的周长为， 当时，矩形的周长取最大值， ； ②由①得，，则， 当时，， , ， 矩形为正方形， 如图，连接，设交于点M， 由正方形对称轴知，，， ， ， 设交y轴于点H，即， 在等腰中，，则， 由点P，A的2坐标得，，则， 过点H作于点K，在中，，，则,则， 解得， ， ， ． 【题型8】二次函数的综合应用——菱形的存在性 根据平行四边形的存在性列出方程组，再结合临边相等列出方程组即可。 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式及，两点的坐标； (2)如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得，再将点代入二次函数的解析式可得，由此可得二次函数的解析式；然后与直线联立求解可得点的坐标； （2）①设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，先得出，再根据菱形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线交轴于点，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，，再证出是等腰直角三角形，且，然后根据轴对称的性质可得，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将点代入抛物线得：， ∴该抛物线的解析式． 联立，解得或， ∵抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧）， ∴，． （2）解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（1）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵点是上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点的横坐标大于，且小于4， ∴点的坐标为． ②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值． 2．（2024·山东东营·二模）如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标． (3)为拋物线上一动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（）利用交点式假设出抛物线的解析式为 ，把代入计算即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，，求出，，由得，即，解之即可求解； （）设与的交点为，由菱形的性质得点为和的中点，，设，由勾股定理得，即有，解得或，设点的坐标为，再利用中点坐标公式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线为 经过两点， ， 把代入得，， ∴， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ， ， 解得(不合，舍去)，， 点的坐标为； （3）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 如图，设与的交点为， ∵四边形为菱形， ∴点为和的中点，， ∵，， ∴， ∵点为拋物线上一动点， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴或， ∴或， 设点的坐标为， 当点的坐标为时，有，， ∴，， ∴； 当点的坐标为时，有，， ∴，， ∴； 综上，存在或、，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 3．（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标； (3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由． 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （）分两种情况进行讨论：当点位于直线下方时，当点位于直线上方时，分别画出图形求出结果即可； （）在第一象限内取点，过点作轴，交于，过点作，交轴于，过点作轴，垂足为，设点，则，，求出直线的解析式为，得出，根据，得出，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图， ①当点位于直线下方时，过点作，垂足为，设满足条件的点在抛物线上，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴； ②当点位于直线上方时，过点作直线，垂足为，设，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在． 如图，在第一象限内取点，过点作轴，交于，过点作，交轴于， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 过点作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∴，设点， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴点坐标为． 【题型9】二次函数的综合应用——正方形的存在性 1．（2024·山东菏泽·二模）如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）先根据对称轴公式得到，再利用待定系数解答，即可求解； （2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为，根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ∴，即， 把代入得， ∴， ∴ 抛物线的表达式为． （2）解：①设直线的表达式为． 点A，B的坐标为，， ∴， 解得： ， 直线的表达式为． 根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称， ． 设点N的坐标为． 轴， ． ∴ ． ， 解，得． 点M的坐标； ②连接与交与点E． 设点M的坐标为，则点N的坐标为 四边形是正方形， ，，． ∵MN⊥x轴， 轴． E的坐标为． ． ． ∴P的坐标． 点P在抛物线上， ． 解，得，． 点P在第四象限， 舍去． 即． 2．（2024·山东淄博·二模）如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 【分析】（1）令，代入二次函数中即可求解． （2）假设四边形是菱形，则，进而得出即，过点作轴，垂足为，则，，勾股定理求得，这与相矛盾，即可得出结论； （3）利用配方法求出二次函数的对称轴，设出点坐标，求出点坐标，连接，则，求出，即以切线长为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，求出三角形的面积，进而得出半径，假设经过点，分两种情况：①当点在点的上方，②当点在点的下方，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ，． 答：点的坐标为，点的坐标为． （2） 不能． 理由如下：由（1）知抛物线对称轴为 假设四边形是菱形，则 由，得， 即 过点作轴，垂足为，则， 由勾股定理得： 这与相矛盾 四边形不能是一个菱形． （3）， 对称轴为． 设， ， ， 连接，则， ， 即以切线长为边长的正方形的面积为， 过点作轴，垂足为， 则，， ， ． 假设经过点，则有两种情况： ①如图，当点在点的上方， ， ，解得或1， ， ． ②如图，当点在点的下方， ， 解得， ， ， 综上所述，或， 当不经过点时，长的取值范围为：或或． 答：长的取值范围为：或或． 考向五：其他应用 【题型10】二次函数的综合应用——其他应用 1．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案； 【详解】（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （2）解： 对称轴为，函数图象开口向上 ， 当时，取最大值4 解得， （3）解： 当， 当时， 当交点在线段之间时，当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 2．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3）∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 3．（2023·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．    (1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围． 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令，求出值，即可得到点的坐标； （2）设直线的表达式为，将点，代入解析式，利用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，根据平移的性质，得到点，将点P代入，求出的值，即可得到点的坐标； （3）根据正方形和点C的坐标，得出，，，将代入，求得，进而得到顶点坐标，分两种情况讨论：①当抛物线顶点在正方形内部时，②当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，分别列出不等式组求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ，解得：， 抛物线表达式为， 当时，， 解得：（舍去），， ； （2）解：设直线的表达式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的表达式为：， 点在抛物线上， 设点， ，，且由平移得到， 点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，   点在直线上， 将代入， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当时， 点坐标为； （3）解：四边形是正方形，， ，， ， 点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2， 将代入，得：， ， 顶点坐标为， ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，   ，解得：； ②如图，当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，   ，解得：， 综上所述，的取值范围为或． （建议用时：120分钟） 1．（2024·山东济宁·一模）如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小，即可求解； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）如下图，作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小， 理由：为最小， 对称轴为，由点的对称性知，点的对称点D的坐标为：； （3）存在，理由： 令，则， 解得或， ∴点，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点， 由点A、C、F的坐标得，， 同理可得：， 当时， 则， 解得：（舍去）或2， 即点； 当或时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或或； 综上，点F的坐标为：或或． 2．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数，当时，y的最大值为4；当时，y的最大值为4.5． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点M是二次函数图象的对称轴上一点，当的周长最小时，求点M的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意得到抛物线的对称轴一定在轴右侧，且抛物线的最高点的纵坐标为，与轴交点纵坐标为4，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）由两点之间线段最短知，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）作的外接圆，交抛物线的对称轴于点，由圆周角定理知，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵当时，y的最大值为4； 当时，y的最大值为，且， ∴抛物线的对称轴一定在轴右侧，且抛物线的最高点的纵坐标为， 又当时，随的增大而增大， ∴当时，在时，取得最大值为4， ∴，即， 设二次函数的解析式为， 把代入得，解得， ∵对称轴一定在轴右侧， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：对于，对称轴为直线， 令，则， 解得或， ∴，， ∴， 连接交对称轴于点M，由对称知， 由两点之间线段最短知， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （3）解：作的外接圆， 则点在的垂直平分线上，即点在抛物线的对称轴上， ∴点的横坐标为1，设点的坐标为， ∴， ∴，解得， ∴点的坐标为， ∵， 设交抛物线的对称轴于点， ∴， 此时点的坐标为， 同理点的坐标为， 综上，点N的坐标为，． 3．（2023·山东日照·二模）二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接、交于点，过点作轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，当时，求直线的解析式； (3)如图2，连接，请判断是否有最大值，如有请求出最大值及有最大值时点的坐标，如没有请说明理由 【分析】（1）将，代入中，列出关于、的二元一次方程组，求出、的值即可； （2）设与轴交于点，根据轴可知，，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点的坐标，用待定系数法确定出的函数解析式即可； （3）设与交于点，过作轴的平行线与相交于点．由、两点坐标可得所在直线表达式，求得 点坐标，则，易得，，设，则，，根据二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）设与y轴交于点，    轴， ， ， ， ， ，设， 则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 设所在直线表达式为 解得 ∴直线的表达式为． （3）设与交于点N． 过作轴的平行线与相交于点．    由、两点坐标分别为， 可得所在直线表达式为 ∴点坐标为， 由，可得， 设，则 ， ∴当时，有最大值， 此时点坐标为． 4．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 5．（2023·山东泰安·中考真题）如图1，二次函数的图象经过点．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点P在二次函数对称轴上，当面积为5时，求P坐标； (3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线解析式，然后通过设点坐标，并表示对应点坐标，从而利用“割补法”计算的面积表达式并建立方程求解即可； （3）首先连接，，设与对称轴交点为，对称轴与轴交点为，连接，延长与对称轴交于点，根据已知信息求出，然后推出，从而在中求出，确定出点坐标，再求出直线解析式，通过与抛物线解析式联立，求出交点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：由抛物线可知，其对称轴为直线，， 设直线解析式为：， 将，代入解得：， ∴直线解析式为：， 此时，如图所示，作轴，交于点，    ∵点P在二次函数对称轴上， ∴设，则， ∴， ∴， ∵要使得面积为5， ∴，解得：或， ∴的坐标为或； （3）解：正确，，理由如下： 如图所示，连接，，设与对称轴交点为，对称轴与轴交点为，连接，延长与对称轴交于点，    由（1）、（2）可得，， ∴，， 根据抛物线的对称性，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵且， ∴， ∴， 即：在中，， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为：， 将、代入解得：， ∴直线解析式为：， 联立，解得：或（不合题，舍去） ∴小明说法正确，D的坐标为． 6．（2024·山东青岛·三模）已知，如图，中，，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是N，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)连接，是否存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据若四边形是平行四边形，则，列式即可求解； （2）应用相似三角形和锐角三角函数的知识求出，从而应用转换思想，由，即可求解； （3）假设存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分，设与相交于点E，则分和两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：若四边形是平行四边形，则，反之也成立， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； （2）解：由题意得 ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， y与t之间的函数关系式为； （3）解：存在； 假设存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分， 设与相交于点E， ①当时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 解得：， ②当时， 同理可得：， 即， 解得：， 当的值为或时，与的交点把线段分成的两部分． 7．（2022·山东枣庄·中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的关系式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围； （4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0）， ∴ ， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3； （2）如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，    设P（m，m2﹣4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°， ∴∠AOE＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE＝OA＝3， ∴E（3，3）， 设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得， 3＝3k， 解得k＝1， ∴直线OE的解析式为：y＝x， ∴G（m，m）， ∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3， ∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG PG•AE 3×（﹣m2+5m﹣3） （m2﹣5m+3） （m）2， ∵0， ∴当m时，△OPE面积最大， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P点坐标为（，）； （3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1）， 抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）． 设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，    ∵直线OE的解析式为：y＝x， ∴M（2，2）， ∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界）， ∴2≤﹣1+h≤3， 解得3≤h≤4； （4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况： ①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，    ∴∠OMP＝∠PNF＝90°， ∵△OPF是等腰直角三角形， ∴OP＝PF，∠OPF＝90°， ∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°， ∴∠OPM＝∠PFN， ∴△OMP≌△PNF（AAS）， ∴OM＝PN， ∵P（m，m2﹣4m+3）， 则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m， 解得：m或， ∵m＞2，不合题意，舍去， ∴m， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P的坐标为（，）； ②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时， 同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3， 解得：m1或m2， ∵＞2，不合题意，舍去， ∴m＝， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P的坐标为（，）； ③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，    同理得△ONP≌△PMF， ∴PN＝FM， 则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2， 解得：m1或m2； ∵＜2，不合题意，舍去， ∴m＝， 此时m2﹣4m+3＝， P的坐标为（，）； ④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，      同理得m2﹣4m+3＝m﹣2， 解得：m或（舍）， P的坐标为：（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 8．（2025·山东·一模）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E． (1)若点E的坐标为，求的解析式； (2)设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标； (3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标； （2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论； （3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标； ②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值． 【详解】（1）解：∵与y轴交点的坐标为， ∴，解得． ∴的解析式为 ； （2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为， ∵， ∴的顶点的坐标为 易得点， 过点作轴于点，连接．    ∴，，， ∵， ∴，即． 解得， ∴点E的坐标为； （3）解：①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得或， ∴或； ②∵的解析式为， ∴当时，， 当时，； 当时，． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为． ∴，解得或（舍）或（舍）； 当时，函数的最大值为，函数的最小值为． ∴，解得或（舍）或（舍）； Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为， ∴，解得（舍）或（舍）； Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去． 综上，a的值为或． 9．（2024·山东菏泽·二模）如图，二次函数的图象与直线交于、两点． (1)请直接写出关于x的不等式的解集：______； (2)求二次函数表达式； (3)点E是线段（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线于点N、若以点P，N，A为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）利用待定系数法求解析式即可； （3）由，求出直线解析式为，过作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点；当点E与点B重合时，即点P与点B重合，可证明此时；当点E与点B不重合时，令，则，，由，得，故，因而有，即，求出的值即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象与直线交于、两点 ∴当时，抛物线在直线上方， ∴关于x的不等式的解集为； （2）将、两点代入得， ，解得 ∴二次函数表达式为； （3）解：∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 如图，过作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点， ∵， ∴， 当点E与点B重合时，此时点P与点B重合，且此时， ∴此时，符合题意， ∴此时点P的坐标为； 当点E不与点B重合时，设，则，， 由题意可知，不可能垂直，即， ∴当时，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， 经检验时方程的解， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． 10．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长，      ∵，， ∴， 即：的最小值为：； （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 11．（2024·山东淄博·二模）如图1所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，求的最小值； (3)如图所示，是线段上的一个动点，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点， ①若以，，为顶点的三角形与相似，求的面积； ②若点恰好是线段的中点，点是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点代入，可得直线的解析式及的值，再把点代入即可得解； （2）取点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，连接，此时的值最小； （3）①当时，得，，，可得结论；时，得，设，则，过点作交于点，可求得，再由点在直线上，求出，从而得到，，可得结论； ②设，则，，再由点在直线上，求出，分三种情况讨论：当时；当时；当时． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴，， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，连接，， 则，当、、共线时，取“”，此时的值最小， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴，轴于点， ∴， ∴， ∴的最小值为；    （3）①当时， ∴， ∵轴，，， ∴，， ∴，， ∴点的纵坐标为，， 由，得：或， ∴， ∴， ∴；    当时， ∵，即， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作交于点，设，则， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的面积为或；    ②存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，则， ∵点是的中点， ∴，将坐标代入， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， 设点 1）当时，点在垂直平分线上，则点的纵坐标为， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴； 2）当时，设， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 当点的坐标为时，得： ，解得：， 此时； 当点的坐标为时，得： ，解得：， 此时； 点D坐标为或； 3）当时， ∵，， 此时点与点重合， ∴菱形为正方形， ∴，， ∴点向上平移个单位得到点，再向左平移个单位得到； 综上所述：点坐标为或或或． 12．（2023·山东东营·三模）已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点和点代入抛物线，解方程即可得到a、b的值； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，然后求出，由函数的性质求出取最大值时t的值，即可求出点P的坐标； （3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，过点O作于一点H，可求得的解析式，则可设出过点A且与平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线与抛物线有交点M，联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标． 【详解】（1）解：把点和点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：过点O作于一点H，如图所示：   ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴点H为的中点，即， 则所在的直线方程为， ∵四边形为矩形， ∴过A与直线相垂直的直线函数解析式中的k值与的解析式的k值相同， ∴设所在的直线解析式为， ∵点A在直线上， ∴可求得，即所在的直线解析式为， 联立的直线方程与抛物线的解析式， 得，解得或， 其中为点A的坐标，即， ∵四边形为矩形，且， 根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得到点N的坐标， 即． 13．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．    (1)求点C，D的坐标； (2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标； (3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标； ②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值． 【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可； （2）先求出，如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，利用勾股定理建立方程组，解得或（舍去），则，求出直线的解析式为，然后联立，解得或，则； （3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D， ∴C、D关于抛物线对称轴对称， ∴； （2）解：当时，抛物线解析式为， 当，即，解得或， ∴； 如图，设上与点M关于直线对称的点为， 由轴对称的性质可得， ∴， 解得：，即 ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或 ∴；    （3）解：①当时，抛物线解析式为，， ∴， ∴，， 当时，， ∴抛物线恰好经过； ∵抛物线对称轴为直线， 由对称性可知抛物线经过， ∴点时抛物线与正方形的一个交点， 又∵点F与点D重合， ∴抛物线也经过点； 综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；    ②如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴点T的纵坐标为， ∴， ∴， 解得（舍去）或；    如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴， 解得（舍去，因为此时点F在点D下方）    如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当时，， 当 时，， ∴不符合题意；    综上所述，． 14．（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．     (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答； （2）过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答； （3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直线的解析式为：，得，令，解得，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点， ∴， ∵对称轴为， ∴，， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过作x轴的垂线，垂足为H，    令， 解得：， ∴，， ∴， 由翻折可得， ∵对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）设所在直线的解析式为， 把B、C坐标代入得：， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线与x轴所成夹角为， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点P代入得， ∴， 令，则， 解得， ∴ ∴ ∵点P在直线上方， ∴， ∴当时，的最大值为． 144 / 144 学科网（北京）股份有限公司 $$