特训03 勾股定理相关路径最值问题（分类专练）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训03 勾股定理相关路径最值问题（分类专练） 【特训过关】 一、圆柱 1．如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高为4cm，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　）cm． A． B． C． D． 2．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为18cm，高为12cm，在内壁A点距杯口3cm处有一滴蜂蜜，在A点正对面的外壁距杯底3cm的B处有一只蚂蚁，蚂蚁要到A处饱餐一顿至少要走（    ）cm．（杯子厚度忽略不计） A． B． C．13 D．15 3．如图，圆柱的高为10cm，底面直径为4cm，一只蚂蚁从圆柱高的中点A沿侧面爬到点B的最短的距离是（   ）． A．10cm B．15cm C． D． 4．如图，圆柱底面周长为16cm，圆柱高8cm，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 5．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为10cm，底面周长为12cm，在盒子外壁离上沿2cm的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离 ． 6．如图，圆柱的高为10，底面圆的直径为8，若取3，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到的中点E的最短距离为 ． 7．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的B处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为 ． 8．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为8cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是 ． 9．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为，在杯内壁离杯底3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线的长为 cm．（杯壁厚度不计） 二、正方体与长方体 10．如图，正方体的棱长长为，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（   ）． A． B． C． D． 11．如图，长方体纸盒的长、宽、高分别长为3cm，2cm，1cm．一只蚂蚁预从点E沿长方体纸盒表面爬行至点C吃到食物，则最短路径长为（   ）． A． B． C． D．6cm 12．如图是一个内壁长4m、宽3m、高2m的长方体仓库，在其内壁的A（长的四等分）处有一只壁虎，B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（   ）． A．3m B．4m C．5m D．6m 13．如图，长方体的长为6cm，宽为5cm，高为4cm，若一只蚂蚁要沿着长方体的表面从的中点P爬到的中点Q，那么它需要爬行的最短路程是（    ）． A． B． C． D． 14．如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为（    ）． A． B． C． D． 15．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ． 16．如图，长方体的高为8cm，底面是边长为4cm的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为 cm． 17．如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 18．如图，把一个棱长为3cm的正方体的每个面都分成个小正方形，所有小正方形的边长都是1cm，点A，B的位置如图所示．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从点A处出发沿表面爬行至点B处最少用时 s． 19．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 cm． 20．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 cm． 三、圆锥及其他 21．如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）cm． A．40 B． C．160 D． 22．如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为7cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（    ）．      A．25cm B．31cm C．24cm D．7cm 23．已知圆锥的底面半径为2，母线长为8，底面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线的中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 24．用一张半径为4cm的半圆形纸片，围成一个圆锥（连接处无缝隙也无重合），一只蚂蚁沿着圆锥表面爬行，从点A爬行到点B的最短路线长为 cm． 25．如图，在中，，，点D，E分别为，上的动点，若，则的最小值是 ． 26．如图，在四边形中，，连接，，，，点E，F分别在边，上，且，分别连接，．若，则的最小值为 ． 27．如图，边长为3的正方形中，E为边上一点，且，M是对角线上的一个动点，则的最小值为 ．    28．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为10cm，母线（）长为10cm． （1）求圆锥形纸杯的侧面积． （2）若在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离． 四、实际应用 29．如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ）． A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米 30．如图是某个楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在B处发现E处有一块碎面包，则这只蚂蚁吃到这块碎面包所走的最短路程为（    ）． A．8dm B． C． D．10dm 31．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在CD上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（    ）． A．24米 B．25米 C．26米 D．27米 32．如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点P到的距离是3米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（   ）米． A．5 B． C． D．3 33．如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为8cm的正方形，且深为4cm，两个格子之间的隔断厚1cm．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点A处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 cm． 34．小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，墙体的长米，墙体的宽米，墙体的高米，若小南要从点A出发沿墙体表面爬到点B，则小南爬行的最短距离为 米． 35．如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）． 36．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站P，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 37．【综合与实践】 【问题情景】 （1）如图1，点C为线段上一动点．分别过点B，D作，，连接，．已知，，．设，用含x的代数式表示的长； 【数学思考】 （2）如图2．在某河道l一侧有A，B两家工厂，它们到河道的距离，分别是4km，6km，两工厂之间的距离是6km．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点P，且使得抽水点P到A，B两家工厂的距离之和最短，求的最小值； 【深入探究】 （3）请结合上述思路，求代数式的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 勾股定理相关路径最值问题（分类专练） 【特训过关】 一、圆柱 1．如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高为4cm，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　）cm． A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：底面周长为20cm，则半圆弧长为10cm， 画展开图形如下： 由题意得：，， 根据勾股定理得： ． 故选：A． 2．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为18cm，高为12cm，在内壁A点距杯口3cm处有一滴蜂蜜，在A点正对面的外壁距杯底3cm的B处有一只蚂蚁，蚂蚁要到A处饱餐一顿至少要走（    ）cm．（杯子厚度忽略不计） A． B． C．13 D．15 【答案】D． 【解答】解：根据题意将圆柱侧面展开得到长方形，作图如下，作点A关于的对称点G，连接，过点D作，过点G作，两线交于点H，则，， 根据两点之间线段最短得到，即为所求最短路径， ∴，， ∴， ∴蚂蚁要到处饱餐一顿至少要走 故选：D． 3．如图，圆柱的高为10cm，底面直径为4cm，一只蚂蚁从圆柱高的中点A沿侧面爬到点B的最短的距离是（   ）． A．10cm B．15cm C． D． 【答案】C． 【解答】解：圆柱体的过点A的部分侧面展开图，如图所示， ∵圆柱的高为10cm，底面直径为4cm， ∴ 底面圆周长为，， ∴， ∴在中，． 故选：C． 4．如图，圆柱底面周长为16cm，圆柱高8cm，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 【答案】． 【解答】解：沿剪开，展开圆柱的侧面，如图： 这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意知，，，，， 由勾股定理，得， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最小长度为， 故答案为：． 5．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为10cm，底面周长为12cm，在盒子外壁离上沿2cm的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离 ． 【答案】10cm． 【解答】解：如图是侧面展开图的一半，作点A关于的对称点，连接，作交的延长线于点D，由题意可知，为所求， ∵高为10cm，底面周长为12cm，在盒子外壁离上沿2cm的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部4cm的点B处有一滴蜂蜜， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：10cm． 6．如图，圆柱的高为10，底面圆的直径为8，若取3，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到的中点E的最短距离为 ． 【答案】13． 【解答】解：如图，． 7．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m．如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的B处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为 ． 【答案】5m． 【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵圆柱高米，底面周长米， ∴彩带长， ∴应购买彩带的长度为5m． 故答案为：5m． 8．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为8cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意，作图如下， ∵，，，作点A关于的对称点，连接，则线段是最短路径，过点作延长线点E，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 9．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为，在杯内壁离杯底3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线的长为 cm．（杯壁厚度不计） 【答案】． 【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， ∵底面半径半径为， ∴底面周长为， ∴， 根据题意得，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：． 二、正方体与长方体 10．如图，正方体的棱长长为，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：根据题意得， 它爬行最短路程是， 故选：C． 11．如图，长方体纸盒的长、宽、高分别长为3cm，2cm，1cm．一只蚂蚁预从点E沿长方体纸盒表面爬行至点C吃到食物，则最短路径长为（   ）． A． B． C． D．6cm 【答案】A． 【解答】解：如图所示，； 如图所示，； 如图所示，． ∵， ∴最短路径是． 故选：A． 12．如图是一个内壁长4m、宽3m、高2m的长方体仓库，在其内壁的A（长的四等分）处有一只壁虎，B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（   ）． A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】C． 【解答】解：如图，展开前面与上面， ∵A是长的四等分点，B是宽的三等分点，长4m、宽3m、高2m， ∴，，， ∴． 如图展开前面与右边，过B作于C， ∵，， 则； 其余的展开方式要展开三个面，更长， ∵， ∴则最短距离为5m． 故选：C． 13．如图，长方体的长为6cm，宽为5cm，高为4cm，若一只蚂蚁要沿着长方体的表面从的中点P爬到的中点Q，那么它需要爬行的最短路程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：按照上面和左面展开，如下，过Q作于点M， ∴，， ∴， 按照正面和上面展开，如图， ∴，， ∴， ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：A． 14．如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：如图所示， 根据题意，长方体的长 ，宽 ，高 ，， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得； 第二种展开图中， 根据题意，得 ； 第三种展开图中， 根据题意，得 ； 故爬行的最短路程为， 故选：C． 15．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ． 【答案】10． 【解答】解：将长方体展开如图（1）所示：此时， 将长方体展开如图（2）所示：此时， ∵， ∴它所行的最短路线的长是， 故答案为：10． 16．如图，长方体的高为8cm，底面是边长为4cm的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为 cm． 【答案】． 【解答】解：如图，     （1）； （2）， 由于； 则蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：． 17．如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 【答案】25． 【解答】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负值已舍去 故答案为： 18．如图，把一个棱长为3cm的正方体的每个面都分成个小正方形，所有小正方形的边长都是1cm，点A，B的位置如图所示．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从点A处出发沿表面爬行至点B处最少用时 s． 【答案】2.5． 【解答】解：分两种情况讨论： ①如图1，展开底面与右面，由勾股定理，得； ②如图2，展开前面与上面，由勾股定理，得． ∵， ∴最短路径长为5cm， ∴这只蚂蚁从点A处出发沿表面爬行至点B处最少用时． 故答案为：2.5． 19．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 cm． 【答案】25． 【解答】解：展开前面和右面，如图： ； 展开左面和上面，如图： ； 展开上面和前面，如图： ； ∵， ∴， ∴需要爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 20．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 cm． 【答案】100． 【解答】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为100cm， 故答案为：100． 三、圆锥及其他 21．如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）cm． A．40 B． C．160 D． 【答案】D． 【解答】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶点为B， ∵，， ∴由勾股定理可得母线， 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得： ． ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故选：D． 22．如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为7cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（    ）．      A．25cm B．31cm C．24cm D．7cm 【答案】A． 【解答】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为的长，    由勾股定理得，， 这圈金属丝的长度至少为25cm． 故选：A． 23．已知圆锥的底面半径为2，母线长为8，底面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线的中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意，将圆锥展开如下图所示的扇形，连接，则线段就是蚂蚁爬行的蛭短距离， ∵点是母线的中点，， ∴， 扇形的弧长， 设扇形的圆心角为，则有： ， 解得：， ∴扇形的圆心角为， ∴蚂蚁爬行的最短距离为：， 故答案为：． 24．用一张半径为4cm的半圆形纸片，围成一个圆锥（连接处无缝隙也无重合），一只蚂蚁沿着圆锥表面爬行，从点A爬行到点B的最短路线长为 cm． 【答案】． 【解答】解：如图，线段的长为所求的最短路线长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 25．如图，在中，，，点D，E分别为，上的动点，若，则的最小值是 ． 【答案】． 【解答】解：延长到F，使得，过点F作于点，如图所示： ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 26．如图，在四边形中，，连接，，，，点E，F分别在边，上，且，分别连接，．若，则的最小值为 ． 【答案】． 【解答】解：∵，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 如图所示，延长至点G，使得， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点B，F，G三点共线时，，由两点之间线段最短得到此时值最小， ∵，， ∴在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 27．如图，边长为3的正方形中，E为边上一点，且，M是对角线上的一个动点，则的最小值为________．    【答案】． 【解答】解：如图，连接、， ∵边长为3的正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 由两点之间线段最短得，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 28．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为10cm，母线（）长为10cm． （1）求圆锥形纸杯的侧面积． （2）若在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为． 【解答】（1）解：（平方厘米）； （2）解：圆锥侧面沿母线展开可得下图： 则圆锥底面周长的一半， ∴，即， 在中，，， 根据勾股定理可得：， 所以蚂蚁爬行的最短距离为． 四、实际应用 29．如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ）． A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米 【答案】D． 【解答】解：如图所示 （分米） 答：它沿着台阶面从点A爬到点B的最短路程是20分米． 故选：D 30．如图是某个楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在B处发现E处有一块碎面包，则这只蚂蚁吃到这块碎面包所走的最短路程为（    ）． A．8dm B． C． D．10dm 【答案】C． 【解答】解：将台阶展开，如图， ∵，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， 故选：C． 31．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在CD上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（    ）． A．24米 B．25米 C．26米 D．27米 【答案】B． 【解答】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为25米． 故选：B． 32．如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点P到的距离是3米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（   ）米． A．5 B． C． D．3 【答案】A． 【解答】解：如图，过P作于G，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， ∵米，米，点P到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：A． 33．如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为8cm的正方形，且深为4cm，两个格子之间的隔断厚1cm．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点A处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 cm． 【答案】． 【解答】解：如图所示，把包含A．B两点的两个格子及其隔断展开成一个平面图形， 此时，蚂蚁爬行最短距离为线段长度， 由勾股定理得，， 故答案为：． 34．小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，墙体的长米，墙体的宽米，墙体的高米，若小南要从点A出发沿墙体表面爬到点B，则小南爬行的最短距离为 米． 【答案】． 【解答】解：平面展开图为： （米， 故答案为：． 35．如图，A，B个村在河的同侧，且， A，B两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）． 【答案】O点位置见解析，铺设水管的总费用为15000元． 【解答】解：如图，作点A关于的对称点， 连接交于O， ∴， ∴点O即为水厂的位置． 过点作交的延长线于点E，过点A作于点F， 则，，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 在中，， 由勾股定理得． ∴（元）． 故铺设水管的总费用为15000元． 36．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站P，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 【答案】（1）见解析；（2）25；（3）6.3125千米；（4）20． 【解答】（1）证明：根据题意，，，，， 则， ∴四边形的面积， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2所示，连接，过点C作于点E，    ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∵千米， ∴（千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． 故答案为：25； （3）解：如图3所示，连接，作线段的垂直平分线交于P，则点P即为所求；    连接，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在（2）的背景下，则千米，千米，千米， ∴千米， ∴， ∴千米． 即的长为6.3125千米； （4）解：如图4，，，，，， 设，则， 先作出点C关于的对称点F，连接，过点F作于点E，    则，， 当点D，P，F三点共线时，有最小值， 由轴对称可得：， ∴的最小值为， 即：的长就是代数式的最小值． ∴代数式的最小值为． 故答案为：20． 37．【综合与实践】 【问题情景】 （1）如图1，点C为线段上一动点．分别过点B，D作，，连接，．已知，，．设，用含x的代数式表示的长； 【数学思考】 （2）如图2．在某河道l一侧有A，B两家工厂，它们到河道的距离，分别是4km，6km，两工厂之间的距离是6km．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点P，且使得抽水点P到A，B两家工厂的距离之和最短，求的最小值； 【深入探究】 （3）请结合上述思路，求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）15． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， ∴； （2）如图1，作点A关于河道的对称点，过点作，交的延长线于点E，过点A作于点F，连接，，则易得四边形，四边形和四边形都是长方形，且，， ∴， ∴的最小值为的长． ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为． （3）构造图形如图2所示，其中点为线段上一点，分别过点B，D作，，连接，， 其中，，，，，，． 连接． ∵， ∴代数式的最小值为的长， 过点E作，交的延长线于点F， 易知，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴代数式的最小值为15． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$