热点必刷题02 二次函数选填压轴（二）68题（5类题型68题） -2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

热点必刷题02 二次函数选填压轴（二）68题 二次函数的图象判别及图象共存问题 2 二次函数的图象与系数的关系 5 二次函数与实际生活情境应用综合 10 二次函数的动点图象问题 13 二次函数中的代几综合问题 19 二次函数的图象判别及图象共存问题 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁大连·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．（2024·辽宁·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024·辽宁沈阳·二模）函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁营口·模拟预测）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B．C． D． 7．（2024·辽宁本溪·一模）如图，抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（    ） A．B．C． D． 二次函数的图象与系数的关系 8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴，点B坐标为，则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为和4，设顶点为D，则下列结论：①；②；③；④若抛物线经过，则关于x的一元二次方程的两个根分别为，6；⑤当时，是等腰直角三角形，其中正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知：二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的项有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2024·辽宁丹东·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，与轴交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③点、、是抛物线上的点，则；④；⑤（为任意实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 13．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的大致图象如图所示，则下列结论错误的有（    ）个． （1）；（2）；（3）；（4）关于x的方程有两个不相等的实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2024·辽宁·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 16．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，图象与x轴交于A，B两点．若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．若为任意实数，则 17．（2024·辽宁丹东·二模）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若有解、，满足，则，；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（2024·辽宁大连·一模）如图是二次函数图象的一部分，此图象经过点（2，0），对称轴是，有下列结论：①  ②  ③；④若点（和（0，n）是抛物线上两点，则．其中正确的结论有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 19．（2024·辽宁盘锦·一模）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 且当时，与其对应的函数值．则下列结论中，正确的是（    ） ①；②和3是关于x的方程的两个根；③． A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 20．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，函数的图象的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图象上，则；⑤．以上结论正确的是 ．（填序号） 21．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中∶①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ． 二次函数与实际生活情境应用综合 22．（2025·辽宁沈阳·零模）如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 ． 23．（2024·辽宁·模拟预测）如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米． 25．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为 ． 26．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（    ） A．7 B．9 C．10 D．8 27．（2024·鞍山·模拟预测）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球从飞出到落地要用4s C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D．小球的飞行高度可以达到25m 28．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）    A． B． C． D． 29．（2024·辽宁抚顺·一模）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    30．（2024·辽宁抚顺·一模）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ． 二次函数的动点图象问题 31．（2024·辽宁沈阳·三模）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B．C． D． 32．（2024·辽宁·模拟预测）如图①，在等边三角形中，点为边上的任意一点，且交于点，设线段的长度为的长度为若与的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 33．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（        ）    A．   B．   C．   D．   34．（2024·辽宁盘锦·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   35．（2024·辽宁本溪·二模）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 36．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   37．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，正方形的边长为2，与在同一直线上，的顶点A从点G出发，沿方向平移．设的长度为x，在平移过程中与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（    ）    A．   B．   C．   D．   38．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   39．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（    ） A． B． C． D． 40．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 二次函数中的代几综合问题 41．（2024·辽宁·二模）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点C的坐标为，点P在抛物线上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴正半轴上时，点D的坐标为 ． 42．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是 ． 43．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，若为等腰直角三角形，则的值为 ． 44．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为 ． 45．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，F为射线上一点．若，则面积的最大值为 ． 46．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．    47．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，拋物线与轴交于A、B两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内的一动点，且满足，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（  ） A．5 B． C． D．3 48．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，点P在抛物线对称轴上，且在点B下方，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，直线与抛物线交于点C，则点C的坐标为 ． 49．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在B左侧），抛物线的顶点为C，点 D为抛物线上一点，且在对称轴右侧，若的面积为3，则点D的坐标为 ． 50．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点 ，（点在点左边），与 轴交于点，抛物线的顶点为，点在线段（不与点，M重合）上，连接，将线段绕点旋转后得到线段 ，若点恰好落在抛物线上，则点的坐标为 ． 51．（2024·辽宁·模拟预测）函数与轴交于点，点（在的左侧），与轴交于点，在轴上存在点，使，求点的坐标 ． 52．（2024·辽宁·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则点D的坐标为 ． 53．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线的顶点为对称轴为直线．点的坐标为，是抛物线上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点落在直线上时，点的坐标为 ．    54．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线 与y轴交于点B，已知点A的坐标为，平移线段得到线段 (A平移到D，B平移到C)，当点D，C都在抛物线上时，直线的解析式为 ． 55．（2024·辽宁阜新·二模）如图，抛物线交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为 ．    56．（2024·辽宁沈阳·三模）如图，已知抛物线，等边的边长为，顶点A在抛物线上滑动，且边始终平行水平方向，当在滑动过程中，点B落在y轴上时，C点坐标是： ． 57．（2024·辽宁丹东·三模）如图，抛物线经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在上，且平分的面积，过D作交x轴于F点，则的最小值为 ．    58．（2024·辽宁·一模）如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两线交于点D，将绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到，连接．在线段上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△相似，则点P的坐标为 ． 59．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，点，与轴交于点，点在线段上，，直线绕点顺时针旋转得到．交直线上方抛物线于点，交线段于点，若，则点的坐标为 ． 60．（2024·辽宁大连·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点在轴负半轴上，点绕点顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，则点的坐标是 ． 61．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ． 62．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为 . 63．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是第一象限的抛物线上的一个动点，过点D作，与第二象限的抛物线交于点E，点C和点F关于直线对称，当时，点D的横坐标为 ． 64．（2024·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点D在线段上，坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为，连接，．若与抛物线有一个公共点，则m的取值范围是 ． 65．（2024·辽宁大连·一模）如图，已知抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、．点在抛物线的对称轴上，点为抛物线上位于第四象限一点，满足．点在抛物线上，且满足，则点的坐标为 ． 66．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，点在轴上，，则点坐标为 ． 67．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且与点C关于抛物线对称轴对称，则点D坐标为 ，连接，，点P在抛物线第四象限内不与B，C两点重合．过点P作y轴的垂线与线段交于点E，以为边作，使，点F在点E的下方，且，点F恰好落在射线上，再将绕点E旋转得到 （点P的对应点为点，点F的对应点为点），当与垂直时，点的横坐标为 ．    68．（2024·辽宁·模拟预测）已知过点的抛物线与坐标轴交于点A、C如图所示，连结，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P，当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为 ． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题02 二次函数选填压轴（二）68题 二次函数的图象判别及图象共存问题 2 二次函数的图象与系数的关系 8 二次函数与实际生活情境应用综合 29 二次函数的动点图象问题 41 二次函数中的代几综合问题 63 二次函数的图象判别及图象共存问题 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象、一次函数、反比例函数的图象．由点，，在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的减小而增大，继而求得答案． 【详解】解：点，， 与关于轴对称，故选项A，B不符合题意； ，， 当时，随的增大而增大，故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A不符合题意． B．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧，则，得出，矛盾，故B不符合题意． C．图象中一次函数和二次函数，对称轴得到，故C符合题意． D．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧得到，矛盾，故D不符合题意． 故选：C． 3．（2024·辽宁大连·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键． 4．（2024·辽宁·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 5．（2024·辽宁沈阳·二模）函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分和两种情况，分别得出函数和的图象的大致形状，即可作答． 【详解】根据可得：函数的对称轴为：， 当时， 二次函数的图象开口向上，抛物线在y轴左侧， 一次函数的图象交于y轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限； 当时， 二次函数的图象开口向下，抛物线在y轴右侧， 一次函数的图象交于y轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限； 根据上述结果：可知A、C、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴符号与系数符号的关系等． 6．（2024·辽宁营口·模拟预测）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 7．（2024·辽宁本溪·一模）如图，抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，可得方程a＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，从而可判断； 【详解】由图像可知a＞0，b＞0，c＞0，k＜0，则b－k＞0，可排除选项B、D，由图像可知抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx有两个不同的交点，则一元二次方程a＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，即一元二次方程a＋（b－k）x＋c＝0有两个不等的实数根，所以二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象与x轴有两个交点，故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关键． 二次函数的图象与系数的关系 8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴，点B坐标为，则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，根据对称轴为，即，判断①；时，，判断②；开口向下，，抛物线与轴交于负半轴，，，判断③；根据函数图象可以判断④，把握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，重点要理解抛物线的对称性． 【详解】解：根据对称轴为，即，，故①正确； 根据图象可得，当时，， 即，故②正确； 开口向下，， 抛物线与轴交于正半轴，， ，故③正确； 由图象可的点， 或中，，故④不正确． 故正确的个数为3个， 故选：C． 9．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为和4，设顶点为D，则下列结论：①；②；③；④若抛物线经过，则关于x的一元二次方程的两个根分别为，6；⑤当时，是等腰直角三角形，其中正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据抛物线可表示为得即可判断的正负及的关系可判断①②③；根据图象可知，对称轴为求出对称点的坐标，可判断④，根据求出抛物线解析式，再求出的坐标，以此即可判断⑤． 【详解】解：抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为和4， 则抛物线可表示为， ， ，，故①错误； ，故②正确； ，故③错误； 抛物线的对称轴为，关于直线的对称点为， ∴关于x的一元二次方程的两个根分别为，5，故④错误； 当时，，顶点，， ，且，是等腰直角三角形，故⑤正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、抛物线与轴的交点坐标、等腰直角三角形的性质，解题关键是根据抛物线与轴的交点坐标求出对称轴，得到与之间的数量关系，再利用等腰三角形的性质进行解答． 10．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知：二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④两根分别为，1；⑤．其中正确的项有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键．由抛物线开口向上知：； 抛物线与y轴的负半轴相交知； 对称轴在y轴的右侧知：，即可判断①；根据对称轴为直线，得出，从而得出，即可判断②；由抛物线的性质可知，当时，y有最小值，得出，即可判断③；根据抛物线的对称轴为， 且与x轴的一个交点的横坐标为1， 得出另一个交点的横坐标为，即可判断④；根据当时，，得出，即可判断⑤． 【详解】解：①由抛物线开口向上知：； 抛物线与y轴的负半轴相交知； 对称轴在y轴的右侧知：， ∴，故①错误； ②对称轴为直线， ， 即， ∴，故②错误； ③由抛物线的性质可知，当时，y有最小值， 即， 即，故③正确； ④因为抛物线的对称轴为， 且与x轴的一个交点的横坐标为1， 所以另一个交点的横坐标为．因此方程的两根分别是1，．故④正确； ⑤由图像可得，当时，， 即：，故⑤正确． 故正确选项有③④⑤共3个， 故选：B． 11．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线时，， ∴时，， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点是， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ∴，故不正确． 故选：C． 12．（2024·辽宁丹东·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，与轴交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③点、、是抛物线上的点，则；④；⑤（为任意实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据图象确定式子的符号及系数的符号，由对称轴为直线可判断①；由时，，且可判断②；由抛物线与对称轴的距离可判断③；由抛物线的顶点位置可判定④；由抛物线的最值即可判断⑤．关键是掌握二次函数的图象与性质，注意数形结合． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，且点到对称轴的距离最大，到对称轴的距离最小， ∴，故③错误； ∵，与轴交点在和之间， ∴， ∴，故④错误； ∵当时，函数有最大值， ∴当为任意实数时，， ∴（为任意实数），故⑤正确， 综上所述，正确的结论是①②⑤，共3个， 故选：B． 13．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是正确的由图象得出的数量关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．根据对称轴、开口方向、与轴的交点位置即可判断①；由对称轴可以判断②；将代入可以判断③；由根的判别式可以判断④，从而得到答案． 【详解】解：①由图象可得：，，， ， ，故①错误，不符合题意； ②， ，故②正确，符合题意； ③将代入得：， ， ，故③正确，符合题意； ④由图象可得：二次函数与轴有两个交点， ， 在中，， 方程有两个不相等的实数根，故④错误，不符合题意； 综上所述，其中正确的序号有：②③， 故选：B． 14．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的大致图象如图所示，则下列结论错误的有（    ）个． （1）；（2）；（3）；（4）关于x的方程有两个不相等的实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：（1）错误．∵开口向下，∴， ∴， ∵抛物线交y轴的负半轴，∴． （2）错误．根据图象可知： （3）错误．根据图象，当时，． （4）正确．观察图象可知抛物线与直线有两个交点，所以关于x的方程有两个不相等的实数根． 所以错误的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质和图象、二次函数与轴的交点等知识．关键在于结合图象利用二次函数的性质解题． 15．（2024·辽宁·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故选B． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想． 16．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，图象与x轴交于A，B两点．若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．若为任意实数，则 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可得a，b，c的符号及a与b的关系，从而判断A选项；由及对称轴可得点B坐标，从而判断B、C选项；由时y取最小值可判断D选项． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 抛物线对称轴为直线， ． 抛物线与y轴的交点在x轴下方， ， ，故选项A正确． 抛物线的对称轴为，且， 点B的坐标为， 当时，， ，故选项B错误． ，， ∴，故选项C正确． 当时，y取最小值， ， 即，故选项D正确． 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 17．（2024·辽宁丹东·二模）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若有解、，满足，则，；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据函数图象与x轴的交点个数，可判断②；可求得图象与x轴的另一个交点坐标为，由当时，，可判断③；由当时，，可判断④；把看为与的图象的交点问题，可判断⑤；从而解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， ∵抛物线对称轴为直线， ， ， ∵抛物线交y轴的正半轴， ， ，故①正确； 该函数图象与x轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， ，故②不正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 点关于直线的对称点的坐标为， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线经过点， ， ， ，即，故④正确； 函数图象与x轴的交点坐标分别为和， 令，则， ∴直线与抛物线的交点的横坐标分别为、， ∴由图象可知：，，故⑤正确； 故正确的有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数的关系，灵活运用二次函数的性质，学会利用函数图象信息解决问题是关键． 18．（2024·辽宁大连·一模）如图是二次函数图象的一部分，此图象经过点（2，0），对称轴是，有下列结论：①  ②  ③；④若点（和（0，n）是抛物线上两点，则．其中正确的结论有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据二次函数过点(2,0)以及其对称轴为x=-1，可得二次函数还经过点(-4,0)，将(2,0)、(-4,0)代入即可得到b=2a，c=-8a，根据图象开口朝下可得a＜0，据此即可判断． 【详解】∵点(2,0)以及其对称轴为x=-1， ∴二次函数还经过点(-4,0)， 将(2,0)、(-4,0)代入， 可得， 解得， ∵二次函数图象开口朝下， ∴a＜0， ∴，故①正确， ∴，故②错误， ∴，故③正确， ∵(-2,m)和(0,n)在抛物线上， ∴代入坐标(-2,m)和(0,n)， 得，， ∴，故④正确， 即正确的结论有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据(2,0)以及对称轴为x=-1求出二次函数还经过点(-4,0)是解答本题的关键． 19．（2024·辽宁盘锦·一模）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 且当时，与其对应的函数值．则下列结论中，正确的是（    ） ①；②和3是关于x的方程的两个根；③． A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】由表知，当x=0和1时，函数值均为2，从而可得关于a、b、c的方程组，可得a与b的关系及c的值，再当时，与其对应的函数值，可得关系a的不等式，可判断a的符号且可得a的取值范围，从而可判断b的符号，因而可对①作出判断；根据抛物线的对称性，当x=-2和x=3时，其函数值相等，从而可对②作出判断；根据抛物线的对称性，当x=-1和x=2时，其函数值相等，即n=m，再根据n的值及a的取值范围，即可对③作出判断． 【详解】由表得： ，即 ∴ 当时，与其对应的函数值 即 ∴ ∴b>0 ∴abc<0 故①正确 ∵ 即抛物线的对称轴为直线 ∵ ∴根据抛物线的对称性，当x=-2和x=3时，其函数值相等且为t 表明方程的两个根分别为x=-2和x=3 故②正确 ∵ ∴根据抛物线的对称性，当x=-1和x=2时，其函数值相等，即n=m 当x=-1时，n=a+a+2=2a+2 ∴n+m=2n=4a+4 ∵ ∴n+m 故③正确 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，难点是②和③的判断，关键是抛物线的对称性及a的取值范围． 20．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，函数的图象的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图象上，则；⑤．以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质．根据抛物线的开口方向得，由顶点坐标可得，，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当时，取得最大值为，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标代入函数解析式中，化简即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 函数的图象的顶点为， 抛物线的对称轴为直线， ， ，故①错误； 由上述可知，， ，故②正确； 抛物线开口向下， 当时，取得最大值为， 无论取何值都有， ，故③错误； 抛物线的对称轴为直线，， ，故④正确； 函数的图象的顶点为， ， 整理得：， ， ， ，故⑤正确． 综上，正确的结论有②④⑤，共3个． 故答案为：②④⑤． 21．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中∶①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故答案为：①③④ 二次函数与实际生活情境应用综合 22．（2025·辽宁沈阳·零模）如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．依据题意，先求其解析式，再根据条件即可求出的取值范围． 【详解】解：，， 点的坐标为． 点，的坐标分别为，． ， 可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为． 又此时抛物线过， ． ． 运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为． 令， ． 或（舍去）． ． 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为， 当抛物线过点时，顶点为． 此时，把代入，得． 同理，当抛物线过点时，， 由点在之间得的取值范围为． 故答案为：． 23．（2024·辽宁·模拟预测）如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确解得抛物线解析式是解题关键．根据题意建立坐标系，设抛物线的解析式为，将点代入，求得抛物线解析式，再将代入，计算并确定满足要求的解即可． 【详解】解：建立坐标系如下图， 根据题意，可设抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线解析式为， 将代入，得， 解得，或（舍去）， 故选：B． 24．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米． 【答案】40 【分析】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用．以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得内侧抛物线的解析式，则可知点、的横坐标，从而可得的长． 【详解】 解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系： ，，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， 米， 故答案为：40． 25．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．依据题意，抛物线的顶点在直线上可得的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得的范围． 【详解】解：由题意，的顶点为，抛物线的顶点在直线上， ． ． 喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ，即：． ． 故答案为：． 26．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（    ） A．7 B．9 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题的关键，根据点的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，的值，进而得到的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， ∴对称轴为：， ∵点的坐标为，则点的坐标为， ∵圆柱形的高为， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ∵筐的底面半径为，直径为，， ∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， ∴， ∴选项B，满足， 故选：D． 27．（2024·鞍山·模拟预测）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球从飞出到落地要用4s C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D．小球的飞行高度可以达到25m 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间；求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根，，即时所用的时间， 小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误； ， 对称轴为直线，最大值为20，故D错误； 时，，此时小球继续下降，故C错误； 当时，，， ， 小球从飞出到落地要用4s，故B正确． 故选：B． 28．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点A到点O的距离为4，得到,代入求得，再将解析式化为顶点式即可得解； 【详解】点A到点O的距离为4， , 把代入得 ， ， ， 水流喷出的最大高度为， 故选择：Ａ 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的求出函数解析式是解题的关键． 29．（2024·辽宁抚顺·一模）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．    【答案】10 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 30．（2024·辽宁抚顺·一模）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ． 【答案】． 【详解】解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位． ∵原抛物线的顶点为（6，4）， ∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为（，4）， ∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是． 故答案为： 二次函数的动点图象问题 31．（2024·辽宁沈阳·三模）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 32．（2024·辽宁·模拟预测）如图①，在等边三角形中，点为边上的任意一点，且交于点，设线段的长度为的长度为若与的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质和三角形外角和，找到两组相等角，判断出△ABP于△PCD相似，列出比例式，设AB为a，代入x与y，化简得到的函数关系式，将函数关系式化成顶点式，根据函数图像利用最大值求出a的值，从而解决问题． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴， ∵， ∠CPD+∠APD=∠B+∠BAP， ， ， ∴， 设，则， ， ∴当时，取得最大值， 又∵由题图②可得y的最大值为1， ，． ∴AB=4， ∴△ABC的高为， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质定理，利用二次函数最值求字母的值，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟练掌握相似三角形的性质定理，列出相应的关系式． 33．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（        ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分，， 三种情况，分别求出函数解析即可判断． 【详解】解：过点D作于H， ， ∵，， ∴， ∴ 当时， 如图，重叠部分为，此时，， ， ∴， ∴，即， ∴ ∴； 当时， 如图，重叠部分为四边形，此时，，    ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当 时 如图，重叠部分为四边形，此时，，    ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 综上，， ∴符合题意的函数图象是选项A． 故选：A． 【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度． 34．（2024·辽宁盘锦·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先证明菱形是边长为x，一个角为的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解． 【详解】解：作于点D，作于点E，    由题意得，， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， 当点M运动到直线上时，    此时，是等边三角形， ∴，； 当点Q、N运动到与点重合时，    ∴，； 当点P运动到与点重合时， ∴，； ∴当时，， 当时，如图，作于点G，交于点R，    则，，， ∴， 当时，如图，作于点I，    则，， ∴， 综上，与之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线， 只有选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 35．（2024·辽宁本溪·二模）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，ACD都是等边三角形， ∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°． 如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x， 作PE⊥AB于E， ∴， ∴， 故D选项不正确； 如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2， 作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H， ∴， ， ∴， 故B选项不正确； 当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4， ∴PQ=x-2， 作AG⊥CD于G， ∴， ∴， 故C不正确． 故选：A 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键． 36．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图形．过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过作于，   四边形为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在上，在上， ，， ， 关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 故选：C． 37．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，正方形的边长为2，与在同一直线上，的顶点A从点G出发，沿方向平移．设的长度为x，在平移过程中与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、正方形及等腰直角三角形的性质．按照x的取值范围分为当时，当时，分段根据重合部分的图形求面积，得出y是x的二次函数，即可得出结论． 【详解】解：当时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形， 面积为：，图象是一个开口向上的抛物线的一部分； 当时，重合部分是直角梯形， 面积为：，图象是一个开口向下的抛物线的一部分． 故选：A． 38．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可 【详解】解：如图，当时，    重叠部分为三角形，面积， 如图，当时，    重叠部分为梯形，面积， ∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50， 纵观各选项，只有C选项符合． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键． 39．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出当点落在AB上时，t的值，分或两种情形，分别求出S的解析式，可得结论． 【详解】解：如图1中，当点落在AB上时，取CN的中点T，连接MT． ，，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， 四边形CMPN是平行四边形， ， ， ， 如图2中，当时，过点M作于K，则， ． 如图3中，当时，， 观察图象可知，选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 40．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分点P在AB边上，如图1，点P在BC边上，如图2，点P在CD边上，如图3，利用解直角三角形的知识和三角形的面积公式求出相应的函数关系式，再根据相应函数的图象与性质即可进行判断． 【详解】解：当点P在AB边上，即0≤x≤4时，如图1， ∵AP=x，， ∴， ∴； 当点P在BC边上，即4＜x≤10时，如图2， 过点B作BM⊥AD于点M，则， ∴； 当点P在CD边上，即10＜x≤12时，如图3， AD=，， ∴； 综上，y与x的函数关系式是：， 其对应的函数图象应为： ． 故选：D． 【点睛】本题以直角梯形为载体，主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性质以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关键． 二次函数中的代几综合问题 41．（2024·辽宁·二模）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点C的坐标为，点P在抛物线上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴正半轴上时，点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，轴于点，可证明，则，将点代入抛物线解析式，即可求得点坐标，进一步求得，即可求得点的坐标． 【详解】解：令，则， 解得或， ，， 过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ，即， 解得或（舍去）， ， ，， 点的坐标为，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是明确点的横、纵坐标相等． 42．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，连接，设的延长线交于E，先求出点，点，点，由此得是的中位线，则，因此当为最小时，为最小，根据点与圆的位置关系可知为最小，然后再求出的长即可得出的最小值． 【详解】解：连接，设交于E，如图所示： 对于抛物线，当时，，当时，，或， ∴点，点，点， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为最小时，为最小， 根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最小， ∴当点P与点E重合时，为最小，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 43．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，若为等腰直角三角形，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，求出顶点的坐标是解题的关键． 先求出，则可得，对称轴为直线，那么，由为等腰直角三角形，可得为等腰直角三角形，则，故，再将其代入，即可求解． 【详解】解：记对称轴与轴交于点E， 当时，，而 ∴或， ∴， ∴，对称轴为直线， ∴， ∵为等腰直角三角形，只能为， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 44．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． 利用待定系数法求得抛物线的表达式为，过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，则，推导出、为定值；求得的函数表达式为，推导出，当时，的长最大，的值最小，进而求得点D的坐标即可． 【详解】解：∵抛物线过点，代入抛物线得： ∴，解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 当时，；当时，解得或6， ∴； 设直线的解析式为，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； 如图：过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，即， ∵和等高， ∴， ∵轴， ∴，代入直线的函数表达式得： ，解得：， ∴， ∴为定值． ∴要使的值最小，则的长最大． 设直线的函数表达式为，，则， ∴直线的函数表达式为， 令，则， ∴， ∴当时，的长最大，的值最小，此时点D的坐标为． 故答案为：． 45．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，F为射线上一点．若，则面积的最大值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二次函数的应用、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 过点作于点，先证出，再设，则，根据等腰三角形的三线合一可得，然后利用三角形的面积公式、二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴的面积为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为16， 即面积的最大值为16， 故答案为：16． 46．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可． 【详解】解：连接，过作，过作，    令，即， 解得或1， ，， ，， ， ． ， 根据垂线段最短可知，的最小值为， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值．属于中考选择题中的压轴题． 47．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，拋物线与轴交于A、B两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内的一动点，且满足，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（  ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】解方程得，利用抛物线的性质得到C点为的中点，再根据圆周角定理得到点P在以为直径的圆上，圆心Q点的坐标为，接着计算出，的半径为2，延长交于F，此时最大，最大值为，连接，利用三角形的中位线性质得到，从而得到的最大值． 【详解】解方程得， ∴， ∵抛物线的对称轴与x轴交于点C， ∴C点为的中点， ∵， ∴点P在以为直径的圆上，圆心Q点的坐标为，如图， ，的半径为2， 延长交于F，此时最大，最大值为， 连接， ∵M是线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当点P和点F重合时，的最大值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理． 48．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，点P在抛物线对称轴上，且在点B下方，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，直线与抛物线交于点C，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，图形的旋转问题，全等三角形的判定和性质．过作轴于，过作于．则，证明，可得，，设，则， 可得，再求出直线的解析式，然后联立两函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于，过作于．则， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴． ，， ， ，抛物线的对称轴为直线， ∴， 令，， ∴， 设，则， ， 设直线的解析式为， ，解得： ∴直线的解析式为． 令， ， ，， ． 故答案为： 49．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在B左侧），抛物线的顶点为C，点 D为抛物线上一点，且在对称轴右侧，若的面积为3，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式是解题的关键． 令，即，可求或，即，，由，可得，如图，记直线与轴的交点为，设，且，待定系数法求直线的解析式为，当时，，可求，即，则，计算求出满足要求的解，进而可得结果． 【详解】解：令，即， 解得，或， ∴，， ∵， ∴， 如图，记直线与轴的交点为， 设，且，设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 50．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点 ，（点在点左边），与 轴交于点，抛物线的顶点为，点在线段（不与点，M重合）上，连接，将线段绕点旋转后得到线段 ，若点恰好落在抛物线上，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数综合题，掌握数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．根据二次函数解析式求出点，的坐标，从而求出直线的解析式；由全等三角形得到，点代入，得从而求得点的坐标，第二种情况是过点作轴于点，过点作轴于点，由全等三角形得到，，点代入，得，求出的值，从而求出点的坐标． 【详解】解：， ， 令，得， ， 设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的解析式为， 设， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ，， 线段绕点旋转后得到线段， ，， ， ，， ， ，， ， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ， 如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ，， 同理，得， ，， ， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 51．（2024·辽宁·模拟预测）函数与轴交于点，点（在的左侧），与轴交于点，在轴上存在点，使，求点的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是分类讨论．先根据二次函数的图像与性质求出点、、的坐标，进而得到，，，推出，，过点作于点，分两种情况讨论：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，根据三角函数和勾股定理求解即可． 【详解】解：在函数中，令，则， 解得：或， ，，即，， 令，则， ，即， ， ，， 过点作于点， 如图，当点在点的左侧时， ， ， ， ，， 设，则，， ， 又， ， ， ， ， ； 如图，当点在点的右侧时， 同理可得：， ，， 设，则，， ， 又， ， ， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 52．（2024·辽宁·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，过点作交于点，过点作，根据题意证明为等腰直角三角形，根据待定系数法求出直线的解析式，联立即可得到答案． 【详解】解：连接，连接，过点作交于点，过点作， ，则为等腰直角三角形，， 由勾股定理得：， ， ， 即， ， 由，得， ， 是等腰直角三角形， ， 的坐标为， ， ， 设的直线的解析式为， 将，代入得： ，解得， 过的直线的解析式为， 令， 解得或， 直线与抛物线的两个交点为， 则点D的坐标为． 故答案为：． 53．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线的顶点为对称轴为直线．点的坐标为，是抛物线上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，当点落在直线上时，点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，解一元二次方程，先求出抛物线解析式为，设，过点作于点，过点作交的延长线于点，证明，然后根据性质和解一元二次方程即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解析  ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵是抛物线上一点， ∴设， 如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，解得，， ∴点的里沶为或， 故答案：或． 54．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线 与y轴交于点B，已知点A的坐标为，平移线段得到线段 (A平移到D，B平移到C)，当点D，C都在抛物线上时，直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，先求出点B坐标，由平移得，，设，则，再根据点C在抛物线上求出m的值，进而求出D，C坐标，最后利用待定系数法求解． 【详解】解：当时，， ， ，， 平移线段得到线段 (A平移到D，B平移到C)， ，， 设，则，即， 点C在抛物线上， ， 解得， ，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 设直线的解析式为， 故答案为：． 55．（2024·辽宁阜新·二模）如图，抛物线交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为 ．    【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题，分类讨论①当为菱形的对角线时、②当为菱形的边时两种情况即可求解． 【详解】解：令，解得：； 令，则； ∴ ∴ ①当为菱形的对角线时，垂直平分，如图，    ∴ ∴ 设解析式为： 则 ∴ ∴解析式是， 因为 ∴， ∴ 此时菱形是正方形． ∴． 设，则， ， ∴，解得（不合题意舍去）或， 此时， ∴E． ②当为菱形的边时， 或． 解得：，舍去 ∴或 ∴或 ∴E或E 综上所述，符合条件的点E有三个，坐标为： 或或 故答案为：或或 56．（2024·辽宁沈阳·三模）如图，已知抛物线，等边的边长为，顶点A在抛物线上滑动，且边始终平行水平方向，当在滑动过程中，点B落在y轴上时，C点坐标是： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，正弦等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，正弦是解题的关键． 由，可得顶点坐标为，点B落在y轴上时，如图，作于，则，的横坐标等于等边三角形边长的一半，为，则与顶点重合，由，可得． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 点B落在y轴上时，如图，作于， ∴，的横坐标等于等边三角形边长的一半，为， ∴与顶点重合， ∵， ∴， 故答案为：． 57．（2024·辽宁丹东·三模）如图，抛物线经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在上，且平分的面积，过D作交x轴于F点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据平分的面积，得到点D是的中点，结合，得到从而得到，继而得到是的中位线，得到，故的最小值取决于的最小值，根据抛物线，得到的最小值为，解答即可． 【详解】解：∵平分的面积， ∴点D是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故的最小值取决于的最小值， ∵抛物线， ∴的最小值为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，二次函数的最值，熟练掌握三角形中位线定理，二次函数的最值是解题的关键． 58．（2024·辽宁·一模）如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两线交于点D，将绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到，连接．在线段上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△相似，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】解一元二次方程分别求出点的坐标、点的坐标，根据勾股定理求出，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案． 【详解】解：， 整理得，， 解得，， 当时，， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， 则， 如图1，作轴交于， 当时，，即， 解得，， ∴点的坐标为； 如图2，作于，作于， 当时，，即， 解得，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴点的坐标为， 综上所述，以点为顶点的三角形与相似，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质、相似三角形的判定和性质，掌握抛物线与坐标轴的交点的求法、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 59．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，点，与轴交于点，点在线段上，，直线绕点顺时针旋转得到．交直线上方抛物线于点，交线段于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数和平行线分线段成比例定理，过点P作于点E，过点P作于点M，过点D作于点F，过点Q作于点N，先求出的值，再根据面积比求出，进一步求出，从而求得，最后代入二次方程求出横坐标即可． 【详解】解，如下图所示，过点P作于点E，过点P作于点M，过点D作于点F，过点Q作于点N， ∵，， ∴， 对于二次函数，当时，， ∴， 当时，，， ∴， ∵ ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵，，，， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴, ∴， 当时，， 解得，， 故点的坐标为：或． 60．（2024·辽宁大连·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点在轴负半轴上，点绕点顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形全等的性质和判定等知识，合理运用二次函数的性质是解决本题的关键．过点作的延长线于点，过点作于点，则，设与轴交于点，根据全等三角形的性质得到，，求得的解析式为：，联立即可得到． 【详解】如图，过点作的延长线于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 设与轴交于点． ∵，， ∴， ∴． ∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入和得， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为． 故答案为： 61．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点，二次函数图象的平移等知识；利用二次函数的性质，分情况利用数形结合的方法分析求解即可． 【详解】解：由题意知，的解析式为，的解析式为； ①当B与原点重合时，，此时矩形不存在； ②当Q在与y轴的交点上时，矩形与图象G有三个公共点，如图： 当时，，即； 故当时，矩形与图象G有三个公共点； ③时，矩形与图象G只有两个公共点，如下图所示； ④由②中可知，当时，矩形与图象G有四个公共点； ⑤如图，当点D在上时，矩形与图象G有三个公共点； 设直线的解析式为，把点A坐标代入得， 即； ∵点Q向上平移两个单位长度得到点B， ， ∴点D的纵坐标为， 即，把点D坐标代入，得：， 解得：（舍去）， ； 即点Q的纵坐标为， 故； ⑥当时，矩形与图象G只有三个公共点，如图； ⑦当时，矩形与图象G只有两个公共点，如图； 综上，当或或时，矩形与图象G有三个公共点． 62．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．延长交轴于点，过点作轴，利用，证得为等腰三角形，求得点坐标，求出直线解析式，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴，如图所示， 点在抛物线上，代入， 解得， 点， ，令，即， 解得， ， ， ， ， ， ， 点, 设直线解析式为，将点，点，代入解析式求得 直线解析式为， 联立直线和抛物线解析式得， 解得，， 其中即为点的坐标， 点D坐标为． 故答案为：． 63．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是第一象限的抛物线上的一个动点，过点D作，与第二象限的抛物线交于点E，点C和点F关于直线对称，当时，点D的横坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，点的坐标，一元二次方程的应用，利用二次函数的图象和性质得到点坐标，对称轴为，点与点坐标， 设（），得到，，再根据建立方程求解，即可解题． 【详解】解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ，对称轴为， 当时，，解得，， ，， 设（）， ， 则， 点C和点F关于直线对称， ，即， 解得， ， ， ， ， ， 解得，， 点D的横坐标为或． 64．（2024·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点D在线段上，坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为，连接，．若与抛物线有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，二次函数与不等式等知识，利用轴对称性求出点的坐标为，根据与抛物线有一个公共点，得出，利用二次函数与不等式的关系求出m的取值范围即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∵在上， ∴ ∵点D坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为， ∴点的坐标为， ∵与抛物线有一个公共点， ∴ 令， 当时，，解得，， 画草图如下： ∴当时，， ∴的解集为； 同的解集为或， ∴， 故答案为：． 65．（2024·辽宁大连·一模）如图，已知抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、．点在抛物线的对称轴上，点为抛物线上位于第四象限一点，满足．点在抛物线上，且满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点，根据点在抛物线的对称轴上，，求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据相似三角形的判定与性质，证明，得出，结合图形与坐标，求出、，利用证明，证明，得出，求出、，根据图形与坐标，求出点的坐标，结合点的坐标，求出直线的解析式，结合抛物线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，过点作延长线于，分别过点、作轴的垂线，分别与过点平行于轴的直线交于点、，交轴于点， ∴， ∵抛物线，抛物线与轴从左到右分别交于、， ∴当时，， ， 解得：，， 当时，， ∴，，， ∴，，， ∴， 设直线解析式为，则， 解得：， ∴直线解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上，， ∴点的横坐标，点的横坐标点的横坐标， ∴点的横坐标， ∵当时，， ∴， ∴设直线解析式为，则， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴， ∴，， ∵直线解析式为，当时，， ∴点也在线段上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， ∴点的纵坐标，横坐标， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是直线与抛物线的交点， ∴令，整理得， 因式分解得：， 解得：，（为点的横坐标）， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、图形与坐标、一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握知识点、作辅助线推理、数形结合是解题的关键． 66．（2024·辽宁盘锦·二模）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，点在轴上，，则点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的综合应用．先用待定系数法求出抛物线的解析式，得出点的坐标，过点作于，设，求出，，在中，，，在中，，，由此得到等量关系，解出即可，再根据对称性可得另外一个点的坐标． 【详解】解：将，代入得， ， 解得， ， ， 过点作于， 设， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 由对称性知，点也满足题意． 故答案为：或． 67．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且与点C关于抛物线对称轴对称，则点D坐标为 ，连接，，点P在抛物线第四象限内不与B，C两点重合．过点P作y轴的垂线与线段交于点E，以为边作，使，点F在点E的下方，且，点F恰好落在射线上，再将绕点E旋转得到 （点P的对应点为点，点F的对应点为点），当与垂直时，点的横坐标为 ．    【答案】 或 【分析】（1）由得，对称轴为直线，由与关于对称轴对称，得． （2）延长交轴于，延长交轴于，过作轴，过作轴．先求直线解析式为，再求直线解析式为．设，，由计算得，，，．证明，得，．由平行相似得，，再计算即可． 【详解】解：（1）由得，， 对称轴为直线， 与关于对称轴对称， ， 故答案为：． （2）延长交轴于，延长交轴于， 过作轴，过作轴． 如图：    设直线解析式为， ， ，， ， 设直线解析式为， ， ，， ． 在直线上， 设， ， ， ． ，，，． ， 不在第四象限，舍去）． ，． 设直线解析式为， ， ， ， ． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． ， ， ， ，， ，或，， ，或，， 的横坐标为：或． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，掌握抛物线解析式的求法，以及相似的运用，是解题关键． 68．（2024·辽宁·模拟预测）已知过点的抛物线与坐标轴交于点A、C如图所示，连结，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P，当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为 ． 【答案】（，）或 【分析】由两点坐标公式可求，由勾股定理可证，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图，过点M作于E，    ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴点，抛物线解析式为， 当时，则， ∴， ∴点， ∵点，点，点， ∴， ∵， ∴， 设点， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：点M坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，二次函数的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$