热点必刷题01 二次函数选填压轴（一）48题（6类题型48题） -2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

热点必刷题01 二次函数选填压轴（一）48题 二次函数的对称性 2 二次函数与x轴及其他函数的交点问题 4 二次函数图象的平移 5 二次函数的最值问题 6 二次函数性质应用之求参数的值或范围 7 二次函数与新定义及创新探究综合 7 二次函数的对称性 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    2．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    3．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是 ． 4．（2025·辽宁沈阳·零模）抛物线与轴的交点坐标是和,则抛物线的对称轴是 ． 5．（2025·辽宁沈阳·一模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 n m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 6．（2025·辽宁抚顺·一模）如下表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值： x … 1 2 4 … y … 3 5 3 … 下列说法：①函数图象的开口向下；②函数图象与x轴有两个交点；③函数的最大值是5；④当时，y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024·辽宁营口·模拟预测）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 1 3 1 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，函数值y随x的增大而增大；④方程有一个根大于4，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024·辽宁盘锦·一模）抛物线关于y轴对称的抛物线解析式为 ． 二次函数与x轴及其他函数的交点问题 9．（2025·辽宁沈阳·零模）函数的图象与轴的交点的情况是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 10．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． 11．（2024·辽宁沈阳·二模）二次函数（为常数），函数图象与x轴有 个交点． 12．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角 度． 13．（2024·辽宁·模拟预测）函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A．0 B．0或2 C．0或2或﹣2 D．2或﹣2 14．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ． 15．（2024·辽宁鞍山·二模）二次函数的图象与x轴交于、两点，则关于x的方程的根为（　　） A．， B．， C．， D．， 16．（2025·辽宁沈阳·零模）二次函数（m是常数），当时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·辽宁·模拟预测）如图，一条抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动，点的坐标分别为，点的横坐标的最大值为4，则点的横坐标的最小值为 ．    18．（2024·辽宁大连·三模）直线与抛物线在第四象限内恰有一个交点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、B两点，点A在点B的右侧，则的值为（   ） A． B． C． D． 二次函数图象的平移 20．（2025·辽宁抚顺·一模）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（   ） A．先向左平移2个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位 21．（2025·辽宁本溪·模拟预测）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为 ． 22．（2024·辽宁沈阳·二模）若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是 ． 23．（2024·辽宁盘锦·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位后所得的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·辽宁铁岭·一模）将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为 ． 二次函数的最值问题 25．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 26．（2024·辽宁·模拟预测）二次函数的最小值是3，则a的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 27．（2024·辽宁抚顺·三模）已知二次函数y＝x2﹣6x+1，关于该函数在﹣1≤x≤4的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值8，最小值﹣8 B．有最大值8，最小值﹣7 C．有最大值﹣7，最小值﹣8 D．有最大值1，最小值﹣7 28．（2024·辽宁营口·一模）已知二次函数，其中k，m为常数，下列说法正确的是(   ) A．若，则二次函数y的最小值大于0 B．若，则二次函数y的最小值小于0 C．若，则二次函数y的最小值小于0 D．若，则二次函数y的最小值大于0 29．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 30．（2024·辽宁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 二次函数性质应用之求参数的值或范围 31．（2025·辽宁沈阳·一模）已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二次函数与新定义及创新探究综合 33．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为 ． 34．（2025·辽宁·模拟预测）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 35．（2025·辽宁·模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（    ） A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1 36．（2025·辽宁·模拟预测）新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．（2025·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为，当x<0时，点P的变换点的坐标为；当时，点P的变换点的坐标为．抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，则满足该条件所有n值的和为 ． 38．（2025·辽宁·模拟预测）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．    39．（2025·辽宁·模拟预测）我们定义：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标相等，我们称点为这个函数的“好点”若关于的二次函数对于任意的常数，恒有两个“好点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 40．（2025·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（     ） A．16 B．4 C．12 D．18 41．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．若点在函数的图像上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（    ） A． B．   C．   D．   42．（2025·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”.已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点B是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（2025·辽宁·模拟预测）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”，若关于x的二次函数（s，t为常数，）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（2025·辽宁·模拟预测）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点在函数上，点 在函数上，点P与点Q关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”．已知函数和互为“守望函数”，则n的最大值为（　　） A． B． C． D． 45．（2025·辽宁·模拟预测）定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为“非正变换”．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线y＝x＋m有四个交点时m的范围是（    ） A． B． C． D． 46．（2025·辽宁·模拟预测）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： ①当时，函数图象的顶点坐标是； ②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； ③当时，函数在时，y随x的增大而减小； ④当时，函数图象经过同一个点． 其中正确的结论是 ．（填序号） 47．（2025·辽宁·模拟预测）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（2025·辽宁·模拟预测）定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标 ． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题01 二次函数选填压轴（一）48题 二次函数的对称性 2 二次函数与x轴及其他函数的交点问题 9 二次函数图象的平移 16 二次函数的最值问题 18 二次函数性质应用之求参数的值或范围 22 二次函数与新定义及创新探究综合 24 二次函数的对称性 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    【答案】4 【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，，即， ∵轴， ∴，关于直线对称， ∴， ∴； 故答案为：4 【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键． 3．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及对称性，因为与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则，解出，即可作答． 【详解】解：依题意，设这个二次函数图象与x轴另一个交点的横坐标为， ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴， 解饿， 则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是， 故答案为：， 4．（2025·辽宁沈阳·零模）抛物线与轴的交点坐标是和,则抛物线的对称轴是 ． 【答案】 【分析】由抛物线与轴的两个交点，利用对称性确定出对称轴即可． 【详解】解：与轴的两个交点坐标是和， 抛物线的对称轴为直线． 故答案是：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 5．（2025·辽宁沈阳·一模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 n m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；利用待定系数法求得抛物线的解析式，得到图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的，判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 当或时，的值相等， 故，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴图象过原点， ∵对称轴为直线， ∴图象不过第三象限，故④正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的．故⑤不正确． ∴正确的有②③④． 故选：C． 6．（2025·辽宁抚顺·一模）如下表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值： x … 1 2 4 … y … 3 5 3 … 下列说法：①函数图象的开口向下；②函数图象与x轴有两个交点；③函数的最大值是5；④当时，y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将，，代入函数解析式得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象的开口向下，故①正确，符合题意； 令，则， ∵， ∴函数图象与轴有两个交点，故②正确，符合题意； ∵， ∴函数的最大值为，故③错误，不符合题意； ∴当时，的值随值的增大而减小，故④正确，符合题意； 故正确的说法有3个， 故选：C． 7．（2024·辽宁营口·模拟预测）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 1 3 1 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，函数值y随x的增大而增大；④方程有一个根大于4，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后根据x=0时，y=1，x=-1时，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可知， 二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值， ∴抛物线的开口向下，故①正确， 其图象的对称轴是直线x=，故②错误， 当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确， 方程ax2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于2×=3，小于3+1=4，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确． 8．（2024·辽宁盘锦·一模）抛物线关于y轴对称的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知抛物线的顶点坐标为，进而可得该抛物线关于x轴对称的顶点坐标为，然后问题可求解． 【详解】解：由抛物线可知顶点坐标为， ∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质及轴对称，熟练掌握二次函数的性质及轴对称是解题的关键． 二次函数与x轴及其他函数的交点问题 9．（2025·辽宁沈阳·零模）函数的图象与轴的交点的情况是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，当时，，再根据一元二次方程根的判别式即可求解，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程解的问题． 【详解】解：由函数得， 当时，， 则， ∴一元二次方程无实数根， ∴函数的图象与轴无交点， 故选：． 10．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】25 【分析】此题主要考查了二次函数与x轴的交点问题、一元二次方程的根的判别式等知识．利用抛物线与轴的交点问题，得到方程有两个相等的实数解，则根据根的判别式的意义得到，求解即可获得答案． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：25． 11．（2024·辽宁沈阳·二模）二次函数（为常数），函数图象与x轴有 个交点． 【答案】两/2 【分析】依据题意可得，，又，从而，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用根的判别式进行分析． 【详解】解：由题意可得，， 又∵， ∴， ∴函数图象与x轴有两个交点． 故答案为：两． 12．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若二次函数与x轴只有1个公共点，则锐角 度． 【答案】60 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，特殊角的三角函数值．先利用根的判别式的意义得到，则可得到，然后根据特殊角的三角函数值确定锐角的度数． 【详解】解：∵二次函数与轴只有1个公共点， ∴， 解得， ∴锐角． 故答案为：60． 13．（2024·辽宁·模拟预测）函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A．0 B．0或2 C．0或2或﹣2 D．2或﹣2 【答案】C 【分析】根据函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， ∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点， 当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， 则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2， 由上可得，m的值为0或2或﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 14．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．熟练掌握抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系，是解题的关键．抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系：抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有没有交点． 根据抛物线与x轴有一个交点，根的判别式等于0的性质解答即可． 【详解】二次函数的图象的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2024·辽宁鞍山·二模）二次函数的图象与x轴交于、两点，则关于x的方程的根为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于、两点， 方程的根为，， 故选：D． 16．（2025·辽宁沈阳·零模）二次函数（m是常数），当时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质和图象和解一元一次不等式，根据二次函数的性质分情况讨论，列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴图像开口向上，与x轴的交点坐标为和， 当时，，有，解得； 当时，若，有，则，解得． 故有． 故选：B． 17．（2025·辽宁·模拟预测）如图，一条抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动，点的坐标分别为，点的横坐标的最大值为4，则点的横坐标的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据题意可知当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4， 则此时抛物线的解析式为． 把点N的坐标代入得，解得． 当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小， 此时抛物线的解析式为． 令，则或1， 即点M的横坐标的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点B时，点N的横坐标最大；当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小． 18．（2024·辽宁大连·三模）直线与抛物线在第四象限内恰有一个交点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的交点问题，解题的关键是联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程，然后根据列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 整理得：， ∵只有一个交点， ∴， 解得，， 交点在第四象限内， 故选：C． 19．（2024·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、B两点，点A在点B的右侧，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是掌握直线与抛物线联立组成方程组求交点问题． 【详解】解：∵抛物线与直线交于A、B两点，点A在点B的右侧， ∴联立抛物线与直线得： ，即：， 解得：，， 则， 故选：A． 二次函数图象的平移 20．（2025·辽宁抚顺·一模）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（   ） A．先向左平移2个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可． 【详解】解：把抛物线，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到：，即， 故选：A． 21．（2025·辽宁本溪·模拟预测）将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解： 故答案为：． 22．（2024·辽宁沈阳·二模）若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】（﹣7，0） 【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后的解析式进而得出答案． 【详解】∵将抛物线y=-4（x+2）2-3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后的解析式为：y=-4（x+7）2， 故得到的抛物线的顶点坐标是：（-7，0）． 故答案为（-7，0）． 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 23．（2024·辽宁盘锦·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位后所得的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，所得的抛物线的表达式为， 再向下平移1个单位后所得的抛物线的表达式为， 故选C． 24．（2024·辽宁铁岭·一模）将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再利用平移规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得解析式：， ∴新抛物线的表达式为， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，学会化简二次函数的解析式是解题的关键． 二次函数的最值问题 25．（2025·辽宁抚顺·二模）二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，本题考查了将二次函数写成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 26．（2024·辽宁·模拟预测）二次函数的最小值是3，则a的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接利用抛物线的开口向上，把抛物线化为顶点式，再求解即可. 【详解】解：． 由题意，得，解得． 故选D． 27．（2024·辽宁抚顺·三模）已知二次函数y＝x2﹣6x+1，关于该函数在﹣1≤x≤4的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值8，最小值﹣8 B．有最大值8，最小值﹣7 C．有最大值﹣7，最小值﹣8 D．有最大值1，最小值﹣7 【答案】A 【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8， ∴在﹣1≤x≤4的取值范围内，当x＝3时，有最小值﹣8， 当x＝﹣1时，有最大值为y＝16﹣8＝8． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键． 28．（2024·辽宁营口·一模）已知二次函数，其中k，m为常数，下列说法正确的是(   ) A．若，则二次函数y的最小值大于0 B．若，则二次函数y的最小值小于0 C．若，则二次函数y的最小值小于0 D．若，则二次函数y的最小值大于0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数最值的求法．将函数解析式化为顶点式，根据选项进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，函数最小值为， 则当时，则二次函数的最小值小于0． 故选：B． 29．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分与时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分与两种情况讨论求解，有一定的难度． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，抛物线开口向上，在对称轴直线右侧y随x的增大而增大， 当时y有最大值5， ， 解得：， 当时，抛物线开口向下，时y有最大值5， ， 解得， 故答案为：1或． 30．（2024·辽宁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值．根据二次函数的图象与轴最多有一个公共点，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论，求出t值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点， ∴ 化简得 解得：， ∵， ∵，抛物线开口向上， 当时，∵，y随m增大而增大， ∴时y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得：； 当时， 当时，y有最小值 ∵的最小值为3， ∴ 此时t无解； 当时，∵，y随m增大而减小， ∴ ，y值最小，此时最小值为 ∵的最小值为3， ∴ 解得（舍去）； 综上，若的最小值为3，则． 故选：D． 二次函数性质应用之求参数的值或范围 31．（2025·辽宁沈阳·一模）已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先将二次函数的关系式配成顶点式，然后得出顶点坐标，再根据顶点到x轴的距离可得取值范围，求出解集即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴是，顶点坐标是． ∵二次函数的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ∴， 解得． 故选：B． 32．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1， ∴二次函数的图象过点， ∴， ∴，， 则，， ∵二次函数的图象的顶点在第一象限， ∴，， 将，代入上式得： ，解得：， ，解得：或， 故：， 故选D． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 二次函数与新定义及创新探究综合 33．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于根据题意构造一元二次方程． 先根据旋转180°后图象开口方向相反，开口大小不变，顶点坐标纵坐标为，设旋转后的图象解析式为，由当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点，即关于x的方程有两个相等的根，进而求解. 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∴当旋转后的图象顶点纵坐标为， 设将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象顶点坐标为 即旋转后的图象解析式为， ∵横、纵坐标相等的点在函数的图象上， ∴当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点， ∴关于x的方程有两个相等的根， ∴有两个相等的根， ∴， 解得，， 即旋转后的图象顶点坐标为， ∴点的坐标为，即 故答案为：． 34．（2025·辽宁·模拟预测）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据平移方式可得出抛物线C2的解析式．再根据点（4，n）既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点（4，n）代入两个解析式求值即可． 【详解】将抛物线C1：向右平移m个单位长度后C2的解析式为：． ∵点（4，n）为“平衡点”， ∴点（4，n）既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ∴， 解得：（舍）或， 故选：C 【点睛】本题考查二次函数图象的平移和二次函数图象上点的坐标特征．理解题意，掌握“平衡点”的定义是解题关键． 35．（2025·辽宁·模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（    ） A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1 【答案】D 【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）； 若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况: 当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有， 解得：； 当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有， 解得：； 当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有， 解得：； 当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有， 解得：； 综上可得：的最大值和最小值分别是，． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等． 36．（2025·辽宁·模拟预测）新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，理解“图象数”的定义是解题关键．由“图象数”可知二次函数为，则对称轴为直线，再求出点的坐标，根据二次函数图象的开口方程和增减性求解即可． 【详解】解：由题意可知，“图象数”为的二次函数为， 对称轴为直线， ， ， 解得：或， 或， ， 二次函数图象开口向上， 当时，的取值范围为， 故选：A 37．（2025·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为，当x<0时，点P的变换点的坐标为；当时，点P的变换点的坐标为．抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，则满足该条件所有n值的和为 ． 【答案】-13 【分析】根据四边形ECP′D是菱形,点E与点P′关于x轴对称，可求P′（2，-n）,根据变换当点P在y轴左侧， P（-2，-n）, 当点P在y轴右侧，P（-n,-2），点P在上，或解方程即可． 【详解】解：∵四边形ECP′D是菱形,点E与点P′关于x轴对称， ∵E（2，n）, ∴P′（2，-n）, 当点P在y轴左侧，, P的坐标为，点P的变换点的坐标为； ∴P（-2，-n）, ∵点P在上， ∴， ∴； 当点P在y轴右侧，, P的坐标为，点P的变换点的坐标为． ∴P（-n,-2）， ∵点P在上， ∴， 整理得， 因式分解得， 解得； ∴n=-8或-2或-3． ∴-8-2-3=-13， 故答案为-13． 【点睛】本题考查点的变换，二次函数性质，菱形性质，掌握点的变换特征，二次函数性质，菱形性质是解题关键． 38．（2025·辽宁·模拟预测）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点． 仔细阅读材料理解题意，可知n的值就是函数值绝对值最大的值，所以根据函数表达式找出函数值的最大值和最小值，进行分类讨论求解即可． 【详解】解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为 ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，y最大值为，且和的函数值相同， ∵， ∴当时，时，y有最小值，当时，时，y有最小值， 由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值， （I）当时， ①且， 解得， ②当且， 解得 （II）当时， ①且 无解； ②且， 无解， 故答案为：或． 39．（2025·辽宁·模拟预测）我们定义：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标相等，我们称点为这个函数的“好点”若关于的二次函数对于任意的常数，恒有两个“好点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】“好点”的横纵坐标相等，即：，，整理得：，，即可求解． 【详解】解：“好点”的横纵坐标相等， ， ， ， 整理得：， ，故当时，抛物线开口向上，且与轴没有交点， 故上式成立， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等． 40．（2025·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（     ） A．16 B．4 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m，n的方程，求解m，n即可； 【详解】∵点是抛物线上的点， ∴， ∴， ∴点是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16， ∴， ∴，， 当时，； 当时，； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象特征和矩形的性质，准确理解计算是解题的关键． 41．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．若点在函数的图像上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】A 【分析】画出的图象，根据“可控变点”的定义找出关于的函数图象，由此即可得出答案． 【详解】解：画出的图象如图所示：   ， 根据“可控变点”的定义可得： 将轴右侧的图象关于轴颠倒过来，即可得出“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致是   ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解“可控变点”的定义，利用数形结合的思想解题． 42．（2025·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”.已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点B是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由“倍增点”的定义得，，即可判断①；可设满足题意得“倍增点”为，由“倍增点”的定义得，解方程，即可判断②；可设抛物线上的“倍增点”为，由“倍增点”的定义得，解方程，即可判断③；设，由“倍增点”的定义得，由勾股定理得，即可判断④． 【详解】解：由题意得 ， ， 点，都是点的“倍增点”， ①正确； 可设满足题意得“倍增点”为， 解得：， ， ∴②错误； 可设抛物线上的“倍增点”为， ， 解得：， ， 此时满足题意的“倍增点”有，个， ∴③错误； 设， ， ， ， 当时，的最小值为， ④正确， 正确的有①④，有个． 故选：B. 【点睛】本题考查了新定义，一次函数图象和二次函数图象上的点的坐标，二次函数的最值，勾股定理等，理解新定义，能根据新定义得到相应的方程或关系式是解题的关键． 43．（2025·辽宁·模拟预测）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”，若关于x的二次函数（s，t为常数，）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】思维构建  “倍值点”都在直线上，二次函数有两个“倍值点”，则二次函数的图象与直线有两个交点． 易得点在直线上，∵关于x的二次函数（s，t为常数，）总有两个不同的倍值点，∴二次函数（s，t为常数，）的图象与直线有两个交点，令，则，∴．令，∵，∴，即，解得． 44．（2025·辽宁·模拟预测）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点在函数上，点 在函数上，点P与点Q关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”．已知函数和互为“守望函数”，则n的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设在的函数图像上，则在上，联立组成关于的方程组，然后表示出，讨论关于的二次函数最大值即可求解． 【详解】解：设在的函数图像上，则在上， ∴ ∴ 当时，有最大值． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，将图中的求最值转化成了求二次函数的最值，熟练掌握二次函数图像及性质是解题的关键． 45．（2025·辽宁·模拟预测）定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为“非正变换”．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线y＝x＋m有四个交点时m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有四个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值． 【详解】解：由y=0可知，抛物线与c轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点， “非正变换”后的图像如下图所示： 当x＜-3或c＞1时，由图像可得函数解析式仍为y=-x2-2x+3， 当-3≤x≤1时，计算可得函数解析式为y=x2+2x-3． 当直线与抛物线交于A点时，此时交点数为1；在AB点中间交点数为2； 向下移动至B点时，交点数为3，再向下移动则交点为4； ∴m＜-1． 向下移动至与抛物线相切时交点为3，在这之前交点为4个． 联立抛物线与直线， 得x2+x-3-m=0， 抛物线与直线只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根， ∴△=1-4×（-3-m)=0， ∴m=-， ∴m>-． 综上，-<m＜-1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线y=x+m有四个不同公共点的条件是解题的关键． 46．（2025·辽宁·模拟预测）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： ①当时，函数图象的顶点坐标是； ②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； ③当时，函数在时，y随x的增大而减小； ④当时，函数图象经过同一个点． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】①把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④根据特征数的特点，化简，令，得出的值，从而得出定点坐标，即可验证． 【详解】解：因为函数的特征数为； ①当时，，顶点坐标是；此结论正确； ②当时，令，有，解得：，， ，所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，此结论正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边随的增大而减小．因为当时，，即对称轴在右边，因此函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误； ④，令，解得：或，分别代入表达式，得或，则当时，函数必经过或两个定点，此结论正确． 根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征，求二次函数所经过的点，有一定综合性，难度一般． 47．（2025·辽宁·模拟预测）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围 【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图， 当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称， 从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3， 最小值是当时，取得最小值， ． 故选D． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键． 48．（2025·辽宁·模拟预测）定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标 ． 【答案】 【分析】根据题意，把所给的两个二次函数转化成旋转函数即可． 【详解】 ∴ ∴解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是学生对二次函数解析式的变形能力，解题的关键是根据题意去变换形式，细心谨慎． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$