热点题型·解答题攻略 专题05 圆的证明与计算综合（7类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

专题05 圆的证明与计算综合 目录 题型01 切线的判定定理及性质应用 1 题型02 弧长和面积问题 21 题型03 圆中角度与线段长度的计算 41 题型04 圆与相似综合 58 题型05 圆与全等综合 72 题型06 圆与三角函数综合 83 题型07 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型） 96 中考练场 110 题型01 切线的判定定理及性质应用 圆的切线的判定定理及性质应用是初中数学几何板块中对圆与直线位置关系深入研究的核心内容，通过判定直线是否为圆的切线以及运用切线性质解决几何问题，考查学生对几何定理的理解与综合运用能力，在中考数学中分值占比约 4%-7%。 1.考查重点：重点考查对圆的切线判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）和性质（圆的切线垂直于过切点的半径）的精准理解与灵活运用，以及借助这些定理在复杂几何图形中进行推理和计算。 2.高频题型：高频题型有证明某条直线是圆的切线；已知直线为圆的切线，利用切线性质证明线段垂直、角相等或进行线段长度计算；在圆与三角形、四边形等组合图形中，结合切线判定与性质以及其他图形性质，解决综合性几何问题。 3.高频考点：考点集中在切线判定定理的准确应用，切线性质在证明和计算中的体现，切线与圆周角、圆心角等圆中角的关系的运用。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能依据已知条件合理选择切线判定定理进行证明，熟练运用切线性质进行推导；拥有敏锐的图形观察能力，从复杂图形中识别出圆与切线的相关几何关系；掌握扎实的运算能力，在涉及切线的几何计算中准确求解。 5.易错点：易错点在于判定切线时，对 “经过半径外端” 和 “垂直于半径” 这两个条件把握不准确，遗漏或错用；在运用切线性质时，对切点位置判断错误，导致垂直关系应用出错；在综合图形中，不能有效整合切线与其他图形性质，思路混乱，影响解题。 【提分秘籍】 1. 切线的性质： ①圆的切线垂直于经过切点的半径。 ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。 2. 切线的判定： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，已知是的直径，点在上，且．点是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点．点在线段的延长线上，的平分线交射线于点，，连接． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得到，然后结合得到，推出，即可得到； （2）由平分得到，然后结合三角形外角的性质得到，求出，即可证明是的切线． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵平分 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵是半径 ∴是的切线． 【点睛】本题考查切线的判定，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，平行线的判定，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 例2．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)为上一点，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连，证明，可得，证明，可得，则，结论得证； （2）延长交于点，由（1）知，求出，可求出，设半径为，则，解方程即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：如图，延长交于点，由（1）知， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 设半径为，则， ， ． 的半径为． 例3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交，于点，连接，是上一点，满足． (1)求证：是的切线． (2)过点作于点，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）连接，先通过，，得再通过，得，得到，再通过求解得到，，即可得到是切线； （2）连接，过点作于点，先求，得半径，则．通过勾股定理求得，在和中，，可得，则，据边与边的关系求得．在，利用勾股定理即可得：得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是内接四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴ ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∵为半径， ∴是切线． （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在中， 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在，， ∴． 【点睛】本题考查了利用三角函数解直角三角形，圆的内接四边形的性质、切线的判定，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 例4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，点B在线段的延长线上，直线与相切于点D．连接． (1)尺规作图：过点A作，交延长线于点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)①求证：平分； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识： （1）利用过已知点作已知直线的垂线的作法画出图形，即可求解； （2）①连接，根据切线的性质可得，从而得到，再结合，可得，即可求证；②在中，根据勾股定理可得，然后根据，可得，，从而得到，再在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图为所求作； （2）解：①证明：连接， 与相切于点，为半径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； ②解：， ，， ，， 在中，根据勾股定理，得： ， ， ， ， ， ，， ， 在中，根据勾股定理，得： ． 【变式演练】 1．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，是的直径，是上两点，平分，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，则，由平分，则，再由圆周角定理和等边对等角可得，所以，从而证明，通过平行线的性质证明，最后根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明； （2）根据圆周角定理得到，由，求出，再根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 平分， （角平分线的定义）， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（2024·辽宁本溪·二模）如图，，以为直径作与交于点，交于点，且为中点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求劣弧的长． 【答案】(1)详见解析 (2)π 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和弧长公式． （1）连接，如图，先根据切线的性质得到，根据圆周角定理得，再证明，所以平分，接着利用等角的余角相等得到，然后利用等量代换得到结论； （2）连接、，如图，先利用为等边三角形得到，再利用等腰三角形的性质得到，接着证明，从而得到，然后根据弧长公式计算． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为的切线， ， ， 为的直径， ， 为中点， 垂直平分， ， 平分， 即， ，， ， ； （2）解：连接、，如图， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， 即的半径为3， 劣弧的长． 4．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，为的直径，弦，垂足为点，直线与延长线交于点，且． (1)求直线与的位置关系：并说明理由． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)直线是的切线，理由见解析 (2)． 【分析】（1）由圆周角定理可得，进而得到，即；根据平行线的性质可得，再根据垂径定理可得，即直径，即可证明结论； （2）连接，由垂径定理可得，设，解直角三角形求得，在中，利用勾股定理求出，由可得即可解答． 【详解】（1）证明：直线是的切线，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直径， ∴直线是的切线； （2）解：连接，    ∵， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的判定和性质、三角函数解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，A，B，C为上的三点，，延长交于点E，过点B作射线的垂线，垂足为D． (1)求证：为的切线； (2)若半径长为5，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解； (2) 【分析】本题主要涉及圆的相关性质：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角以及解直角三角形、勾股定理的应用． （1）连接、．证明 得，由，得,进而证明，即可得，从而证明为的切线； （2）连接，由是的直径，得，进而得 ，利用勾股定理求解的长． 【详解】（1）证明：连接、． ，，， ． ． 又， ． ， ， , ， ， ，即， 又是的半径， 为的切线． （2）解：连接，如图， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 半径长为5， ， ， ， ， ． 题型02 弧长和面积问题 圆的弧长和面积问题是初中数学几何板块中对圆的度量性质深入探究的重要内容，通过运用圆的半径、圆心角等要素，结合特定公式计算弧长与面积，考查学生对几何知识的量化应用能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查准确运用弧长公式、扇形面积公式以及圆的面积公式进行相关计算，同时关注这些公式在实际情境和组合图形中的灵活运用。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径和圆心角，求弧长或扇形面积；在组合图形中，如扇形与三角形、四边形等组合，通过分析各图形关系，计算阴影部分（包含弧长或扇形面积）的面积；根据实际问题背景，如摩天轮转动的弧长、喷灌区域的面积等，建立数学模型求解弧长或面积。 3.高频考点：考点集中在弧长公式、扇形面积公式以及圆面积公式的正确应用，圆心角与弧长、扇形面积的对应关系，以及在不规则图形中通过割补法、等积变换等方法转化为可利用公式计算的规则图形，求解弧长和面积。 4.能力要求：要求学生具备较强的公式记忆与应用能力，能准确代入数据进行计算；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中识别出与弧长、面积相关的部分，并能通过合理的图形变换简化计算；掌握一定的数学建模能力，将实际问题转化为数学问题求解。 5.易错点：易错点在于对弧长和扇形面积公式记忆混淆，导致计算错误；在代入数据时，对圆心角、半径等数值读取错误；在组合图形中，不能准确分析各图形间的关系，错误地进行面积的加减计算；对实际问题建模不准确，忽略问题中的关键条件。 【提分秘籍】 1. 弧长计算公式： （弧长为，圆心角度数为，圆的半径为） 2. 扇形的面积计算公式： 或（其中为扇形的弧长）。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，则，故，由，得到，而，则，由，得，因此，故，则是的切线； （2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键． 例2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，内接于为的直径，点为上一点，，延长至，连接，使得． (1)求与的位置关系，并说明理由； (2)当，求的长． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明出，由圆周角定理可得，继而等量代换得到，即可证明； （2）先证明，则，可证明得到，解得，，那么，可得半径，由，可得，故，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴长为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的性质，弧长公式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，涉及知识点较多，综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键． 例3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，射线交于点D，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义和等边对等角证明，再由，得到，即可证明是的切线； （2）过点作于点，连接，证明四边形是矩形，得到，再根据勾股定理求出的长，然后根据，求出，再求出的长度，最后根据，求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图所示，过点作于点，连接． ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，求不规则图形的面积，垂径定理等知识点，正确作出辅助线是关键． 例4．（2024·辽宁抚顺·二模）是的直径，，，与相交于点． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接，过点作分别交，于点，，交于点，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积； （1）根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出，再根据切线的判定方法进行解答即可； （2）根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 是的直径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 是的直径， ， 即， ， ， ， ， ，， ， ， 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·二模）如图1，是的弦，的延长线与相交于点C，与过点B的切线相交于点D，． (1)求的度数； (2)如图2，点E在上，，连接．若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由，，可得，利用三角形内角和求得即可； （2）连接，，由是直径，可得，由（1）可得，则，由，，可得，，由，可得，证明是等边三角形，则，，，然后利用弧长公式计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的度数为； （2）解：如图2，连接，， ∵是直径， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的弦相等，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，正弦，弧长等知识．熟练掌握切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的弦相等，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，正弦，弧长是解题的关键． 2．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，直线l与相切于点M，点P为直线l上一点，直线交于点A、B，点C在线段上，连接BC，且．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先证明，得出，即可得出直线是的切线； （2）利用切线的性质定理以及勾股定理和锐角三角函数关系得出，则，以及的长，再利用三角形面积公式以及扇形面积公式得出答案即可． 【详解】（1）解：直线是的切线， 理由：连接，， ∵直线l与相切于点M， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 为直径， ∴直线是的切线； （2）过点O作于点N，    ∵， ∴， 即， 又∵，则， ∴， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴，则， ∴图中阴影部分的面积为：． 【点睛】此题主要考查了扇形面积公式以及切线的性质和判定和锐角三角函数关系应用以及全等三角形的判定及性质等知识，熟练应用切线的性质和判定定理是解题关键． 3．（2024·辽宁朝阳·三模）如图，将矩形ABCD（）沿对角线BD翻折，点C的对应点为点，以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，与相切于点E，延长DA交于点F，连接EF交AB于点G． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，由矩形的性质得，则，由切线的性质得，则，所以，则； （2）由，，，得，则，所以，所以，由折叠得，求得，则，，所以，即可根据弧长公式求得答案． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 四边形是矩形， ，， ， 与相切于点， ， ， ， ． （2）解：，，， ， ， ， ，， ， 由折叠得， ， ，， ， ， 的长是． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（1）【问题探究】 如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心，为半径作．求证：是的切线；    （2）【知识迁移】 如图2，在菱形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点． ①与的位置关系为 ； ②若，，求阴影部分面积． 【答案】（1）见解析；（2）①相切；② 【分析】（1）如图，过点作于点，根据等边对等角，正方形的性质可得，则，结合为的半径，点在上，即可求解； （2）①如图，过点作于点，连接，根据与相切于点，菱形的性质得到，，结合切线的定义即可求解；②如图，过点作于点，由锐角三角函数的计算设，由菱形的性质可得，则，在中，由勾股定理得，则，，由即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图，过点作于点，    ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴点在上， ∴是的切线； （2）①如图，过点作于点，连接，    ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴与相切， 故答案为：相切； ②如图，过点作于点，    在中，， ∴， 设， ∴， 由菱形的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形，菱形的性质，等边对等角，切线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算，扇形面积的计算方法，掌握以上知识，数形结合思想是解题的关键． 题型03 圆中角度与线段长度的计算 圆中的角度和线段的计算是初中数学几何板块中综合性较强的关键内容，它借助圆的独特性质，如垂径定理、圆周角定理等，深度考查学生对几何知识的综合运用能力，在中考数学中分值占比约 6%-10%。 1.考查重点：重点考查垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）、圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）等圆的核心性质在角度和线段计算中的应用，以及利用这些性质进行几何证明。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径、弦长等条件，运用垂径定理求弦心距、弧长等线段长度；根据圆周角与圆心角关系，结合圆内其他角度条件，计算特定角度大小；在圆与三角形、四边形等组合图形中，综合运用圆的性质和其他图形性质，计算线段长度和角度。 3.高频考点：考点集中在垂径定理、圆周角定理、圆心角定理等圆的基本定理应用，圆内接四边形性质（对角互补）的运用，以及切线的性质与判定（切线垂直于过切点的半径）在解决角度和线段问题中的体现。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能依据已知条件合理选择圆的性质进行证明和计算；拥有良好的图形识别与分析能力，从复杂图形中提炼出与圆相关的几何关系；掌握扎实的运算能力，尤其是在涉及勾股定理、三角函数等知识用于圆中线段和角度计算时。 5.易错点：易错点在于对垂径定理、圆周角定理等圆的性质理解不透彻，应用时条件使用错误；在计算过程中，因对圆内复杂的角度和线段关系梳理不清，导致计算错误；对圆与其他图形综合问题中，不能有效整合各类图形性质，思路受阻。 【提分秘籍】 1. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 垂径定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。 3. 圆心角、弦以及弧之间的关系： ①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。 4. 圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 5. 圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，是的直径，D是上的一点，是的平分线，交于点C，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，即可解答； （2）过O作，垂足为F，先证明四边形是矩形，可得，再求得，可得，进一步求出，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∵是等腰三角形， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过O作，垂足为F， 在四边形中， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在上点A，B，D，，点B关于的对称点C在圆上，连接，在的延长上的点F，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于E，连接，根据点B关于的对称点C在圆上，得出，，根据垂径定理逆定理得出，证明，求出，证明，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，证明，得出，求出，，证明，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：连接交于E，连接，如图所示： ∵， ∴为直径经过O点， ∵点B关于的对称点C在圆上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：根据对称性可知：， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形相似的判定和性质，切线的判定，勾股定理，轴对称的性质，垂径定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 例3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，为圆O的直径，已知，点P在延长线上，平分． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，圆的半径为5，求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，由平分线得，再根据，得到，再由垂直定理得到，即可得到结论 （2）先证明，设，再根据，得到，解方程即可的解 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∵为半径， 是圆的切线． （2），为直径， ， ， ， ， 设，， 在中，， 即， 解得（舍），， 故，． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、相似三角形的判定和性质．解直角三角形，掌握相似三角形的性质是关键． 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·一模）如图，内接于，是的直径与交于点F，，过B点的切线交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)的半径是3，，求的长． 【答案】(1) (2)的长为4 【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识． （1）连接，由切线的性质得到，由圆周角定理得到，又由得到，则，利用直角三角形性质即可得到答案； （2）连接，由圆周角定理得到，再证明，在中，根据勾股定理得，，设，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：连接， ∵是的切线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：连接， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中，， 根据勾股定理得， 设，由，得， 解得， ∴的长为4． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，D为上一点，C为上一点，且，延长交于E，连． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握圆周角的相关性质是解题关键． （1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，从而得到结论； （2）连接OC、OE，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，所以，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，在中，以为直径作，与相切于点C，与交于点D，连接． (1)求证：； (2)如图2，若，，E是的中点，连接并延长交于点F，交于G，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线的性质，锐角三角函数，角平分线的性质，圆周角定理及勾股定理等知识，解题的关键是掌握圆的切线的性质，锐角三角函数，角平分线的性质，勾股定理． （1）根据圆周角定理得到，再利用切线的性质得到，然后利用等角的余角相等证明结论； （2）过点G作，由E是的中点可得，从而可得，由角平分线的性质可得，再由，，可得出，求得，从而得出，设，则，可得方程，再求解即可． 【详解】（1） 证明：为直径， ， ， 与相切于点C， ， ， ； （2）解：过点G作， E是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ． 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，是的内接四边形，是的直径，，过点C的直线分别与的延长线， 的延长线相交于点E、F，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； （1）连接．根据圆周角定理得，等量代换得，求得，由是的直径，得，求得，推出，即可得出结论； （2）根据勾股定理得，在证明，得，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）连接．则． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是的切线． （2）在中，， ． ∵，是的直径， ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴．即． 在中，，． ∴． ∴． 题型04 圆与相似综合 圆与相似综合是初中数学几何领域中极具综合性与挑战性的内容，它将圆独特的性质，如圆周角定理、切线性质等，与相似三角形的判定和性质紧密结合，考查学生对不同几何知识的融会贯通能力，在中考数学中分值占比约4%-7%。 1.考查重点：重点考查在圆的背景下，通过寻找、构造相似三角形，运用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，结合圆的弦、弧、角之间的关系，解决线段长度计算、角度求解以及几何证明等问题。 2.高频题型：高频题型有已知圆中弦、弧、切线等条件，证明三角形相似，并利用相似比计算相关线段长度；根据圆内角度关系，推出相似三角形，进而求解角度大小；在圆与多边形的组合图形中，借助相似三角形性质，判断图形间的位置关系或进行面积计算。 3.高频考点：考点集中在相似三角形的判定定理（两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）在圆的情境中的应用，圆的性质（如圆周角定理、弦切角定理、切线长定理）与相似三角形性质的综合运用，以及通过添加辅助线（如连接半径、作弦的垂线等）构建相似三角形的几何模型。 4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形观察能力，能从复杂的圆相关图形中识别出相似三角形的基本模型；拥有较强的逻辑推理能力，依据圆的性质和已知条件，合理推导相似三角形的存在及相关性质；掌握扎实的运算能力，准确处理相似比与圆中线段、角度的计算。 5.易错点：易错点在于在复杂圆图形中，难以准确找出相似三角形的对应边和对应角，导致相似比计算错误；对圆的性质与相似三角形性质的结合运用不够熟练，混淆相关定理的应用条件；添加辅助线不合理，无法有效构建相似三角形模型，影响解题思路。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接、、，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等量代换求得，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）利用圆周角定理得到，则，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质得到的长，设的半径为r，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，，如图， ∵点C是半圆的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设的半径为r，则， ∵， ∴， 解得：． ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，弦切角定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形内接于，，与相交于点E，延长交的延长线于点F，过点A作，交的延长线于点G． (1)求证：平分； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等可得，由等边对等角可得，由“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”可得，等量代换可得； （2）先用三角函数和勾股定理解，求出，再证，推出，再证，求出，最后证明，根据对应边成比例可求出． 【详解】（1）证明：和都是所对的圆周角， ， ， ， ， 又四边形内接于， 是四边形的一个外角， ， ， 即平分； （2）解：， ，即， ， 在中，， ， ． ，， ， 在和中， ， ， ， ． ，， ， ，即， ， ， ． 四边形内接于， ， 又，， ， 又， ， ，即， ， 解得． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角函数解直角三角形，全等三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，第二问有一定难度，证明是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点D为的中点，连接，是的切线， 交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若 ， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，弧的中点，平行线的性质证明即可． （2）根据切线性质，勾股定理，圆的内接四边形，三角形相似的判定和性质，解答即可． 本题考查了切线性质，圆内解四边形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）连接， 是的切线， ，即， D为的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． （2）为直径， ， ，， ， D为的中点， ， ， ， 又四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， 即， ， 答：的长是． 2．（2024·辽宁锦州·三模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F．    (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)的半径为， 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． （1）直线与相切，理由是：连接，先证出，根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据圆的切线的判定即可得； （2）设的半径为，则，在中，利用勾股定理即可得的值；再证出，根据相似三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得的长． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴直线与相切． （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， 则的半径为， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图，已知是的直径，是弦，，垂足为点，点是弧的中点，连接．    (1)当时，求的度数； (2)当，时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等弧对等边，等弧对等角，可得，由圆内接四边形，可得，再根据垂直平分线和等腰三角形的性质，可得，，联列可求得． （2）连接，过点作交的延长线于点，设，在和中，根据勾股定理列等式，可求得，再根据相似三角形的判定和性质，求得，，带入数值计算即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，过点作交的延长线于点，    设， 由（1）知，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型05 圆与全等综合 圆与全等综合是初中数学几何板块中具有较高思维要求的内容，它将圆的性质，诸如半径相等、同弧所对圆周角相等、切线性质等，与全等三角形的判定和性质深度关联，着重考查学生对不同几何知识的整合运用能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查在圆的环境下，通过挖掘圆的特性构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，结合圆内弦、弧、角的关系，完成线段长度计算、角度求解以及几何证明等问题。 2.高频题型：高频题型包括依据圆中半径、弦长、角度等条件证明三角形全等，进而计算相关线段长度；根据圆内的特殊角度关系，构造全等三角形来推导其他角度大小；在圆与多边形构成的复合图形中，借助全等三角形性质判断图形间的位置关系或者进行面积计算。 3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）在圆的情境下的运用，圆的性质（如垂径定理、圆周角定理、切线长定理）与全等三角形性质的协同应用，以及通过合理添加辅助线（例如连接圆心与弦的端点、作过切点的半径等）构建全等三角形的几何模型。 4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形感知能力，能够从复杂的圆相关图形中捕捉到全等三角形的线索；拥有较强的逻辑推导能力，依据圆的性质与已知条件，有条不紊地推导出全等三角形的存在及相关性质；掌握扎实的运算技能，准确处理全等三角形对应边、角与圆中线段、角度的计算。 5.易错点：易错点在于在复杂的圆图形中，难以精准确定全等三角形的对应边和对应角，致使全等判定错误；对圆的性质与全等三角形性质的结合运用不够娴熟，混淆相关定理的适用条件；添加辅助线缺乏针对性，无法有效构建全等三角形模型，阻碍解题思路。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据圆周角定理得，进而得，便可由等腰三角形判定定理得； （2）证明，得，，由勾股定理求得，由三角形面积公式求得，进而求得，，再证明，即可得． 【详解】（1）证明：， 又， ， ； （2）解：是的切线， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 的长为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，勾股定理，关键是证明三角形全等与相似． 例2．（2024·辽宁锦州·二模）如图，A是外接上一点，且，过点A的直径交于点F，交于点H，延长交的延长线于点P，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据弦和弧的关系得到，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，然后得到，勾股定理求出，然后得到，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∴． ∵， ∴， ∴是的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． ∴； （2）解：∵，是的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴由勾股定理，得． 在中， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． 【点睛】此题考查了圆中弧和弦的关系，相似三角形的性质和判定，勾股定理，垂直平分线的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式演练】 1．（2024·辽宁营口·一模）如图，内接开，，是的直径，交于点．连接BD． (1)尺规作图：过点作，交的延长线于点（用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，保留作图痕迹，不必写作图过程） (2)求证：是的切线； (3)已知，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交于点，再以点为圆心，以为半径作弧，交于点，以点为圆心，以的长度为半径作弧，交前弧于点，连接并延长，交延长线于点；由作图可知，，根据“内错角相等，两直线平行”，易知； （2）连接，证明，易得，进而可知垂直平分，易得，再根据“两直线平行，同位角相等”可得，即可证明结论； （3）过点作于点，设的半径为，由垂径定理可得，证明，结合相似三角形的性质可解得的值，然后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意作图，如下图所示； （2）证明：如下图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的直径， ∴是的切线； （3）解：如下图，过点作于点， 设的半径为，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、平行线的判定与性质、切线的判定、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 2．（2024·辽宁辽阳·三模）如图，一个圆形瓶盖和一个直角三角形纸板，点O在斜边上．与分别交于点B和D，与切于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识： （1）连接，得，由是的切线得，得，得出，根据角平分线性质定理可得结论； （2）根据证明，可得，设的半径为，在中由勾股定理列方程可求出的值 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵与切于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， 设的半径为，则 ∴ 在中，，即，． 解得， ∴的半径长为9． 3．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接，连接并延长交的延长线于点，． (1)连接，求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． （1）证，得出，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，证，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出，最后根据求出即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， 与相切， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：在中，，，， ， ，， ， ， 设的半径为，则， 解得， 在中，，，， ， ， 即的长为：． 题型06 圆与三角函数综合 圆与三角函数综合是初中数学几何与代数紧密结合的关键内容，它借助圆的半径、弦、弧所构成的几何图形，运用三角函数知识来量化角度与线段之间的关系，全方位考查学生跨知识板块的运用能力，在中考数学中分值占比约4%-7%。 1.考查重点：重点考查在圆的图形背景下，通过构造直角三角形，利用三角函数（正弦、余弦、正切）定义，将圆中的半径、弦长、圆心角、圆周角等元素与三角函数值建立联系，进行角度和线段长度的求解以及相关几何证明。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径及部分角度，利用三角函数求弦长；根据圆中弦长、弧长等条件，借助三角函数计算圆心角、圆周角大小；在圆与多边形组合图形中，结合圆的性质与三角函数知识，计算图形面积或线段间的比例关系。 3.高频考点：考点集中在三角函数定义在圆中的应用，圆的性质（垂径定理、圆周角定理等）与三角函数知识的融合，以及通过添加辅助线（如作圆的直径、弦的垂线等）构造可运用三角函数的直角三角形模型。 4.能力要求：要求学生具备良好的知识迁移能力，将三角函数知识灵活运用到圆的问题情境中；拥有较强的图形构建能力，能从复杂圆图形中识别或构造出适用三角函数的直角三角形；掌握扎实的运算能力，准确进行三角函数值与圆中几何量的计算。 5.易错点：易错点在于在圆中构造直角三角形时，对直角边、斜边与圆中线段的对应关系判断错误，导致三角函数选用不当；混淆圆的性质与三角函数的应用条件，在计算过程中出错；添加辅助线不合理，无法有效构建运用三角函数的模型，影响解题思路。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，中，，D为中点，，，是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)求的长和的半径． 【答案】(1)见解析 (2)，的半径为 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，证明，即可得证； （2）易证，得到，求出的长；过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接，在中，通过解直角三角形得到，，由得到．设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求得，，由得到，根据正弦的定义即可求解． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，， ． ，即； ，D为中点， ， ∴， ． 过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接， 在中，． 又， ． ∴在中，． ， ． 设，则，． ∵在中，， ，即， 解得，（舍去）． ，． ∵， ． ∵为的直径， ． ． ，即的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理．构造适当的辅助线是解题的关键． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，弦与交于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，且与相切． (1)求证：； (2)若的半径为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由与相切，得出，根据，得出，根据，可得，即可得出． （2）由是的直径，，得，由，得，则，求得，由，得，则，求得，则，可证明，得，求得． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵与相切， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴． （2）解：是的直径，的半径为， ， ， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 线段的长是． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的性质定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·辽宁锦州·二模）如图，是的直径，与相切于点A，连接，过点B作交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，由，得，，则，可证明，则，即可证明是的切线； （2）由，求得，则，而，所以，因为，所以，则的半径的长为． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径的长为． 【点睛】本题重点考查切线的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，交的延长线于点E，且平分． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了解直角三角形，同弧所对的圆周角相等，平行四边形的判定，等边对等角等等： （1）根据等边对等角，同弧所对的圆周角相等证明， 推出，再由，即可证明四边形是平行四边形． （2）先证明，得到，推出，解直角三角形得到，由勾股定理可得． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：， ， ， ， ，   ， 是直径， ， 在中，， ， ， ， ． 3．（2024·辽宁辽阳·一模）如图1，是的直径，点D在的延长线上，点C，E是上的两点，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求直径的长； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质推出，然后根据余角的性质求出，即可证出结论； （2）利用（1）的结果证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求的长，从而求出直径的长； （3）过F作于K，设，则，利用三角函数和中位线定理，结合线段的和差关系分别用含k的代数式表示和，最后根据计算的值即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：过F作于K，连接，如图： 由（2）得，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，以及三角形的中位线定理，解题的关键是综合运用所学的几何知识根据题意作出辅助线和利用三角函数解几何问题． 题型07 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型） 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型）是初中数学几何板块中具有较高综合性与技巧性的内容，它将圆的概念巧妙隐藏于各类几何图形中，考查学生挖掘潜在圆的特征并运用圆的知识解决问题的能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 【提分秘籍】 隐圆模型是指在一些几何问题中，通过分析条件可以发现存在一个隐藏的圆，利用圆的性质来解决问题。常见的隐圆模型有以下几种类型： （1）定点定长型：当题目中出现一个定点和一个动点，且动点到定点的距离始终保持不变时，那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。例如，在平面直角坐标系中，点, 点满足, 根据两点间距离公式, 可 知点的轨迹是以为圆心，5为半径的圆。 （2）定弦定角型：如果一条线段（定弦）所对的角始终为一个固定的角度（定角），那么这个角的顶点的轨迹是一个圆。特别地，当定角为时 ，定弦就是圆的直径。例如，在中，, 那么点的 轨迹是一段圆弧。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点都在以为弦，圆周角为的圆上。 （3）对角互补型：若四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。例如，在四边形中，, 根据圆内接四边形的性质，可知四点共圆。此时，四边形的外接圆直径与四边形的边或对角线存在一定的关系，可通过正弦定理等知识来求解相关线段的长度。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁辽阳·三模）【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，求的最小值． 由于和都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是____________． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）连接和，，则当O、A、B三点共线时，则； （2）先证明，推导出，取中点O，连接和，根据勾股定理求得，由，得到当三点共线时，取得最小值，因此； （3）作的外接圆，连接，由圆周角定理得，可得，解直角三角形得到，，中，由勾股定理得：， 由，得，当点三点共线时，取得最大值， 故． 【详解】解：（1）如图，连接和， 则， ∴当O、A、B三点共线时，取得最小值， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴. ∵， ， 即， ∴， ， ， ， 如图，取中点O，连接和， 则， ， ∵， 即， 当三点共线时，取得最小值， ； （3）解：作的外接圆，连接， ∵， ∴，同理， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 同理可求在中，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， 即， 当点三点共线时，取得最大值， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用三角形三角形三边关系求最值，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【变式演练】 1．（2024·辽宁抚顺·三模）利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．在数学活动课上，李老师和同学们一起操作探究下面问题： (1)如图①，在正方形中，为边上一动点，点在边上，且．求证：． 为了解决这个问题，小明把绕点逆时针旋转，得到图②．易证，则得以证明．请您按照小明的思路完成证明过程； (2)如图③，在等腰中，，点在边上，，，求的长； (3)如图④，在矩形中，，，是上一动点，将线段绕点逆时针旋转，与交于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)面积的最小值为 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，将绕点逆时针旋转至，利用旋转的性质和全等三角形的判定证明，然后根据全等三角形的对应角相等可得结论； （2），将绕点逆时针旋转得到．连接，利用旋转性质得到，，，再根据等腰直角三角形的性质证得，然后利用勾股定理分别求得，即可； （3）如解图②，延长至点，使得，连接，根据矩形的性质结合已知条件可得，进而证明得到，．则可证得是的平分线，根据角平分线的性质可得，作的外接圆，点为圆心，连接，作于点，利用等腰直角三角形的判定和性质以及圆周角定理可得，和是等腰直角三角形，设，则，， 由可得，进而有，利用三角形的面积公式和不等式的性质可得即可； 一题多解：如解图③，延长至点，使，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，证明，得到，根据平行线分线段成比例和三角形的中位线性质可得，，设，利用勾股定理求得，进而求得，令，则有，根据这个方程有解，利用根的判别式得到关于y的不等式，进而求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 将绕点逆时针旋转至， ，，， 三点共线． ，， ， ， 在与中，， ， ； （2）解：如解图①，将绕点逆时针旋转得到．连接， 由旋转的性质得， ，，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 在中，， ； （3）解：如解图②，延长至点，使得，连接， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，． ，， ， ，即是的平分线， ∴点Q到、的距离相等， ， 作的外接圆，点为圆心，连接，作于点， ，， ，和是等腰直角三角形， 设，则，， ， ，，即， ， ， ， 面积的最小值为． 一题多解 如解图③，延长至点，使，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，将绕点顺时针旋转，得到， 则四边形为正方形，，， ，，， ，， ，， ， ，， ， ，则， ， 设， ，，， ， 在中，， 整理，得，， ，， ， 令， 则，， 这个方程有解， ， ，， 或（舍去）， 面积的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位线性质、一元二次方程根的判别式等知识，是一道综合性极强的压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用旋转性质求解是解答的关键． 2．（2025·辽宁大连·一模）△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，在线段AD上有一点M，连接CM，以AM为直角边，点A为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN． (1)如图1，若sin∠MCD＝，CD＝4，求线段MN的长； (2)如图2，将等腰直角三角形AMN绕点A顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM、DM、CN，若DM∥CN，求证：4DM2+CN2＝CM2； (3)如图3，线段MN交线段AC于点E，点P、点Q分别为线段BC、线段AC上的点，连接PM、QN，将△DPM沿PM翻折得到ΔD'PM，将△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM＝3DM，BC＝8，在线段BC上找一点F，连接FD'、FE'，请直接写出FD'+FE'的最小值． 【答案】(1)4﹣2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先利用解直角三角形求出DM＝，得到AM=4﹣，然后利用解直角三角形得到MN的值； （2）连接BM并延长交CN于E，首先利用△BAM≌△CAM得到∠MBA＝∠ACN，BM＝AN，再利用△BDM∽△BCE得出结果； （3）利用勾股定理得到GN＝，在利用△GFD∽△GNA求出MF＝GF＝，得出结果． 【详解】（1）解：∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，AB＝AC， ∴AD＝CD＝＝4，AD⊥BC， ∵sin∠MCD＝， ∴tan∠MCD＝＝， ∴DM＝CD•tan∠MCD＝4×＝， ∴AM＝AD﹣DM＝4﹣， 在Rt△AMN中， MN＝＝＝4﹣2； （2） 证明：如图1， 连接BM并延长交CN于E， ∵∠BAC＝∠MAN＝90°， ∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC， 即：∠BAM＝∠CAN， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAM（SAS）， ∴∠MBA＝∠ACN，BM＝CN， ∴点A、B、C、E共圆， ∴∠BEC＝∠BAC＝90°， ∴EM2+CE2＝CM2， ∵DM∥CN， ∴△BDM∽△BCE，   ∴， ∴CE＝2DM，EM＝BM， ∴EM＝CN， ∴4DM2+CN2＝CM2； （3）如图2， ∵AD＝CD＝BC＝4，AM＝3DM， ∴DM＝1，AM＝3，MN＝＝3，NE＝MN＝，∵MD′＝DM＝1，NE′＝NE＝， ∴点D′在以M为圆心，1为半径的圆上，点E′在以N为圆心，为半径的圆上， 作点M关于BC的对称点G，连接GN交BC于F，交⊙N于E′， 则FD'+FE'的最小， 在Rt△AGN中，AG＝DG+AD＝1+4＝5，AN＝3， ∴GN＝＝＝， ∵DF∥AN， ∴△GFD∽△GNA，   ∴， ∴， ∴GF＝， ∴MF＝GF＝， ∴FD'+FE'＝MF﹣MD′+FN﹣NE′＝GF+FN﹣NE′﹣MD′＝GN﹣NE′﹣MD′， 即：． 【点睛】本题是几何综合题，利用轴对称确定最小值时点F的位置是解决问题的关键． 1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，在中，，为上一点，以为半径的与相切于点．交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据等边对等角可得：、，等量代换可得：，根据同位角相等两直线平行，可证，因为，可得，从而可证是的切线； 连接，，可证四边形是正方形，设的半径为，则，，利用勾股定理可以求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，， 是的切线， ， ， ， ， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 设的半径为， 则， ， 在中，，，， ， 的长， 答：的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定与性质、证明直线是圆的切线、弧长公式．解决本题的关键是根据正方形的性质求出圆的半径． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，与交于点，弦平分，点在上，连接，，． (1)求证∶ 是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据垂直定义可得，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答； （2）连接，，易证是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，求得，进而求得和的长度，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：连接，， ，平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 弓形的面积扇形的面积， 阴影部分的面积的面积弓形的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切； （2）连接，，先证是等边三角形，推出，再根据圆周角定理证明，进而可得，再根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，   是的直径， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：如图，连接，，   ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ，是的直径， ， ． 即的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键． 4．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，为的半径，点在上，与相切于点，与延长线交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求弦与弧围成的图形（阴影部分）面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，求弓形的面积，解直角三角形： （1）根据切线的性质，得到，等角的余角相等，推出，即可得证； （2）根据锐角三角函数求出，进而推出为等边三角形，过点作，利用扇形的面积减去等边三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：∵为的半径，与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作，则： ∴阴影部分的面积． 5．（2024·辽宁营口·一模）如图，中，，以为直径的分别交边，于点，，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）由可得，由切线的性质可得，从而得到，，推出，即可得证； （2）连接、，由（1）可得，，，即可求出，得到，由勾股定理可得，得到，由圆周角定理可得，证明，得到，求出，同理可得，，证明，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 是的切线， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接、，    由（1）可得，， ， 是的切线， ， ， ， ， ，， ， 是的直径， ， ， ，， ， ，即， ， ， 同理可得：，， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 6．（2024·辽宁丹东·三模）如图，为的直径，切于点，于点，交于点，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，圆周角与弦之间的关系等等： （1）连接，由切线的性质可知，从而可证明，接下来由平行线的性质、等腰三角形的性质可证明，进而证明； （2）在中依据勾股定理可求得的长，从而得到的长，接下来证明，依据相似三角形的性质可求得的长． 【详解】（1）证明：如图所示，连接． ∵切于点D， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴． ∵为的直径，， ∴， ∴． ∵四边形内接于， ∴ ∴， ∴． ∴，即． ∴． 7．（2024·辽宁丹东·二模）如图，是直径，弦于点，连接，过点作的切线，与的平分线交于点，与交于点，交于点，交与点，连接． (1)求证：； (2)若 ，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由垂径定理可得，即得是的垂直平分线，即可得； （）由垂径定理可得得，，即得，由圆周角定理得，即可得，得到，进而由勾股定理得，即得，再证明，得到，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径，弦于， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：∵，, ∴，， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵平分， ∴ ∵是的切线 ，   ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴，   又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分的性质，圆周角定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 8．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图1，为的直径，C为外一点． (1)尺规作图：作直线与相切，切点D在弧上（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，为的直径，直线与相切于点D，连接、、，若，，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等，综合应用上述知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据，利用直角三角形斜边中线的性质设计作图思路； （2）过点A作于点E，则，连接，根据切线的性质、圆周角定理可得，，通过导角推出，再利用三角函数解，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； 说明：连接，分别以点C，点O为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线交于点E，以E为圆心，长为半径作弧，交弧与点D，作直线． （2）解：如图，过点A作于点E，则，连接， 为的切线，是的半径， ， ， 为的直径， ， ，即， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，     在中，根据勾股定理得： ． 9．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是上的两点，，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析； (2)5． 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． （1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质得出，即，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质求得线段，则，再证明，则可得 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 10．（2024·辽宁沈阳·零模）如图，等腰直角与交于点B，C，，延长，与分别交于点D，E，连接，，并延长至点F，使得． (1)求的度数； (2)求证：与相切； (3)若的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由，可得为的直径，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质即可求解； （2）由圆周角定理可得，从而可得，利用等量代换可得，再根据切线的判定定理即可得证； （3）由圆心角定理可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ， 过圆心O， 为的直径， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵是半径， ∴与相切； （3）解：连接、，如图， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的综合应用、勾股定理、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 11．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，点分别位于直径异侧，连接，且． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）按照做垂线的方法过点C作的垂线交与点F即可． （2）连接，由同弧所对的圆周角相等得出，由直径所对的圆周角等于以及切线的定义即可得出，，结合已知条件可得出，再进一步证明，由相似三角形的性质可得出，结合已知条件设，则，，，，由勾股定理得出x的值，进一步即可得出，，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）如图：即为所求： （2）连接， ∵ ∴， ∵是的直径，为的切线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴，， 在中， ∴． 【点睛】本题考查作图一复杂作图，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（2024·辽宁阜新·三模）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；    （2）如图，是的外接圆，是的直径， ①若是的切线，的延长线与交于点D，点是的中点，证明： ②若，，的半径． 【答案】（）见解析；（）①见解析；②的半径为 【分析】（）分别作、的垂直平分线交于点，再以为圆心，的长为半径作即可； （）①证明：如图，连接，由切线的性质得，再证明，得，即可得证；②连接，由圆周角定理得：，从而得，进而求得，再利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为的外接圆；    （）①证明：如图，连接，   是的切线， ， ∴， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ∴， ； ②解：如图，连接，    由圆周角定理得：， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，切线的性质以及尺规作垂线，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 13．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，内接于，， 连接，过B作的切线交的延长线于点 D． (1)求证：； (2)若 求直径． 【答案】(1)见详解 (2)12 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答； （2）根据正方形的判定和性质，直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的切线， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 是的切线， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又，， 四边形是正方形， ， 设， ，即， ，解得， 在中，， 整理得：， 解得，（舍去）， 即半径的长为6，直径为12． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及正方形的判定和性质，掌握切线的判定方法和性质，圆周角定理，正方形的判定和性质以及解直角三角形的方法是正确解答的关键． 14．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，四边形内接于，，垂足为，，过作． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，平行线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交于，根据题意得，得到，即可得到结论； （2）连接，得到，设，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明：如图，延长交于， ∵， ， ， ， 是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 的半径为， ， ， ， ， ， ． 15．（2024·辽宁大连·一模）如图，在⊙O中，四边形内接于，连接，，点E在延长线上，且． (1)探究与的位置关系，并证明； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)与相切，证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的证明，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）连接，可知是的直径，得，则，由，，得，则，即可证得与相切； （2）由题意可知，在通过解直角三角形求得，则，得，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）与相切， 证明：连接， ∵， ∴是的直径， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，则， ∴与相切； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，为的弦，为的中点，为延长线上一点，与相切，切点为，连接并延长，交于点，交直线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）由切线的性质可得，由余角的性质可求解； （2）通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， ， ， 与相切， ， ， ， 是等腰三角形， 为的中点， ， ， ， ， ； （2）解：是直径， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， 的半径为14． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明是本题的关键． 17．（2024·辽宁大连·一模）如图，是的外接圆，直径BD与AC交于点E，DF是的切线，交BC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证，可得，又，则，结论得证； （2）连接，证明，可得，求出，，由勾股定理列式，代数计算，即可作答． 【详解】（1）证明：是的切线， ， ， ， 是的直径， ， ， ， （2）解：连接， 由（1）可知， 又 ∴在中 又∵ 在中 在中， 由勾股定理得， ∴半径 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握上述性质是解题的关键． 18．（2024·辽宁丹东·二模）如图，在中，点D是边上一点，且，以为直径的分别交，于点E，F，过点E作于点H． (1)求证：是切线． (2)若，，求． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连结，如图，利用等腰三角形的性质证明，则可判断，然后根据平行线的性质得到，从而根据切线的判定方法得到结论； （2）过O点作于M点，连结，如图，先利用圆周角定理得到，则在中利用余弦的定义求出，再利用勾股定理计算出，接着证明为的中位线得到，然后证明四边形为矩形，从而得到． 【详解】（1）证明：连结，如图， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是切线； （2）解：过O点作于M点，连结，如图， ∵为的直径， ∴. 在中，∵， ∴， ∴. ∵， ∴， 而， ∴为的中位线， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，中位线的性质，矩形的性质和判定，切线的判定与性质等，即圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 19．（2024·辽宁·模拟预测）学习了《圆》之后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以解决一些求角度的问题． 【用数学的眼光观察】 （1）将下列解题过程补充完整． 例：如图①，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：如图①，以点A为圆心，的长为半径作． 因为，， 所以C，D两点都在上． 因为， 所以__________°． 【用数学的思维思考】 （2）如图②，在四边形中，，，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图③，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使，用直尺和圆规在直线l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）45；（2）；（3）见解析 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理解答即可； （2）利用对角互补的四边形内接于圆的性质，再根据圆周角定理进行求解即可； （3）根据尺规作图画图即可． 【详解】解：（1）解：如图①，以点A为圆心，的长为半径作． 因为，， 所以C，D两点都在上． 因为， 所以． （2） 四点在以为直径的圆上，以为直径作出， ， ； （3）①作出线段的垂直平分线， ②以为圆心，以为半径画弧交于点，连接，得等边三角形 ③以为圆心，为半径画，于直线交于两点， 则这两点为所有符合条件的点． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，尺规作图，熟练掌握圆周角定理和基本作图的方法是解题的关键． 20．（2024·辽宁丹东·三模）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解． （3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，且，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）∵，且，， ∴，， 延长交于点，如图所示，    ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，    同（1）可得 则， ∵，则， 在中，，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，    在中， ∴,， ∵， ∴， 过点作，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆的证明与计算综合 目录 题型01 切线的判定定理及性质应用 1 题型02 弧长和面积问题 6 题型03 圆中角度与线段长度的计算 10 题型04 圆与相似综合 14 题型05 圆与全等综合 16 题型06 圆与三角函数综合 19 题型07 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型） 22 中考练场 25 题型01 切线的判定定理及性质应用 圆的切线的判定定理及性质应用是初中数学几何板块中对圆与直线位置关系深入研究的核心内容，通过判定直线是否为圆的切线以及运用切线性质解决几何问题，考查学生对几何定理的理解与综合运用能力，在中考数学中分值占比约 4%-7%。 1.考查重点：重点考查对圆的切线判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）和性质（圆的切线垂直于过切点的半径）的精准理解与灵活运用，以及借助这些定理在复杂几何图形中进行推理和计算。 2.高频题型：高频题型有证明某条直线是圆的切线；已知直线为圆的切线，利用切线性质证明线段垂直、角相等或进行线段长度计算；在圆与三角形、四边形等组合图形中，结合切线判定与性质以及其他图形性质，解决综合性几何问题。 3.高频考点：考点集中在切线判定定理的准确应用，切线性质在证明和计算中的体现，切线与圆周角、圆心角等圆中角的关系的运用。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能依据已知条件合理选择切线判定定理进行证明，熟练运用切线性质进行推导；拥有敏锐的图形观察能力，从复杂图形中识别出圆与切线的相关几何关系；掌握扎实的运算能力，在涉及切线的几何计算中准确求解。 5.易错点：易错点在于判定切线时，对 “经过半径外端” 和 “垂直于半径” 这两个条件把握不准确，遗漏或错用；在运用切线性质时，对切点位置判断错误，导致垂直关系应用出错；在综合图形中，不能有效整合切线与其他图形性质，思路混乱，影响解题。 【提分秘籍】 1. 切线的性质： ①圆的切线垂直于经过切点的半径。 ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。 2. 切线的判定： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，已知是的直径，点在上，且．点是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点．点在线段的延长线上，的平分线交射线于点，，连接． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 例2．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)为上一点，连接，若，，，求的半径． 例3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交，于点，连接，是上一点，满足． (1)求证：是的切线． (2)过点作于点，，求的长． 例4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，点B在线段的延长线上，直线与相切于点D．连接． (1)尺规作图：过点A作，交延长线于点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)①求证：平分； ②若，求的长． 【变式演练】 1．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径的长． 2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，是的直径，是上两点，平分，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的长． 3．（2024·辽宁本溪·二模）如图，，以为直径作与交于点，交于点，且为中点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求劣弧的长． 4．（2025·辽宁丹东·模拟预测）如图，为的直径，弦，垂足为点，直线与延长线交于点，且． (1)求直线与的位置关系：并说明理由． (2)若，求线段的长． 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，A，B，C为上的三点，，延长交于点E，过点B作射线的垂线，垂足为D． (1)求证：为的切线； (2)若半径长为5，，求的长． 题型02 弧长和面积问题 圆的弧长和面积问题是初中数学几何板块中对圆的度量性质深入探究的重要内容，通过运用圆的半径、圆心角等要素，结合特定公式计算弧长与面积，考查学生对几何知识的量化应用能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查准确运用弧长公式、扇形面积公式以及圆的面积公式进行相关计算，同时关注这些公式在实际情境和组合图形中的灵活运用。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径和圆心角，求弧长或扇形面积；在组合图形中，如扇形与三角形、四边形等组合，通过分析各图形关系，计算阴影部分（包含弧长或扇形面积）的面积；根据实际问题背景，如摩天轮转动的弧长、喷灌区域的面积等，建立数学模型求解弧长或面积。 3.高频考点：考点集中在弧长公式、扇形面积公式以及圆面积公式的正确应用，圆心角与弧长、扇形面积的对应关系，以及在不规则图形中通过割补法、等积变换等方法转化为可利用公式计算的规则图形，求解弧长和面积。 4.能力要求：要求学生具备较强的公式记忆与应用能力，能准确代入数据进行计算；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中识别出与弧长、面积相关的部分，并能通过合理的图形变换简化计算；掌握一定的数学建模能力，将实际问题转化为数学问题求解。 5.易错点：易错点在于对弧长和扇形面积公式记忆混淆，导致计算错误；在代入数据时，对圆心角、半径等数值读取错误；在组合图形中，不能准确分析各图形间的关系，错误地进行面积的加减计算；对实际问题建模不准确，忽略问题中的关键条件。 【提分秘籍】 1. 弧长计算公式： （弧长为，圆心角度数为，圆的半径为） 2. 扇形的面积计算公式： 或（其中为扇形的弧长）。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 例2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，内接于为的直径，点为上一点，，延长至，连接，使得． (1)求与的位置关系，并说明理由； (2)当，求的长． 例3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，射线交于点D，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 例4．（2024·辽宁抚顺·二模）是的直径，，，与相交于点． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接，过点作分别交，于点，，交于点，若，求图中阴影部分的面积． 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·二模）如图1，是的弦，的延长线与相交于点C，与过点B的切线相交于点D，． (1)求的度数； (2)如图2，点E在上，，连接．若，求的长． 2．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，直线l与相切于点M，点P为直线l上一点，直线交于点A、B，点C在线段上，连接BC，且．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积． 3．（2024·辽宁朝阳·三模）如图，将矩形ABCD（）沿对角线BD翻折，点C的对应点为点，以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，与相切于点E，延长DA交于点F，连接EF交AB于点G． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（1）【问题探究】 如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心，为半径作．求证：是的切线；    （2）【知识迁移】 如图2，在菱形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点． ①与的位置关系为 ； ②若，，求阴影部分面积． 题型03 圆中角度与线段长度的计算 圆中的角度和线段的计算是初中数学几何板块中综合性较强的关键内容，它借助圆的独特性质，如垂径定理、圆周角定理等，深度考查学生对几何知识的综合运用能力，在中考数学中分值占比约 6%-10%。 1.考查重点：重点考查垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）、圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）等圆的核心性质在角度和线段计算中的应用，以及利用这些性质进行几何证明。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径、弦长等条件，运用垂径定理求弦心距、弧长等线段长度；根据圆周角与圆心角关系，结合圆内其他角度条件，计算特定角度大小；在圆与三角形、四边形等组合图形中，综合运用圆的性质和其他图形性质，计算线段长度和角度。 3.高频考点：考点集中在垂径定理、圆周角定理、圆心角定理等圆的基本定理应用，圆内接四边形性质（对角互补）的运用，以及切线的性质与判定（切线垂直于过切点的半径）在解决角度和线段问题中的体现。 4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能依据已知条件合理选择圆的性质进行证明和计算；拥有良好的图形识别与分析能力，从复杂图形中提炼出与圆相关的几何关系；掌握扎实的运算能力，尤其是在涉及勾股定理、三角函数等知识用于圆中线段和角度计算时。 5.易错点：易错点在于对垂径定理、圆周角定理等圆的性质理解不透彻，应用时条件使用错误；在计算过程中，因对圆内复杂的角度和线段关系梳理不清，导致计算错误；对圆与其他图形综合问题中，不能有效整合各类图形性质，思路受阻。 【提分秘籍】 1. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 垂径定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。 3. 圆心角、弦以及弧之间的关系： ①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。 4. 圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 5. 圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，是的直径，D是上的一点，是的平分线，交于点C，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在上点A，B，D，，点B关于的对称点C在圆上，连接，在的延长上的点F，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长度． 例3．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，为圆O的直径，已知，点P在延长线上，平分． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，圆的半径为5，求，的长． 【变式演练】 1．（2024·辽宁大连·一模）如图，内接于，是的直径与交于点F，，过B点的切线交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)的半径是3，，求的长． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，D为上一点，C为上一点，且，延长交于E，连． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，在中，以为直径作，与相切于点C，与交于点D，连接． (1)求证：； (2)如图2，若，，E是的中点，连接并延长交于点F，交于G，求的长． 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，是的内接四边形，是的直径，，过点C的直线分别与的延长线， 的延长线相交于点E、F，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 题型04 圆与相似综合 圆与相似综合是初中数学几何领域中极具综合性与挑战性的内容，它将圆独特的性质，如圆周角定理、切线性质等，与相似三角形的判定和性质紧密结合，考查学生对不同几何知识的融会贯通能力，在中考数学中分值占比约4%-7%。 1.考查重点：重点考查在圆的背景下，通过寻找、构造相似三角形，运用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，结合圆的弦、弧、角之间的关系，解决线段长度计算、角度求解以及几何证明等问题。 2.高频题型：高频题型有已知圆中弦、弧、切线等条件，证明三角形相似，并利用相似比计算相关线段长度；根据圆内角度关系，推出相似三角形，进而求解角度大小；在圆与多边形的组合图形中，借助相似三角形性质，判断图形间的位置关系或进行面积计算。 3.高频考点：考点集中在相似三角形的判定定理（两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）在圆的情境中的应用，圆的性质（如圆周角定理、弦切角定理、切线长定理）与相似三角形性质的综合运用，以及通过添加辅助线（如连接半径、作弦的垂线等）构建相似三角形的几何模型。 4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形观察能力，能从复杂的圆相关图形中识别出相似三角形的基本模型；拥有较强的逻辑推理能力，依据圆的性质和已知条件，合理推导相似三角形的存在及相关性质；掌握扎实的运算能力，准确处理相似比与圆中线段、角度的计算。 5.易错点：易错点在于在复杂圆图形中，难以准确找出相似三角形的对应边和对应角，导致相似比计算错误；对圆的性质与相似三角形性质的结合运用不够熟练，混淆相关定理的应用条件；添加辅助线不合理，无法有效构建相似三角形模型，影响解题思路。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接、、，若，，求的半径． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形内接于，，与相交于点E，延长交的延长线于点F，过点A作，交的延长线于点G． (1)求证：平分； (2)若，，，求的长． 【变式演练】 1．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点D为的中点，连接，是的切线， 交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若 ， 求的长． 2．（2024·辽宁锦州·三模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F．    (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径和的长． 3．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图，已知是的直径，是弦，，垂足为点，点是弧的中点，连接．    (1)当时，求的度数； (2)当，时，求的长． 题型05 圆与全等综合 圆与全等综合是初中数学几何板块中具有较高思维要求的内容，它将圆的性质，诸如半径相等、同弧所对圆周角相等、切线性质等，与全等三角形的判定和性质深度关联，着重考查学生对不同几何知识的整合运用能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 1.考查重点：重点考查在圆的环境下，通过挖掘圆的特性构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，结合圆内弦、弧、角的关系，完成线段长度计算、角度求解以及几何证明等问题。 2.高频题型：高频题型包括依据圆中半径、弦长、角度等条件证明三角形全等，进而计算相关线段长度；根据圆内的特殊角度关系，构造全等三角形来推导其他角度大小；在圆与多边形构成的复合图形中，借助全等三角形性质判断图形间的位置关系或者进行面积计算。 3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）在圆的情境下的运用，圆的性质（如垂径定理、圆周角定理、切线长定理）与全等三角形性质的协同应用，以及通过合理添加辅助线（例如连接圆心与弦的端点、作过切点的半径等）构建全等三角形的几何模型。 4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形感知能力，能够从复杂的圆相关图形中捕捉到全等三角形的线索；拥有较强的逻辑推导能力，依据圆的性质与已知条件，有条不紊地推导出全等三角形的存在及相关性质；掌握扎实的运算技能，准确处理全等三角形对应边、角与圆中线段、角度的计算。 5.易错点：易错点在于在复杂的圆图形中，难以精准确定全等三角形的对应边和对应角，致使全等判定错误；对圆的性质与全等三角形性质的结合运用不够娴熟，混淆相关定理的适用条件；添加辅助线缺乏针对性，无法有效构建全等三角形模型，阻碍解题思路。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例2．（2024·辽宁锦州·二模）如图，A是外接上一点，且，过点A的直径交于点F，交于点H，延长交的延长线于点P，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式演练】 1．（2024·辽宁营口·一模）如图，内接开，，是的直径，交于点．连接BD． (1)尺规作图：过点作，交的延长线于点（用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，保留作图痕迹，不必写作图过程） (2)求证：是的切线； (3)已知，，求的长． 2．（2024·辽宁辽阳·三模）如图，一个圆形瓶盖和一个直角三角形纸板，点O在斜边上．与分别交于点B和D，与切于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径长． 3．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接，连接并延长交的延长线于点，． (1)连接，求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型06 圆与三角函数综合 圆与三角函数综合是初中数学几何与代数紧密结合的关键内容，它借助圆的半径、弦、弧所构成的几何图形，运用三角函数知识来量化角度与线段之间的关系，全方位考查学生跨知识板块的运用能力，在中考数学中分值占比约4%-7%。 1.考查重点：重点考查在圆的图形背景下，通过构造直角三角形，利用三角函数（正弦、余弦、正切）定义，将圆中的半径、弦长、圆心角、圆周角等元素与三角函数值建立联系，进行角度和线段长度的求解以及相关几何证明。 2.高频题型：高频题型有已知圆的半径及部分角度，利用三角函数求弦长；根据圆中弦长、弧长等条件，借助三角函数计算圆心角、圆周角大小；在圆与多边形组合图形中，结合圆的性质与三角函数知识，计算图形面积或线段间的比例关系。 3.高频考点：考点集中在三角函数定义在圆中的应用，圆的性质（垂径定理、圆周角定理等）与三角函数知识的融合，以及通过添加辅助线（如作圆的直径、弦的垂线等）构造可运用三角函数的直角三角形模型。 4.能力要求：要求学生具备良好的知识迁移能力，将三角函数知识灵活运用到圆的问题情境中；拥有较强的图形构建能力，能从复杂圆图形中识别或构造出适用三角函数的直角三角形；掌握扎实的运算能力，准确进行三角函数值与圆中几何量的计算。 5.易错点：易错点在于在圆中构造直角三角形时，对直角边、斜边与圆中线段的对应关系判断错误，导致三角函数选用不当；混淆圆的性质与三角函数的应用条件，在计算过程中出错；添加辅助线不合理，无法有效构建运用三角函数的模型，影响解题思路。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，中，，D为中点，，，是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)求的长和的半径． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，弦与交于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，且与相切． (1)求证：； (2)若的半径为，求线段的长． 【变式演练】 1．（2024·辽宁锦州·二模）如图，是的直径，与相切于点A，连接，过点B作交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径的长． 2．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，交的延长线于点E，且平分． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 3．（2024·辽宁辽阳·一模）如图1，是的直径，点D在的延长线上，点C，E是上的两点，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求直径的长； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，求的值． 题型07 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型） 隐圆（定点定长型、定弦定角型、对角互补型）是初中数学几何板块中具有较高综合性与技巧性的内容，它将圆的概念巧妙隐藏于各类几何图形中，考查学生挖掘潜在圆的特征并运用圆的知识解决问题的能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。 【提分秘籍】 隐圆模型是指在一些几何问题中，通过分析条件可以发现存在一个隐藏的圆，利用圆的性质来解决问题。常见的隐圆模型有以下几种类型： （1）定点定长型：当题目中出现一个定点和一个动点，且动点到定点的距离始终保持不变时，那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。例如，在平面直角坐标系中，点, 点满足, 根据两点间距离公式, 可 知点的轨迹是以为圆心，5为半径的圆。 （2）定弦定角型：如果一条线段（定弦）所对的角始终为一个固定的角度（定角），那么这个角的顶点的轨迹是一个圆。特别地，当定角为时 ，定弦就是圆的直径。例如，在中，, 那么点的 轨迹是一段圆弧。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点都在以为弦，圆周角为的圆上。 （3）对角互补型：若四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。例如，在四边形中，, 根据圆内接四边形的性质，可知四点共圆。此时，四边形的外接圆直径与四边形的边或对角线存在一定的关系，可通过正弦定理等知识来求解相关线段的长度。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁辽阳·三模）【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，求的最小值． 由于和都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是____________． 【变式演练】 1．（2024·辽宁抚顺·三模）利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．在数学活动课上，李老师和同学们一起操作探究下面问题： (1)如图①，在正方形中，为边上一动点，点在边上，且．求证：． 为了解决这个问题，小明把绕点逆时针旋转，得到图②．易证，则得以证明．请您按照小明的思路完成证明过程； (2)如图③，在等腰中，，点在边上，，，求的长； (3)如图④，在矩形中，，，是上一动点，将线段绕点逆时针旋转，与交于点，连接，求面积的最小值． 2．（2025·辽宁大连·一模）△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，在线段AD上有一点M，连接CM，以AM为直角边，点A为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN． (1)如图1，若sin∠MCD＝，CD＝4，求线段MN的长； (2)如图2，将等腰直角三角形AMN绕点A顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM、DM、CN，若DM∥CN，求证：4DM2+CN2＝CM2； (3)如图3，线段MN交线段AC于点E，点P、点Q分别为线段BC、线段AC上的点，连接PM、QN，将△DPM沿PM翻折得到ΔD'PM，将△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM＝3DM，BC＝8，在线段BC上找一点F，连接FD'、FE'，请直接写出FD'+FE'的最小值． 1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，在中，，为上一点，以为半径的与相切于点．交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，与交于点，弦平分，点在上，连接，，． (1)求证∶ 是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 4．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，为的半径，点在上，与相切于点，与延长线交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求弦与弧围成的图形（阴影部分）面积． 5．（2024·辽宁营口·一模）如图，中，，以为直径的分别交边，于点，，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 6．（2024·辽宁丹东·三模）如图，为的直径，切于点，于点，交于点，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．（2024·辽宁丹东·二模）如图，是直径，弦于点，连接，过点作的切线，与的平分线交于点，与交于点，交于点，交与点，连接． (1)求证：； (2)若 ，，求线段的长． 8．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图1，为的直径，C为外一点． (1)尺规作图：作直线与相切，切点D在弧上（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，为的直径，直线与相切于点D，连接、、，若，，，求的长． 9．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是上的两点，，，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； 10．（2024·辽宁沈阳·零模）如图，等腰直角与交于点B，C，，延长，与分别交于点D，E，连接，，并延长至点F，使得． (1)求的度数； (2)求证：与相切； (3)若的半径为2，求的长． 11．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，点分别位于直径异侧，连接，且． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 12．（2024·辽宁阜新·三模）（1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；    （2）如图，是的外接圆，是的直径， ①若是的切线，的延长线与交于点D，点是的中点，证明： ②若，，的半径． 13．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，内接于，， 连接，过B作的切线交的延长线于点 D． (1)求证：； (2)若 求直径． 14．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，四边形内接于，，垂足为，，过作． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的值． 15．（2024·辽宁大连·一模）如图，在⊙O中，四边形内接于，连接，，点E在延长线上，且． (1)探究与的位置关系，并证明； (2)连接，若，，求的长． 16．（2024·辽宁葫芦岛·一模）如图，为的弦，为的中点，为延长线上一点，与相切，切点为，连接并延长，交于点，交直线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 17．（2024·辽宁大连·一模）如图，是的外接圆，直径BD与AC交于点E，DF是的切线，交BC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 18．（2024·辽宁丹东·二模）如图，在中，点D是边上一点，且，以为直径的分别交，于点E，F，过点E作于点H． (1)求证：是切线． (2)若，，求． 19．（2024·辽宁·模拟预测）学习了《圆》之后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以解决一些求角度的问题． 【用数学的眼光观察】 （1）将下列解题过程补充完整． 例：如图①，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：如图①，以点A为圆心，的长为半径作． 因为，， 所以C，D两点都在上． 因为， 所以__________°． 【用数学的思维思考】 （2）如图②，在四边形中，，，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图③，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使，用直尺和圆规在直线l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 20．（2024·辽宁丹东·三模）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$