猜押04 上海高考17题（解答题）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

猜押04 上海高考17题（解答题） 考点 3年考题 考情分析 立体几何 2022年~2024年 近三年考查方向求体积、面积，线面、面面平行，线线、线面、面面所成的角 1．（2024·上海普陀·一模）图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. (1)求证：； (2)记棱的中点为，在直线上作出点，使得平面，请说明理由，并求出二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析，理由见解析，， 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面平行 【分析】（1）通过条件证明面，进而证明面，即可求解； （2）以为临边，构造矩形,通过中位线可说明点即为点，再通过二面角平面角的概念求得为二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）因为，， ， 所以，所以，即， 图2中，， 则,所以，又， 又为平面内两条相交直线， 所以面，又在面， 所以又， 为平面内两条相交直线， 所以面，又在面内， 所以. （2） 以为临边，构造矩形,连接，易知过点， 因为分别为的中点， 所以，又在平面内，在平面外，所以平面, 即点就是点， 由（1）知面，在面内， 所以，又， 是平面内两条相交直线， 所以面，在面内， 所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为, 所以， 所以二面角的大小为. 2．（2023·上海奉贤·二模）如图，在四棱锥中，，且． (1)证明：平面平面； (2)若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】证明面面垂直、求线面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明； （2）根据线面垂直的判定定理证明得底面，再根据四棱锥的体积公式求出，从而用线面角的定义求解. 【详解】（1）因为在四棱锥中，， 所以，， 又，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）取中点，连结， 因为，所以， 由（1）知平面，平面，所以， 因为， 底面， 所以底面，                                        设，求得，， 因为四棱锥的体积为， 所以 解得， 所以， 因为底面，     所以为与平面所成的角， 在中，， 所以． 所以与平面所成的线面角为． 3．（23-24高三上·上海·期中）如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点. (1)判断直线与直线的位置关系并证明； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【答案】(1)直线与直线异面且相互垂直，证明见解析； (2). 【知识点】线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）构建空间直角坐标系，应用向量法证明的位置关系即可； （2）应用向量法求线面角的大小. 【详解】（1）直线与直线的异面且相互垂直，证明如下： 由面，，面，面，即直线与直线的异面； 正直三棱柱中，，则面，且， 可构建如下图示空间直角坐标系，令， 则，即， 所以，即直线与直线相互垂直. 综上，直线与直线异面且相互垂直 （2）由（1）知：面的一个法向量，， 所以，则， 故直线与平面所成角余弦值为，又线面角的范围为， 所以直线与平面所成角大小为. 4．（23-24高三上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，点是棱的中点． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】点到平面距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）解：在长方体中，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，点是棱的中点， 则、、、、， ，， 所以，， 因此，异面直线与所成角为. （2）解：设平面的法向量为，，， 则，取，则， 又因为，所以，点到平面的距离为. 5．（23-24高三上·上海杨浦·期中）如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁. (1)证明: BE⊥平面EB₁C₁ (2)若AA₁=2，AB=1，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】线面垂直的判定，先证，再结合已知可得. （2）常规方法求棱锥的体积，先求，再由体积公式可得. 【详解】（1） 证明：由长方体的性质可知，平面 因为平面， 所以 ∴⊥平面 . （2）取棱的中点F，连接EF、 则 由（1）知，由题设可知，      ∵在长方体 中，平面 ∴点E到平面的距离 ∴四棱锥的体积 6．（23-24高三上·上海·期中）如图，正四棱柱中，． (1)求证：是锐角三角形； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积计算夹角即可； （2）利用空间向量计算线线夹角即可. 【详解】（1）由题意不妨设， 如图建立空间直角坐标系，则， 则， 所以，即是等腰三角形，且为顶点， 由，即该等腰三角形的顶角为锐角， 所以是锐角三角形； （2）由上可知， 故， 所以异面直线与所成的角的大小为 7．（24-25高三上·上海·开学考试）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． (1)求该圆锥的侧面积： (2)设为该圆锥的底面半径，且为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求异面直线所成的角、圆锥表面积的有关计算 【分析】（1）由勾股定理及圆锥的侧面积公式求解即可； （2）取中点，连接，得出直线与直线所成的角即为直线的夹角，再由余弦定理求解即可． 【详解】（1）由题意，圆锥的母线长， 所以圆锥的侧面积为． （2）取中点，连接，则，， 所以直线与直线所成的角即为直线的夹角， 因为平面，平面，所以， 在中，，同理可得， 在中，由余弦定理得，， 所以直线与直线所成的角的余弦值为． 8．（24-25高三上·上海松江·期中）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.    (1)求直线和平面所成角的大小； (2)求该几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由题意确定即为直线和平面所成角，解直角三角形即可得答案； （2）根据三棱锥以及圆锥的体积公式计算，即可得答案. 【详解】（1）连接CO，由题意知平面，平面，故；    则CO为PC在平面上的射影， 则即为直线和平面所成角， 由于，故， 故直线和平面所成角的大小为； （2）由题意知几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高， 三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形， 故，, 则该几何体的体积为. 9．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线和相交于点 (1)求证；平面，并求四棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】求二面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用正方形的性质得，结合正四棱锥的特征可由线线垂直得线面垂直；再根据锥体体积公式计算即可； （2）作出二面角的一个平面角，利用等积法及余弦定理计算解三角形即可. 【详解】（1）由题意可知底面，， 因为底面，则， 又平面， 所以平面， 因为该四棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则，底面正方形的面积为， 所以四棱锥的体积为； （2）如图所示，作，垂足为E，连接， 结合正四棱锥的特征，易知，即， 所以为二面角的一个平面角， 在等腰中，由等面积法可知：， 即，所以， 在中，由余弦定理， 所以， 即二面角的大小为. 10．（24-25高三上·上海黄浦·期末）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）连接，结合正方体的性质易得，，进而求证即可； （2）过作，交于，连接，易得是直线与平面所成的角，进而结合直角三角形中正切的定义求解即可. 【详解】（1）证明：连接，在正方体中，E是的中点， 所以E是的中点，且，即， 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面. （2）过作，交于，连接， 在正方体中，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以是直线与平面所成的角. 由题意，设，则， ，所以， 所以在，， 故直线与平面所成角的大小是. 11．（24-25高三上·上海金山·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面，Q是PB的中点，． (1)证明：平面； (2)求点D到平面PAC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求点面距离、证明线面平行 【分析】（1）取的中点，证明是平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）应用等体积法计算得出点到平面距离. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以，， 因为分别是中点，得出，， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面； （2），， 平面，平面，则，， ，， 设点D到平面PAC的距离为，由，得， 即，得. 所以点D到平面PAC的距离为. 12．（2023·上海·模拟预测）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【知识点】证明面面平行、求直线与平面的距离、求线面角 【分析】（1）根据直线与平面夹角的定义即可知即为直线与平面所成的角，然后利用线段长直接求解即可. （2）利用面面平行的判定定理直接证明即可；根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）    因为平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 又，，， 为中点，可得，， 所以， 即直线与平面所成的角的正切值为. （2）由题知，平面，平面， ，平面， 所以平面平面. 因为平面，平面， 所以， 又，平面，， 所以平面，又平面， 所以就是直线到平面的距离， 又为中点， 则， 即直线到平面的距离为. 13．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】求线面角、证明线面平行 【分析】（1）取线段、的中点分别为、，连接、、，然后四边形为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行； （2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可. 【详解】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面.   （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. 14．（23-24高二下·上海黄浦·期中）四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）由正方形的性质得到，又由线面垂直的性质得到，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）底面是正方形，， 平面，平面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面． （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以， 所以，即二面角的正弦值为. 15．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，平面，与平面所成角为，为中点，    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】已知线面角求其他量、线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）先由题设证明，，从而建立空间直角坐标系，计算即可得证. （2）求出平面的法向量，再由线面角的向量法公式即可计算得解. 【详解】（1）因为，， 所以，因为平面，与平面所成角为， 所以为与平面所成角，即， 则，又平面， 所以， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系，    则由题， 所以，， 所以， 所以，即. （2）设平面的法向量为， 则，所以，所以由（1）得， 取，则，又直线与平面所成角为， 所以 ，解得. 16．（22-23高二下·上海杨浦·期末）如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与，均不重合）.    (1)当点是棱的中点时，求证：直线平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、证明线面垂直、台体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由线面垂直的判定定理，通过证，，即可证得直线平面，其中法一用勾股定理证，；法二用向量法证，； （2）用点到面的距离的向量求法即可得答案； （3）法一由，列方程求解可得的长度； 法二由，列方程求解可得的长度. 【详解】（1）证法一：因为是棱的中点， 所以， ，， 由勾股定理，得，同理可得，， 又，、平面， 所以直线平面； 法二：如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系.得，    ， 由，，得，， 又，、平面， 所以直线平面. （2）如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 得，， 设点，则， 由，即，得， 得，设平面的法向量为， 由，得，， 可取，得， 从而得到平面的一个法向量是，因为， 所以点到平面的距离为.    （3）作平行于，交于点，连接，得截面， 连接，设线段的长为 由得，， 可得， 又由，可得， 由题意，整理的，解得， 所以线段的长度为. 另解：连接并延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接， 得截面，因为平面平行于三棱锥的底面， 得棱台， 设线段的长度为，线段长度为.则，得，    ， ， 由题意，， 所以，整理得， 由函数和图像可知，点是两个函数图像的一个交点， 即是方程的一个解， 因式分解，可得，得或或， 由，得，即. 17．（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，相交于点O. (1)证明：直线与平面平行； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）连接交于，连接，通过证明四边形为平行四边形，得到，再通过线面平行的判定可得结论； （2）通过计算体积. 【详解】（1）连接交于，连接， 由正四棱柱得且， 则四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 直线与平面平行； （2）连接A1O，C1O， 由已知面，面， 则，又，，面，面 面 18．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别为棱的中点，，平面平面.求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 【知识点】证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）通过线面平行的判定定理证得平面. （2）根据通过证明来证得平面. 【详解】（1）由于分别为棱的中点， 所以，由于四边形是矩形，所以， 所以，由于平面，平面， 所以平面； （2）由于，是的中点，所以. 由于平面平面且交线为， 平面，，所以平面， 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面. 19．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，为中点，为中点，为中点. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】反三角函数、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）应用空间向量法先求平面的法向量，再根据于，且平面，因此平面. （2）应用空间向量法计算线面角的正弦值，再根据反三角写出线面角即可. 【详解】（1） 以为原点，为正半轴方向建立空间直角坐标系， 则， 进而得. 于是，而平面的一个法向量. 由于，且平面，因此平面. （2）由（1）知， 设平面的一个法向量. 由， , 令,则， 所以平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为，则， 因此直线与平面所成角的大小为. 20．（23-24高三上·上海嘉定·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面. (1)求证：为的中点； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【知识点】线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）取的中点，可证明，得到即可. （2）建系，利用空间向量法直接求线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：取的中点， 因为为的中点，底面是边长为2的正方形， 所以，又因为，所以平面， 因为，平面 所以 因为， 所以， 因为为中点， 所以为的中点 （2） 因为，又， 所以，所以， 因为，， 故以A为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面的法向量为 则，另，得 设直线与平面所成的角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为 21．（23-24高三上·上海·期中）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，，H为BD的中点，，．    (1)求证：； (2)求异面直线BC与AD所成角的大小． (3)若，求三棱锥外接球的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】（1）由平面平面，由面面垂直的性质可证平面，由线面垂直的性质可得； （2）根据三棱锥的结构特征，可以把三棱锥补形为长方体，利用平移法求异面直线BC与AD所成角的大小； （3）三棱锥的外接球就是长方体的外接球，由体对角线得外接球直径，可求外接球体积 【详解】（1）平面平面，平面平面，    平面，，则平面， 平面，所以. （2）在三棱锥中，平面平面BCD，，， ，． 根据三棱锥的结构特征，可以把三棱锥补形为长方体，如图所示，    不妨设，则，，， 异面直线BC与AD所成角即直线BC与CE所成的角，为（或其补角）， 长方体中，平面，平面，， 中，， 所以异面直线BC与AD所成角的大小为． （3）由，则，， ， 长方体的外接球直径为2，即三棱锥外接球的直径为2，半径为1， 所以三棱锥外接球的体积. 22．（23-24高三上·上海虹口·期中）如图，三棱锥中，，，，E为的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求平面和平面所成的锐二面角． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】面面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、反三角函数 【分析】 （1）连接，由题设易得、，进而有，再根据线面垂直的判定和性质证结论； （2）由题设易知是平行四边形，并证，构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的大小. 【详解】（1）连接，由，E为的中点，故， 由，，易知， 所以，E为的中点，则， 又，面，故面， 由面，故. （2）由，即，故是平行四边形， 由（1）及题设易知，，则， 所以，故，又面， 可构建空间直角坐标系，则， 所以， 若为面的一个法向量，则，令，则； 若为面的一个法向量，则，令，则； 所以平面和平面所成角余弦值， 故平面和平面所成的锐二面角为. 23．（23-24高三上·上海松江·期末）如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得. （2）由（1）的信息确定二面角的平面角，利用锥体体积公式求出，再在直角三角形中求出解即可. 【详解】（1）由底面，平面，得， 由，得，而平面， 所以平面． （2）由（1）知，平面，而平面，则，又， 因此是二面角的平面角， 在中，， 显然，四边形为矩形，于是， 而四棱锥的体积，解得， 在中，，因此， 所以二面角的大小为. 24．（23-24高三上·上海黄浦·期中）如图，平面平面，四边形是正方形，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用向量法求得二面角的余弦值，再转化为正切值. 【详解】（1）由于，所以四边形是等腰梯形， ，所以到的距离是， 所以. 依题意，平面平面，四边形是正方形， 由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， 则，故可设. ， 由于，所以，所以平面. （2）平面的一个法向量为， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设二面角为，由图可知为锐角， 则，则， 所以. 25．（23-24高三上·上海虹口·期中）如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，正三角形PAD的边长为2． (1)求证：平面PAD； (2)若，，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）取的中点，连接，根据面面垂直可得平面，结合线面垂直的性质定理和判定定理分析证明； （2）建系，求平面PAD与平面PBC的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为正三角形，则， 且平面平面PAD，平面平面，平面PAD， 所以平面， 由平面，可得， 且，，平面， 所以平面PAD. （2）如图，以为坐标原点，为x轴，为z轴，过平行于的直线为y轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面的法向量， 可得， 所以平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为，大小为. 26．（23-24高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，已知，，． (1)求四棱锥的体积； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）过点作于点，首先证明为四棱锥的高，利用解三角形知识求出的长度，然后利用棱锥的体积公式即可求解. （2）取的中点，连接，则，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，从而得出为直线与平面所成的角，最后在中，由，即可求出. 【详解】（1）如图所示：    过点作于点， 已知直三棱柱，则平面， 又平面， 则， 又因为，且平面， 所以平面，则为四棱锥的高， 又，， 可得， 则， 所以， 且， 所以四棱锥的体积为：. （2）如图所示：    取的中点，连接，则， 又平面，平面，则， 而，且平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 在中，， 在中， ， 所以，得. 即直线与平面所成的角的大小为. 27．（24-25高三上·上海·期中）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上.    (1)求证: AF⊥BE; (2)若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）通过证明平面，得证线线垂直； （2）设是中点，证明是直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角． 【详解】（1）连接，则，又平面，而平面， ∴，又，平面， ∴平面，又∵平面， ∴. （2）设是中点，连接，因为点E是的中点，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面 是直线与平面所成的角. 设正方形的边长为，则，， ∴，∴， ∴与平面所成的角为．    28．（24-25高三上·上海·期中）在直四棱柱中，底面是菱形，且． (1)求证：直线； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求二面角 【分析】（1）根据底面是菱形可得出对角线垂直，结合直四棱柱的特点可得到，由线面垂直的判定定理以及性质定理可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，由空间向量法计算可求出结果. 【详解】（1）底面是菱形，， 又因为四棱柱为直四棱柱，所以底面， 底面，，平面， 所以平面，平面，.得证. （2）取BC中点，，且底面是菱形，则， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图： 则不妨设，，， ，，设平面的法向量为， 则，令，得， 又平面的法向量为， 所以二面角的平面角的余弦值为：， 所以二面角的大小为. 29．（24-25高三上·上海·期中）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【知识点】证明面面垂直、平行公理 【分析】（1）由中位线得到线线平行，同时垂直于同一平面的两直线平行，两条线同时垂直与同一直线得到线线平行； （2）由线面垂直得到线线垂直，正三角形三线合一得到线线垂直，得到线面垂直，由平行四边形得到线线平行，从而得到平面内一条线垂直于平面，然后得到面面垂直. 【详解】（1）∵点分别为中点， ∴， 由∵、都垂直于平面， ∴， ∴； （2）如图，连接CG， ∵平面，且平面， ∴ 在正中，点为中点， ∴，且，平面，平面， ∴平面， ∵点分别为中点， ∴，所以四边形是平行四边形， ∴， ∴平面， 又因为平面， ∴平面平面. 30．（24-25高三上·上海·期中）如图，正方体的棱长为4，点E、F分别为棱和的中点. (1)求异面直线EF与BC所成角的大小； (2)求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征； (3)若某正四棱锥的表面积与正方体的表面积相等，求该正四棱锥体积最大时侧棱与底面所成角的大小． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【知识点】求线面角、求异面直线所成的角、由平面的基本性质作截面图形、锥体体积的有关计算 【分析】（1）取中点，利用正方体特征及异面直线夹角的求法计算即可； （2）利用基本事实与推论作图即可，并求出相关交点位置； （3）设底面边长与高，利用四棱锥的表面积与体积公式，结合二次函数的性质，线面夹角计算即可. 【详解】（1）取中点，连接，易知， 所以异面直线EF与BC所成角即， 由正方体特征可知平面，平面， 则，所以， 所以异面直线EF与BC所成角为； （2）延长交于N点，连接交于H点， 并延长与延长线交于M点，连接交于G点， 则五边形为所求截面，易知， 则由等角定理知：，； （3）易知正方体的表面积为，设正四棱锥的底面正方形边长与高分别为， 则其表面积，化简得， 不妨设， 而体积为， 显然，即时体积取得最大值， 设侧棱与底面夹角，此时有. 31．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点，，，. (1)求证：. (2)求异面直线与所成角. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据题意有直棱柱的棱长均为2，由等边三角形性质、线面垂直性质有、，再由线面垂直的性质证结论； （2）证，转化为求与所成角，利用余弦定理、反三角函数求角的大小. 【详解】（1）由题意，易知直棱柱的棱长均为2，即为等边三角形，是中点， 所以，又面，面，则， 所以都在面内，故面，而， 所以面，面，可得. （2）由分别是，的中点，则，又， 所以为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角，即为与所成角， 由题意，有， 所以，在中. 所以与所成角为，故异面直线与所成角为. 32．（24-25高三上·上海·期中）如图所示五面体中，四边形为长方形，平面和是全等的等边三角形.    (1)求证：； (2)若已知，求该五面体的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】求组合体的体积、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可求证； （2）将组合体分为四棱锥和后即可求解； 【详解】（1）五面体中，因为平面，平面， 平面 平面，所以. （2）过点作，作，垂足分别为，过点作， 作，垂足分别为，连接，如图，    取中点，连接， 由对称性可得， 所以，因为，所以， 又平面，， 所以平面，又平面， 所以，又因为， 平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面； 因为， 所以由、和以及图形对称性可得在底面中， 所以在中，，可得， ∴四棱锥和的体积均为， 三棱柱的体积， 所以，该五面体的体积为. 33．（23-24高三上·上海闵行·期末）三棱柱中，，线段的中点为，且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由线面垂直判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系利用法向量方法求解面面角. 【详解】（1）三棱柱中，， 在中，， 线段的中点为，所以，所以； 又已知平面，平面， 所以平面； （2）    由（1）可知平面，平面， 所以， 在平面内作交于点，则， 则两两互相垂直， 以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以． 所以， 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，则，所以， 设平面的一个法向量， 则， 令，则，所以， 则． 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 34．（23-24高三上·上海宝山·期末）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形（如图甲所示），其中是以为圆心，的扇形，且弧分别与边相切于点.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）. (1)当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积； (2)当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题、柱体体积的有关计算 【分析】（1）结合图形可得柱体的底面积，再根据体积公式计算，即可求解； （2）设，则，其中，利用柱体的体积公式可得出包装盒的容积关于的函数表达式，利用导数可求得该包装盒的容积的最大值. 【详解】（1）在图甲中，连结交于点， 设， 在中，因为，所以， 则， 从而，即， 故所得柱体的底面积， 又所得柱体的高，所以， 所以当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米； （2）设，则， 则所得柱体的底面积. 又所得柱体的高， 所以，其中， 令，， 则由，解得，列表如下： x 增 极大值 减 所以当时，取得最大值，并且， 所以当分米时，折卷成的包装盒容积最大，最大值为立方分米. 35．（23-24高三上·上海普陀·期末）如图，斜三棱柱中，底面是边长为a的正三角形，侧面为菱形，且．    (1)求证：； (2)若，三棱柱的体积为24，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用棱柱的体积公式，空间向量的夹角公式进行求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 由题知为正三角形，而也是正三角形， ，又面，且， 面，又面， ； （2）， ， ，又， ，即， 又面，且，， 面，两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 三棱柱的体积为， ， ， ， 设平面的法向量为， 则，取得， 设直线与平面所成角为， 则.    36．（24-25高三上·上海浦东新·期末）如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． (1)若，求三棱锥的体积； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1)4； (2). 【知识点】求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积. （2）作出母线，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】（1）依题意，平面，由，得， 所以三棱锥的体积. （2）过点作圆柱的母线，连接， 则，于是四边形为平行四边形，， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 由，得，，， 则，， 由平面，得， 在中，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 37．（24-25高三上·上海·期末）在如图所示的圆锥中底面半径为2，P是顶点，O是底面的圆心，A、B是圆周上两点，且    (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，M是线段AB 上一点，且满足 求直线 PM 与平面POB 所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由圆锥侧面积公式求得母线长，可得圆锥的高，进而由圆锥的体积公式计算即可； （2）由条件得点是线段中点，取中点，则，又，所以平面，从而是直线与平面所成的角，计算即可. 【详解】（1）设圆锥底面半径为，母线长为，， 则侧面积，解得， 于是圆锥的高， 圆锥的体积． （2）中，，，则点是线段中点， 取中点，连接，，则， 又，则， 由直线平面，平面，得， 结合，且，平面， 所以平面， 因此直线是在平面内的射影， 从而是直线与平面所成的角， ∵，∴， 又，得， 所以. 即直线与平面所成的角为.    38．（24-25高三上·上海杨浦·期末）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，根据面面垂直，得到线面垂直，即可证明； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出，进而求出二面角的大小. 【详解】（1）因为，为的中点，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面； （2）由（1）知，平面，平面， 所以，，又，为的中点，所以， 故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 故， 由图可知，平面与平面所成二面角为锐角， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为， 故平面与平面所成二面角的大小为. 39．（2023·上海闵行·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求线面角、空间垂直的转化 【分析】（1）连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）取线段的中点，连接、，推导出平面，可知，与平面所成的角为，计算出、的长，即可求得的正切值. 【详解】（1）证明：连接，如图：    因为底面为正方形，为的中点，则为中点， 又因为为的中点，所以，为的中位线，所以，， 又平面，平面， 所以，平面. （2）解：取线段的中点，连接、，如下图所示：    因为，为的中点，则， 因为平面底面，平面平面，平面， 所以，平面，则与平面所成的角为， 因为，，则，所以，， 所以，， 因为四边形是边长为的正方形，则， 因为平面，平面，则， 因此，， 因此，直线与平面所成的角的正切值为. 40．（2023·上海长宁·一模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.    (1)求证：； (2)若，求异面直线与所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】求异面直线所成的角、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得. （2）分别取的中点，利用几何法求出异面直线与所成的角. 【详解】（1）在三棱锥中，由为的中点，得， 而平面平面，平面平面，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）分别取的中点，连接，于是， 则是异面直线与所成的角或其补角，    由（1）知，，又，， 则，于是， 令，则，又， 则有， ，又平面，平面， 则，，， 由分别为的中点，得， 显然，即有，，则， 所以异面直线与所成的角的大小. 41．（2023·上海杨浦·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形.    (1)求证：平面平面； (2)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、求点面距离、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）先证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为底面是正方形，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）因为四棱锥的体积为， 所以，解得， 又平面，所以， 所以，, 所以正三角形面积为， 设点到平面的距离为， 则由可得：， 即，解得. 即点到平面的距离为. 42．（2023·上海青浦·一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面． (1)求证：平面； (2)若直线与所成的角大小为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、证明线面垂直 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证； （2）由异面直线所成角结合（1）可求得，在中，可求得长. 【详解】（1） 平面，平面， ， 又底面为正方形，则 且，平面， 平面． （2）平面， ，为锐角， 又 ， 为直线与所成的角， ，在中，， ， 在中，，，于是． 43．（2023·上海宝山·一模）如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）结合题意先通过线线垂直得到面,进而得到； （2）利用等体积法，转化为求的体积即可; （3）利用上问求出点到面的距离为，借助线面角的定义即可求出线面角. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中中，因为分别是的中点,所以, 由直三棱柱中面, 所以面，因为在面内，所以, 因为在中，，且是的中点,所以, 因为,且在面内， 所以面,因为在面内,所以. （2）等腰中，，从而， 所以， 由面，且 所以，               又因为， 所以三棱锥的体积为. （3）由（2）， 令点到面的距离为， 则有， 中，，, 从而.       所以，                                               设直线与平面所成角为，则, 所以直线与平面所成角的大小为. 44．（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）设是的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明，再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接、， 由于是的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于上，平面， 所以平面. （2）设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 由于，所以， 由于平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. 45．（2023·上海嘉定·一模）四棱柱中，平面，为梯形，，. (1)求证：平面 (2)为平面上一动点，是否存在使得与平面的夹角为，若存在，求出到平面的最小值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【知识点】证明线面垂直、由线面角的大小求长度 【分析】（1）利用线面垂直判定定理，证明与平面内直线，分别垂直； （2）建立空间直角坐标系，设坐标，根据线面夹角确定，求点坐标，求到平面距离即为. 【详解】（1） 取的中点，连接，，因为为梯形，所以, 又，所以且，所以四边形为菱形， 所以；在中，,所以,即斜边中线等于斜边一半， 所以为直角三角形，所以； 又因为平面，平面，所以； ，，平面，平面,, 所以平面. （2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， ，，，因为为平面上一动点， 设； 设平面的法向量为，，， ，，令，有， ； 设与平面的夹角为，若与平面的夹角为， 则，又，所以，所以因为平面， 所以，，，，，所以 所以存在使得与平面的夹角为； ,因为平面， 所以到平面距离为. 46．（2023·上海奉贤·一模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体中，平面，． (1)若，求证：四面体是鳖臑，并求该四面体的体积； (2)若四面体是鳖臑，当时，求二面角的平面角的大小． 【答案】(1)证明见解析， (2)或 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）借助线面垂直证明面面垂直，结合题目所给长度，运用勾股定理证明四面全为直角三角形即可，体积借助体积公式计算即可得； （2）根据题意，会出现两种情况，即或，分类讨论计算即可得. 【详解】（1）平面，、平面， 、， 、为直角三角形， 在直角中，， 在直角中，， 在中，有， ，故为直角三角形， 在中，有， 故，故为直角三角形， 故四面体四个面都是直角三角形，即四面体是鳖臑， ； （2）平面，平面， ， 由， 故不可能是直角， 若，则有， 又，、平面，， 故平面，又平面， 故， 是二面角的平面角， ，，，， 所以二面角的平面角的大小为． 若， 同理可得是二面角的平面角， 所以， 所以二面角的平面角的大小为， 综上所述，二面角的平面角的大小为或. 47．（23-24高二上·上海·期末）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，． (1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、求线面角 【分析】（1）由圆锥侧面积公式求得母线长，可得圆锥的高，进而由圆锥的体积公式计算即可； （2）由条件得点是线段中点，取中点，则，又，所以平面，从而是直线与平面所成的角，计算即可. 【详解】（1）设圆锥底面半径为，母线长为，， 则侧面积，解得， 于是圆锥的高， 圆锥的体积． （2）中，，，则点是线段中点， 取中点，连接，， 则，又，则， 由直线平面，平面，得， 结合，且，平面， 所以平面， 因此直线是在平面内的射影， 从而是直线与平面所成的角， ∵，∴， 又，得， 即直线与平面所成的角的正切值为 48．（2024高三下·上海·专题练习）如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足． (1)求证：； (2)若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】反三角函数、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，结合，证得平面，进而证得； （2）过点作，证得平面，得到是与平面所成的角，设圆柱的底面半径为，求得，进而求得的值． 【详解】（1）证明：根据圆柱性质，平面， 因为平面，所以， 又因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且，且平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2）解：过点作，是垂足，连接， 根据圆柱性质，平面平面，且平面平面, 且平面，所以平面， 因为平面，所以是在平面上的射影， 从而是与平面所成的角， 设圆柱的底面半径为，则， 所以圆柱的体积为，且， 由，可得，可知是圆柱底面的圆心，且， 且， 在直角中，可得，所以． 49．（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线得到，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用几何关系求出再找到异面直线所成的角，最后求出正弦值即可求出角的大小. 【详解】（1） 证明：连接交于点，连接， 为的中位线，故， 平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，， 所以，为直角三角形，而是的中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 即， 所以，， 在中， 直线与所成的角即为， ， 所以直线与的所成角的大小为. 50．（2024·上海闵行·二模）如图，已知为等腰梯形， ，，平面，. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）连接，利用等腰梯形的性质证得，再利用线面垂直的性质判定推理即得. （2）取的中点，作出二面角的平面角，在中求解即得. 【详解】（1）连接，在等腰梯形中，，，， 则，于是，即， 由平面，平面，得， 而平面，因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，由，得， 在中，， 由平面，平面，得， 则，于是， 因此为二面角的平面角， 因为，平面， 则平面，又平面，则， 在中，，，则， 所以二面角的大小为. 51．（2024·上海静安·二模）如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面． (1)求四面体的体积； (2)试判断与证明以下两个问题： ① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ ② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ 【答案】(1)2； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）过点作，垂足为．可知为三棱锥的高，利用等面积法求得，再由棱锥体积公式求解； （2）①过点作，垂足为，由直线与平面垂直的判定与性质证明； ②利用反证法证明在平面上不存在经过点的直线，使得． 【详解】（1）过点作，垂足为． 平面平面，两平面交线为， 平面， 平面， 由以及可得． ； （2）①在平面上存在经过点的直线，使得． 证明：过点作，垂足为． 平面，平面， ， 又，平面， 平面， 平面，故可得， 即存在； ②在平面上不存在经过点的直线，使得， 证明：假设存在， 不在平面内，在平面内，则平面， 与平面矛盾． 不存在． 52．（2024·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. (1)设平面与直线相交于点，求证：； (2)若，，，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角、线面平行的性质 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出平面，然后根据平面平面，利用线面平行的性质定理证出； （2）连接，取中点，连接、，根据线面垂直的判定定理，证出平面，可得是直线与平面的所成角，然后在中利用锐角三角函数的定义算出答案． 【详解】（1）证明：平面与直线相交于点，平面平面， 四边形是菱形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ； （2）连接，取中点，连接、， 菱形中，，，是等边三角形， 是中点，， 平面，平面，， 、平面，，平面． 是直线与平面的所成角， 是中点，，． 平面，平面，， 为中点，，中，， 等边中，高， 中，， 可得，即直线与平面的所成角等于． 53．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．    (1)求证：； (2)若，，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由题意易得，结合，可证平面，进而可证结论； （2）法一：取的中点，连接，，，取中点，连接，，，可得为所求二面角的平面角，进而求解可得二面角E−AG−C的大小． 法二：以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得二面角E−AG−C的大小． 【详解】（1）因为，所以是直线与所成角，为， 所以，得，                        又因为，且，平面，平面， 所以平面， 由平面，得． （2）解法一：取的中点，连接，，． 因为， 所以四边形为菱形， 所以． 取中点，连接，，．    则，， 所以为所求二面角的平面角． 又，所以． 在中，由于， 由余弦定理得， 所以，因此为等边三角形， 因此二面角E−AG−C的大小为． 解法二：以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得，，，，    故，，， 设是平面的一个法向量． 由，可得， 取，可得平面的一个法向量． 设是平面的一个法向量． 由，可得， 取，可得平面的一个法向量． 所以． 因此二面角E−AG−C的大小为． 54．（2024·上海杨浦·二模）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.    (1)求证：平面平面； (2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明面面垂直、求点面距离、证明线面垂直 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）连接，作于，证明平面，再计算即得. 【详解】（1）连接，交于点，由为等边三角形，得是的中心，则， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面.    （2）连接，作于，由（1）知平面，平面，则， 而平面，则平面， 显然，，则， 而，于是≌，因此， 所以点到平面的距离为. 55．（2024·上海奉贤·二模）如图是由两个三角形组成的图形，其中，，，．将三角形沿折起，使得平面平面，如图．设是的中点，是的中点．     (1)求直线与平面所成角的大小； (2)连接，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)l∥PC，理由见解析． 【知识点】线面平行的性质、面面垂直证线面垂直、求线面角、证明线面平行 【分析】（1）过作于，连接，可证平面，则为直线与平面所成角，解三角形即可求解； （2）根据线面平行的性质定理即可判断． 【详解】（1）过作于，连接， ∵平面平面，且平面平面，，平面， ∴平面，∴为直线与平面所成角． ∵，不妨设， 在中，由正弦定理得． 易知， ， ∴在中，，， ， ∴直线与平面所成角的大小为． （2）∵是的中点，是的中点，∴DO∥PC； 又∵平面，，∴DO∥平面PBC； 又∵平面平面，∴∥， ∴∥． 56．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在正四棱锥中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面与棱PC的交点为G. (1)求平面与平面所成锐二面角的大小； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二面角、平面的基本性质的有关计算 【分析】（1）连接AC，BD，相交于点O，连接EF，与OP相交于点Q，依题意可得，从而得到平面，设平面与平面相交于直线l，根据线面平行的性质得到，连接QA，即可得到，又，则即为平面与平面所成锐二面角，再根据锐角三角函数的定义计算可得； （2）延长AQ，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G，过点G作交AC于点M，依题意可得底面ABCD，设，则，根据，即可求出，最后根据计算可得. 【详解】（1）连接AC，BD，相交于点O，因为四边形ABCD是正方形， 所以O是正方形的中心，连接PO，因为四棱锥是正四棱锥，则底面ABCD， 连接EF，与OP相交于点Q，因为E、F分别为PB、PD的中点， 则Q为OP，EF的中点，EF是三角形PBD的中位线，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，平面， 设平面AEGF与平面ABCD相交于直线l，故，连接QA， 则因为，所以，又因为， 因为，所以，， 故即为平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角，其中，，所以， 即平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的大小为； （2）延长AQ，因为平面平面，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G， 过点G作交AC于点M，因为底面ABCD，所以底面ABCD， 设，则，由（1）知， 所以，即，解得，故，所以， 所以. 57．（2023·上海·模拟预测）在直四棱柱中，，，，， (1)求证：平面； (2)若四棱柱体积为36，求二面角大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求二面角、证明面面平行、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用直四棱柱的性质及线面平行的判定定理，可证平面平面，再由面面平行的性质定理，即可得证； （2）先根据棱柱的体积公式求得，再利用二面角的定义，求解即可． 【详解】（1）由题意知，， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面， 又，、平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． （2）由题意知，底面为直角梯形， 所以梯形的面积， 因为四棱柱的体积为36， 所以， 过作于，连接， 因为平面，且平面， 所以， 又，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在△中，， 所以， 所以，即， 故二面角的大小为． 58．（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体中，设棱，其余5条棱长都为2. (1)当时，求直线与平面所成角的大小； (2)当四面体的表面积最大时，求的值及其体积. 【答案】(1) (2)， 【知识点】求线面角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）过作平面，垂足为，为直线与平面所成的角，在中求解即可； （2）当四面体表面积最大时，和都是直角，此时，故四面体的体积. 【详解】（1）当时，为正四面体. 过作平面，垂足为，则点为正的中心， 进而为直线与平面所成的角. 在中，，， 从而，故. 因此直线与平面所成角的大小为. （2）当四面体表面积最大时，和都是直角，此时. 取的中点，连接、，故，， 平面，从而平面. 由题意，， 进而可得的面积为. 故四面体的体积. 59．（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形为长方形，平面，，． (1)若分别是的中点，求证：∥平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】已知线面角求其他量、空间位置关系的向量证明、求线面角、证明线面平行 【分析】（1）法一：几何法：取中点，连接、，通过，即可求证；法二：向量法：求得平面法向量取平面的法向量 由，即可求证； （2）法一：几何法：作，垂足为，连接，确定直线与平面所成的角为，进而可求解；法二：向量法：由线面夹角公式求解即可. 【详解】（1） 法一：取中点，连接、， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵平面，在平面外， ∴平面 法二：如图建立空间直角坐标， 则，，， ，，， ∴， 易知平面的一个法向量 ∵， 且在平面外 ∴平面 （2） 法一：作，垂足为，连接， ∵平面，在平面内， ∴，又为平面内两条相交直线， ∴平面， ∴直线与平面所成的角为， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为， . 法二：设，则， ∴， 易知平面的一个法向量， 设与的夹角为， 则， 解得：， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为，. 60．（2025·上海嘉定·二模）如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)为一个鳖臑，体积为，表面积为. 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质 【分析】 （1）根据已知有，线面垂直的性质得，再应用线面垂直的判定、线面平行的性质得面，再由线面垂直性质证结论； （2）根据已知得到，，，结合题设定义及棱锥体积公式求得. 【详解】（1）由题设，则， 由PA⊥平面，平面，则， 而都在面内，则面， 由AD平面PBC，面，面面， 所以，则面，面，故. （2）由PA⊥平面，平面，则， 由（1）知，且面，面，则， 所以都是直角三角形，且， 根据题设定义，为一个鳖臑，体积， 表面积. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押04 上海高考17题（解答题） 考点 3年考题 考情分析 立体几何 2022年~2024年 近三年考查方向求体积、面积，线面、面面平行，线线、线面、面面所成的角 1．（2024·上海普陀·一模）图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. (1)求证：； (2)记棱的中点为，在直线上作出点，使得平面，请说明理由，并求出二面角的大小. 2．（2023·上海奉贤·二模）如图，在四棱锥中，，且． (1)证明：平面平面； (2)若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 3．（23-24高三上·上海·期中）如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点. (1)判断直线与直线的位置关系并证明； (2)求直线与平面所成的角的大小. 4．（23-24高三上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，点是棱的中点． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 5．（23-24高三上·上海杨浦·期中）如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁. (1)证明: BE⊥平面EB₁C₁ (2)若AA₁=2，AB=1，求四棱锥的体积. 6．（23-24高三上·上海·期中）如图，正四棱柱中，． (1)求证：是锐角三角形； (2)求异面直线与所成的角的大小． 7．（24-25高三上·上海·开学考试）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2． (1)求该圆锥的侧面积： (2)设为该圆锥的底面半径，且为线段的中点，求直线与直线所成的角的余弦值． 8．（24-25高三上·上海松江·期中）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.    (1)求直线和平面所成角的大小； (2)求该几何体的体积. 9．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线和相交于点 (1)求证；平面，并求四棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 10．（24-25高三上·上海黄浦·期末）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 11．（24-25高三上·上海金山·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，平面，Q是PB的中点，． (1)证明：平面； (2)求点D到平面PAC的距离． 12．（2023·上海·模拟预测）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 13．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 14．（23-24高二下·上海黄浦·期中）四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 15．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，平面，与平面所成角为，为中点，    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，求的值. 16．（22-23高二下·上海杨浦·期末）如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与，均不重合）.    (1)当点是棱的中点时，求证：直线平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度. 17．（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，相交于点O. (1)证明：直线与平面平行； (2)求三棱锥的体积. 18．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别为棱的中点，，平面平面.求证：    (1)平面； (2)平面． 19．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，为中点，为中点，为中点. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的大小. 20．（23-24高三上·上海嘉定·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面. (1)求证：为的中点； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 21．（23-24高三上·上海·期中）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，，H为BD的中点，，．    (1)求证：； (2)求异面直线BC与AD所成角的大小． (3)若，求三棱锥外接球的体积． 22．（23-24高三上·上海虹口·期中）如图，三棱锥中，，，，E为的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求平面和平面所成的锐二面角． 23．（23-24高三上·上海松江·期末）如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小． 24．（23-24高三上·上海黄浦·期中）如图，平面平面，四边形是正方形，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值． 25．（23-24高三上·上海虹口·期中）如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，正三角形PAD的边长为2． (1)求证：平面PAD； (2)若，，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小. 26．（23-24高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，已知，，． (1)求四棱锥的体积； (2)求直线与平面所成的角的大小． 27．（24-25高三上·上海·期中）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上.    (1)求证: AF⊥BE; (2)若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 28．（24-25高三上·上海·期中）在直四棱柱中，底面是菱形，且． (1)求证：直线； (2)求二面角的大小． 29．（24-25高三上·上海·期中）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面. 30．（24-25高三上·上海·期中）如图，正方体的棱长为4，点E、F分别为棱和的中点. (1)求异面直线EF与BC所成角的大小； (2)求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征； (3)若某正四棱锥的表面积与正方体的表面积相等，求该正四棱锥体积最大时侧棱与底面所成角的大小． 31．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点，，，. (1)求证：. (2)求异面直线与所成角. 32．（24-25高三上·上海·期中）如图所示五面体中，四边形为长方形，平面和是全等的等边三角形.    (1)求证：； (2)若已知，求该五面体的体积. 33．（23-24高三上·上海闵行·期末）三棱柱中，，线段的中点为，且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 34．（23-24高三上·上海宝山·期末）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形（如图甲所示），其中是以为圆心，的扇形，且弧分别与边相切于点.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）. (1)当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积； (2)当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ 35．（23-24高三上·上海普陀·期末）如图，斜三棱柱中，底面是边长为a的正三角形，侧面为菱形，且．    (1)求证：； (2)若，三棱柱的体积为24，求直线与平面所成角的大小． 36．（24-25高三上·上海浦东新·期末）如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． (1)若，求三棱锥的体积； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值． 37．（24-25高三上·上海·期末）在如图所示的圆锥中底面半径为2，P是顶点，O是底面的圆心，A、B是圆周上两点，且    (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，M是线段AB 上一点，且满足 求直线 PM 与平面POB 所成角的大小. 38．（24-25高三上·上海杨浦·期末）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的大小． 39．（2023·上海闵行·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正切值． 40．（2023·上海长宁·一模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.    (1)求证：； (2)若，求异面直线与所成的角的大小. 41．（2023·上海杨浦·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形.    (1)求证：平面平面； (2)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 42．（2023·上海青浦·一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面． (1)求证：平面； (2)若直线与所成的角大小为，求的长． 43．（2023·上海宝山·一模）如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 44．（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离． 45．（2023·上海嘉定·一模）四棱柱中，平面，为梯形，，. (1)求证：平面 (2)为平面上一动点，是否存在使得与平面的夹角为，若存在，求出到平面的最小值，若不存在，说明理由. 46．（2023·上海奉贤·一模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体中，平面，． (1)若，求证：四面体是鳖臑，并求该四面体的体积； (2)若四面体是鳖臑，当时，求二面角的平面角的大小． 47．（23-24高二上·上海·期末）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，． (1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值． 48．（2024高三下·上海·专题练习）如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足． (1)求证：； (2)若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小． 49．（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 50．（2024·上海闵行·二模）如图，已知为等腰梯形， ，，平面，. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 51．（2024·上海静安·二模）如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面． (1)求四面体的体积； (2)试判断与证明以下两个问题： ① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ ② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ 52．（2024·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. (1)设平面与直线相交于点，求证：； (2)若，，，求直线与平面所成角的大小. 53．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．    (1)求证：； (2)若，，求二面角的大小． 54．（2024·上海杨浦·二模）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.    (1)求证：平面平面； (2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 55．（2024·上海奉贤·二模）如图是由两个三角形组成的图形，其中，，，．将三角形沿折起，使得平面平面，如图．设是的中点，是的中点．     (1)求直线与平面所成角的大小； (2)连接，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 56．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在正四棱锥中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面与棱PC的交点为G. (1)求平面与平面所成锐二面角的大小； (2)若，求的值. 57．（2023·上海·模拟预测）在直四棱柱中，，，，， (1)求证：平面； (2)若四棱柱体积为36，求二面角大小. 58．（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体中，设棱，其余5条棱长都为2. (1)当时，求直线与平面所成角的大小； (2)当四面体的表面积最大时，求的值及其体积. 59．（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形为长方形，平面，，． (1)若分别是的中点，求证：∥平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 60．（2025·上海嘉定·二模）如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$