解三角形之周长、面积、以边长为背景的最值问题专项训练——2025届高三数学三轮冲刺

解三角形：周长问题、面积问题、以边长为背景的最值问题专项训练 解三角形：周长问题、面积问题、以边长为背景的最值问题专项训练 考点一 周长问题 1．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，为锐角． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即， 由余弦定理得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为为锐角，所以. （2）由（1）知，，又， 由正弦定理得， 由余弦定理， 则，即， 解得或（舍去）， 所以的周长为. 2．（24-25高三下·河北·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，且. (1)求的大小； (2)若边上的中线，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得：， 由正弦定理可得：， 又， 则， 又，， ，， ； （2）由（1）得，则是以为顶角的等腰三角形， 设，则， 在中，由余弦定理可得：， 解得， 即， 由正弦定理可得， 即， . 3．（24-25高一下·广西·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)6. 【详解】（1）在中，由，得， 整理得，而，解得，而， 所以. （2）依题意，，而，解得， 由余弦定理得，即，则， 于是，解得，所以的周长为. 4．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，. (1)求角B的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为，则，即， 又，即，所以， 则， ，. （2）因为的角平分线与边相交于点， 所以，即， 所以，所以， 又由余弦定理，即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 5．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角的大小； (2)若的外接圆面积为，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以； （2）设的外接圆的半径为， 则，所以， 因为， 所以， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为. 6．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以． （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，， 故周长范围为． 7．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ， ，则，，又，； （2）在中，由正弦定理， ， ， 又为锐角三角形，， ，， ，，， 故周长的取值范围为． 8．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c． (1)求角A： (2)若  求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理有，即， 所以， 因为，所以． （2）因为，所以由正弦定理得， 所以的周长 ， 因为，所以， 所以周长的取值范围是． 考点二 面积问题 1．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【详解】（1）若选择①．由，得， 所以，所以，解得或． 又因为，故． 若选择②． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以， 即，整理可得，解得． 又因为，故． 若选择③：． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以，即． 可得， 又因为，所以，所以，故． （2）由（1）可知，且，由正弦定理及， 可得． 又因为在锐角三角形中，，所以， 故，所以． 所以面积，所以， 所以面积的取值范围是． 2．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 【答案】(1)2 (2)2 【详解】（1）因为，且， 可得， 即，所以. （2）因为， 又因为，即， 整理可得，解得或， 又因为，则，， 由余弦定理可得：，即， 整理可得， 又因为，即， 当且仅当时，等号成立， 且此时为为锐角三角形，符合题意， 所以的面积的最大值为. 3．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则， 整理可得， 利用正弦定理可得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. （2）由正弦定理， 可得， 由题意可知：，解得， 则，可得，即， 又因为面积， 所以面积的取值范围为. 4．（24-25高一上·河北保定·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可知， 因为， 整理得， 因为，所以，所以，即， 又因为，所以． （2）如图，设，，由正弦定理有，得， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可知，， 即，解得或． 若，， 则的面积为：，即； 若，则， 则， 因为， 所以， 综上可得的面积的取值范围为. 5．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，且. 、为线段上的两个动点（在的右侧），且. (1)若时，求的周长； (2)若的面积是的面积的倍，求的大小； (3)当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当，的面积取最小值 【详解】（1）由，，， 得， 又，则，，所以， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴，∴的周长为. （2）设， 因为的面积是的面积的倍， 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即. （3）设，由（2）知， 又在中，由，得， 所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 6．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，且是边长为的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以. （2）由，则，则， 在中，由正弦定理有， 得， （3）由三角形的面积公式得 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 7．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，即， 所以，而，故， 又，则，故. （2）由（1）易知为等边三角形，令，建立如下图的直角坐标系， 则，，，故， 所以 ，当时取最大值为. 8．（24-25高一上·河南开封·期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知． (1)求证：的周长为定值，并求出该定值； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析，2； (2). 【详解】（1）法一：设，，，，则，， 因为，所以，变形得①， 的周长为②， 将①变形得代入②， 所以， 又，所以， 所以的周长为定值2； 法二：延长至点，使，连接， 易得，则，，， 所以，则， 的周长为. （2）法一： ， 由①得，当且仅当时取等号③， 将③变形得，， 所以或（舍去）， 所以， 所以面积的最小值为， 法二：设，，则，， 由第一问知，， 所以， 因为，所以，展开得， 由基本不等式变形可得，解得， 所以，所以面积的最小值为. 考点三 以边长为背景的最值问题 1．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，则， 由正弦定理得， ，所以，， 因为、，则， 所以，，即． （2）在锐角中，由，可得， 则， 又，则， 所以，的取值范围为， 又，设，设，其中， ， 由可得，由可得， 所以，在上递减，在上递增， 所以，， 又因为，，故的取值范围为， 即的取值范围为. 2．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）已知函数，在上的最大值为3． (1)求的值及函数的周期与单调递增区间； (2)若锐角中，角所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围． 【答案】(1)，周期为， (2) 【详解】（1） . 所以当时，取到最大值3， 即，，所以， 其周期为． 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由（1）知，由， 可得，即， 因为，所以， 所以，即. 因为， 所以， 由正弦定理可知 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 3．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），所以. （2）由（1）知，所以为锐角， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即. （3）因为是锐角三角形，所以，解得， 所以， 由正弦定理得 . 令，则在上单调递增， 而，所以， 所以. 4．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，满足. (1)求角的大小； (2)若是锐角三角形，，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由正弦定理可得，， 由余弦定理可得， 所以，，因为，所以. （2）由正弦定理得，则， ，则， ，则， 由余弦定理知，， ， ，当时取得最小值为， 的最小值为. 5．（23-24高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 6．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)设的中点为，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可得， 即， 则． 因为，所以， 即， 故，又，解得； （2） 设，则，， 根据正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 故的取值范围为． 7．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. (1)求角； (2)若，D为中点，，求b； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形内角和定理和两角和的三角函数即可求解； （2）由已知可得，两边完全平方即可求解； （3）由正弦定理可得，，借助三角恒等变换及三角函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理，得， 所以， 所以， 即， 因为，所以， 又，所以； （2）因为D为中点，所以， 所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故； （3）由正弦定理：， 所以，， 因为，所以，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以， 所以，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 8．（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1），， 两边同时乘以得，， 由正弦定理得，； 在中，，， ，， 又，，， 或， 若，且，则，，不合题意，舍去. . （2）由(1)可知，又，， ，， 又由已知可得，，， ， ， ，， ，， 的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：周长问题、面积问题、以边长为背景的最值问题专项训练 解三角形：周长问题、面积问题、以边长为背景的最值问题专项训练 考点一 周长问题 1．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，为锐角． (1)求； (2)若，求的周长． 2．（24-25高三下·河北·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，且. (1)求的大小； (2)若边上的中线，求的周长. 3．（24-25高一下·广西·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 4．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，. (1)求角B的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，，求的周长. 5．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角的大小； (2)若的外接圆面积为，求周长的取值范围. 6．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 7．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 8．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c． (1)求角A： (2)若  求周长的取值范围． 考点二 面积问题 1．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 2．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 3．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 4．（24-25高一上·河北保定·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 5．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，且. 、为线段上的两个动点（在的右侧），且. (1)若时，求的周长； (2)若的面积是的面积的倍，求的大小； (3)当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 6．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 7．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 8．（24-25高一上·河南开封·期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知． (1)求证：的周长为定值，并求出该定值； (2)求面积的最小值． 考点三 以边长为背景的最值问题 1．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 2．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）已知函数，在上的最大值为3． (1)求的值及函数的周期与单调递增区间； (2)若锐角中，角所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围． 3．（24-25高一下·云南楚雄·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 4．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，满足. (1)求角的大小； (2)若是锐角三角形，，求的最小值. 5．（23-24高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 6．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)设的中点为，且，求的取值范围． 7．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. (1)求角； (2)若，D为中点，，求b； (3)若，求的取值范围. 8．（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$