精品解析：重庆市第一中学2025年九年级第二次模拟考试数学试题(2)

重庆一中初2025届初三下期阶段性消化作业（二） 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个选项中为分数的是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图所示是某一正方体的展开图，正方体每一个面上有一个汉字，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是（ ） A. 山 B. 城 C. 重 D. 庆 3. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，若，则 的长度为（ ） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 4. 当时，反比例函数的图象可能经过点（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 平分弦的直径垂直该弦 B. 四条边相等且对角线相等的四边形是正方形 C. 三角形外角和为 D. 两点之间直线最短 7. 下图是用形状大小完全相同的三角形按照一定规律拼成的图案，第种图案有个三角形，第种图案有 个三角形，第种图案有个三角形，，按照这一规律，第种图案三角形的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以 长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 在等腰中，，点D在上，点E在 上且，连接，将 沿翻折到的内部，得到，连接．则（　　） A. B. C. D. 10. 若 ，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，， ，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 一个正多边形一共有5条对角线，则这个正多边形的中心角为______度． 13. 在一个不透明的袋子里装有个分别标有数字，，的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之积是奇数的概率为______． 14. 若关于 的不等式组有且仅有1个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为______． 15. 如图，在平行四边形中，为锐角，，点E、F分别是 、上的点，连接 、交于点M，以 为直径的圆O交 于点G，且，，则______；若，______． 16. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字与百位数字差的2倍等于它的十位数字与个位数字的差，则称M为“倍差数”．对于一个“倍差数”，它的千位和十位数字构成的两位数减去百位与个位数字构成的两位数所得的差记为s，将它的百位和十位数字构成的两位数减去千位与个位数字构成的两位数所得的差记为t，规定：．例如：，因为，所以8651是“倍差数”，，，则．已知四位自然数是“倍差数”，则______；若四位自然数P、Q均为“倍差数”，其中，，，，，，m，n，x，y均为整数，当时，则的值为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 计算： （1）． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 为了了解学生的视力健康情况，某校从七、八年级各随机抽取了20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行了整理和分析，得到下列信息：（视力情况共分为4组：A．视力，视力正常；B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良） 抽取的20名七年级学生的视力情况数据为：4.9，4.9，4.7，4.8，4.7，4.8，5.0，5.1，5.1，5.2，4.9，4.9，4.9，4.9，4.8，4.5，4.5，4.8，5.0，4.6； 抽取的八年级学生的视力情况在C组的数据为：4.8，4.8，4.8，4.7，4.8，4.8，4.7，4.8； 抽取的七、八年级学生的视力情况数据统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 4.85 4.9 a 八年级 4.85 b 4.8 （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级学生的视力情况谁更健康？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级共有学生400人，八年级共有学生500人，请估计两个年级学生中视力正常的人数共有多少人？ 19. 在学习了特殊平行四边形的相关知识后，小墨同学发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形的一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据她的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，是对角线 的中点．用尺规过点作 的垂线，分别交、 于点、 ，连接 、 ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴①______ ∵为 的中点 ∴②______ ∴在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵④______ ∴四边形是菱形． 小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是⑤______． 20. 重庆沙坪坝“全球校友”半程马拉松活动将于2025年4月20日在沙坪坝开展，重庆一中校友会计划为参与马拉松活动的一中校友采购活动周边纪念品．经初步调研发现，购买3件运动 恤和2个运动手环花费165元，且1件运动 恤比1个运动手环贵30元． （1）每件运动 恤和每个运动手环的售价分别是多少元？ （2）截止2025年3月17日马拉松活动报名结束，重庆一中校友会计划采购运动 恤和运动手环共200件，且购买的总费用不超过5000元，则最多可购买运动 恤多少件？ 21. 如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． （1）请直接写出关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，直接写出时 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 22. 人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） （1）求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； （2）甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点P是直线 下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交 于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． （3）将该抛物线沿射线 方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． 24. 已知在 中，，点E在线段上，点F在线段 上，且E、F均不在线段端点处，连接 ，点D在线段 的延长线上，连接交于点N． （1）如图1，若点N恰为中点，，，求的度数． （2）如图2，在内有一点Q，连接，，，若，且，．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，延长至G，使，连接 ，若 ，在内有一点P，连接，，．当最小时，在线段上截取使得，将点H绕点D旋转，连接 ，点M为线段 的中点，将点M绕点B顺时针旋转得到点，连接，当最大时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2025届初三下期阶段性消化作业（二） 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个选项中为分数的是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分数的定义，理解分数的定义是解题关键． 【详解】解：根据题意得，选项中只有是分数， 故选：C． 2. 如图所示是某一正方体的展开图，正方体每一个面上有一个汉字，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是（ ） A. 山 B. 城 C. 重 D. 庆 【答案】B 【解析】 【分析】考察了正方体展开图特性的理解，特别是相对面在展开图中的位置关系，掌握正方体展开图的常见形式和相对面的位置特点是解题的关键．根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是“城”． 故选：B． 3. 如图，与是以点 为位似中心的位似图形，且，若，则的长度为（ ） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质“位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比”，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．求出与的相似为，从而可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵与是以点 为位似中心的位似图形，且， ∴与的相似为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 当时，反比例函数的图象可能经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、点所在的象限，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键．先判断出反比例函数的图象在第一、三象限，再根据点所在的象限逐项判断即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限． A、点位于第二象限，则此项不符合题意； B、点位于第四象限，则此项不符合题意； C、点位于第二象限，则此项不符合题意； D、点位于第一象限，则此项符合题意； 故选：D． 5. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式的性质可得，再利用无理数的估算可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：B． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 平分弦的直径垂直该弦 B. 四条边相等且对角线相等的四边形是正方形 C. 三角形外角和为 D. 两点之间直线最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，分别分析各题设是否能推出结论，即可得出答案，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：、平分弦的直径（不是直径）垂直该弦，原选项错误，不符合题意； 、四条边相等且对角线相等的四边形是正方形，原选项正确，符合题意； 、三角形外角和为 ，原选项错误，不符合题意； 、两点之间线段最短，原选项错误，不符合题意； 故选：． 7. 下图是用形状大小完全相同的三角形按照一定规律拼成的图案，第 种图案有 个三角形，第种图案有个三角形，第 种图案有个三角形，，按照这一规律，第种图案三角形的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图案找出变化规律是解题的关键． 根据每种图案情况得出第 种图案有三角形（个），第种图案有三角形（个），第 种图案有三角形（个），第 种图案有三角形（个），据此找出规律求解即可． 【详解】解：第 种图案有三角形（个）， 第种图案有三角形（个）， 第 种图案有三角形（个）， 第 种图案有三角形（个）， ， 第种图案有三角形（个）， 故选：． 8. 已知正方形 的边长为4， 为边的中点，以 为圆心， 长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积、正方形的性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据正方形的性质可得，，，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：∵正方形 的边长为4， ∴，， ∵ 为边的中点， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 ， 故选：B． 9. 在等腰中，，点D在 上，点E在 上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，利用勾股定理可得，再连接，交 于点 ，过点作于点 ，根据折叠的性质可得 垂直平分，利用三角形的面积公式可得的长，从而可得的长，利用勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的长，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：∵在等腰 中，， ， 设， ， ， ， ， 如图，连接，交 于点 ，过点作于点 ， 由折叠的性质得： 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形的方法是解题关键． 10. 若 ，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在 ， ， ， 中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选 ， 作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，， ，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的应用，二元一次方程的正整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据绝对值的应用及二元一次方程的正整数解逐一排除即可． 【详解】解：，， ∴，故正确； 若，为正整数， 则，，，， ， ， ∴所有操作结果的和为， ∵ 为正整数， ∴， 解得，不符合题意，故错误； 由，， ∵， ∴， ∵为正整数， ∴，整理得：， ∴或或， ∴或或， ∴或或，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的运算、负整数指数幂等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值的运算、负整数指数幂，再计算乘法与加法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 一个正多边形一共有5条对角线，则这个正多边形的中心角为______度． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟记对角线条数公式是解题的关键．根据多边形的对角线公式列式计算求出n的值，再求出中心角即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得， 整理得，， 解得，（舍去）， 经检验：是所列方程的解， ∴这个正多边形的边数为5， ∴这个正多边形的中心角为， 故答案为：72． 13. 在一个不透明的袋子里装有 个分别标有数字， ， 的小球，这些球除标号外完全相同．从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之积是奇数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，熟练画出树状图或列表是解题的关键． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次记下的数字之积是奇数的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次记下的数字之积是奇数的有 种， ∴两次记下的数字之积是奇数的概率为， 故答案为：． 14. 若关于 的不等式组有且仅有1个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数 的和为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组可得，再解分式方程可得，从而可得为整数，且，即，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于 的不等式组有且仅有1个奇数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴为整数，且，即， ∴所有满足条件的整数 的值为， ∴所有满足条件的整数 的和为， 故答案为：10． 15. 如图，在平行四边形 中， 为锐角，，点E、F分别是、 上的点，连接、交于点M，以为直径的圆O交于点G，且，，则______；若，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先证出，根据等腰三角形的判定可得，再连接，根据圆周角定理可得，然后解直角三角形和勾股定理求解即可得的长；设 与 的交点为点，连接，其中交于点，过点 作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， 由圆周角定理得：， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，． 如图，设 与 的交点为点，连接，其中交于点，过点 作于点， 由圆周角定理得：，即， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， 在和， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得 ，经检验，是所列分式方程的解， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 16. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字与百位数字差的2倍等于它的十位数字与个位数字的差，则称M为“倍差数”．对于一个“倍差数”，它的千位和十位数字构成的两位数减去百位与个位数字构成的两位数所得的差记为s，将它的百位和十位数字构成的两位数减去千位与个位数字构成的两位数所得的差记为t，规定：．例如：，因为，所以8651是“倍差数”，，，则．已知四位自然数是“倍差数”，则______；若四位自然数P、Q均为“倍差数”，其中，，，，，，m，n，x，y均为整数，当时，则的值为______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式加减法与乘法的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握“倍差数”的定义是解题关键．先根据“倍差数”的定义可得 ，再求出的值，代入的计算公式求解即可得；先根据“倍差数”的定义可得，，，，，再代入，根据均为正整数求出的值，从而可得的值，然后代入可得的值，由此即可得． 【详解】解：∵四位自然数是“倍差数”， ∴， ∴ ， ∴这个四位自然数是， ∴，， ∴． ∵四位自然数中的，， ∴四位自然数， ∵四位自然数为“倍差数”， ∴，，， ∴，， ∴，解得， ∵四位自然数，，， ∴四位自然数， ∵四位自然数为“倍差数”， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 当 时，，解得，舍去； 当 时，，解得，舍去； 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，舍去； ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：6；． 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 计算： （1）． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的化简求值、二次根式的分母有理化，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算多项式乘以多项式、多项式除以单项式，再计算整式的加减法即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将 的值代入计算即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ， 将代入得：原式． 18. 为了了解学生的视力健康情况，某校从七、八年级各随机抽取了20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行了整理和分析，得到下列信息：（视力情况共分为4组：A．视力，视力正常；B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良） 抽取的20名七年级学生的视力情况数据为：4.9，4.9，4.7，4.8，4.7，4.8，5.0，5.1，5.1，5.2，4.9，4.9，4.9，4.9，4.8，4.5，4.5，4.8，5.0，4.6； 抽取的八年级学生的视力情况在C组的数据为：4.8，4.8，4.8，4.7，4.8，4.8，4.7，4.8； 抽取的七、八年级学生的视力情况数据统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 4.85 4.9 a 八年级 4.85 b 4.8 （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级学生的视力情况谁更健康？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级共有学生400人，八年级共有学生500人，请估计两个年级学生中视力正常的人数共有多少人？ 【答案】（1），，25 （2） 解：七年级学生的视力情况更健康，理由如下： 因为七、八年级学生视力情况的平均数相等，但七年级学生视力情况的中位数和众数都大于八年级学生的，所以七年级学生的视力情况更健康． （3）估计两个年级学生中视力正常的人数共有225人 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数与众数、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据众数的定义即可得 的值；先求出在抽取的20名八年级学生的视力数据中，组的人数，再利用 组的人数除以20即可得的值；根据中位数的定义即可得 的值； （2）从平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得； （3）利用七年级学生总人数乘以 组人数所占的百分比、八级学生总人数乘以 组人数所占的百分比，相加即可得． 【小问1详解】 解：在抽取的20名七年级学生的视力数据中，出现的次数最多， ∴众数． 在抽取的20名八年级学生的视力数据中， 组的人数为（人）， 组的人数为8人， 组的人数为（人）， 组的人数为（人）， ∴， ∴． 将抽取的20名八年级学生的视力数据按从小到大进行排序后，第11个数和第10个数的平均数即为中位数， ∵，， ∴中位数． 故答案为：，，25． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级学生中视力正常的人数共有225人． 19. 在学习了特殊平行四边形的相关知识后，小墨同学发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形的一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据她的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形 中， 是对角线 的中点．用尺规过点 作 的垂线，分别交 、于点 、 ，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形 是平行四边形 ∴ ∴①______ ∵ 为 的中点 ∴②______ ∴在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵④______ ∴四边形是菱形． 小墨同学进一步研究发现，对于只有一组对边平行的四边形，过这个四边形一条对角线的中点作这条对角线的垂线，则该垂线与该四边形的这组平行对边所在直线相交的两点和这条对角线的两个端点顺次连接构成的四边形是⑤______． 【答案】（1） 如图所示，为所求： ． （2）①；②；③；④；⑤菱形． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和尺规作图是解题关键． （1）先根据尺规作图作 的垂直平分线，分别交 、于点 、 ，再连接、即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 重庆沙坪坝“全球校友”半程马拉松活动将于2025年4月20日在沙坪坝开展，重庆一中校友会计划为参与马拉松活动的一中校友采购活动周边纪念品．经初步调研发现，购买3件运动恤和2个运动手环花费165元，且1件运动恤比1个运动手环贵30元． （1）每件运动恤和每个运动手环的售价分别是多少元？ （2）截止2025年3月17日马拉松活动报名结束，重庆一中校友会计划采购运动恤和运动手环共200件，且购买的总费用不超过5000元，则最多可购买运动恤多少件？ 【答案】（1）每件运动恤的售价是45元，每个运动手环的售价是15元 （2）最多可购买运动恤66件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设每件运动恤的售价是 元，每个运动手环的售价是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买运动恤件，则购买运动手环件，根据题意建立一元一次不等式，解不等式，求出的最大正整数解即可得． 【小问1详解】 解：设每件运动恤的售价是 元，每个运动手环的售价是元， 由题意得：， 解得， 答：每件运动恤的售价是45元，每个运动手环的售价是15元． 【小问2详解】 解：设购买运动恤件，则购买运动手环件， 由题意得：， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为66， 答：最多可购买运动恤66件． 21. 如图，在矩形 中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点 出发，动点 以每秒 个单位长度的速度从点 出发，点沿折线方向运动，点 沿射线 方向运动，当点追上点 时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． （1）请直接写出关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，直接写出时 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）关于 的函数表达式为； （2） 如图， 当时，随 的增大而增大，当时，随 的增大而减小（答案不唯一）； （3）或． 【解析】 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （ ）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （ ）由函数图象的趋势即可得出答案． 【小问1详解】 解：当点在 上时，即， 则，， ∴； 当点在 上时，即， 则， ∴， 综上可知：关于 的函数表达式为； 【小问2详解】 解：列表： 描点， 连线 如图， 当时，随 的增大而增大，当时，随 的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可知：，， 解得：（负值已舍去），， ∴当时 的取值范围或． 22. 人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：， ，） （1）求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； （2）甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 【答案】（1）公里 （2）丙最晚达目的地D点 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点D作交 于点 ，在 取点 ，使，得，设，可求出，得出，在中由列方程求出，，在中由勾股定理可求出公里； （2）过点 作于点，得出四边形是矩形，得，在取点 ，使，得，设，则根据求出，由分别求出公里，公里，公里，公里，分别求出三条路线用时，再进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点D作交 于点 ，在 取点 ，使，如图， 根据题意得， ∵， ∴ ∴ 设则 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴ ∴ 在中，, 答：小雨家A离寺庙D的距离为公里； 【小问2详解】 解：过点 作于点，则得出四边形是矩形， ∴， 在取点 ，使， 根据题意得， ∴ ∴， 设，则 ∴, ∴， ∴ ∴， 在中，公里， 在 中， ∴公里， 又公里， ∴①用时为小时； ②用时为小时； ③用时为小时， ∵， ∴丙最晚达目的地D点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． （3）将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，则可求出直线解析式为；设，则，可得，则当时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为；取，连接，过点N作于H，解直角三角形可得，则当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为 的长，据此利用等面积法求解即可； （3）根据题意得将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度，设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线，则平移后的抛物线解析式为，利用待定系数法求出平移后的解析式，则可得到平移后的抛物线对称轴为直线；取，可证明是直角三角形，且，解直角三角形可证明，则，可得点Q在以为直径的圆上，设的中点为T，，则，，据此建立方程求解即可；同理当构造的直角中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q． 【小问1详解】 解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解；在中，当 时， ， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为； 如图所示，取，连接，过点N作于H， ∵，轴， ∴P、E、F三点共线， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为 的长， 此时有， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度， 设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过点C， ∴， 解得或 （舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为； ∴平移后的抛物线对称轴为直线； 如图所示，取，则，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴B、Q、C、P四点共圆， ∴点Q在以为直径的圆上， 设的中点为T，，则，， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为或； 同理当构造的直角三角形中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，圆的相关性质，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理及其逆定理，解（2）的关键在于设出点P坐标，进而表示出，利用二次函数的性质求出最大时点P的坐标，再通过构造直角三角形转换；解（3）的关键在于构造直角三角形． 24. 已知在中，，点E在线段 上，点F在线段上，且E、F均不在线段端点处，连接，点D在线段的延长线上，连接交 于点N． （1）如图1，若点N恰为中点，，，求的度数． （2）如图2，在内有一点Q，连接，，，若，且，．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，延长 至G，使，连接，若，在内有一点P，连接，，．当最小时，在线段上截取使得，将点H绕点D旋转，连接，点M为线段的中点，将点M绕点B顺时针旋转得到点，连接，当最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）， 证明如下： 如图，作交于 ，作且，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴ 、、 、 四点共圆， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作交 于，则，证明，得出，结合题意得出，由三角形内角和定理求出，由等边对等角得出，最后由三角形外角的定义及性质求解即可； （2）作交于 ，作且，连接、，证明，再证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明四边形为平行四边形，得出，由平行线的性质可得，从而可得为等腰直角三角形，证明 、、 、 四点共圆，得出，从而推出为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，，证明，得出，即可得证； （3）将绕点 顺时针旋转并放大倍，得到，连接，，由旋转的性质可得，，，，由勾股定理得出，根据，得出当 、、、在同一直线上时，的值最小为，作交的延长线于，则，证明，求出，，进而得出，，即的最小值为，求出，得出点的运动轨迹为以 为圆心， 为半径的圆上，取的中点为 ，得出点 在以 为圆心，为半径的圆上，由旋转的性质可得，，点在以为圆心，为半径的圆上，则，，作交的延长线于 ，交的延长线于 ，则，证明，得出，，进而求出，，当在的延长线时最大，为，证明，求出，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，作交 于，则， ， ∴， ∵点N恰为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点 顺时针旋转并放大倍，得到，连接，， ， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， ∴当 、、、在同一直线上时，的值最小为， 作交的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵当最小时，在线段上截取使得， ∴， ∴点的运动轨迹为以 为圆心， 为半径的圆上， 取的中点为 ， ∵点M为线段的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴点 在以 为圆心，为半径的圆上， ∵将点M绕点B顺时针旋转得到点， ∴由旋转的性质可得：，，点在以为圆心，为半径的圆上，则，， 作交的延长线于 ，交的延长线于 ，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当在的延长线时最大，为， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、四点共圆等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $