精品解析：2025年陕西省西安市阎良区初中学业水平考试模拟卷(一)数学

2025年初中学业水平考试模拟卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算的结果正确的是（ ） A. 14 B. C. 9 D. 2. 已知某几何体的侧面展开图为矩形，则该几何体不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为等腰三角形， ，为边上的中线，点P在上，连接，若，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数，且）的图象向上平移个单位长度后，所得正比例函数的图象经过第二、四象限，则原一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，正方形的边在正方形的边 上，边在 下方，连接，若，则四边形（阴影部分）的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 7. 如图是某圆形地毯的设计图，其圆心为O，设计人员计划在矩形区域内标上温馨提示语，已知矩形的顶点A、B在 上，于点E，延长分别交 和 于点F和H，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：3_________ （填＜，＞或＝）． 10. 如图，正五边形的两条对角线 与相交于点P，若，则四边形的周长为_______． 11. 围棋是中华民族发明的迄今最久远的智力博弈活动之一．图中棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，……按此规律排列，若某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为_______． 12. 已知点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为_______． 13. 如图，菱形的边长为4，，点M为菱形内一动点，连接，，点H为的中点，连接，则的最小值为 ____ ． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 15. 解不等式，并将该不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． 16. 先化简，再从绝对值小于3的整数中，选一个合适的数代入求值． 17. 如图，，点为内部一条射线上的一点，请用尺规作图法在射线上分别求作点，连接，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点均在网格格点上．求证：． 19. 某班体育活动课上原计划分成两个小组进行活动，第一组26人，第二组22人，现要根据学校体育器材的数量，对两个小组的人数重新进行调整，从第一组调部分人到第二组去，使得调整后第一组的人数为第二组人数的一半，请问应该从第一组调多少人到第二组去？（用方程解答） 20. 甲骨文因镌刻、书写于龟甲与兽骨上而得名，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．酷爱中国古代文字研究的李洋和孙怡同学制作了如图所示的4张卡片（这4张卡片分别用字母A、B、C、D表示，正面文字依次是牛、鸡、猴、龙，这4张卡片除正面内容不同外，其余均相同）用来玩游戏，现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，李洋从中随机抽取一张，记下卡片正面上的字，放回并洗匀后，孙怡再从中随机抽取一张． （1）李洋抽取的卡片正面文字是“龙”的概率为_______； （2）请用列表法或画树状图的方法求李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的概率． 21. 阳春三月，春意盎然！到处是芬芳宜人的花香，到处是千姿百态的花影，樱花、桃花、杏花争相绽放，宛如天然的锦绣画卷．刘玮和李悦某次春游期间，想运用所学知识测量一棵樱花树的高度，如图，他们先在地面上的点G处测得樱花树最高点的仰角，然后刘玮在地面上的点E处竖立一根标杆 ，李悦站在点C处，眼睛位于点D处时，恰好看到樱花树的最高点A和标杆顶端F在一条直线上，已知米，米，米，米，B、E、C、G在一条水平直线上，，，图中所有的点都在同一平面内．请你根据上述测量结果，计算这棵樱花树的高度 ． 22. 2026年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，DeepSeek的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用DeepSeek智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（元）与产品数量x（件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如表所示： 产品数量x（件） … 10 12 16 20 … 生产成本y（元） … 450 460 480 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式： （2）若这种产品每件的售价为15元，请计算当生产成本为800元时，所生产的产品总售价为多少元？ 23. 关山草原位于陕西省境内，是中国西北内陆地区唯一的以高山草甸为主体的具有欧式风情的省级风景名胜区，享有“小天山”之美誉．该景区某民族服饰租赁店的小张想了解游客在景区的停留时长，某天随机调查了部分游客，将他们在该景区的停留时长（单位：）统计如下： 【数据收集与描述】 【数据分析与应用】 （1）请补全条形统计图，并填空：所调查游客在该景区停留时长的众数为_______，中位数为_______； （2）请计算所调查游客在该景区停留时长的平均数； （3）若该景区这天共有6000名游客，请你估计这天在景区停留时长为的游客有多少名？ 24. 如图，内接于，为的直径，点 为劣弧的中点，连接、，交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 在现代社会中，眼镜不只是矫正视力的工具，还是一种展示个性和时尚品味的装饰品．如图①中眼镜镜框的下半边可近似看作如图②所示的两条形状大小完全相同的抛物线，点 与点在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称，点 与点 在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称，点在一条直线上，以所在直线为 轴，经过的中点且垂直于的直线为 轴建立如图②所示的平面直角坐标系，若抛物线满足函数关系式（为常数），且，两条抛物线的最低点到 轴的距离相等． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求两点之间的距离． 26. 【问题提出】 （1）如图1，四边形内接于 ，若，则的度数为_______°； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，点P在边 上，且，连接、，，求的长； 【问题解决】 （3）2025年3月9日，国家卫生健康委员会相关负责人在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某市为积极响应国家号召，拟开设一所健康管理中心，其设计示意图如图3所示，在四边形中，对角线为一条走廊，在边 和走廊上分别取点F、E，连接 交于点P，并规划区域为咨询中心，区域为评估中心，其他区域为实训中心．根据设计要求，点D到的距离为70米，，点A、D、E、F在同一个圆的圆周上，评估中心的面积为2800平方米，请你求出评估中心的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试模拟卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算的结果正确的是（ ） A. 14 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据两个数的乘法运算法则，先确定符号，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 已知某几何体的侧面展开图为矩形，则该几何体不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，掌握几何体的展开图是解题的关键，根据常见几何体的展开图逐项判定即可得解． 【详解】解：圆锥侧面展开图为扇形，展开图不为矩形，故A项符合题意； 圆柱侧面展开图为矩形，故B项不符合题意； 三棱柱侧面展开图为矩形，故C项不符合题意； 正方体侧面展开图为矩形，故D项不符合题意； 故选：A 3. 如图，，于点 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识，结合图形分析是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由直角三角形两锐角互余得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 4. 如图， 为等腰三角形， ，为 边上的中线，点P在上，连接，若，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，先根据 ，为 边上的中线，则，，利用勾股定理求出即可作答． 【详解】解：∵ ，为 边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数，且）的图象向上平移个单位长度后，所得正比例函数的图象经过第二、四象限，则原一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平移的性质，掌握平移规律是解题的关键． 根据一次函数图形的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将一次函数（为常数，且）的图象向上平移个单位长度后得到的解析式为， ∵所得正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴，且， ∴原一次函数经过第二、三、四象限， ∴原一次函数不经过第一象限， 故选：A ． 6. 如图，正方形的边在正方形 的边 上，边在 下方，连接，若，则四边形（阴影部分）的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的四边相等是解题的关键．由正方形的性质可得，，由梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：四边形和四边形 都是正方形， ，， 四边形（阴影部分）的面积． 故选：C． 7. 如图是某圆形地毯的设计图，其圆心为O，设计人员计划在矩形 区域内标上温馨提示语，已知矩形 的顶点A、B在上，于点E，延长分别交和于点F和H，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，连接，证明，可得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，矩形 ， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 8. 已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在 时取得最大值，当时，，当时，，则，即可求解． 【详解】由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线， 则 比 距离对称轴远， 当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在 时取得最大值， 当 时，， 当时，， 则，解得，， 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：3_________ （填＜，＞或＝）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案． 【详解】∵32＝9，9＜10， ∴3＜， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 10. 如图，正五边形的两条对角线与相交于点P，若，则四边形的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和问题等知识点，证明出四边形是菱形是解题的关键． 先根据正五边形求出每个内角度数，以及得到，再导角证明四边形是平行四边形，继而可证明其为菱形，则周长即可求解． 【详解】解：∵正五边形， ∴，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形周长为， 故答案为：12． 11. 围棋是中华民族发明的迄今最久远的智力博弈活动之一．图中棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，……按此规律排列，若某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了找规律，由已知可得得白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚，即可得当某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚时，y与x的关系可以表示为． 【详解】解：由第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，… 得白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚， ∴第个图形中白棋有1枚，黑棋有枚； ∴某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为． 故答案为：． 12. 已知点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．将点代入中，得出，，代入求解即可． 【详解】∵点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，菱形 的边长为4，，点M为菱形 内一动点，连接，，点H为的中点，连接，则的最小值为 ____ ． 【答案】 【解析】 【分析】取 中点K，连接，过D作交 的延长线于N，判定，推出，得到，由含30度角的直角三角形的性质得到， ，由勾股定理求出，再由，即可得到的最小值． 【详解】解：取 中点K，连接，过D作交 的延长线于N， ∵四边形 是边长为4的菱形，， ∴， ∴， ∵H是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形性质，全等三角形性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、平方差公式、负指数幂、立方根，首先根据平方差公式、负指数幂、立方根的定义把算式中各部分分别计算出来，可得：原式，然后再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 15. 解不等式，并将该不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】， 将不等式的解集表示在数轴上如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 将不等式的解集表示在数轴上如图所示： 16. 先化简，再从绝对值小于3的整数中，选一个合适的数代入求值． 【答案】；当时，原式= 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件、绝对值等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，再根据绝对值确定m的取值范围，然后取分式有意义的m的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵m是绝对值小于3的整数， ∴m的值为， ∵当m的值为时，分式无意义． ∴当时，原式． 17. 如图，，点 为内部一条射线上的一点，请用尺规作图法在射线上分别求作点，连接，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，平行四边形是矩形，即为所求作图形： 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作垂线，掌握尺规作垂线的方法是关键． 过点 作线段，交于点 ，以点 为圆心，以为半径画弧交于点 ，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴， ∴，则，且， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形，即为所求作图形． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 和的顶点均在网格格点上．求证：． 【答案】 证明：由图可得， ， ， ∵， ， ，即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，验证两个三角形的对应角相等是解题的关键．利用网格线的特点可得，证明，推出即可出结论． 【详解】略 19. 某班体育活动课上原计划分成两个小组进行活动，第一组26人，第二组22人，现要根据学校体育器材的数量，对两个小组的人数重新进行调整，从第一组调部分人到第二组去，使得调整后第一组的人数为第二组人数的一半，请问应该从第一组调多少人到第二组去？（用方程解答） 【答案】应该从第一组调10人到第二组去 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设应该从第一组调 人到第二组去，根据调整后第一组的人数为第二组人数的一半，列出一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应该从第一组调 人到第二组去． 根据题意，得， 解得， 答：应该从第一组调10人到第二组去． 20. 甲骨文因镌刻、书写于龟甲与兽骨上而得名，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．酷爱中国古代文字研究的李洋和孙怡同学制作了如图所示的4张卡片（这4张卡片分别用字母A、B、C、D表示，正面文字依次是牛、鸡、猴、龙，这4张卡片除正面内容不同外，其余均相同）用来玩游戏，现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，李洋从中随机抽取一张，记下卡片正面上的字，放回并洗匀后，孙怡再从中随机抽取一张． （1）李洋抽取的卡片正面文字是“龙”的概率为_______； （2）请用列表法或画树状图的方法求李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图的方法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图的方法是关键． （1）共有4种结果，抽到“龙”的有一种，根据概率公式计算即可； （2）列表法或画树状图的方法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共有4张卡片，抽到“龙”的有一种结果， ∴正面文字是“龙”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的结果有9种， （李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”）． 21. 阳春三月，春意盎然！到处是芬芳宜人的花香，到处是千姿百态的花影，樱花、桃花、杏花争相绽放，宛如天然的锦绣画卷．刘玮和李悦某次春游期间，想运用所学知识测量一棵樱花树的高度，如图，他们先在地面上的点G处测得樱花树最高点的仰角，然后刘玮在地面上的点E处竖立一根标杆，李悦站在点C处，眼睛位于点D处时，恰好看到樱花树的最高点A和标杆顶端F在一条直线上，已知米，米，米，米，B、E、C、G在一条水平直线上，，，图中所有的点都在同一平面内．请你根据上述测量结果，计算这棵樱花树的高度． 【答案】15.6米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明，过点作于点 ，交于点 ，如图，则四边形均为矩形，证明，再进一步利用相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：， 为等腰直角三角形， ． 过点作于点 ，交于点 ，如图． 则四边形均为矩形， 米，米， 米，． ， ， ， 即， 解得， 这棵樱花树的高度为15.6米． 22. 2026年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，DeepSeek的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用DeepSeek智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（元）与产品数量x（件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如表所示： 产品数量x（件） … 10 12 16 20 … 生产成本y（元） … 450 460 480 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式： （2）若这种产品每件的售价为15元，请计算当生产成本为800元时，所生产的产品总售价为多少元？ 【答案】（1）（ 为正整数） （2）当生产成本为800元时，所生产的产品总售价为1200元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数值求自变量的值，即可作答． 【小问1详解】 解：设， 代入，得， ∴， ∴（ 为正整数）； 【小问2详解】 解：将，代入，得， 解得， 那么总售价为（元）， 答：所生产的产品总售价为1200元． 23. 关山草原位于陕西省境内，是中国西北内陆地区唯一的以高山草甸为主体的具有欧式风情的省级风景名胜区，享有“小天山”之美誉．该景区某民族服饰租赁店的小张想了解游客在景区的停留时长，某天随机调查了部分游客，将他们在该景区的停留时长（单位：）统计如下： 【数据收集与描述】 【数据分析与应用】 （1）请补全条形统计图，并填空：所调查游客在该景区停留时长的众数为_______，中位数为_______； （2）请计算所调查游客在该景区停留时长的平均数； （3）若该景区这天共有6000名游客，请你估计这天在景区停留时长为的游客有多少名？ 【答案】（1） 补全条形统计图如下， 4，4 （2） （3）1680名 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握中位数、众数，加权平均数的计算方法，根据样本百分比估算总体数量的方法是解题的关键． （1）根据停留的有,占，可得抽样人数，根据众数，中位数的计算方法即可求解； （2）根据加权平均数的计算方法即可求解； （3）根据样本百分比估算总体数量的方法计算即可求解． 【小问1详解】 解：停留的有,占， ∴抽样人数为（人）， ∴停留的人数为（人）， ∵停留时长为的人数最多， ∴停留时长的众数为 ， 根据停留时长人数的情况可得，中位数在25，26位游客的停留时长， ∴， 故答案为： ， ； 【小问2详解】 解：， 所调查游客在该景区停留时长的平均数为． 【小问3详解】 解：（名）， 估计这天在景区停留时长为的游客有1680名． 24. 如图， 内接于， 为的直径，点为劣弧的中点，连接、，交 于点 ，过点 作的切线交的延长线于点 ． （1）求证：； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 证明：为的直径， ， ， 为的切线， ， ， 点为劣弧 的中点， ， ， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得：，根据切线的定义，可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，，根据圆周角定理可得：，根据等角的余角相等可得：，根据对顶角相等可得：，根据等角对等边可证结论成立； 连接，因为，所以，由可知，因为 是的直径，可得，又因为，可证，根据相似三角形对应边成比例，可得：，从而可求 的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， ， ， ， 为的直径， ， ，， ， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，本题的综合性较强，解决本题的关键是根据圆的一些性质找边和角之间的关系． 25. 在现代社会中，眼镜不只是矫正视力的工具，还是一种展示个性和时尚品味的装饰品．如图①中眼镜镜框的下半边可近似看作如图②所示的两条形状大小完全相同的抛物线，点 与点 在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称，点 与点在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称，点在一条直线上，以 所在直线为 轴，经过 的中点 且垂直于 的直线为轴建立如图②所示的平面直角坐标系，若抛物线满足函数关系式（为常数），且，两条抛物线的最低点到 轴的距离相等． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求两点之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，一般式化为顶点式的方法是关键． （1）将点代入，运用待定系数法可解，由题意得到，设抛物线的函数表达式为，运用待定系数法即可求解； （2）将一般式化为顶点式得到点 的坐标为，点 的坐标为，由两点之间距离的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 根据题意可得抛物线与抛物线关于轴对称， ∴， ∴设抛物线的函数表达式为， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：抛物线， 点 的坐标为， 抛物线， 点 的坐标为， 两点之间的距离为． 26. 【问题提出】 （1）如图1，四边形 内接于，若，则的度数为_______°； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形 中，，点P在边 上，且，连接、，，求 的长； 【问题解决】 （3）2025年3月9日，国家卫生健康委员会相关负责人在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某市为积极响应国家号召，拟开设一所健康管理中心，其设计示意图如图3所示，在四边形 中，对角线 为一条走廊，在边和走廊 上分别取点F、E，连接交 于点P，并规划区域为咨询中心，区域为评估中心，其他区域为实训中心．根据设计要求，点D到 的距离为70米，，点A、D、E、F在同一个圆的圆周上，评估中心的面积为2800平方米，请你求出评估中心的周长． 【答案】（1）85；（2）；（3）米 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出结果即可； （2）过点 作于点 ，作的外接圆，连接，作于点于点 ，证明，得出，解直角三角形得出，求出，根据勾股定理求出，证明四边形为矩形，求出，根据勾股定理求出，即可； （3）过点作于点 ，如图3，则米，作的外接圆，连接，作于点于点 ，证明，得出，米．解直角三角形得出，根据勾股定理求出米．证明四边形为矩形，得出米，根据勾股定理求出米，米． 【详解】解：（1）∵四边形 内接于， ∴， ∵， ∴； （2）过点 作于点 ，如图2． 四边形 为矩形，， ∴四边形为矩形，， 作的外接圆，连接，作于点于点 ，如图2， 则， 又， ∴， ， ， ∴， 即， ， ∴， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ∴， ∴． （3）点在同一个圆的圆周上， ， 即， 过点作于点 ，如图3，则米， 平方米，米， 米， 作的外接圆，连接，作于点于点 ，如图3， 则． 又， ∴， 米． ， ∴， 即， 米， 米． ， ∴四边形为矩形， 米， 米， 米，米， 米， 米，米， 米，米， 的周长为米， 即评估中心的周长为米． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角定理，解直角三角形的应用，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $