精品解析：黑龙江省哈尔滨市虹桥中学2024-2025学年八年级下学期3月数学试卷

2024-2025学年度虹桥中学初三学年下学期作业反馈 数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 2. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 2 3. 若三边满足，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形，且为直角 B. 直角三角形，且为直角 C. 是直角三角形，且直角 D. 不是直角三角形 4. 若的周长为，的周长为，则的长为多少．（ ） A 6 B. 9 C. 8 D. 12 5. 在中，，a、b、c分别为、、的对边，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 平行四边形中，：：：的值可以是（ ） A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：： 7. 如图，三点在边长为1的正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到离门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于（ ） A. 0.5米 B. 1.2米 C. 1.3米 D. 1.7米 9. 如图，以直角三角形的三边向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则（ ） A. 25 B. 50 C. 72 D. 144 10. 下列命题中，其逆命题不成立的是（ ） A. 三角形的三边a、b、c满足，则该三角形是直角三角形 B. 两组对边分别平行四边形是平行四边形 C. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 平行四边形对角线互相平分 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知中，，则的长为_____． 12. 如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为_____． 13. 如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为______． 14. 已知平分交边于，若，则的周长为_____． 15. 如图，已知在数轴上存在一点、，其表示的数分别为0和，以圆心作圆，交数轴于点，表示的数为，若点在以为圆心，为半径的圆上，且，连接，以为圆心，为半径作圆弧交数轴负半轴于，则点表示的数为_____． 16. 如图，矩形纸片中，将矩形纸片翻折，使点B落在对角线上点F处，折痕交于点，若，则的长度为_____． 17. 在矩形，点为直线上一点，若，则的长为_____． 18. 已知如图，互相全等的平行四边形按一定的规律排列．其中，第①个图中有1个平行四边形，第②个图中一共有5个平行四边形，第③个图中一共有11个平行四边形，则第五个图中有_____个平行四边形． 19. 已知点、为直线上方一点，过作于，过作于，点C为线段上的一动点，连接．若，则的最小值为_____． 20. 已知中，，，点为中点，点在边上，，若，判断下列五个结论中 ；；，平分； 正确的序号有_____． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 图1、图2、是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.请在图1、图2、中分别画出符合要求的图形.要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的格点重合. （1）在图1中画一周长为的等腰直角三角形； （2）在图2中画一个面积为10，腰为5的等腰三角形； （3）直接写出（2）中所画等腰三角形的周长. 23. 学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 24. 已知：如图1，四边形ABCD是平行四边形，E,F是对角线AC上的两点，AE=CF. （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）如果AE=EF=FC,请直接写出图中2所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形. 25. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，垂美四边形的性质：垂美四边形对边的平方和相等．如图，四边形是垂美四边形，则 证明： ，， ，， ， ， 我们已经通过证明掌握了垂美四边形的性质，接下来我们可以直接使用了，同学们加油！ （1）已知垂美四边形，，，，，则_____． （2）在矩形中，，则的长为多少？ （3）中，，，，以和为直角边作等腰直角和等腰直角，连接、相交于点，连接，则的长为_____． 26. 平行四边形中，点在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长、交于点，的垂直平分线交于，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，且，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点坐标分别为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图1，求证：； （3）如图2，点在延长线上，连接，是上一点，过点作的垂线交轴于点，点坐标，垂足为，当时，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度虹桥中学初三学年下学期作业反馈 数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，22+32=13≠42，不符合题意； 选项B，32+42=25≠62，不符合题意； 选项C，52+122=169=132，符合题意； 选项D42+62=52≠72，不符合题意． 由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形， 故选C． 2. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两点间距离公式，掌握已知，则是解题的关键． 根据两点间距离公式直接求解即可． 【详解】解：点到原点的距离是， 故选：B． 3. 若的三边满足，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形，且为直角 B. 是直角三角形，且为直角 C. 是直角三角形，且直角 D. 不是直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 若的周长为，的周长为，则的长为多少．（ ） A. 6 B. 9 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，由的周长为，即可求得的值，又由的周长为，即可求得对角线的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴． 故选：B． 5. 在中，，a、b、c分别为、、对边，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理直接计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：A． 6. 平行四边形中，：：：的值可以是（ ） A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：： 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，，根据以上结论即可选出答案． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 即和的度数相等，和的度数相等，且， 故符合题意的只有D． 故选：D． 【点睛】本题考查对平行四边形性质，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键． 7. 如图，三点在边长为1的正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求各边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论． 【详解】连接BC， 由勾股定理得：，，， ∵， ∴，且AB=BC， ∴∠ABC=90°， ∴∠BAC=45°， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形性质和判定．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 8. 为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到离门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于（ ） A. 0.5米 B. 1.2米 C. 1.3米 D. 1.7米 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度． 9. 如图，以直角三角形的三边向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则（ ） A. 25 B. 50 C. 72 D. 144 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2＋BC2，代入计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，AB2＝AC2＋BC2， ∴S3＝S1＋S2＝9＋16＝25， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 10. 下列命题中，其逆命题不成立的是（ ） A. 三角形的三边a、b、c满足，则该三角形是直角三角形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 平行四边形对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．交换命题的题设和结论后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：直角三角形的三边为a、b、c，则一定满足；因为c不一定是斜边，故其逆命题不一定成立，该选项符合题意； B、逆命题为：平行四边形的两组对边分别平行，成立，该选项不符合题意； C、逆命题为：到线段两个端点距离相等点在线段的垂直平分线上，成立，该选项不符合题意； D、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，该选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知中，，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等这一性质，即可得出答案． 【详解】解：∵中，与是一组对边， ∴， 故答案为：5． 12. 如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，得出，由勾股定理求出，矩形的面积，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为：． 13. 如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为______． 【答案】##6厘米 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由平行四边形的性质可得，进而由点是的中点可得为的中位线，根据三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 14. 已知平分交边于，若，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得到，，，推出，再根据平分，推出，进而得到，再求出，即可解答． 【详解】解：如图， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 15. 如图，已知在数轴上存在一点、，其表示的数分别为0和，以圆心作圆，交数轴于点，表示的数为，若点在以为圆心，为半径的圆上，且，连接，以为圆心，为半径作圆弧交数轴负半轴于，则点表示的数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示数的应用，勾股定理的应用，正确掌握相关知识是解题关键．根据勾股定理求出，即可表示出所求点表示的数． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 16. 如图，矩形纸片中，将矩形纸片翻折，使点B落在对角线上的点F处，折痕交于点，若，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，根据矩形的性质易得，由折叠的性质可得，得到，利用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：矩形纸片中，， ∵将矩形纸片折叠，使点落在对角线上的点处， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， 在中，， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 在矩形，点为直线上一点，若，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出待求线段的长． 先根据题意画出示意图，分“点在边上”、“点在的延长线上”两种情况，分别利用勾股定理求解． 【详解】解：当点在边上时，如图，连接， ∵在矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 18. 已知如图，互相全等的平行四边形按一定的规律排列．其中，第①个图中有1个平行四边形，第②个图中一共有5个平行四边形，第③个图中一共有11个平行四边形，则第五个图中有_____个平行四边形． 【答案】 【解析】 【分析】本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．由于图②中有个平行四边形，图③中有个平行四边形，由此即可得到第五个图形中平行四边形的个数． 【详解】解：∵图②中有个平行四边形， 图③中有个平行四边形， 则图④中有个平行四边形， ； ∴图五的平行四边形的个数为． 故答案为：29． 19. 已知点、为直线上方一点，过作于，过作于，点C为线段上的一动点，连接．若，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，对称的性质，最短路径，矩形的判定与性质，作点B关于的对称点，连接交于点P，当两点重合时，有最小值，过点作交延长线于点，易证是矩形，得到，求出，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作点B关于的对称点，连接交于点P，则， 当两点重合时，有最小值，即最小值为的长， 过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是矩形， ∴，， ∴， 在中，． 故答案为：． 20. 已知中，，，点为中点，点在边上，，若，判断下列五个结论中 ；；，平分； 正确的序号有_____． 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】过点作交延长下于点，过点作交延长下于点，取的中点，连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求出，即可求出，即可判断①；证明，即可判断②；根据三角形面积公式及平行四边形面积公式即可判断③；证明是的中位线，进而证明，即可证明，求出，易证是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可判断④；利用直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，，即可判断⑤． 【详解】解：过点作交延长下于点，过点作交延长下于点，取的中点，连接，延长交于点， ∵四边形平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，平分（三线合一），故④正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③④⑤ ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键 ． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】此题主要考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是熟知分式的运算法则．先计算括号内异分母减法，再计算乘法，再代入x即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 22. 图1、图2、是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.请在图1、图2、中分别画出符合要求的图形.要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的格点重合. （1）在图1中画一周长为的等腰直角三角形； （2）在图2中画一个面积为10，腰为5的等腰三角形； （3）直接写出（2）中所画等腰三角形的周长. 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）10+. 【解析】 【分析】（1）根据周长及等腰直角三角形的性质得出该等腰直角三角形的腰长为3，据此作图可得； （2）根据等腰三角形的性质及其面积作图可得； （3）根据勾股定理求解可得． 【详解】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；AC=,周长=6+3. （2）如图所示，△DEF即为所求；面积==10. （3）EF==， △DEF的周长为，5+5+=10+． 【点睛】本题考查的是勾股定理及等腰三角形，熟知等腰三角形的性质及勾股定理是解答此题的关键． 23. 学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 【答案】平方米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．连接，由勾股定理求出米，从而得出，推出，再根据这块地的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 米，米， 米，平方米， 米，米， ， ， 平方米， 这块地的面积平方米． 24. 已知：如图1，四边形ABCD是平行四边形，E,F是对角线AC上的两点，AE=CF. （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）如果AE=EF=FC,请直接写出图中2所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形. 【答案】（1）见解析；（2）△ADF，△CDE，△CBE，△ABF. 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得出OA=OC,OB=OD，因为AE=CF可推出OE=OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证结论； （2）AE=EF=FC可知 ，故而可推面积等于四边形DEBF的面积的三角形有：△ADF，△CDE，△CBE，△ABF. 【详解】（1）证明： 连接BD交AC于点O， ∵平行四边形ABCD ∴OA=OC,OB=OD ∵AE=CF ∴OE=OF ∴四边形DEBF为平行四边形； （2）由AE=EF=FC可知 故面积等于四边形DEBF的面积的三角形有：△ADF，△CDE，△CBE，△ABF； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定，以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键. 25. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，垂美四边形的性质：垂美四边形对边的平方和相等．如图，四边形是垂美四边形，则 证明： ，， ，， ， ， 我们已经通过证明掌握了垂美四边形的性质，接下来我们可以直接使用了，同学们加油！ （1）已知垂美四边形，，，，，则_____． （2）在矩形中，，则的长为多少？ （3）中，，，，以和为直角边作等腰直角和等腰直角，连接、相交于点，连接，则的长为_____． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂美四边形的性质，由，代入数据计算即可求解； （2）根据矩形的性质得到，设，则，由勾股定理求出，根据垂美四边形的性质，由，代入数据计算即可求解； （3）设交于点，证明，利用三角形内角和定理易证，推出四边形是垂美四边形，利用勾股定理求出，，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵垂美四边形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问2详解】 解：∵矩形中，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设交于点， ∵和都是等腰直角， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等是三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的性质是解题的关键． 26. 平行四边形中，点在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长、交于点，的垂直平分线交于，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形以及等边对等角得到，而，即可证明； （2）得到，由的垂直平分线交于得到，则，而，再由外角证明，即可证明全等； （3）过点作于点，过点作交于点，导角证明，再多次使用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 证明：如图， ∵由上知， ∴， ∵的垂直平分线交于， ∴， ∴， 由上得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于点，过点作交于点， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点坐标分别为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图1，求证：； （3）如图2，点在延长线上，连接，是上一点，过点作的垂线交轴于点，点坐标，垂足为，当时，求点坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可而得出结论； （2）由（1）知，求出，利用勾股定理逆定理即可证明结论； （3）过点作y轴的垂线，垂足为，设与y轴交点为，证明，结合题意证明，求出，得到，再证明，推出，，即可得到点坐标为． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； 【小问3详解】 解：过点作y轴的垂线，垂足为，设与y轴交点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确构造三角形全等时解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$