第11章《解三角形》同步单元必刷卷-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

第11章《解三角形》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理，代入数值即可求得的值. 【详解】由余弦定理得. 故选：B. 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 【答案】A 【分析】利用正弦定理，逐一对各个选项进行分析判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由正弦定理，可得， 三角形无解，故A正确； 对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在， 故三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，此时， 三角形有一解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，三角形无解， 故D错误； 故选：A 3．在锐角中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】用射影定理即可化简求值. 【详解】如图所示，过点A作于点D，    则， 同理可证， 因为，所以， 整理得，因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 故选：D 4．如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，，是等边三角形，， 在中，，由余弦定理， ， 所以． 故选：C. 5．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理化简已知条件，求得，利用平方的方法化简，求得，进而求得. 【详解】， ∴，， ∴； 又知，平方可得， ∴，∴. 故选：C 6．如图，在倾斜角15°（）的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（），塔与水平地面垂直，在A处测得塔顶B的仰角为45°（），则塔顶到水平面的距离（）是（    ）米. A． B． C．40 D． 【答案】A 【分析】先在中利用正弦定理求出，然后在中利用锐角三角函数的定义可求出，从而可求出. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得，， 所以，得， ， 在中，因为， 所以， 所以. 故选：A 7．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，M和N分别是的重心和内心，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据已知等式，利用和角公式和正弦定理化简得到，作出图形，利用面积相等建立边与之间的关系式，再由题设条件推得，代入计算即得. 【详解】由可得，， 因， 代入得，由正弦定理得，. 如图所示，分别延长交于点，延长交于点， 分别过点作于点,过点作于点. 设的内切圆半径为，边上的高为. 由可得（*）， 因M和N分别是的重心和内心，且，则,即， 代入（*）式，可得，，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于较难题. 解题的关键是在由正弦定理化简已知式求得边后，要结合三角形的内切圆半径与三角形面积的关系建立等式，再利用其他条件消元即可. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，由正弦定理可得，从而得或，即可判断；对于B，由正弦定理可知，即有，即可判断；对于C，由三角形内角和为及诱导公式可得，即可判断；对于D，由正弦定理及两角和差公式可得，从而得，即可判断. 【详解】解：对于A，由正弦定理可知，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不符合题意； 对于B，由正弦定理可知， 又因为，所以， 所以， 所以是等腰三角形，符合题意； 对于C，因为，解得， 所以，是直角三角形，不符合题意； 对于D，由正弦定理可知， 所以， 即， ， 即， 所以，是等腰三角形，符合题意. 故选：BD. 10．在中，，周长为10，面积为，则（    ） A．为钝角三角形 B． C． D．边上的高为 【答案】BCD 【分析】根据题设，结合三角形面积公式及余弦定理求出的值，判断各项即可. 【详解】设的内角的对边分别为，则，① ，即，② 再根据余弦定理，得，③ 由①②③解得，故C正确； ，故B正确； 设边上的高为，则，得，故D正确； 由，得或， 可知4为最长边，最长边所对的角最大，设为，， 所以，则为锐角， 所以为锐角三角形，故A错误． 故选：BCD． 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有（    ） A．若 则 B．若 则可能是直角三角形 C．若 则 D．若  是锐角三角形， 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理判断A；余弦定理判断角C，然后可判断B；举反例可判断C；利用诱导公式和正弦函数的单调性可判断D.. 【详解】对于A，若，，在中，由正弦定理可得， 则，故选项A正确； 对于B，若，则由余弦定理可得，， 因为，所以角为锐角，所以角或有可能是直角， 则可能是直角三角形，故选项B正确； 对于C，若，由正弦定理可得，即得，并不能得出，故选项C错误； 对于D，因为是锐角三角形， 所以，所以， 所以，所以，即， 同理， 则 ，故选项D正确， 故选：ABD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等腰的内角的对边分别为，且，延长线段至，使，若的面积，则 . 【答案】 【分析】由正弦定理结合余弦定理化简可得，进而根据等腰可得等边，再根据面积公式可得或，进而用余弦定理求解即可 【详解】由正弦定理，，即，故，又，故，所以等边.又的面积，故，解得，解得或.当时，，当时，，故，故 故答案为： 13．雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为36m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为 . 【答案】72m 【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案. 【详解】在中，；在中，； 由图可知，易知， 在中，，根据正弦定理可得： ， 所以 所以. 故答案为：72 14．在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积 . 【答案】 【分析】应用正弦边角关系及三角形内角的性质得，根据已知有，再应用余弦定理、三角形面积公式求结果. 【详解】由及正弦定理得， 因为，所以，所以，故， 又因为，所以， 由，得， 由余弦定理得， 所以的面积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)若，求； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据同角的三角函数关系求出，结合两角和的正弦公式计算即可； (2)根据余弦公式可得，结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）∵∵，∴，∴ 所以． （2）在中由余弦定理可知 ∴ 当且仅当时，的最大值为． 16．在中，设． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用边化角与和两角和的正弦公式即可化简求值. （2）利用余弦定理与三角形面积公式即可求得结果. 【详解】（1） 由正弦定理得 ， 整理得：， 即：，又因为， 所以,又，所以； （2）， 解得：， 故 17．如图乙，在等边中，D为上一点，且分别在边上，． (1)如图甲，当点F与点C重合时，求； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中由余弦定理得,再由余弦定理求出，然后半角公式可得； （2）由正弦定理变化角求出，再由三角形面积公式结合二倍角的正弦公式和正弦函数的最值可求. 【详解】（1）当点F与点C重合时， 在中，， 由余弦定理得： ， 得， 于是， 而， 因此． （2）设， 在中，由正弦定理，得， 所以， 在中，， 同理，得， 故， 当时，的最大值为， 此时的面积取得最小值，即． 18．成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．    (1)若米，求的长； (2)求绿化区域面积的取值范围； (3)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A到，再从到B，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由余弦定理求解； （2）求出的范围，用正弦定理求得（用的三角函数表示），然后计算三角形面积，并利用三角恒等变换及正切函数的性质得范围； （2）由正弦定理表示出两边（用的三角函数表示），求出后利用三角恒等变换得范围． 【详解】（1）由余弦定理得； （2）由已知，又，所以，同理， 由正弦定理，以下记作，即，， ， ，则，所以； （3）因为，所以，记， 由正弦定理有，即， 所以，， ， ，其中，，且， 所以时，取得最大值． 19．已知函数，在上的最大值为3． (1)求的值及函数的周期与单调递增区间； (2)若锐角中，角所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围． 【答案】(1)，周期为， (2) 【分析】（1）将原式化简为，由最大值为3，求出的值，从而确定的解析式，再求周期与单调递增区间即可； （2）由，得到，借助角表示出，由正弦定理把求的取值范围转化为求的取值范围，再根据角的范围求解即可. 【详解】（1） . 所以当时，取到最大值3， 即，，所以， 其周期为． 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由（1）知，由， 可得，即， 因为，所以， 所以，即. 因为， 所以， 由正弦定理可知 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章《解三角形》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 3．在锐角中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（    ）      A． B． C． D．故选：C. 5．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在倾斜角15°（）的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（），塔与水平地面垂直，在A处测得塔顶B的仰角为45°（），则塔顶到水平面的距离（）是（    ）米. A． B． C．40 D． 7．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，M和N分别是的重心和内心，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，，周长为10，面积为，则（    ） A．为钝角三角形 B． C． D．边上的高为 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有（    ） A．若 则 B．若 则可能是直角三角形 C．若 则 D．若  是锐角三角形， 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等腰的内角的对边分别为，且，延长线段至，使，若的面积，则 . 13．雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为36m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为 . 14．在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)若，求； (2)求的最大值． 16．在中，设． (1)求； (2)若，求的面积． 17．如图乙，在等边中，D为上一点，且分别在边上，． (1)如图甲，当点F与点C重合时，求； (2)求面积的最小值． 18．成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．    (1)若米，求的长； (2)求绿化区域面积的取值范围； (3)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A到，再从到B，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 19．已知函数，在上的最大值为3． (1)求的值及函数的周期与单调递增区间； (2)若锐角中，角所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$