第4章 平行四边形（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

第4章 平行四边形（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 2．（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D．-4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征： 先求出，，根据点与关于原点对称，建立方程求解即可． 解：令， ∴， ∵将该直线沿轴向下平移4个单位长度后， ∴平移后解析式为：， 同理可求， ∵点与关于原点对称， ∴， 解得：, 故选：A． 3．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，相交于点，，，记的长为，的长为，则下列各式正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，再进一步利用勾股定理可得到答案． 解：过点D作交的延长线于点F，    ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴， 解得：， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 4．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，点、点是边上两点，满足，，延长、交于点，连接，设，则的大小用含的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．过点作延长线于点，于点，延长线于点，由四边形是平行四边形，得，利用平行和等腰易得，可得，设，通过等腰三角形性质、三角形内角和及平行可以导角推出，，可得，则，推出平分，则可求出． 解：如图，过点作延长线于点，于点，延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 故选：B． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图—旋转变换和轴对称，解题的关键：利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到，然后根据对称的性质画出点、关于轴对称的点、，即可得出点的坐标． 解：如图，和即为所作， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 6．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】如图，设交于点，取的中点，连接，证明，推出，再证明即可． 解：如图，设交于点，取的中点，连接， ，， ，， 是的中点，是的中点， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：A． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 7．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，小美同学按如下步骤尺规作图：①分别以点A、C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点E、F；②作直线，交于点O，交于点G；③作射线，在射线上截取（B与D不重合），使得；④作直线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，尺规作图，线段垂直平分线的性质定理， 根据尺规作图可知是的垂直平分线，可得，再结合，判定四边形是平行四边形，可知，然后根据等腰三角形的性质可得，接下来说明，再根据等腰三角形的性质得，最后根据平行线的性质得出答案． 解：尺规作图的过程，得是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 8．（2025·河南开封·一模）依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及应用，规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长为，即可得到规律，从而可得第个等边三角形的周长． 解：如图所示： 、、分别为、、的中点， 、、都为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长为， ， 第个等边三角形的周长为， 故选：B． 9．（2025·安徽宣城·一模）如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．连接，过点作交于点G，连接，证明，则，证明四边形和是平行四边形，可设，则，，得到,即可得到答案． 解：连接，过点作交于点G，连接， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴是平行四边形， ∴ ∵， ∴可设，则， ∴， ∴, ∴， 故选：A 10．（24-25八年级上·四川德阳·期中）关于多边形有以下描述：（    ） ①六边形内角和为； ②十二边形每个外角度数均为； ③边形从一个顶点最多可引出条对角线； ④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形． ⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原来这个多边形的边数是． 根据描述判断，其中描述正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多边形内角和和外角和综合，多边形对角线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． ①根据多边形内角和公式，可判断①； ②根据，可判断②； ③边形从一个顶点最多可引出条对角线，可判断③； ④设多边形边数为，根据多边形内角和等于外角和即可求出边数，可判断④； ⑤设多边形边数为，由，求解可得多边形的边数为，故一个多边形切去一个角后，形成一个七边形时，原来这个多边形的边数是或或，可判断⑤． 解：①当多边形边数为六时， ∵， ∴六边形内角和为， ∴①正确； ②多边形外角和360°，但无法确定每个外角的度数 ∴②错误； ③∵边形从一个顶点最多可引出条对角线， ∴③错误； ④设多边形边数为， ∴， 解得， ∴多边形的边数为 ∴④正确； ⑤设多边形边数为， ∴， 解得， ∴多边形的边数为， ∴一个多边形切去一个角后，形成一个七边形时，原来这个多边形的边数是或或． ∴⑤错误； 综上所述，其中描述的描述正确的个数有①④． 故选：B． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级下·上海·阶段练习）将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两个三角形重叠部分为四边形，根据四边形内角和为360度列式求解即可． 解：如图， 由题意知，，，，， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2040秒钟后，两枚跳棋之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、正多边形的性质是解题的关键． 由题意分别求出经过秒后，红黑两枚跳棋的位置，连接，过点作于点，根据正多边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理进行计算求解即可． 解：∵，， ∴，， ∴经过秒后，红跳棋落在点处，黑跳棋落在点处， 如图，连接，过点作于点， ∵，在正六边形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴两枚跳棋之间的距离是； 故答案为：． 13．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图在平面直角坐标系中将向右平移得到，其中点A坐标为，点C坐标，点D坐标，点坐标，则在平移过程扫过的面积即四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了根据平移的性质求解，平行四边形的性质，坐标与图形，根据点C、的坐标求出平移距离，然后求出点的坐标，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解． 解：∵点，点， ∴平移距离， ∵点， ∴点的坐标为， ∵点，点D坐标， ∴点B的坐标为 ∴， 由平移性质得四边形是平行四边形， ∴四边形的面积 故答案为：8． 14．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点拨】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 15．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 16．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．    【答案】18 【分析】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸，则且，于是为平行四边形，故；根据“两点之间线段最短”，最短，即最短，也就是最短，据此求解即可． 解：作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸， 过点A作交的延长线于点C， 则且，于是为平行四边形，    故， 当时，最小，也就是最短， ∵（米），（米），（米） ∴在中，（米）， ∴的最小值为：（米） 故答案为：18 ． 【点拨】本题考查了轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化． 17．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，点D在上，点K在边上，连接、交于点P，连接，，，垂足为T，，那么以下结论： ①；②；③；④；中正确结论的序号是 ．    【答案】①②④ 【分析】证明即可判断①正确；证明可判断②正确；作，证明可判断④正确；用反证法可判断③错误． 解：①∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴，故②正确； ④作与点E，则，    ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ③假设正确，则， ∴， ∴， ∴． 作与点F． ∴， ∵， ∴， ∴， 这与矛盾， ∴不正确，故③错误． 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及反证法，正确作出辅助线是解答本题的关键． 18．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过点A作直线的垂线，交x轴于点C，以为直角边向右作等腰直角三角形，，过点作的平行线，交直线于点，交x轴于点，再以为直角边向右作等腰直角三角形，……按照此方式作下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出点的坐标为是解决本题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到点A、的坐标，通过相应规律得到点的坐标即可． 解：∵直线的解析式为， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 同理， … 点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）（1）如图，于点D，，求的长度（提示：等面积法） （2）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 ，求这个多边形的边数． 【答案】（1）；（2）这个多边形是5边形 【分析】该题主要考查了三角形面积计算，多边形内角和以及外角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据等面积法求解即可； （2）根据多边形内角和以及外角和定理求解即可． 解：（1）∵，，， ∴， 即． （2）设这个多边形是n边形， ∵一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 ， ∴， 解得：， 故这个多边形是5边形． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在中，对角线，交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，．   （1）求证：与互相平分； （2），，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）证明，得出，根据平行四边形的性质得出，即可得证； （2）由勾股定理得，进而求得，再根据勾股定理即可求解． 解：（1）证明：∵在中，点是对角线，的交点， ， ，， ， 在和中， ， ． ，， 与互相平分． （2）解：在中，， ， ． 由勾股定理得， ， ． 由勾股定理得， ． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，E、F分别是上的点，G、H分别是的三等分点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定： （1）由平行四边形对边平行结合平行线的性质与判定定理可得，，再证明，则由全等三角形的判定定理即可证明结论； （2）过点G作于M，可证明，则，据此求出的长，再求出的长，从而求出的长，再由全等三角形的性质即可得到答案． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵G、H分别是的三等分点， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点G作于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·湖南永州·阶段练习）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据，得，；结合，通过证明得，即可完成证明； （2）过点作于点，由，推导得；结合，，，通过计算得；结合，，，通过计算得；通过关系计算，即可得到答案． 解：（1）证明：∵//， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数； （2）如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形； （3）如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 【答案】（1）；（2）秒或秒或秒；（3）8 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题． 解：（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是平行四边形， ， ． 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒； （3）如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为． 【点拨】本题考查的是平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·河南南阳·期末）综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在中，，，，是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． 【观察发现】 （1）如图1，若，则与的大小关系是 ；线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）当，且点在内部时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），，；（2）仍然成立，理由见分析；（3） 【分析】本题考查折叠性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）根据折叠性质得到，，则利用平角定义得，利用中点性质和等边对等角得，利用三角形的内角和定理得到，进而可证，，证明四边形是平行四边形可得； （2）与（1）证明方法类同，可得结论仍然成立； （3）作于点，利用折叠性质可得，则为等腰直角三角形，进而求得，在中，由勾股定理可得，进而可求解． 解：（1）由折叠性质得，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，则， ∴，即； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，，； （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立， 理由如下：由折叠，可得，． ∵为的中点， ∴． ∴． ∴， 又， ∴． ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （3）作于点，则， ∵， ∴， ∴，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 平行四边形（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D．-4 3．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，相交于点，，，记的长为，的长为，则下列各式正确的是（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，点、点是边上两点，满足，，延长、交于点，连接，设，则的大小用含的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，小美同学按如下步骤尺规作图：①分别以点A、C为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点E、F；②作直线，交于点O，交于点G；③作射线，在射线上截取（B与D不重合），使得；④作直线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河南开封·一模）依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽宣城·一模）如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·四川德阳·期中）关于多边形有以下描述：（    ） ①六边形内角和为； ②十二边形每个外角度数均为； ③边形从一个顶点最多可引出条对角线； ④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形． ⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原来这个多边形的边数是． 根据描述判断，其中描述正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级下·上海·阶段练习）将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是 ． 12．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2040秒钟后，两枚跳棋之间的距离是 ． 13．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图在平面直角坐标系中将向右平移得到，其中点A坐标为，点C坐标，点D坐标，点坐标，则在平移过程扫过的面积即四边形的面积为 ． 14．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 15．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 16．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．    17．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，点D在上，点K在边上，连接、交于点P，连接，，，垂足为T，，那么以下结论： ①；②；③；④；中正确结论的序号是 ．    18．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过点A作直线的垂线，交x轴于点C，以为直角边向右作等腰直角三角形，，过点作的平行线，交直线于点，交x轴于点，再以为直角边向右作等腰直角三角形，……按照此方式作下去，点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习） （1）如图，于点D，，求的长度（提示：等面积法） （2）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 ，求这个多边形的边数． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在中，对角线，交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，．   （1）求证：与互相平分； （2），，，求的长． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，E、F分别是上的点，G、H分别是的三等分点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·湖南永州·阶段练习）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数； （2）如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形； （3）如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·河南南阳·期末）综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在中，，，，是的中点，连接，将沿折叠得到（点不与点重合），作直线交于点． 【观察发现】 （1）如图1，若，则与的大小关系是 ；线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）当，且点在内部时，请直接写出线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$