精品解析：江苏省连云港市灌云县西片2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期第一次教学质量检测八年级数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 以下调查中，适合全面调查的是（ ） A. 春节期间对市面上某品牌面包质量进行调查 B. 检测“神舟十九号”飞船的零部件 C. 检测霍邱县城区的空气质量 D. 调查某鱼塘中现有鱼的数量 2. 为了了解某校七年级学生视力，从中抽取60名学生进行视力检查．在这次调查中，总体是（ ） A. 每名学生的视力 B. 60名学生的视力 C. 60名学生 D. 该校七年级学生的视力 3. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是随机事件是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是； B. 任意抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上； C. 在一个标准大气压下加热到时，水沸腾； D. 太阳从东方升起． 5. 小莹和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同，一人摸牌，一人记录．经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算，小莹和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，将绕点逆时针旋转得到．如图，在旋转过程中，连接，交于点，当时，为（　　） A B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点F，点E是的中点，点P以每秒1的速度从点A出发，沿向点F运动；点Q同时以每秒2的速度从点C出发，沿向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ） A. 2 B. 5 C. 2或 D. 5或 二、填空题（共8小题） 9. 梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是_____． 10. 春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是__________． 11. 如图，一个五角星图案，绕着它的中心O旋转，则旋转角至少为_________时，旋转后的五角星与自身重合． 12. 一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是________． 13. 如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ___________ ． 14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上两点，给出下列4个条件：①；②DE=BF；③；④，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是______________； 15. 如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为___________ 16. 如图，在中，，，，在直线上，将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点；…，按此规律继续旋转，则______． 三、解答题（共10小题） 17. 某学校为进一步丰富学生的课后实践活动，组织了一个科技小组，进行种植体验实践活动，为了解某种新型辣椒的挂果情况，该小组随机调查了80株该品种辣椒的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 8 01 16 0.2 a 0.25 24 b 12 0.15 合计 80 1 请结合图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中， ， ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若所种植的新型辣椒有300株，请估计挂果数量在“”范围的辣椒有多少株？ 18. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）本次调查活动随机抽取了______人，请补全条形统计图。 （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数． （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 19. 某水果公司新进了千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中： 柑橘总质量（/千克） 损坏柑橘质量（/千克） 柑橘损坏的频率（） （1）写出______ ______ ______精确到）. （2）估计这批柑橘的损坏概率为______（精确到）. （3）该水果公司以元每千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到）. 20. 口袋里有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． 如果事件A是必然事件，则　　；如果事件A是随机事件，则　　； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值． 21. 如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）直接写出关于原点O的中心对称图形的对称点的坐标； （2）画出关于原点O的中心对称图形； （3）求的面积． 22. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 23. 如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，且，求两点之间的距离． 24. 如图，为直线上的一点，在直线的上方，，一直角三角板的直角顶点放在点处，该直角三角板的一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）如图，的度数为 ，的度数为 ． （2）如图，当该直角三角板绕点旋转至，且恰好平分时，求度数． （3）如图，当该直角三角板绕点旋转至，且在的内部时，则的度数为 ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，点点． （1）点的坐标为_____； （2）点是线段上一动点．若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线正好将分成面积相等的两部分．请确定和的关系式． 26. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第一次教学质量检测八年级数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 以下调查中，适合全面调查的是（ ） A. 春节期间对市面上某品牌面包质量进行调查 B. 检测“神舟十九号”飞船的零部件 C. 检测霍邱县城区的空气质量 D. 调查某鱼塘中现有鱼的数量 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了抽样调查和全面调查的选用．根据抽样调查和全面调查的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、春节期间对市面上某品牌面包质量进行调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意； B、检测“神舟十九号”飞船的零部件，适合全面调查，故本选项符合题意； C、检测霍邱县城区的空气质量，适合抽样调查，故本选项不符合题意； D、调查某鱼塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 为了了解某校七年级学生的视力，从中抽取60名学生进行视力检查．在这次调查中，总体是（ ） A. 每名学生的视力 B. 60名学生的视力 C. 60名学生 D. 该校七年级学生的视力 【答案】D 【解析】 【详解】解：为了了解某校七年级学生的视力，从中抽取60名学生进行视力检查，在这次调查中，总体是某校七年级学生的视力， 故选：D． 3. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 4. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是； B. 任意抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上； C. 在一个标准大气压下加热到时，水沸腾； D. 太阳从东方升起． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故不符合题意； B、任意抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上，是随机事件，符合题意； C、在一个标准大气压下加热到时，水沸腾，是必然事件，故不符合题意； D、太阳从东方升起，是必然事件，故不符合题意． 故选：B． 5. 小莹和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同，一人摸牌，一人记录．经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算，小莹和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率，应用概率公式进行计算．先根据摸出方块的频率越来越接近，得出摸出方块的概率为，再求出纸牌的总数为18，再求出a的值即可． 【详解】解：∵摸出方块的频率越来越接近， ∴摸出方块的概率为， ∴摸出红桃、黑桃的概率为：， ∴纸牌的总数为：， ∴， 故选：D． 6. 如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 7. 在中，，将绕点逆时针旋转得到．如图，在旋转过程中，连接，交于点，当时，为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据三角形内角和定理求得，结合旋转的性质得，则，利用平行线的性质得，进一步利用三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到 ∴， ∴， ∵ ∴， 则， 故选：B． 8. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点F，点E是的中点，点P以每秒1的速度从点A出发，沿向点F运动；点Q同时以每秒2的速度从点C出发，沿向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ） A. 2 B. 5 C. 2或 D. 5或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，一元一次方程的应用．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，一元一次方程的应用是解题的关键． 由平行四边形，是的平分线，可得，则，由题意得，点P运动到时间为，点Q运动到时间为，当时，，，则，，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，即，计算求解即可；当时，，，则，，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，是的平分线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴点P运动到时间为，点Q运动到时间为， 当时，，，则，， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， 解得，， 当时，，，则，， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， 解得，， 综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2或， 故选：C． 二、填空题（共8小题） 9. 梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算划线部分字的总数，再数“国”字个数，根据频率=频数除以总数的定义即可得． 【详解】解：∵在“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”这18个字中，“国”字有3个， ∴“国”字出现的频率是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率=频数÷数据总数． 10. 春节期间，某商场举行有奖促销活动，各个奖项所占比例如图所示，某消费者在购物后要进行一次抽奖，则该消费者中奖的可能性是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：该消费者中奖的可能性是， 故答案为：． 11. 如图，一个五角星图案，绕着它的中心O旋转，则旋转角至少为_________时，旋转后的五角星与自身重合． 【答案】##72度 【解析】 【分析】根据五角星图案被分成相同的五份，用圆心角除以5即可得到最小旋转度数，即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， 五角星图案被分成相同的五份， ∴， ∴只要是旋转的整数倍都可以与原图形重合， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 12. 一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了条形图和扇形统计图，掌握扇形统计中调查总数等于部分数除以部分数所占总数的百分比，部分数等于总数乘以部分数所占总数的百分比是解题的关键．根据统计图中，选择D的人数为10人，占总人数的，求出总人数，最后用总人数乘以选择B的百分比即可． 【详解】解：根据题意总人数为：（人）， 则选B的人数是：（人） 故答案为：4． 13. 如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，于点B，于点D．若，，则阴影部分的面积之和为 ___________ ． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了中心对称的性质、长方形的面积等知识，由曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点D，，则，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵直线a、b垂直相交于点O，点A的对称点是点，于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：12． 14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上两点，给出下列4个条件：①；②DE=BF；③；④，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是______________； 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据已知条件进行分析，运用平行四边形判定条件判断即可； 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， 又∵OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形，故①正确，不符合题意； 当DE=BF时，根据已知条件不能证明四边形DEBF是平行四边形，故②符合题意； 当时，不能证明四边形DEBF是平行四边形，故③符合题意； 当时，根据已知可得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形DEBF是平行四边形；故④正确，不符合题意； 故答案是②③． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判断，准确理解是解题的关键． 15. 如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 16. 如图，在中，，，，在直线上，将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点；…，按此规律继续旋转，则______． 【答案】4050 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，旋转的性质及勾股定理，根据题意，发现将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加，2，，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】解：中，，，， ， 由题意知，， ， ， …… 以此类推，每旋转一次，的长度依次增加，2，，且三次一循环， ， ， 故答案为：4050． 三、解答题（共10小题） 17. 某学校为进一步丰富学生的课后实践活动，组织了一个科技小组，进行种植体验实践活动，为了解某种新型辣椒的挂果情况，该小组随机调查了80株该品种辣椒的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 8 0.1 16 0.2 a 0.25 24 b 12 0.15 合计 80 1 请结合图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中， ， ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若所种植的新型辣椒有300株，请估计挂果数量在“”范围的辣椒有多少株？ 【答案】（1）20，0.3； （2）见解析； （3）挂果数量在“”范围的辣椒约有90株． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知样本容量，求某个项目的频数，根据样本容量及频率即可求解，根据求某项的频率的方法即可求解； （2）由（1）可求出对应项的频数，由此即可补全频数分布直方图； （3）根据样本的频数估算总体的数量的方法即可求解． 本题主要考查调查与统计中的相关的计算，掌握样本的计算方法，频率的计算方法，根据样本频率估算总体数量的方法等知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：种植的新型辣椒有300株，请估计挂果数量在“”范围的辣椒有： （株）． 18. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）本次调查活动随机抽取了______人，请补全条形统计图。 （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数． （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 【答案】（1）50；见解析 （2） （3）4500人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，再求出混动的人数，进而可补全条形统计图； （2）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ∴混动的人数为人， 补全统计图如下所示： 【小问2详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 小问3详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有4500人． 19. 某水果公司新进了千克柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中： 柑橘总质量（/千克） 损坏柑橘质量（/千克） 柑橘损坏的频率（） （1）写出______ ______ ______精确到）. （2）估计这批柑橘的损坏概率为______（精确到）. （3）该水果公司以元每千克的成本进的这批柑橘，公司希望这批柑橘能够获得利润元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，求出每千克大约定价为多少元时比较合适（精确到）. 【答案】（1），，； （2）； （3）元 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识以及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键． （）利用频数计算方法去掉频数即可； （）大量重复试验中频率稳定值即为概率； （）设每千克大约定价为元，根据“销售额总成本利润”列出关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：柑橘完好的概率约为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设每千克大约定价为元， 根据题意得， 解得， 答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为元比较合适． 20. 口袋里有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． 如果事件A是必然事件，则　　；如果事件A是随机事件，则　　； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值． 【答案】（1）3，1或2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，利用概率求数量． （1）根据必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件进行求解即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如果事件A是必然事件，则袋子里全是红球， ∴； 如果事件A是随机事件，则袋子里还剩余白球， ∴或2； 故答案为：3，1或2； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：． 21. 如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）直接写出关于原点O的中心对称图形的对称点的坐标； （2）画出关于原点O的中心对称图形； （3）求的面积． 【答案】（1），， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-中心对称变换，利用网格求面积，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （）根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解； （）根据（1）中结论作图即可； （）利用长方形面积减去三个直角三角形的面积即可； 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 【小问3详解】 解：的面积为． 22. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 23. 如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，且，求两点之间的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证； （2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离． 【小问1详解】 证明：连接交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，两点之间的距离为． 24. 如图，为直线上的一点，在直线的上方，，一直角三角板的直角顶点放在点处，该直角三角板的一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）如图，的度数为 ，的度数为 ． （2）如图，当该直角三角板绕点旋转至，且恰好平分时，求的度数． （3）如图，当该直角三角板绕点旋转至，且在的内部时，则的度数为 ． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）结合邻补角定义可得，再由进行计算即可得解； （2）结合（1）中所求的，结合角平分线定义可解得，则； （3）设，则，，直接进行计算即可． 【小问1详解】 解：依题得：， ， ， ． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：，恰好平分， ， ． 【小问3详解】 解：设，则，， ． 故答案：． 【点睛】本题考查的知识点是几何图形中角度的计算、邻补角、角平分线定义、一元一次方程的实际应用，解题关键是熟练掌握几何图形中角度的计算． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，点点． （1）点的坐标为_____； （2）点是线段上一动点．若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线正好将分成面积相等的两部分．请确定和的关系式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，根据平行四边形的性质得到，于是得到点B的坐标； （2）设，根据当，当，和三种情况分类讨论即可； （3）连接交于，根据平行四边形的性质得到，求得，即可得到结论． 【小问1详解】 解：点A坐标是，点O坐标是， ， 平行四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：点是线段上一个动点， 设， 是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时，则点在的垂直平分线上， ； ③时， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：如图：连接交于， 平行四边形， 点A坐标是，点坐标是， ， 由于正好将平行四边形分成面积相等的两部分， 直线过， ， ， 故． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 26. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②4；（2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． （1）①根据含30度的直角三角形的性质解答； ②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：4； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $