第11章 不等式与不等式组单元总复习（6大压轴题型+提高训练）-2024-2025学年七年级下册数学【人教2024版】-原卷+解析版

第11章 不等式与不等式组单元总复习（6大压轴题型） 【不等式与不等式组2大题型+不等式与不等式组综合应用4大题型】 1．（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)或(2)或(3)或 【详解】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 2．（23-24七年级·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或(2) 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 3．（23-24七年级·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤；(2)． 【详解】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或(2)或(3) 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 5．（23-24七年级·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或(2)(3)或 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 6．（23-24七年级·湖南长沙·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【答案】(1)3，(2)，最小值为1(3)①；② 【详解】（1）解：C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； （2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且为； （3）①的解集为或， 故答案为：或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或．    7．（24-25七年级·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或(2)(3)或 【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， ∴方程的解为：或， 故答案为：或． （2）解：在数轴上找出的解，如图：    ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：在数轴上找出的解， 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 8．（24-25七年级·上海·期中）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【答案】(1)或(2)，，，0，1，2(3)或 【详解】（1）解：， 或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5， ∵数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴， ∵为整数， ∴，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2； （3）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7， 首先在数轴上找出的解（如图），    由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或， ∴的解集为：或， 故答案为：或． 1．（24-25七年级·重庆·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为 ；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是 ． 【答案】 6923 【详解】解：是一个“快乐数”， ， 解得：， 这个数为； 自然数是“快乐数”， ， ， ，，， ，， ， ， ， 自然数能被7整除， 能被7整除， 当或时，能被7整除， ①当时， ， 故此种情况不存在； ②当时， ， ， ， ， ， 解得：， ，且为整数， 最大取， 当时， ， ， ， 故答案：，． 2．（24-25七年级·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】578 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 3．（24-25七年级·河南平顶山·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ． 【答案】8 【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为， 对于实数对，，， ， ， 解得：， 的最小整数值是8， 故答案为：8． 4．（24-25七年级·广东广州·期末）已知，求的最大值和最小值． 【答案】当时，有最大值为4，；当时，有最小值为． 【详解】解：不等式的解是， 当时，化简得， ∴； 当时，化简得， ． 故当时， 的最大值是；当时，的最小值是． 1．（24-25七年级·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③(2)2(3)①，；②不存在，见解析 【详解】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 2．（24-25七年级·全国·期中）定义：三个关于x的整式A、B、C，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，有：当时的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由； (2)若三个关于x的整式，x，，可以构成“不等式”，求a的值； (3)若三个整式，，构成“不等式”，求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)可以，见解析(2)或1(3)或或 【详解】（1）解：，1，可以构成“不等式”， ∵，即的解集为， ∴，1，可以构成“不等式”； （2）解：①若，即， 则，即且， 解得（舍）； ②若，即， 则，即且， 此时； ③若，即，则， 即且； 综上，； 即或1； （3）解：①若，即，则， 即且，化简得， 代入得， 即，则， 由， 得：， 即， ∴； 由，得：， ∴， 此时不等式组的解集为； ②若，即， 则，， 化简得，代入， 得：，则， 由， 得：，即， ∴， 由，得：， ∴， 此时不等式组的解集为； ③若，即， 则，即，且， 化简得， 代入得， 解得，则， 由，得：， 即， ∴， 由，得：， ∴， 此时不等式组的解集为； 综上，或或． 3．（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①③(2)(3) 【详解】（1）解：①， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； ②， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ③， 移项得，， 系数化为1得，； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． （2）解： 解得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得； （3）解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， 解得， ∴． 4．（24-25七年级·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 【答案】(1)①； ②是(2)(3) 【详解】（1）解：①解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 故答案为：； ②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为， ∴不等式组对于不等式组是中点包含， 故答案为：是； （2）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴ 解得； （3）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之积为， ∴可取或可取， ∴或， 即． 5．（24-25七年级·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)①(2)；(3)． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 6．（24-25七年级·重庆·期中）若一个四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数P为“举一反三数”，记P各个数位上的数字之和为． (1)最大的“举一反三数”为_______，最小的“举一反三数”为___________； (2)一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，若被9除余6，且是2的倍数，求的最小值． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：设“举一反三数”的千位数字为，个位数字为，则百位数字为，十位数字为， ∴这个“举一反三数”为， ∵四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0， ∴，，，， 解得，， ∴当，时有最大的“举一反三数”，为； 当，时有最小的“举一反三数”，为； 故答案为：，； （2）解：一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，则百位数字为，十位数字为，，，，， 另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，则百位数字为，十位数字为，，，，， ∵被9除余6， ∴是的倍数， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵是2的倍数， ∴， ∴， 解得，即， ∴ ， ∴当最小，最大时的最小值， ∵，，， ∴，解得， 同理求得， ∴当，时有最小值，此时． 7．（24-25七年级·北京·期中）已知图形和线段，若图形上存在不同的两点和，使得点与点到线段中点的距离相等，则称图形为线段的“关联图”．已知：、、在数轴上对应的数分别为、0和． (1)若．请回答以下两个问题： ①记以下数在数轴上对应的点为，则满足线段是线段的“关联图”的有______．（填序号） ①    ②3    ③5 ②设点、对应的数分别为、，若线段为线段的“关联图”，则满足的所有整数的值为______． (2)已知数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、18，现将、均以每秒4个单位长度沿数轴向右移动，将以每秒2个单位长度沿数轴向左移动，移动时间为秒．当时，线段上总存在点，使线段为线段的“关联图”，则的取值范围为______． 【答案】(1)①：②③；②：2、3、4；(2) 【详解】（1）解：、在数轴上对应的数分别为、， 线段的中点在数轴上对应的数为， 线段是线段的“关联图”， 线段上存在不同的两点到线段中点的距离相等， 在数轴上对应的数为0， 点在数轴上对应的数， ②③满足条件； ②设点、对应的数分别为、， 线段为线段的“关联图”， 线段上存在不同的两点到线段中点的距离相等， ，， ， ， 到点的距离与到点的距离之和为5， ， ， 满足的所有整数的值为2、3、4； （2）解：、在数轴上对应的数分别为、， 线段的中点在数轴上对应的数为， 由题意可知，移动后数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、， 若点和点重合，则，解得； 若点和点重合，则，解得：； ①当时，点在点的左侧， 此时， 解得：， ； ②当时，点在线段上， 此时或， 解得：或， 或； ③当时，点在点的右侧， 此时， 解得：， ， 综上可知，的取值范围为， 故答案为：． 8．（23-24七年级·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，，连接． (1)若，，求线段的长； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②，且 【详解】（1）解：若，， 则，， 则轴， ． （2）解：①若， 则， ∴，， ∴将点A向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到B点． ∴平移线段，使点A，B的对应点分别为点，， ∴，， ∴将点P向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到Q点． ，， 解得，． ②由①得，． （ⅰ）如图，当时， ， ∵， ， 解得， 时，成立； （ⅱ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅲ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅳ）如图，当时， ， ， ， 解得， ∴当时，成立； 综上，当时，b的取值范围是：，且． 9．（23-24七年级·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1)；(2)或；(3)． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 10．（23-24七年级·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，(2)(3)存在， 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 1．（23-24七年级·湖北·期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 【答案】(1)①，；②(2)，(3) 【详解】（1）解：①由题意得到甲商场实际花费：(元)， 到乙商场实际花费：(元)． 故答案为：， ②若，到甲商场实际花费：． 到乙商场实际花费：． ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：当时，到甲商场无优惠， ， 当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元， %． ． 当时，到甲或乙商场实际花费一样， %%， ． ，． （3）解：时，到甲或乙商场实际花费一样， ， ． ， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴即 ∴的最大值为 2．（23-24七年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 【答案】任务1：A奖品单价50元，B奖品单价为40元； 任务2：此次购买A奖品共有3种购买方案； 任务3：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 【详解】任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得： 解得： 答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元． 任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品份，得 解得：， a为正整数， a可取的值有11，12，13． 答：此次购买A奖品共有3种购买方案． 任务3： 设购买A奖品m份，C奖品n份， 则B奖品份数为：，依题意得： ， 解得：，即， m、n均为正整数， 可以取的值有：，，，，，，，，，，， 当时，，即，无解 当时，，即，所以 ，，此时奖品人数最多 方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为（元），符合题意． 故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 3．（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元． (1)求A，B商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值． 【答案】(1)A，B商品每件进价分别是5元，6元(2)有31种进货方案(3) 【详解】（1）解：设A，B商品每件进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B商品每件进价分别是5元，6元； （2）解：设购进A商品m件，则购买B商品件，以10元售出的商品件数为件， 由题意得，， 整理得：， 解得， ∵m为正整数， ∴的值可以有种， ∴有31种进货方案； （3）解：设购进A商品t件，则购进B商品件，捐款总额为W， ∴， ∵最大捐款为200元， ∴当时，，则，不符合题意， ∴， ∵随着t的增大，的值也在增大，即W的值也在增大， ∴当t最大时，W最大， ∴， 解得． 4．（23-24七年级·广东深圳·期中）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元，(2)8种 (3)该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 【详解】（1）解：设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元； （2）解；设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个， ∵该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元， ∴ 解得， ∵是非负整数， ∴m必须是5的倍数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商店3月份有8种销售方案； （3）解：由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元， ∴儿童头盔最多时，利润最多， ∴该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 5．（24-25七年级·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 【答案】(1)该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张 (2)该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； (3)该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 【详解】（1）解：设该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张， 根据题意可得方程， 解得， 该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （2）解：设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张， 由题意可得， 解得， 是正整数， 或17， 或13， 故所有可能的进货方案由两种，分别为：该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （3）解：在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台， ①当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， ， ②当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， 无解， 综上所述，该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 6．（24-25七年级福建厦门·期末）根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下： ①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒； ②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加； ④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定． (1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本； (2)①求该药品纳入医保后的售价； ②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由． 【答案】(1)该药品在未纳入医保前的售价为330元，成本为55元 (2)①该药店纳入医保后的售价为元/盒；②该药企的制定该药品价格范围为，理由见解析 【详解】（1）解：设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元 根据题意，列出方程组： ， 解得：， 答：该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元； （2）解：①设该药品纳入医保后的售价为元/盒 因为第二个月的总销量比第一个月增加， 所以第二个月的总销量为（）盒 因为第二个月甲药店出售盒，所以乙药店出售盒, 根据题意可列方程： 解得： 所以该药店纳入医保后的售价为元/盒, ②因为该药品的价格不变，则销量基本保持稳定，根据题意可得四个月的销售情况如下： 第一个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第二个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第三个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第四个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，甲乙两家药店共售出盒 由第二个月可发现：乙药店价格下降，乙药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 由第三个月可发现：甲药店价格下降，甲药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 由第四个月可发现：甲乙两家药店价格下降，甲乙药店总销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 总结规律：该药品价格每降低，销售量增长率为， 设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为， 依题意得：， 解得, 因为盈利不低于，则≥， 解得≥ 所以 因此该药企的制定该药品价格范围为 7．（24-25七年级·湖北宜昌·期末）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 (1)求保温杯、台灯的标价； (2)某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 【答案】(1)保温杯、台灯的标价为80元和100元 (2)甲校分别获得保温杯和台灯个和个，乙校分别获得保温杯和台灯个和个 【详解】（1）解：设保温杯、台灯的标价为x元和y元， ，解得， 答：保温杯、台灯的标价为80元和100元． （2）解：第三次购买的打折数为：折， 设甲校获得保温杯a个，则 , 解得， 又∵a为整数， ∴， ∴甲校分别获得保温杯和台灯个和个，乙校分别获得保温杯和台灯个和个． 8．（24-25七年级·全国·单元测试）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过元购进台电脑，其中型电脑每台进价元，型电脑每台进价元，型每台售价元，型每台售价元，预计销售额不低于元．设型电脑购进台、商场的总利润为（元）． (1)请你设计出所有的进货方案； (2)在上述的进货方案中，哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？ (3)商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进型和型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买型电脑、型电脑和帐篷的方案． 【答案】(1)有3种购买方案，方案1：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案2：购A型电脑23台，B型电脑17台；方案3：购A型电脑24台，B型电脑16台 (2)购A型电脑24台，B型电脑16台利润最大，为18400元 (3)有2种购买方案，方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶；方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶 【详解】（1）解：设A型电脑购进x台，则B型电脑购进台． 根据题意得：， 解得：． ∵x为整数， ∴x的值为22，23，24  ， ∴有3种购买方案： 方案1：购A型电脑22台，B型电脑18台； 方案2：购A型电脑23台，B型电脑17台； 方案3：购A型电脑24台，B型电脑16台； （2）解：方案1利润为：（元）； 方案2利润为：（元）； 方案3利润为：（元）； ∵， ∴购A型电脑24台，B型电脑16台利润最大，最大为18400元． （3）解：设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶， 由题意，得， 解得， ∵，且a、b、c为整数， ∴，且是5的倍数．且c随a、b的增大而减小． 当时，，舍去； 当时，，故； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，故； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； ∴有2种购买方案： 方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶， 方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶． 1．（23-24七年级·江苏·周测）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为　 　； ②的意义可理解为数轴上表示数x和　 　这两点的距离； 探索材料2：在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．若1表示的点与表示的点重合， ①则表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上 A、B 两点之间的距离为 9 （A 在 B 的左侧），且 A、B 两点经折叠后重合，求 A、B 两点表示的数是多少？    探索材料3（填空）：如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在 才能使P和A的之间的距离与P和B的之间的距离之和最小？    探索材料4：给出如下定义：在数轴上若点M和点P之间的距离小于或等于k，则称点M为点P的k可达点．例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点．若点C表示的数为m，点A表示的数是1，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ． 【答案】探索材料1①4；②；探索材料2①2；②点A表示的数为，点B表示的数为；探索材料3点A、点B之间（包括A、B）；探索材料4 【详解】解：探索材料1 ①； ②的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； 探索材料2 ①∵1表示的点与表示的点重合， ∴对称中心是原点， ∴表示的点与2表示的点重合， ②∵A、B 两点经折叠后重合， ∴A、B 两点到对称中心的距离相等， ∵A、B 两点之间的距离为 9 （A 在 B 的左侧），对称中心是原点， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； 探索材料3 当点P在点A左边时， ； 当点P在点A和点B之间（包括A、B）时， ； 当点P在点B右边时， ； ∴当点P在点A、点B之间（包括A、B）时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 探索材料4 若点C为点A的2可达点，则 ， 解得：． 2．（23-24七年级·湖南株洲·期中）【阅读材料】： 材料一：对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；． 已知：； 材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ，， ，是非负数，即，， ，，． 【回答问题】： (1)求出，的值； (2)已知，均为非负数，，求的取值范围； (3)已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值． 【答案】(1)(2)(3)最小值，最大值 【详解】（1）解：∵；，， ∴， ∴解方程组得：； （2）∵， ， ，是非负数， 即， ， ∵， ∴ ， ． （3）∵，，而， ∴，解得：， ∵，，都为非负数， ∴，解得：， ∴ ； 当时，， 当时，． 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）【阅读材料】 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；． 已知：；． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ∵，∴， ∵x，y是非负数，∴即，∴， ∵，∴， ∴． 【回答问题】 (1)求出a和b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围； (3)已知x，y，z都为非负数，，，求的最大值和最小值． 【答案】(1)(2)(3)最大值和最小值 【详解】（1）解：∵；，， ∴， ∴解方程组得：； （2）∵， ， ，是非负数， 即， ， ∵， ∴ ， ． （3）∵，，而， ∴， 解得：， ∵，，都为非负数， ∴，解得：， ∴ ； 当时，， 当时，． 4．（24-25七年级·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”． 解答下列问题： (1)若点A表示的数为-5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为___________； (2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为___________，点B表示的数为___________； (3)点A表示的数为-6，点C，D表示的数分别是-4，-2，点O为数轴原点，点B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）． ①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有___________； ②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，求t的所有整数值，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”． 【答案】(1)(2)，(3)① ，；② 2，4，5 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2），， 故答案为：，； （3）设B表示的数为， ①， 所以整数m的值为：，， 故答案为：，； ②由题意得：A表示的数为：，D表示的数为：， O可以为点A与点B的“雅中点”， B表示的数为：， ∵点B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）， ， 解得：， t的所有整数值为：2，3，4，5， 时，，此时B表示的数为0，因此不符合题意，舍去， 故满足条件的t的值为2，4，5． 5．（24-25七年级·四川南充·期末）阅读下面材料： 关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．    解：∵，∴当时，，当时，． ∵x的不等式的所有解都满足， ∴． 根据材料，完成下列各题： (1)解关于x的不等式． (2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围． (3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时，(2)(3)或 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，． （2）解：∵， ∴， ∵关于x不等式的所有解都满足不等式， ∴且， ∴； ∴； （3）解： 由①得，， 由②得，， ∵不等式组非负整数解的和为3， ∴不合题意，， ∵非负整数解的和为3， ∴①非负整数解为0,1,2， ∴， 解得，∴无解； ②非负整数解为1,2， ∴， 解得， ∴； ③非负整数解为3， ∴ ∴， 解得， 综上或． 6．（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；解决下列问题： (1)___________． (2)请回答下列问题： ①如果，求x． ②根据①，你发现了结论“如果，那么___________（填a，b，c的大小关系）”． ③运用②的结论，填空：若，则___________． 【答案】(1)； (2)①；②；③ 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∵， ∴是中最小的一个， ∴，解得：， ∴； ②证明：由，不妨令，即； 又∵， 解之得：，； 把代入可得； 把代入可得； ∴； 将代入得； ∴， 故答案为：； ③由②可得， 解之得， ∴． 故答案为： 1．（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒(2)2或6(3)或 【详解】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解：是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 2．（23-24七年级·天津·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接．若a，b满足．平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D． (1)填空：______，______，点D的坐标为______； (2)如图2，延长线段至点．连接，请利用，，的面积关系，求出m，n满足的关系式； (3)过点D作射线轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，连接交x轴于点Q，设运动时间为t秒，的面积为S，若，求t的取值范围． 【答案】(1)4，，(2)(3)或 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， ∵平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D、点C的坐标为， ， 从A到C的平移方式是：先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 将先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到，即， 故答案为：4，，； （2）如图，延长线段至点，则E在第三象限，则，过点E作轴于点F， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）如图所示： ， 依题意，，则， ， ， ， ， ， ， ，即或， 解得：或． 3．（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，，，，且满足，动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线向点C运动，动点Q从点O出发以每秒的速度，沿路线向点D运动．若P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．    (1)求B、D两点的坐标； (2)设P、Q两点运动时间为t，当三角形的面积为4时，求t的值； (3)设两点运动时间为t，当三角形的面积小于16时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)(2)或或5；(3)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵轴， ， ∵轴，， ； （2）解：∵， ∴点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒， 如图1所示：    当时，延长交于点F， ∵， ∴， 解得：； 如图2所示：    当时，过点P作PG⊥x轴，延长DC交PG于点H， ∵， ∴， 解得：； 如图3所示：    当时， ∵， 解得：； 综上可得：或或5； （3）解：∵点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒， ∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间的取值范围为， 点运动到点所用时间为4秒，点运动到点所用时间为， 因此，分以下两种情况： 如图，当时，，    则三角形的面积为， 解得， ∴当时，三角形的面积小于16； ②当时， 如图，过点作，交延长线于点，    ， ， 则三角形的面积为 ， ， ∴， 解得：； ∴当时，三角形的面积小于16； 综上可得：当或时，三角形的面积小于16． 4．（2025七年级·全国·专题练习）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为 个单位长度，x的值为 ； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； (4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)8，6(2)点M表示的数是(3)机器人M变成彩色的总时长为8秒 (4)t的值为4或10.4或8或20或 【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴表示的数分别为，即的值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：由（）可知，从运动到需秒， ∴，， ∴， 当追上时， ， 解得， 当追上之前， ∵， ∴ 解得， ∴， 当追上之后， ， ∵， ∴ 解得， ∴， 综上可知，， （秒） ∴机器人变成彩色的总时长为秒； （4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即， 解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，， 解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即， 解得或， 综上可知，的值为或或或或． 5．（23-24七年级·湖北宜昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)如图1，作直线，在轴上有一点，若△ABC的面积为2，求点的坐标； (2) 如图1，若在第一象限上存在一点G，G的坐标为，满足，求a的取值范围； (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点在轴负半轴上，连接交轴于点，记D、B、F三点构成的三角形面积为，记F、O、三点构成的三角形面积记为，若，求点的坐标． 【答案】(1)或(2)(3) 【详解】（1）解：∵的面积为2， ， 解得，， 则点的坐标为或； （2）解：如图，点G在下方时，过G作轴于H， ∵G的坐标为，且点G在第一象限内， ∴， ， ∵， ∴， 此时没有符合题意的a的值存在； 如图，点G在上方时，过G作轴于H， ∵G的坐标为，且点G在第一象限内， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 连接，过点D作轴于点M，作轴于点N， ∵点在线段上，即，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得： ， (舍去)， ∴， ， ∴ ， ， ， ∵ ． 6．（23-24七年级·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，点，，的位置如图所示，且是的立方根；方程是关于，的二元一次方程；为不等式组的最大整数解． (1)求点，，的坐标． (2)如图1，点为轴正半轴上的一个动点，且． ①求证：； ②如图2，与的平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点为轴正半轴上的一个动点，连接，，线段与轴交于点．若三角形的面积不大于三角形的面积，设动点的坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，(2)①见解析；②(3) 【详解】（1）解：的立方根是， ， 方程是关于x，y的二元一次方程， ， 解得，， 不等式组的最大整数解是5，则 则、、； （2）①， ， ， ， ， ②作，   ， ， ，， ； 与的平分线交于P点， ，， ， ； （3），，， ， ， ，即， 解得，， 在y轴正半轴上， ， 的纵坐标的取值范围是． 7．（23-24七年级·吉林白城·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接． (1)如图①，当轴时，的长为 ； (2)如图②，轴，轴，且满足，求四边形的面积S： (3)在（2）的条件下，连接，且，当时，求a的取值范围． 【答案】(1)3(2)9(3)或 【详解】（1）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴， ∴， 故答案为：3； （2）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴，轴， , ， ， 四边形的面积; （3）②分两种情况： 第一种，当时，如图所示： 的面积的面积四边形的面积 ， ， ， ， ， ， ， 第二种，当时，如图所示： 的面积四边形的面积的面积 ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 综上所述，当时，或． 8．（23-24七年级·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“近距”，如：点，，的“近距”是3． (1)已知点，，． ①若点，，的“近距”是4，则的值为 ； ②点，，的“近距”的最大值为 ； (2)已知点，，点为线段上一动点，当点，，的“近距”最大时，求此时点的坐标． 【答案】(1)①或6；②8(2) 【详解】（1）解：①∵，，， ∴轴，轴，，， ∵斜边大于直角边， ∴， ∵点，，的“近距”是4， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或6． ②∵，，，， ∴轴，轴，，， ∵斜边大于直角边， ∴， 当点A，B，C的“近距”为时，点A，B，C的“近距”为8，且 当点A，B，C的“近距”为时，点A，B，C的“近距”为，且， 综上：点A，B，C的“近距”的最大值为8． 故答案为：8． （2）解：法一：过点作交于于 ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，，重合，则近距为0； 当时，则，． ∴，此时近距为． 当点与点重合时，即时，近距最大值为2； 当时，则，即 ①若，则近距为； ②若，则近距为； ③若，则近距为； ∴此时近距的最大值小于2． 综上：近距最大值为2，此时． 法二：连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点为线段上一动点， ∴ ∵， ∴①当时， 若时，近距为 则，得 ∵ ∴此时不合题意舍去； 若时，近距为， 则，得 又∵ ∴ 此时近距的最大值为2     ②当时， 若时，近距为 则，得 又∵ ∴ 则近距的最大值为 若时，近距为 ，得 又∵ ∴ 则近距小于 ∴当时，近距的最大值为 综上：近距的最大值为2，此时，，即． 1．（24-25七年级·浙江杭州·阶段练习）当，，且满足时，恒成立．则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴的最小值为4， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（23-24七年级·江苏南京·开学考试）已知的解集是，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵的解集是， ∴， ∴， 解得，， ∴， 解得，． 故选：D． 4．（23-24七年级·广西南宁·阶段练习）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即表示不超过a的最大整数．例如：，，对于后面结论：①当时，则的值为1或2；②因为，所以；③若方程有解，则其解有无数多个；④若，则a的取值范围是．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故当时，则的值为或0或1或，故①错误； ②当时，，故②错误； ③当，2.1，3.1，时，方程均成立，故正③确； ④由，得，即，故④正确； ∴正确的有③④，共2个． 故选：B． 5．（24-25七年级·浙江嘉兴·阶段练习）若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的整数解是1，2，3，4， ∴， ∴， ∴ 解得：； 故答案为： 6．（2025七年级·全国·学业考试）设表示不超过x的最大整数(例如：)，则方程的解为 ． 【答案】或或 【详解】令(n为整数)，则原方程为． ． ∵表示不超过x的最大整数 ， ， 解得， 或或， 分别将n的值代入， 或或． 故答案为：或或． 7．（2025七年级·全国·专题练习）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ． 【答案】或或 【详解】解：分三种情况解答： ①若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； ②若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； ③若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； 综上所述，所给不等式组的解集为或或， 故答案为：或或． 8．（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）已知关于的不等式组的所有解都是正数； (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的条件下，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， 解①得， ， 解②得，， ， 关于的不等式组的所有解都是正数， ， ； （2）解：， ，， ； （3）解： ， ，， ， ， 可以是5，6， ， 所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解， ， ． 9．（2025七年级·全国·专题练习）有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有三张，相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数，老师把这张卡片发给、、、、、六名同学，每个同学得到两张颜色不同的卡片，然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和，六名同学交上来的答案如下表所示： 学生 答案 老师看完六名同学的答案后说：“只有一名同学的答案错了，但这个同学肯定不是．”那么： (1)同学______的答案是错误的，该同学应得到的正确结果是______； (2)四种颜色卡片上所写各数中最小的一个数是多少？ 【答案】(1)，(2)卡片上最小数为 【详解】（1）解：设这4张不同颜色卡片数为，，，， 则任选两个不同数相加，会出现种不同的和，分别为：，，，，，， 将这种不同的和两两组合并相加，发现， 故，在计算都正确的情况下，这种不同的和两两组合并相加会得到个相同的结果， 发现， 而， 故、中有一人错了，因为不是错，所以是错，正确为． 故答案为： ，136 （2）设这4张不同颜色卡片数为，所以，， 最小的数加第三小的数相加必然得第二小的和，所以， 最大的数加第三大的数相加必然得第二大的和，所以， 所以或， 由得， 而与奇偶性一样， 故， 而， 故． 故卡片上最小数为． 10．（2024七年级·全国·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1)(2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 11．（24-25七年级·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，则点与点的“识别距离”为______． 【深入应用】 （2）已知点，点为轴上的一个动点， ①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标； ②点与点的“识别距离”的最小值为______． 【知识迁移】 （3）已知点，直接写出点与点“识别距离”的最小值及对应的点坐标． 【答案】（1）3；（2）①点的坐标为或；②2；（3）点与的“识别距离”的最小值为 【详解】解：（1）∵点， ∴，，而， ∴点与点的“识别距离”为； （2）①设点B的坐标为，而， 点与的“识别距离”为 解得 则点B的坐标为或； ②由得：， 因此，分以下两种情况： 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 当或时，， 则点A与点的“识别距离”为， 综上，点与点的“识别距离”大于或等于2， 故点A与点的“识别距离”的最小值为2； （3）由得：或， 解得或， 因此，分以下三种情况： 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为， 此时，， 则点C的坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 不等式与不等式组单元总复习（6大压轴题型） 【不等式与不等式组2大题型+不等式与不等式组综合应用4大题型】 1．（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 2．（23-24七年级·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 3．（23-24七年级·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 4．（23-24七年级·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 5．（23-24七年级·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 6．（23-24七年级·湖南长沙·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 7．（24-25七年级·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 8．（24-25七年级·上海·期中）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 1．（24-25七年级·重庆·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为 ；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是 ． 2．（24-25七年级·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 3．（24-25七年级·河南平顶山·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ． 4．（24-25七年级·广东广州·期末）已知，求的最大值和最小值． 1．（24-25七年级·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级·全国·期中）定义：三个关于x的整式A、B、C，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，有：当时的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由； (2)若三个关于x的整式，x，，可以构成“不等式”，求a的值； (3)若三个整式，，构成“不等式”，求关于x的不等式组的解集． 3．（24-25七年级·安徽亳州·阶段练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 4．（24-25七年级·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 5．（24-25七年级·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 6．（24-25七年级·重庆·期中）若一个四位自然数P各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数P为“举一反三数”，记P各个数位上的数字之和为． (1)最大的“举一反三数”为_______，最小的“举一反三数”为___________； (2)一个“举一反三数”A的千位数字为a，个位数字为b，另一个“举一反三数”B的千位数字为c，个位数字为d，若被9除余6，且是2的倍数，求的最小值． 7．（24-25七年级·北京·期中）已知图形和线段，若图形上存在不同的两点和，使得点与点到线段中点的距离相等，则称图形为线段的“关联图”．已知：、、在数轴上对应的数分别为、0和． (1)若．请回答以下两个问题： ①记以下数在数轴上对应的点为，则满足线段是线段的“关联图”的有______．（填序号） ①    ②3    ③5 ②设点、对应的数分别为、，若线段为线段的“关联图”，则满足的所有整数的值为______． (2)已知数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、18，现将、均以每秒4个单位长度沿数轴向右移动，将以每秒2个单位长度沿数轴向左移动，移动时间为秒．当时，线段上总存在点，使线段为线段的“关联图”，则的取值范围为______． 8．（23-24七年级·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，，连接． (1)若，，求线段的长； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 9．（23-24七年级·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 10．（23-24七年级·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 1．（23-24七年级·湖北·期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 2．（23-24七年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 3．（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元． (1)求A，B商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值． 4．（23-24七年级·广东深圳·期中）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 5．（24-25七年级·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 6．（24-25七年级福建厦门·期末）根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下： ①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒； ②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加； ④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定． (1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本； (2)①求该药品纳入医保后的售价； ②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由． 7．（24-25七年级·湖北宜昌·期末）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 (1)求保温杯、台灯的标价； (2)某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 8．（24-25七年级·全国·单元测试）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过元购进台电脑，其中型电脑每台进价元，型电脑每台进价元，型每台售价元，型每台售价元，预计销售额不低于元．设型电脑购进台、商场的总利润为（元）． (1)请你设计出所有的进货方案； (2)在上述的进货方案中，哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？ (3)商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进型和型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买型电脑、型电脑和帐篷的方案． 1．（23-24七年级·江苏·周测）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为　 　； ②的意义可理解为数轴上表示数x和　 　这两点的距离； 探索材料2：在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．若1表示的点与表示的点重合， ①则表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上 A、B 两点之间的距离为 9 （A 在 B 的左侧），且 A、B 两点经折叠后重合，求 A、B 两点表示的数是多少？    探索材料3（填空）：如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在 才能使P和A的之间的距离与P和B的之间的距离之和最小？    探索材料4：给出如下定义：在数轴上若点M和点P之间的距离小于或等于k，则称点M为点P的k可达点．例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点．若点C表示的数为m，点A表示的数是1，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ． 2．（23-24七年级·湖南株洲·期中）【阅读材料】： 材料一：对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；． 已知：； 材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ，， ，是非负数，即，， ，，． 【回答问题】： (1)求出，的值； (2)已知，均为非负数，，求的取值范围； (3)已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值． 3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）【阅读材料】 材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；． 已知：；． 材料二：“已知x，y均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ∵，∴， ∵x，y是非负数，∴即，∴， ∵，∴， ∴． 【回答问题】 (1)求出a和b的值； (2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围； (3)已知x，y，z都为非负数，，，求的最大值和最小值． 4．（24-25七年级·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”． 解答下列问题： (1)若点A表示的数为-5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为___________； (2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为___________，点B表示的数为___________； (3)点A表示的数为-6，点C，D表示的数分别是-4，-2，点O为数轴原点，点B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）． ①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有___________； ②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，求t的所有整数值，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”． 5．（24-25七年级·四川南充·期末）阅读下面材料： 关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．    解：∵，∴当时，，当时，． ∵x的不等式的所有解都满足， ∴． 根据材料，完成下列各题： (1)解关于x的不等式． (2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围． (3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围． 6．（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；解决下列问题： (1)___________． (2)请回答下列问题： ①如果，求x． ②根据①，你发现了结论“如果，那么___________（填a，b，c的大小关系）”． ③运用②的结论，填空：若，则___________． 1．（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 2．（23-24七年级·天津·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接．若a，b满足．平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D． (1)填空：______，______，点D的坐标为______； (2)如图2，延长线段至点．连接，请利用，，的面积关系，求出m，n满足的关系式； (3)过点D作射线轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，连接交x轴于点Q，设运动时间为t秒，的面积为S，若，求t的取值范围． 3．（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，，，，且满足，动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线向点C运动，动点Q从点O出发以每秒的速度，沿路线向点D运动．若P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．    (1)求B、D两点的坐标； (2)设P、Q两点运动时间为t，当三角形的面积为4时，求t的值； (3)设两点运动时间为t，当三角形的面积小于16时，直接写出t的取值范围． 4．（2025七年级·全国·专题练习）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为 个单位长度，x的值为 ； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； (4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值． 5．（23-24七年级·湖北宜昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)如图1，作直线，在轴上有一点，若△ABC的面积为2，求点的坐标； (2) 如图1，若在第一象限上存在一点G，G的坐标为，满足，求a的取值范围； (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点在轴负半轴上，连接交轴于点，记D、B、F三点构成的三角形面积为，记F、O、三点构成的三角形面积记为，若，求点的坐标． 6．（23-24七年级·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，点，，的位置如图所示，且是的立方根；方程是关于，的二元一次方程；为不等式组的最大整数解． (1)求点，，的坐标． (2)如图1，点为轴正半轴上的一个动点，且． ①求证：； ②如图2，与的平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点为轴正半轴上的一个动点，连接，，线段与轴交于点．若三角形的面积不大于三角形的面积，设动点的坐标为，直接写出的取值范围． 7．（23-24七年级·吉林白城·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接． (1)如图①，当轴时，的长为 ； (2)如图②，轴，轴，且满足，求四边形的面积S： (3)在（2）的条件下，连接，且，当时，求a的取值范围． 8．（23-24七年级·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“近距”，如：点，，的“近距”是3． (1)已知点，，． ①若点，，的“近距”是4，则的值为 ； ②点，，的“近距”的最大值为 ； (2)已知点，，点为线段上一动点，当点，，的“近距”最大时，求此时点的坐标． 1．（24-25七年级·浙江杭州·阶段练习）当，，且满足时，恒成立．则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级·江苏南京·开学考试）已知的解集是，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级·广西南宁·阶段练习）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即表示不超过a的最大整数．例如：，，对于后面结论：①当时，则的值为1或2；②因为，所以；③若方程有解，则其解有无数多个；④若，则a的取值范围是．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级·浙江嘉兴·阶段练习）若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 6．（2025七年级·全国·学业考试）设表示不超过x的最大整数(例如：)，则方程的解为 ． 7．（2025七年级·全国·专题练习）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ． 8．（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）已知关于的不等式组的所有解都是正数； (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的条件下，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，求的取值范围． 9．（2025七年级·全国·专题练习）有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有三张，相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数，老师把这张卡片发给、、、、、六名同学，每个同学得到两张颜色不同的卡片，然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和，六名同学交上来的答案如下表所示： 学生 答案 老师看完六名同学的答案后说：“只有一名同学的答案错了，但这个同学肯定不是．”那么： (1)同学______的答案是错误的，该同学应得到的正确结果是______； (2)四种颜色卡片上所写各数中最小的一个数是多少？ 10．（2024七年级·全国·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 11．（24-25七年级·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，则点与点的“识别距离”为______． 【深入应用】 （2）已知点，点为轴上的一个动点， ①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标； ②点与点的“识别距离”的最小值为______． 【知识迁移】 （3）已知点，直接写出点与点“识别距离”的最小值及对应的点坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$