12.4 复数的三角形式-【五大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

12.4复数的三角形式 【考点梳理】 · 考点一：复数的三角形式 · 考点二 把复数表示成代数形式 · 考点三 复数的三角形式乘法、除法运算 · 考点四：复数的乘、除运算的几何意义 · 考点五：复数的三角表示综合问题 【知识梳理】 知识点1 .复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。 适合于 0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即 0≤arg z＜2π. 知识点2.复数的三角表达式 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连 知识点3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 知识点4、复数三角形式的乘法及其几何意义 设z1z2的三角形式分别是：z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）. 则z1·z2= 简记为 ：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 5、复数三角形式的除法及其几何意义 设z1z2的三角形式分别是：z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）. 则z1÷z2= 简记为 ：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是 . 【题型归纳】 题型一：复数的三角形式 1．（22-23高一·全国）在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）： (1)6； (2)； (3)； (4)． 2．（2023高三·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 题型二 把复数表示成代数形式 4．（21-22高一·全国）将复数z＝化为代数形式为 ． 5．（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 6．（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 题型三 复数的三角形式乘法、除法运算 7．（2022高一·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 8．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 9．（21-22高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) (4) 题型四：复数的乘、除运算的几何意义 10．（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 11．（20-21高二·全国）复数z的辐角，则对应的点位于第 象限． 12．（21-22高二上·上海杨浦·期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则 . 题型五：复数的三角表示综合问题 13．（24-25高一上·江苏南通） （1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 14．（22-23高一下·河北衡水·期末）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)当时，若且，求的值． 15．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求． 【双基达标】 一、单选题 16．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高一下·广东广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 20．（22-23高一下·河北沧州·期中）已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．（2023·四川成都·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．为虚数 B．函数不是周期函数 C．若，则 D．的共轭复数是 22．（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 23．（22-23高一下·江西南昌·期末）已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（    ） A．z的虚部为 B． C． D． 24．（21-22高一·全国·单元测试）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数 C．复数的模等于 D．的共轭复数为 25．（21-22高一下·辽宁大连·期末）设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是（    ） A． B． C． D． 26．（21-22高一下·河北张家口·阶段练习）欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数的值为 B．为纯虚数 C．复数的模长等于 D． 27．（21-22高一下·江苏常州·期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（    ） A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B． C． D． 三、填空题 28．（2024高一下·全国·专题练习）计算 . 29．（21-22高一·全国）设复数，则得一个辐角是 . 30．（22-23高一·全国·课后作业）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： ． 31．（22-23高一·全国·课后作业）表示复数的三角形式：①；②；③；④．其中正确的个数是 ． 32．（21-22高一下·全国·单元测试）已知复数，，则 . 四、解答题 33．（2024高一下·江苏·专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2). 34．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 35．（21-22高一下·福建泉州·期中）已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. (1)求实数的取值范围 (2)当时，求复数的三角表示 (3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示） 36．（21-22高一下·湖北武汉·期中）已知复数，，为虚数单位． (1)若在复平面内对应向量，将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为，求； (2)若是关于x的方程的一个根，求实数m与n的值． 37．（21-22高三上·山东济宁·期中）一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”. (1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式； (2)已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.4复数的三角形式 【考点梳理】 · 考点一：复数的三角形式 · 考点二 把复数表示成代数形式 · 考点三 复数的三角形式乘法、除法运算 · 考点四：复数的乘、除运算的几何意义 · 考点五：复数的三角表示综合问题 【知识梳理】 知识点1 .复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。 适合于 0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即 0≤arg z＜2π. 知识点2.复数的三角表达式 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连 知识点3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 知识点4、复数三角形式的乘法及其几何意义 设z1z2的三角形式分别是：z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）. 则z1·z2= 简记为 ：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 5、复数三角形式的除法及其几何意义 设z1z2的三角形式分别是：z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）. 则z1÷z2= 简记为 ：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是 . 【题型归纳】 题型一：复数的三角形式 1．（22-23高一·全国）在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）： (1)6； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，画向量见解析 (2)，画向量见解析 (3)，画向量见解析 (4)，画向量见解析 【分析】根据复数的几何意义，求出模长和辐角，即可求解. 【详解】（1）6对应的向量如答图中， ，又， .    （2）对应的向量如答图中， ， 又，.    （3）对应的向量如答图中 ， 又，.    （4）对应的向量如答图中， ， 又，.    2．（2023高三·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的三角形式即可得解. 【详解】依题意，令， 则，所以， 因为，所以， 所以的三角形式是. 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)-1 【答案】(1) (2) (3) 【分析】求出模及幅角，即可将复数的代数形式化为三角形式． 【详解】（1）因为，，，所以， 于是． （2）因为，，，所以， 于是． （3）因为，，，所以， 于是． 题型二 把复数表示成代数形式 4．（21-22高一·全国）将复数z＝化为代数形式为 ． 【答案】1－i 【分析】计算出三角函数值后化简即可. 【详解】z＝． 故答案为：1－i 5．（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 运用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】（1）. （2）. 6．（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式： (1)； (2). 【答案】(1)－6 (2) 【分析】运用特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】（1）. （2）. 题型三 复数的三角形式乘法、除法运算 7．（2022高一·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）方法一：. 方法二：. 8．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6). 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即得. （6）把复数化成三角形式，再利用三角形式的复数运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4）. （5）. （6） . 9．（21-22高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3（4）利用复数三角形式的乘法与除法运算法则求解即可，注意计算的准确性. 【详解】（1） . （2） . （3） . （4） . 题型四：复数的乘、除运算的几何意义 10．（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 【答案】 【分析】根据复数的三角形式运算即可求解. 【详解】复数的三角形式是, 向量对应的复数是. 故答案为： 11．（20-21高二·全国·课后作业）复数z的辐角，则对应的点位于第 象限． 【答案】一 【分析】设，，根据复数的乘方运算及除法运算，结合正弦函数的性质即可得出答案. 【详解】解：设，， 则 ， 因为，所以，所以，则， 所以对应的点位于第一象限. 故答案为：一. 12．（21-22高二上·上海杨浦·期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则 . 【答案】 【分析】分别设，，可得 ，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解. 【详解】因为，设，， 所以 由题意可知或， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：， 故答案为：. 题型五：复数的三角表示综合问题 13．（24-25高一上·江苏南通） （1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 【答案】（1）；（2），，，，，；（3）． 【分析】（1）根据复数三角形式定义直接求解； （2）根据复数定义直接求解； （3）作出图形，根据为等边三角形，将点对应的复数表示为，利用复数旋转可得出点所对应的复数为，利用两角和的正弦、余弦公式求出的正弦值和余弦值，即可得出点所对应的复数． 【详解】（1）， （2）因为，所以， 即 所以 解得，，，，， （3）如图，由题意可知，为等边三角形． 又，其中为的辐角． 将绕原点按逆时针方向旋转可得， 则， 又，，∴， ， ∴， ∴所对应的复数为． 14．（22-23高一下·河北衡水·期末）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)当时，若且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，为实数，可求出； （2）由先求出，再根据，得到，，进而可得. 【详解】（1）因为虚数不能比较大小，所以为实数， 又因为， 所以 解得 （2）当时，，． 所以， 所以， 所以，， 因为，所以． 15．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. （2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. （3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得. 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. （3）当时，，， 则，， 因此关于的方程的根为， 则， 又， 由此可得， 则， 令，得，而为奇数， 所以. 【双基达标】 一、单选题 16．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 17．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解. 【详解】因为， 所以的辐角主值为. 故选：C 18．（22-23高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把复数变为一个角的三角形式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 19．（22-23高一下·广东广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 【答案】C 【分析】 利用复数的欧拉公式可判断AB选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，为纯虚数，B错； 对于C选项，因为， 因此，，C对； 对于D选项，，则，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错. 故选：C. 20．（22-23高一下·河北沧州·期中）已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由， 可得 ， 因为，， 所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限． 故选：B． 21．（2023·四川成都·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．为虚数 B．函数不是周期函数 C．若，则 D．的共轭复数是 【答案】D 【分析】 A选项，根据题意计算出，A错误；B选项，由是周期函数，得到答案；C选项，根据欧拉公式得到，C错误；D选项，计算出，得到共轭复数. 【详解】A选项，，为实数，A错误； B选项，，由于是最小正周期为的函数，所以是周期函数，B错误； C选项，由题意得，所以， 又时，，故C错误； D选项， ， 故共轭复数是，D正确. 故选：D 22．（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 所以 . 故选：B 二、多选题 23．（22-23高一下·江西南昌·期末）已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的有（    ） A．z的虚部为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用复数的概念、模的计算公式、辐角的定义与乘方的计算方法，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以z的虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为一个复数的辐角有无数多个，故错误，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BD. 24．（21-22高一·全国·单元测试）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数 C．复数的模等于 D．的共轭复数为 【答案】BC 【分析】根据欧拉公式写出、、，再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数. 【详解】由题知，而，，则复数对应的点位于第二象限，故A错误； ，则为纯虚数，故B正确； ，则的模为，故C正确； ，其共轭复数为，故D错误． 故选：BC 25．（21-22高一下·辽宁大连·期末）设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A根据的几何意义判断；B由即可判断；C由即可判断；D由并结合向量数量积的运算律即可判断. 【详解】A：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符合； B：等价于，即共线，不符合； C：等价于，但不一定有，不符合； D：等价于，两边平方并应用数量积的运算律可得，即，符合. 故选：AD 26．（21-22高一下·河北张家口·阶段练习）欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数的值为 B．为纯虚数 C．复数的模长等于 D． 【答案】CD 【分析】由复数的指数形式化为三角形式，然后计算化简，结合复数的模、复数的概念判断各选项． 【详解】由于，所以A错误； 为实数，故B错误； 复数的模长为，故C正确； ，D正确． 故选：CD 27．（21-22高一下·江苏常州·期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（    ） A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项． 【详解】解：对于A：，因为，所以，， 所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：由，， 所以，所以，选项D正确； 故选：BCD 三、填空题 28．（2024高一下·全国·专题练习）计算 . 【答案】 【分析】利用复数的三角表示可得原式，计算可得结果. 【详解】 故答案为： 29．（21-22高一·全国·课后作业）设复数，则得一个辐角是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】 将化为三角形式，利用三角形式的除法运算，结合辐角的定义求解即可. 【详解】 由题意得， ， 所以得辐角是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 30．（22-23高一·全国·课后作业）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： ． 【答案】 【分析】运用三角形式下复数的乘除法则计算即可. 【详解】 故答案为： 31．（22-23高一·全国·课后作业）表示复数的三角形式：①；②；③；④．其中正确的个数是 ． 【答案】2 【分析】根据复数的三角形式一一判断四个表达式，即可得答案 【详解】复数，模为，对应的点在第一象限， 设为一个幅角，则，幅角主值为， 故复数的三角形式为，或， 故①③正确，②④中角前后不一致，不是复数的三角形式， 故正确的个数是2个， 故答案为：2 32．（21-22高一下·全国·单元测试）已知复数，，则 . 【答案】 【分析】设出复数的三角形式，根据复数的三角形式运算即可得解. 【详解】因为， 可设， 所以：， 所，则. 故答案为：1 四、解答题 33．（2024高一下·江苏·专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据复数三角形式的乘方和除法计算法则可得. 【详解】（1）. （2）. 34．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角表示的乘法和除法的运算法则，进行适当变形和整理逐一计算即可得出（1）~（3）的结果. 【详解】（1） （2） （3） 35．（21-22高一下·福建泉州·期中）已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. (1)求实数的取值范围 (2)当时，求复数的三角表示 (3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，再求解集即可；（2）根据题意得，再分别求出，，即可求解；（3）设，根据题意得，再分析求解即可. 【详解】（1）因为复数已在复平面内对应的点在第一象限， 所以，解得，所以实数的取值范围为： （2）当时，，所以，， 所以，所以 （3）根据题意得，设其旋转后对应向量， 所以，解得或， 又因为绕点顺时针方向旋转得到，所以对应的点在第四象限， 所以，所以. 36．（21-22高一下·湖北武汉·期中）已知复数，，为虚数单位． (1)若在复平面内对应向量，将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为，求； (2)若是关于x的方程的一个根，求实数m与n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据复数的三角形式以及复数乘法运算的三角表示即可求出，再根据复数代数形式的运算法则，模的计算公式即可求出； （2）根据方程的根与方程的关系，以及复数相等的概念即可列出方程组解出． 【详解】（1）依题意可知， ， ∴． （2）由条件可知：，整理得： ∵，∴解得：或． 37．（21-22高三上·山东济宁·期中）一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”. (1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式； (2)已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）. 【答案】(1)图象见解析， (2) 【分析】（1）根据对应的点在第四象限画出图象，求得复数的模和辅角即可； （2）根据，进而求得，，再利用复数的乘法求解. 【详解】（1）因为对应的点在第四象限， 所以对应的向量如图所示. 易得，，， 所以. 所以. （2）因为， 所以. 又，， 所以. 所以. 所以， ， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$