12.3 复数的几何意义-【六大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

12.3 复数的几何意义 【考点梳理】 · 考点01：复数的坐标表示 · 考点02：判断复数所在的象限 · 考点03：根据坐标反推复数表达式 · 考点04：根据坐标特点求参数范围 · 考点05：复数的几何意义的应用 · 考点06：复数的几何意义综合交汇问题 【知识梳理】 知识一　复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 知识二　共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 【题型归纳】 题型一：复数的坐标表示 1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）复数在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二：判断复数所在的象限 4．（2024·海南海口·二模）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024·重庆·模拟预测）已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三：根据坐标反推复数表达式 7．（2023·全国·模拟预测）在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（    ） A．2 B． C． D．1 8．（2023·山东临沂·一模）在复平面内，复数对应的点分别是，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高一下·福建三明·期末）在复平面内，复数z对应的点为，设i是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 题型四：根据坐标特点求参数范围 10．（23-24高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏泰州·模拟预测）在复平面内表示复数的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·陕西西安·二模）复数，（，是虚数单位）对应的点在第二象限， 则（    ） A．或 B． C． D． 题型五：复数的几何意义的应用 13．（23-24高一下·江苏扬州·期末）若复数满足，则的最小值是 . 14．（2023·江西景德镇·三模）设为复数，若，则的最大值为 . 15．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围 ． 题型六：复数的几何意义综合交汇问题 16．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 17．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数在复平面上对应的点分别为. (1)若，求复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 18．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 【双基达标】 一、单选题 1．（2025高一下·江苏）若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．8 D． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D．1 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 5．（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2024·广东揭阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏·模拟预测）若复数，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·福建福州·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 二、多选题 11．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设，则下列结论错误的是（   ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 12．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的最小值为4 D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 13．（23-24高一下·江苏南京·期末）设，是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则的最大值为 14．（23-24高一下·江苏徐州·期中）下列说法正确的是（    ）． A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若，则z为纯虚数 15．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知复数满足，的共轭复数为，则（   ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．的虚部为 三、填空题 16．（22-23高一下·江苏连云港·期中）在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于第 象限． 17．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知复数在复平面内对应点，则复数对应点坐标为 ． 18．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 . 19．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）已知是复数，均为实数（i为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上，则实数的值是 ． 20．（22-23高一下·上海闵行·阶段练习）设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 四、解答题 21．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）． (1)求复数； (2)复数在复平面对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 22．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 23．（23-24高一下·江苏盐城）已知复数，，. (1)若复数在复平面内的对应点落在第四象限，求实数的取值范围； (2)若复数，求. 24．（23-24高一下·江苏连云港）复数 (1)若是虚数，求实数的取值范围； (2)若所对应的点在第四象限，求实数的取值范围； (3)若，求 25．（23-24高一下·江苏连云港·期中）设复数，． (1)若是实数，求； (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围； (3)若复数满足，求的最小值． 26．（22-23高一下·山东·期中）已知复数，（是虚数单位）， (1)设复数是关于的方程的一个根，求实数的值，并写出方程的另一个根； (2)设复数（是的共轭复数），若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3 复数的几何意义 【考点梳理】 · 考点01：复数的坐标表示 · 考点02：判断复数所在的象限 · 考点03：根据坐标反推复数表达式 · 考点04：根据坐标特点求参数范围 · 考点05：复数的几何意义的应用 · 考点06：复数的几何意义综合交汇问题 【知识梳理】 知识一　复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 知识二　共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 【题型归纳】 题型一：复数的坐标表示 1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据复数的乘法求出的实部和虚部，即可得出其对应的点. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 所以，则在复平面内对应的点为. 故选：. 2．（2024·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）复数在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】首先利用复数的乘法运算化简，再结合复数在复平面内的坐标表示即可得答案. 【详解】由题意得， 所以在复平面内对应的点的坐标为， 故选：B. 题型二：判断复数所在的象限 4．（2024·海南海口·二模）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用复数的模长公式、除法运算法则及几何意义计算即可. 【详解】易知，所以， 即对应的点为，位于第四象限. 故选：D 5．（2024·重庆·模拟预测）已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由题意，根据复数的四则运算、共轭复数的定义与复数的几何意义计算，即可求解. 【详解】设R)，则， 由，得， 即，所以， 解得，故， 所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 6．（22-23高一下·黑龙江大庆·期末）已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】 根据复数的运算可得，再结合共轭复数的概念以及复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可得：， 则， 所以z的共轭复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 题型三：根据坐标反推复数表达式 7．（2023·全国·模拟预测）在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（    ） A．2 B． C． D．1 【分析】由于知道复数对应点的坐标，所以根据复数的几何意义可得复数，然后求出，再根据复数模的定义可得结果. 【详解】由题意，知，，所以，所以． 故选：C. 8．（2023·山东临沂·一模）在复平面内，复数对应的点分别是，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【分析】由复数对应的点分别求出，代入化简计算，进而可得的虚部． 【详解】复数对应的点分别是，则， ，其虚部为 故选：D 9．（21-22高一下·福建三明·期末）在复平面内，复数z对应的点为，设i是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据复数对应点写出复数的代数形式，再应用复数的除法化简即可. 【详解】由题设，，故. 故选：D 题型四：根据坐标特点求参数范围 10．（23-24高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得解. 【详解】由已知复平面内表示复数的点位于四象限， 则，即， 即， 故选：B. 11．（2024·江苏泰州·模拟预测）在复平面内表示复数的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据复数的乘、除法运算可得该复数为，结合复数的几何意义建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知， 该复数在复平面内对应的点的坐标为， 又该点位于第二象限，所以，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：B 12．（2024·陕西西安·二模）复数，（，是虚数单位）对应的点在第二象限， 则（    ） A．或 B． C． D． 【分析】借助复数运算法则及几何意义计算即可得. 【详解】由， 故有，解得. 故选：C. 题型五：复数的几何意义的应用 13． （23-24高一下·江苏扬州·期末）若复数满足，则的最小值是 . 【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得. 【详解】 如图，设复数对应的点为,则由可知点到点的距离为1， 即点的轨迹为以点为圆心，以1为半径的圆， 而则表示动点到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为,故的最小值是1. 故答案为：1. 14． （2023·江西景德镇·三模）设为复数，若，则的最大值为 . 【分析】设，利用模的公式求出关系，利用关系消元求解的最大值. 【详解】设， 则，又， 所以， 所以，即 所以， 所以. 故答案为：. 15． （23-24高一下·江苏南通·期中）已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围 ． 【分析】分析可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆面内（包括边界），注意到三点共线，结合数量积的几何意义分析求解. 【详解】由题意可知：在复平面内对应的点为， 因为，， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆面内（包括边界）， 因为，即，可知三点共线， 且， 设在方向上的投影向量为，则， 可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型六：复数的几何意义综合交汇问题 16．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【分析】（1）令且，根据已知等量关系得，进而求复数的模； （2）由已知有，结合其所在象限列不等式组求参数范围. 【详解】（1）令且，则， 所以，则，可得， 所以，则； （2）由， 故对应点在第三象限，则，所以，即. 17．（24-25高一下·江苏无锡）已知复数在复平面上对应的点分别为. (1)若，求复数； (2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【分析】（1）根据复数对应坐标写出复数的代数形式，再应用复数除法求； （2）根据已知得，结合对应点所在象限的特征列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则 （2）由在第四象限，则. 18．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 【分析】（1）直接由模的计算公式以及二倍角公式即可求解； （2）由题意求得，，，进一步由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）； （2）由题意，， 且由在复平面上对应的点在第一象限可知，， 不妨设是锐角，解得， 因为也是锐角，所以， 所以， 所以. 【双基达标】 一、单选题 1．（2025高一下·江苏）若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．8 D． 【分析】根据复数实部和虚部的定义求出，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】因为复数的实部为2，虚部为， 由题意可得，解得， 所以. 故选：D. 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D．1 【分析】由复数的坐标表示和模长计算可得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：A. 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用复数乘方，除法法则化简得到，从而确定所在象限. 【详解】， 故在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限. 故选：D 4．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【详解】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B 5．（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【分析】设点D的坐标为，然后由题意得，从而可求出的值，进而可求得点D对应的复数. 【详解】由题知，点，设点D的坐标为， 则有，. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 即，得，所以点D对应的复数为.故选：C. 6． （23-24高一下·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） 【分析】根据复数的几何意义，利用圆上点到定点距离的最值的求法得解. 【详解】因为复数z满足， 所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径， 圆心到复数对应的点的距离为， 所以的最大值为. 故选：B A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】结合复数的除法性质可求出，进而可求出，即可明确在复平面内对应的点. 【详解】由题意可知，， 所以， 所以共轭复数对应的点为，在第二象限. 故选：B. 8．（2024·广东揭阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，且，则（    ） A． B． C． D． 【分析】借助导数的几何意义可得，再利用模长公式即可得. 【详解】由题意得，所以，则. 故选：B. 9．（2024·江苏·模拟预测）若复数，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用复数的几何意义结合圆上一点与定点距离的关系计算即可. 【详解】由题意可知在复平面中对应的点为以原点为圆心的单位圆上一点， 而在复平面中对应的点不妨设为， 所以， 易知. 故选：B 10．（23-24高一下·福建福州·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可. 【详解】对于A：，则复数为纯虚数，故A错误； 对于B：，因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于C：，，，，因此的面积为，因为， 所以面积的最大值为，故C错误； 对于D：， 所以，故D正确. 故选：D 二、多选题 11．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设，则下列结论错误的是（   ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 【分析】利用二次函数的知识分析实部和虚部，则答案可求. 【详解】对于C，，， 则z在复平面内对应的点一定在实轴上方，故C正确； 对于A，取，，则z在复平面内的点在第二象限，故A错误； 对于B，令，解得，此时，则z为纯虚数，故B错误； 对于D，因为，所以z的虚部不可能为0， 则z一定不是实数，故D错误； 故选：ABD. 12．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的最小值为4 D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则 【分析】A,C通过举例进行判断，B由复数模及复数的乘法进行判断，D由向量加法和减法的几何意义进行判断. 【详解】对于A，设，则，，因此选项A错误； 对于B，设， 则 ， 又，则，因此选项B正确； 对于C，设，则，此时，因此选项C错误； 对于D，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加法､减法的几何意义可知，选项D正确. 故选：BD. 13．（23-24高一下·江苏南京·期末）设，是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则的最大值为 【分析】通过设出具体的代数形式的复数，计算结果可一一验证A,B,C项，对于D，需要利用复数的几何意义，数形结合理解易得结论. 【详解】设，则， 对于A：，因是非零复数，故，即A错误； 对于B：设， 故 ， 而，故B正确； 对于C：由于，故C正确； 对于D：根据复数的几何意义，表示以原点为圆心，1为半径的圆， 而则表示圆上一点到点的距离， 故的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 14．（23-24高一下·江苏徐州·期中）下列说法正确的是（    ）． A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若，则z为纯虚数 【分析】对于A，只需设复数，计算即可验证；对于B，利用虚数单位的值的次幂的周期性即得；对于C，利用复数的几何意义即可判断求解；对于D，经计算后，利用复数性质得到不等式组，求解即得. 【详解】对于A，设，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由可知表示复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆， 而可理解为表示复数对应的点到点的距离， 故当且仅当时，距离最小为1，即的最小值为1，故C正确； 对于D，设，则，因，则必有，， 若，则，即；若，则，因，故舍去.若，显然不成立. 综上可得，且，即z为纯虚数，故D正确. 故选：ACD. 15．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知复数满足，的共轭复数为，则（   ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．的虚部为 【分析】根据复数的除法求出复数，由复数的模长公式可判断选项A；由复数的代数形式结合相关概念可确定它对应的点所在的象限从而判断选项B，由共轭复数的定义结合复数的乘法运算以及模长的运算可判断选项C；由复数的相关概念可直接得出其虚部，从而判断选项D. 【详解】由，可得 所以，选项A正确. 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选项B正确. 又，故选项C正确. 的虚部为,故选项D不正确. 故选：ABC 三、填空题 16．（22-23高一下·江苏连云港·期中）在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于第 象限． 【分析】根据复数的除法运算化简即可求解. 【详解】由可得，故对应的点为，位于第四象限， 故答案为：四 17．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知复数在复平面内对应点，则复数对应点坐标为 ． 【分析】根据复数的几何意义与复数乘法运算即可求解. 【详解】因为复数在复平面内对应点， 所以， 所以， 所以复数对应点坐标为. 故答案为：. 18．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 . 【分析】设，根据题意求得，根据复数的几何意义求得对应点的轨迹，再根据几何意义求目标式的最大值. 【详解】令复数，，，则， 所以，所以，，即. 又因为，即在复平面内，复数所对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 又点到点的距离为， 所以的最大值为. 故答案为：. 19．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）已知是复数，均为实数（i为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上，则实数的值是 ． 【分析】先设出，由题意得的值，然后根据复数在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上，列出方程，即可得到答案. 【详解】设， ，由题意可得， ，由题意得， ， 因为复数在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上， . 故答案为： 20． （22-23高一下·上海闵行·阶段练习）设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解. 【详解】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得， 整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以. 故答案为：13. 四、解答题 21．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）． (1)求复数； (2)复数在复平面对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【分析】（1）待定系数结合实数、纯虚数的概念即可求解. （2）由（1）可知，从而可以化简，结合已知即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）设复数，是实数， 所以，则， 所以， 因为为纯虚数， 所以且，解得， 所以. （2）由（1）知，, 在复平面上对应的点为，又已知在复平面上对应的点在第二象限， 所以，解得，即实数m的取值范围为. 22．（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【分析】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【详解】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 23．（23-24高一下·江苏盐城）已知复数，，. (1)若复数在复平面内的对应点落在第四象限，求实数的取值范围； (2)若复数，求. (2)答案见解析 【分析】（1）由已知可得，计算即可； （2）由，可得，可求，进而可求的值. 【详解】（1） 因为在复平面内的对应点落在第四象限，所以， 解得，因此实数的取值范围是. （2）因为，所以，解得或. 当时，，此时； 当时，，此时. 综上所述：或. 24．（23-24高一下·江苏连云港）复数 (1)若是虚数，求实数的取值范围； (2)若所对应的点在第四象限，求实数的取值范围； (3)若，求 【分析】（1）根据复数类型为虚数得到不等式，从而求解； （2）根据复数对应的点在第四象限得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）由，可知为正实数，从而求解. 【详解】（1）由题意，是虚数，得：， 解得：且； （2）因为所对应的点在第四象限， ， 解得：， 所以实数的取值范围是 （3）若，则， 解得，即，所以. 25．（23-24高一下·江苏连云港·期中）设复数，． (1)若是实数，求； (2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围； (3)若复数满足，求的最小值． 【分析】（1）由复数加法及结果特征求出，再利用复数乘法计算得解. （2）由复数乘方求出，再由对应点的特征列出不等式组，求解即得. （3）利用给定等式的几何意义，结合圆上的点与定点距离最值问题求解即得. 【详解】（1）复数，，则，由是实数，得，解得， ，因此. （2），依题意，在第二象限，于是，解得， 所以实数的取值范围是. （3）显然是复平面内表示复数的点与表示复数的点的距离为1， 因此点在以点为圆心，1为半径的圆上，而是点到原点的距离， 而，即原点在上述的圆外，则， 所以的最小值是4. 26．（22-23高一下·山东·期中）已知复数，（是虚数单位）， (1)设复数是关于的方程的一个根，求实数的值，并写出方程的另一个根； (2)设复数（是的共轭复数），若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围 【分析】（1）将根代入方程利用复数为0列方程求解m,n,进而得另一个根； （2）先化简,再利用复数所在象限列不等式求解即可. 【详解】（1）因为是方程的解， 所以，整理得， 所以，解得， 利用韦达定理得两根之和为，故方程的另一个根为, （2）所以，所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$