第12章 复数全章综合测试卷（提高篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第12章 复数全章综合测试卷（提高篇） 【苏教版（2019）】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（5分）（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 4．（5分）（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数，，则在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 6．（5分）（24-25高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 8．（5分）（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·江苏徐州·期末）设，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若是纯虚数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（6分）（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 11．（6分）（23-24高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·广东惠州·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）. 13．（5分）（23-24高一下·广东东莞·期中）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 . 14．（5分）（23-24高二上·上海杨浦·期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 16．（15分）（23-24高一下·山西·期中）已知，复数，. (1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； (2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 17．（15分）（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知关于x的实系数一元二次方程. (1)若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； (2)记方程的两根为和，若，求m的值. 18．（17分）（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）设虚数、满足. (1)若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、； (2)把（1）中虚部大于零的根记作，对任意整数，计算； (3)若为虚数单位，为实数），，复数，求的取值范围. 19．（17分）（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 复数全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：D. 2．（5分）（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】先求等式右边复数的模长，然后由复数的除法求出，根据共轭复数得到，然后由复数的几何意义进行判断. 【解答过程】根据复数的模长公式，， 则，故，故， 根据复数的几何意义，在复平面上对应点是，在第四象限. 故选：D. 3．（5分）（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【解答过程】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B. 4．（5分）（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数，，则在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据题意，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由复数，，则， 则复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 5．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【解题思路】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确. 【解答过程】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 因为， 所以不是方程的一个复根，所以B不正确； 对于C中，设复数，可得， 所以， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，设，由，可得， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误. 故选：C. 6．（5分）（24-25高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据条件求得复数，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值. 【解答过程】设， ，即， ，解得： ， 当时， ， 则 ， 当时， 则 ， 故选：D. 7．（5分）（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【解题思路】假设，根据模长公式构造关于的函数，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状. 【解答过程】因为 ，所以可设， 所以 ， 所以 ， 当时，取最大值， 即当，即时，取最大值， 此时， 所以对应的点， 所以，， ， 所以，根据各边关系易知各边对应角为锐角， 所以该图形为等腰三角形. 故选：D. 8．（5分）（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【解题思路】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·江苏徐州·期末）设，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若是纯虚数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】对于A代入即可判断正误，对于B取特殊值验证即可， 对于C设，求得即可判断正误，对于D设代入验证即可求得. 【解答过程】A. ，则，故A正确； B.当时，，但得不出，故B错误； C.设，则，，所以，C正确； D.设则得，又，， 故成立，D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 【解题思路】利用复数的四则运算、乘方运算以及共轭复数的概念可判断A正确，B错误，C正确，利用复数的几何意义可求得D正确. 【解答过程】对于A，由可得； 而，所以可得，即A正确； 对于B，，其虚部为，即B错误； 对于C，，即可得C正确； 对于D，设，则由可得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 因此的最大值为，即可得D正确； 故选：ACD. 11．（6分）（23-24高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【解题思路】对于A，B，由代入运算即可判断，对于C，代入，得其对应的点坐标，进行判断即可；对于D，将代入化简，再求即可判断. 【解答过程】对于A：由题意得：，故A正确； 对于B：由题意得：，故B正确； 对于C：由题意得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D：由题意可得： ，故正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·广东惠州·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）. 【解题思路】根据复数的几何意义，结合三角形计算即可. 【解答过程】 如图所示，复数对应的向量,则,, 绕原点按顺时针方向旋转90°，得向量,则,, 则向量,对应的复数为. 故答案为：. 13．（5分）（23-24高一下·广东东莞·期中）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 20 . 【解题思路】设，根据复数的运算及集合意义可得点的坐标，再根据中点坐标公式列方程求得的值，从而可得向量的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得的面积. 【解答过程】设， 则. 所以点的坐标分别为 又两点连线的中点对应的复数为， 解得 . 又 的面积为. 故答案为：. 14．（5分）（23-24高二上·上海杨浦·期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则 . 【解题思路】分别设，，可得 ，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解. 【解答过程】因为，设，， 所以 由题意可知或， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【解题思路】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【解答过程】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 16．（15分）（23-24高一下·山西·期中）已知，复数，. (1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； (2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 【解题思路】（1）求出，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得. （2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出，进而求出，，再求出复数的模. 【解答过程】（1）依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限， 则，解得， 所以m的取值范围为. （2）依题意，，， 由，得，解得或， 而时，为原点，不符合题意，因此，，，， 所以． 17．（15分）（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知关于x的实系数一元二次方程. (1)若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； (2)记方程的两根为和，若，求m的值. 【解题思路】（1）利用，结合韦达定理可求解. （2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解. 【解答过程】（1）解：因为，所以，因为，所以， 所以，由韦达定理可得，所以； （2）解：若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 18．（17分）（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）设虚数、满足. (1)若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、； (2)把（1）中虚部大于零的根记作，对任意整数，计算； (3)若为虚数单位，为实数），，复数，求的取值范围. 【解题思路】（1）设出的代数形式，利用实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数列式求解作答. （2）利用复数的加减及乘法运算计算作答. （3）根据给定条件，求出的范围，再将表示为的函数，求出函数的值域作答. 【解答过程】（1）设，则，又是虚数，即有， 因为、是一个实系数一元二次方程的两个根，则、互为共轭复数， 因此，解得， 所以，或，. （2）由（1）知，，则， 对任意整数，. （3）由知，又，即，则， ， 所以. 19．（17分）（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【解题思路】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明； （2）根据题意，将复数化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果. 【解答过程】（1）证明： . （2）依题意，， 所以. （3）设，则， 因此，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$