第12章 复数全章题型总结【6个知识点11大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第12章 复数全章题型总结【6个知识点11大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 复数的概念】 1．复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型1 复数的分类及辨析】 【例1】（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 【变式1-1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·江苏南通·期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【变式1-3】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型2 复数的相等】 【例2】（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【变式2-3】（24-25高一·全国·随堂练习）求适合下列方程的实数x，y的值： (1)； (2)． 【知识点2 复数的运算】 1．复数的加法运算 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. 2．复数的减法运算 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 【题型3 复数的四则运算】 【例3】（23-24高一下·江苏南京·期末）若，则复数（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·江苏扬州·期末）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024高一下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2). 【变式3-3】（2024高一下·江苏·专题练习）计算. 【知识点3 复数范围内方程的根】 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型4 复数范围内方程的根】 【例4】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式4-1】（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知i(i是虚数单位)是方程的根，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数 (1)求和的值； (2)若是纯虚数，求实数的值 【变式4-3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位 (1)如果为纯虚数，求实数的值； (2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 【知识点4 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型5 复数的几何意义】 【例5】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-1】（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【变式5-3】（2024高一下·江苏·专题练习）已知z是复数，与均为实数. (1)求复数z； (2)复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 【题型6 复数的模】 【例6】（2024高三·全国·专题练习）若复数为纯虚数，则（    ） A．0或2 B．1或2 C．1 D．2 【变式6-1】（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-2】（2024·四川德阳·模拟预测）若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若复数（为虚数单位，）为纯虚数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【知识点5 复数加、减法的几何意义】 1．复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量，这是复数加法的几何意义. 2．复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【题型7 复数加、减法的几何意义的应用】 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高三·北京·强基计划）在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【变式7-2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【知识点6 复数的三角表示】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. 2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 3．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【题型8 复数的三角表示】 【例8】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【变式8-1】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025高三·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一下·北京·阶段练习）欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．的共轭复数为 【题型9 复数乘、除运算的三角表示】 【例9】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一下·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【变式9-3】（2024高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 【题型10 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 【例10】（23-24高二下·广东湛江·期中）设，在复平面内对应的点为，若，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【变式10-3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【题型11 复数的四则运算的综合应用】 【例11】（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【变式11-1】（23-24高一下·江苏南京·期末）设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 【变式11-2】（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数. (1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z； (2)求； (3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值. 【变式11-3】（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. (1)若，求复数以及； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 复数全章题型总结【6个知识点11大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 复数的概念】 1．复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型1 复数的分类及辨析】 【例1】（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 【解题思路】根据纯虚数定义、复数相等的定义，结合虚数单位的性质、复数的分类逐一判断即可. 【解答过程】A：当时，显然是实数，因此本选项说法不正确； B：，因此本选项说法不正确； C：，，因此本选项说法正确； D：由虚数单位的定义可知：，因此本选项说法不正确， 故选：C. 【变式1-1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的虚部概念求解. 【解答过程】z的虚部是. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·江苏南通·期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【解题思路】根据纯虚数的概念列方程求解. 【解答过程】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A. 【变式1-3】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：D. 【题型2 复数的相等】 【例2】（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【解题思路】由题意得，解方程即可 【解答过程】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数相等可得，，进而即得. 【解答过程】因为， 所以，，即，， 所以． 故选：D． 【变式2-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【解题思路】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【解答过程】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 【变式2-3】（24-25高一·全国·随堂练习）求适合下列方程的实数x，y的值： (1)； (2)． 【解题思路】根据复数相等即可得到方程组，解出即可. 【解答过程】（1）由题意得，解得. （2）由题意得，解得. 【知识点2 复数的运算】 1．复数的加法运算 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. 2．复数的减法运算 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 【题型3 复数的四则运算】 【例3】（23-24高一下·江苏南京·期末）若，则复数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据除法运算求，再根据共轭复数的特征求. 【解答过程】由题意可知，， 所以. 故选：C. 【变式3-1】（23-24高一下·江苏扬州·期末）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【解答过程】由可得， 所以. 故选：B. 【变式3-2】（2024高一下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2). 【解题思路】利用复数代数形式的四则运算化简求值. 【解答过程】（1）. （2）. 【变式3-3】（2024高一下·江苏·专题练习）计算. 【解题思路】根据复数代数形式的乘除运算以及乘方运算法则计算可. 【解答过程】原式 . 【知识点3 复数范围内方程的根】 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型4 复数范围内方程的根】 【例4】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】根据虚根成对原理可得也是方程的根，再由韦达定理计算可得. 【解答过程】因为是关于复数的方程的一根， 所以也是关于复数的方程的一根， 所以， 所以. 故选：C. 【变式4-1】（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知i(i是虚数单位)是方程的根，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将代入方程，根据复数为0的条件求出参数即可. 【解答过程】因为是方程的根， 所以， 所以，所以， 所以. 故选：A． 【变式4-2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数 (1)求和的值； (2)若是纯虚数，求实数的值 【解题思路】（1）根据虚根成对原理可知也为方程的根，利用韦达定理计算可得； （2）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据其为纯虚数，则实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可. 【解答过程】（1）因为复数（是虚数单位）是方程的根（，是实数）， 所以也为方程的根， 所以，所以； （2）由（1）可知 ， 又是纯虚数， 所以，解得. 【变式4-3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位 (1)如果为纯虚数，求实数的值； (2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 【解题思路】（1）先利用复数的四则运算求得，再利用复数的分类即可得解； （2）先利用复数的四则运算化简，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去）， 所以. （2）因为，所以， 则， 因为是关于的方程的一个复根， 所以与是的两个复根， 故，则， 所以. 【知识点4 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型5 复数的几何意义】 【例5】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】利用复数乘方，除法法则化简得到，从而确定所在象限. 【解答过程】， 故在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限. 故选：D. 【变式5-1】（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点D的坐标为，然后由题意得，从而可求出的值，进而可求得点D对应的复数. 【解答过程】由题知，点，设点D的坐标为， 则有，. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 即，得，所以点D对应的复数为. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【解题思路】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【解答过程】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 【变式5-3】（2024高一下·江苏·专题练习）已知z是复数，与均为实数. (1)求复数z； (2)复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 【解题思路】（1）根据复数的运算法则，结合复数的特征，即可求解； （2）根据（1）的结果，计算复数的平方，再根据复数的几何意义，即可求解. 【解答过程】（1）设，,所以， 由条件得，且， 所以，所以， （2）， 由条件得， 解得，所以所求实数a的取值范围是. 【题型6 复数的模】 【例6】（2024高三·全国·专题练习）若复数为纯虚数，则（    ） A．0或2 B．1或2 C．1 D．2 【解题思路】由纯虚数的特征求出的值，再计算复数的模即可. 【解答过程】若为纯虚数， 则，解得， ∴，则. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】由复数的模长公式及即可求解； 【解答过程】由可得，所以. 故选：B. 【变式6-2】（2024·四川德阳·模拟预测）若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由复数的运算结合模长公式求出，再由充分必要条件定义判断. 【解答过程】由得， ，解得或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若复数（为虚数单位，）为纯虚数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据纯虚数可得，即可根据模长公式求解. 【解答过程】解：复数为纯虚数，则且，解得， 则 故选：B. 【知识点5 复数加、减法的几何意义】 1．复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量，这是复数加法的几何意义. 2．复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【题型7 复数加、减法的几何意义的应用】 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【解答过程】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B. 【变式7-1】（23-24高三·北京·强基计划）在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【解题思路】利用复数加法的几何意义可求的面积. 【解答过程】设对应的点分别为，，则四边形为平行四边形， 如图分割该平行四边形，即平行四边形的面积为， 的面积，所以， 则， 故的面积为， 故选：D. 【变式7-2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 【解题思路】（1）利用复数的减法运算和复数的几何意义求解； （2）利用复数的模的运算求解. 【解答过程】（1）解：复数． 如图，． （2）． 【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【解题思路】（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为 （2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为． 【解答过程】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为 （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 【知识点6 复数的三角表示】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. 2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 3．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【题型8 复数的三角表示】 【例8】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【解题思路】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【解答过程】， 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【解答过程】， 所以辐角的主值为. 故选：A. 【变式8-2】（2025高三·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的三角形式即可得解. 【解答过程】依题意，令， 则，所以， 因为，所以， 所以的三角形式是. 故选：D. 【变式8-3】（24-25高一下·北京·阶段练习）欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．的共轭复数为 【解题思路】对于A，由，其虚部为1，可判断A；对于B，，判断B；对于C， ，判断C；对于D,求得，结合共轭复数的概念即可判断. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D, ，故的共轭复数为，D正确， 故选：D. 【题型9 复数乘、除运算的三角表示】 【例9】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可. 【解答过程】 逆时针旋转后得，所以=. 故选：A. 【变式9-1】（23-24高一下·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用欧拉公式结合复数的指数运算可求得结果. 【解答过程】. 故选：C. 【变式9-2】（23-24高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【解题思路】根据题意，结合复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【解答过程】（1）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . （2）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 【变式9-3】（2024高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 【解题思路】根据复数的三角表示的几何意义及运算法则计算即可. 【解答过程】依题意得， 所以 . 【题型10 与复数模相关的轨迹（图形）问题】 【例10】（23-24高二下·广东湛江·期中）设，在复平面内对应的点为，若，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的几何意义即可得解. 【解答过程】因为， 所以点所在区域为两个同心圆所形成的圆环，其中一个半径为，另一个半径为， 则其面积为. 故选：A. 【变式10-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设 ，利用得出，表示以为圆心，半径为的圆，，表示与之间的距离，求的最大值，即求与圆上任意一点的距离最大值. 【解答过程】设 ， 则， 所以， 表示以为圆心，半径为的圆， 则， 表示与之间的距离， 即与圆上任意一点的距离， 因， 所以在圆外， 所以. 故选：D. 【变式10-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【解题思路】（1）利用求复数模的公式求解即可； （2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断． 【解答过程】（1），； （2）由（1）知，设（x、）． 因为不等式的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示． 【变式10-3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解答过程】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 【题型11 复数的四则运算的综合应用】 【例11】（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【解题思路】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【解答过程】（1）由，为实数，则为实数，      所以，即，，             所以. （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，          又为实系数方程的根， 则， 所以，，     又，所以. 【变式11-1】（23-24高一下·江苏南京·期末）设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 【解题思路】（1）设出复数，写出的表示式，进行复数的运算，把整理成最简形式，根据所给的的范围，得到的虚部为，实部属于这个范围，得到的实部的范围． （2）根据设出的，整理的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问求出的、的范围，得到是一个纯虚数． （3），再利用基本不等式即可求的最小值． 【解答过程】（1）因为是虚数，设，则， ，，，，，此时， ，，即的实部的取值范围. （2），， ，，，是纯虚数. （3） ，可得， 当且仅当，即时取得最小值为. 【变式11-2】（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数. (1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z； (2)求； (3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值. 【解题思路】（1）由为纯虚数，求得，再由，且在复平面内对应点在第一象限，可求得结果， （2）将分别代入计算化简即可， （3）法一：将代入化简，再利用复数相等的条件可求得实数m，n的值，法二：由题意可得和为方程的根，然后利用根与系数的关系可求得结果. 【解答过程】（1）因为复数，，所以， 又为纯虚数，所以， 又，所以， 又因为复数z在复平面内对应点在第一象限， 所以，故. （2）由（1）可知 当时，， 当时，. （3）法一：由（1）可知是关于x的方程的一个根， 所以把，代入得， 化简得， 即，解得：， 法二：由（1）可知是关于x的方程的一个根， 所以此方程的另一根为：，则， 解得：，. 【变式11-3】（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. (1)若，求复数以及； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 【解题思路】（1）选条件①，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求出，再利用复数除法运算及模的意义求解；选条件②，利用复数乘法运算及复数的意义求出，再利用复数除法运算及模的意义求解. （2）利用实系数一元二次方程的虚根成对出现，再借助韦达定理计算即得. 【解答过程】（1）选条件①，，由，得， 因此，即，又，解得， 所以，. 选条件②，，由 得，因此，解得， 所以，. （2）是实系数一元二次方程的根，则也是该方程的根， 于是，则实数， 所以实数的值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$