第11章 解三角形全章综合测试卷（提高篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第11章 解三角形全章综合测试卷（提高篇） 【苏教版（2019）】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 2．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 3．（5分）（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．（5分）（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知 ，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高一下·江苏苏州·期中）苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为，，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（    ） A．350米 B．400米 C．450米 D．500米 6．（5分）（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（23-24高一下·江苏镇江·期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：.即有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题错误的是（    ） A．周长为 B．三个内角满足2C=A+B C．外接圆的直径为 D．内切圆的半径为 8．（5分）（23-24高一下·重庆·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A．若，，，则符合条件的有两个 B．若，，，则符合条件的有且只有一个 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则一定是等腰三角形 10．（6分）（23-24高一下·江苏徐州·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则只有一解 C．若为锐角三角形，则b的取值范围是 D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 11．（6分）（2024·河北邯郸·三模）已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 为边的中点，，，，则边a的长为 . 13．（5分）（23-24高一下·广西钦州·期中）在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为 ． 14．（5分）（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知△ABC的内角所对的边是且 (1)求； (2)若，求△ABC的面积. 16．（15分）（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； (1)求B； (2)若，试判断的形状. (3)若，求的面积的最大值． 17．（15分）（23-24高一下·江苏南通·期末）已知的面积为9，点D在BC边上，． (1)若，， ①证明：； ②求AC； (2)若，求AD的最小值． 18．（17分）（23-24高一下·江苏·阶段练习）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，． (1)当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积； (2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 19．（17分）（23-24高一下·江苏镇江·期末）在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 . (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 解三角形全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【解题思路】利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】依题意，设，则，又， 由余弦定理，得， 即，解得（负值舍去），即. 故选：D. 2．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 【解题思路】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【解答过程】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 3．（5分）（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解题思路】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案. 【解答过程】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 4．（5分）（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知 ，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正余弦定理可得，即可根据等面积法可得，利用余弦定理可得，由二倍角公式即可求解. 【解答过程】解：由正弦定理可得得，    由余弦定理可得， 由于所以， ， 由于，所以， 由于，， 由余弦定理可得， ， ，， ，， ， 故选：B. 5．（5分）（23-24高一下·江苏苏州·期中）苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为，，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（    ） A．350米 B．400米 C．450米 D．500米 【解题思路】根据正弦定理求得，利用直角三角形求得金融中心的高度. 【解答过程】在中，由正弦定理得：， 即， 又，所以， 所以金融中心的高度为 . 故选：C. 6．（5分）（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，化简得到，求得，得到，且，又由外接圆半径为，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】因为，由正弦定理的 又因为，可得， 所以， 即， 因为，可得，可得，即， 解得或（舍去）， 因为，所以，则， 又因为外接圆半径为，所以， 又由 ， 因为为锐角三角形，且，所以且， 解得，可得，所以， 所以. 故选：C. 7．（5分）（23-24高一下·江苏镇江·期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：.即有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题错误的是（    ） A．周长为 B．三个内角满足2C=A+B C．外接圆的直径为 D．内切圆的半径为 【解题思路】由题意设，结合已知面积公式求a、b、c，即知周长，再根据正余弦定理求△的、外接圆半径、内切圆的半径. 【解答过程】对于A，由题意，设， ∴，则， ∴，故，则周长为，A正确. 对于B，，，则，故，B正确. 对于C，∴，若外接圆半径为，则，C正确. 对于D，若内切圆半径为，则，即，D错误. 故选：D. 8．（5分）（23-24高一下·重庆·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故知：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A．若，，，则符合条件的有两个 B．若，，，则符合条件的有且只有一个 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则一定是等腰三角形 【解题思路】对于A，解出可能的即可；对于B，求出可能的即可；对于C，给出反例即可；对于D，给出反例即可. 【解答过程】对于A，由余弦定理可知，即. 所以或，经验证和均满足条件，从而的三边共有两种可能的取值情况，所以A正确； 对于B，由余弦定理可知，即，且经验证符合条件，从而的三边有唯一的取值情况，所以B正确； 对于C，若，则是直角三角形，但，所以C错误； 对于D，若，则不是等腰三角形，但此时由可知，故，所以D错误. 故选：AB. 10．（6分）（23-24高一下·江苏徐州·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则只有一解 C．若为锐角三角形，则b的取值范围是 D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 【解题思路】对于A，利用向量数量积的定义和三角形的面积公式化简可求出角，对于B，利用正弦定理求解判断，对于C，由正弦定理得，再由为锐角三角形，求出角，然后利用正弦函数的性质可求出b的取值范围，对于D，由题意得，两边平方化简，结合余弦定理和基本不等式可求得结果. 【解答过程】对于A，因为， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以A正确， 对于B，由正弦定理得，即，得， 因为，所以或， 所以有两解，所以B错误， 对于C，由正弦定理得，即，得， 因为为锐角三角形，所以， 所以，得， 所以，得， 所以，即b取值范围是，所以C正确， 对于D，因为D为BC边上的中点，所以， 所以 ， 由余弦定理得， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以AD的最大值为，所以D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（2024·河北邯郸·三模）已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10 【解题思路】借助面积公式与余弦定理由题意可得，对A：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【解答过程】由题意知，整理得， 由余弦定理知，，，． 对A， ， ，，， 的取值范围为，故A正确； 对B，为边的中点，， 则， ，当且仅当时，等号成立， ，故B正确； 对于C，， 是锐角三角形，， ，，故C正确； 对于D，由题意得， 即， 整理得，即， ， 当且仅当时，等号成立，故D错误． 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 为边的中点，，，，则边a的长为 . 【解题思路】在中，由余弦定理得，从而发现，利用勾股定理可解. 【解答过程】在中，，，， 由余弦定理得 ， 所以， 此时，即， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（23-24高一下·广西钦州·期中）在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为 ． 【解题思路】由正弦定理和余弦定理得到，再由外接圆半径，由基本不等式得到，由三角形面积公式求出答案. 【解答过程】在中， 由正弦定理得由余弦定理得 因为为的内角，则，所以 因为的外接圆的半径为由正弦定理得 所以由余弦定理得 即 因为所以当且仅当时取等号， 故的面积所以面积的最大值为 故答案为：. 14．（5分）（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 【解题思路】根据二倍角公式可得，即，根据角的范围可得，，，故.由正弦定理、同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得 ，换元，结合对勾函数的性质即可求解. 【解答过程】由题意可得，故， 即， 因为,所以， 因为，所以或， 即或，即或. 若，则，则无意义，故. 又，所以，即. 因为，所以,，， 所以，解得，故. 由正弦定理可得 ， 令，则. 设， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知△ABC的内角所对的边是且 (1)求； (2)若，求△ABC的面积. 【解题思路】（1）由正弦定理和得到，进而利用同角三角函数关系得到答案； （2）由正弦定理得到，利用三角形面积公式得到答案. 【解答过程】（1）， 由正弦定理得，故， 因为，所以，故， 因为，所以， 故； （2）由（1）知，， 又，由正弦定理得， 即， 故， 所以， 故. 16．（15分）（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； (1)求B； (2)若，试判断的形状. (3)若，求的面积的最大值． 【解题思路】（1）根据题意结合正弦定理分析求解； （2）根据题意结合余弦定理分析求解； （3）根据题意利用基本不等式可得，代入面积公式运算求解. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得：， 又因为，即， 可得，整理得，即， 所以为等边三角形. （3）由（2）可知：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 17．（15分）（23-24高一下·江苏南通·期末）已知的面积为9，点D在BC边上，． (1)若，， ①证明：； ②求AC； (2)若，求AD的最小值． 【解题思路】（1）①在中，由正弦定理可得，从而得证； ②在中，利用三角函数恒等变换可得所以，在中，由，可解问题； （2）由，两边平方的，再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为，化简利用基本不等式求最值. 【解答过程】（1）①因为，，所以， 在中，由正弦定理可得， 所以； ②设，则， 因为，所以， 设，因为，所以， 在中，， 由①知， 所以， 所以， 整理得，又因为，， 所以， 因为，所以， 在中，因为，， 所以，所以， 则， 所以； （2）记的内角为，所对边为， 因为， 所以， 所以， 在中，因为， 所以由余弦定理可得， 整理得， 因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以AD的最小值为4. 18．（17分）（23-24高一下·江苏·阶段练习）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，． (1)当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积； (2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 【解题思路】（1）借助余弦定理与正弦定理，结合面积公式计算即可得； （2）借助表示出及后，结合辅助角公式与余弦定理计算即可得. 【解答过程】（1）由，，故， 由余弦定理可得， 即，由正弦定理可得， 即， 则， 故有， 故， ； （2）， ， 故， 则， 其中，，则当， 即时，草坪ABCD的面积最大， 此时， 即此时小路BD的长度为. 19．（17分）（23-24高一下·江苏镇江·期末）在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 . (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 【解题思路】（1）选①：由正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简得到求解；选②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；选③利用三角形面积公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解. （2）利用余弦定理和基本不等式即可解题； （3）由正弦定理得到，从而有 求解. 【解答过程】（1）若选①：由正弦定理得， 则， ， ， ． 若选②：，切化弦，得到， 则由正弦定理得，，即，， ， 若选③：， 则， 由正弦定理得， ， . （2）由余弦定理得，， 则，当且仅当“”时，取“＝”号，即． ，则，当且仅当“”时取得最大值． （3）由正弦定理得， 则， ，由于为锐角三角形， 则， . . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$