第11章 解三角形全章综合测试卷（基础篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第11章 解三角形全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·江苏泰州·期中）在中，如果，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】按比例设出三角形各边长，由余弦定理计算出即可. 【解答过程】设，则， 在中，由余弦定理得：. 故选：A. 2．（5分）（23-24高一下·江苏盐城·期中）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，由余弦定理求解即可. 【解答过程】，不妨设，， 由余弦定理. 故选：C. 3．（5分）（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【解题思路】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【解答过程】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 4．（5分）（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】根据正弦定理角化边，可得，再由余弦定理即可得到结果. 【解答过程】因为，则， 又， 所以. 故选：B. 5．（5分）（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【解答过程】由正弦定理可得，若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解． 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解． 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解． 若D 成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解． 故选：C． 6．（5分）（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）一艘船在A处，灯塔S在船正北方向，船以100海里/小时的速度向北偏东30°航行，30 分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船南偏西75°方向上．此时灯塔S与船B之间的距离为（    ）海里 A． B． C． D． 【解题思路】由题意作图，利用正弦和角公式与正弦定理，可得答案. 【解答过程】由题意可作图如下： 在中，，，， ， 由正弦定理可得，则. 故选：A. 7．（5分）（24-25高一·江苏·假期作业）已知锐角中，，则边上的高的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可． 【解答过程】因为锐角中，， 则，解得， 由正弦定理可得，则，， 设边上的高为，因为， 可得 ， 因为，则，可得， 所以． 所以边上的高的取值范围为． 故选：D． 8．（5分）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求的值，即可求解的值，由正弦定理结合已知等式可得可求的值，进而利用三角形的面积公式即可求解. 【解答过程】由及正弦定理得， 所以，又， 所以， 又由正弦定理，即， 所以， 所以， 所以， 即， 解得或（，舍）， 所以的面积. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知锐角三角形三边长分别为，则实数的可能取值是（    ） A． B． C．7 D． 【解题思路】先由三角形三边关系确定的范围，再借助余弦定理列出关于的不等式组，解之即可得解. 【解答过程】因为是三角形的三边，则且，得， 设这个三角形中长为的边所对角分别为，显然长为的边所对角必为锐角， 而这个三角形为锐角三角形， 则由余弦定理得，即，解得， 所以实数的取值范围是，故BC正确，AD错误. 故选：BC. 10．（6分）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（   ） A．的值是 B．的外接圆半径是 C．的面积是 D． 【解题思路】由，即可得到，，利用正弦定理及三角形面积公式判断ABCD选项. 【解答过程】因为为的平分线，，所以， 因为，则，则， 因为， 由正弦定理得， 所以， ，故AC正确； 若，， 由正弦定理可知，的外接圆直径为， 所以的外接圆半径，故B错误； 若，由正弦定理得，， 因为与互补，所以， 可得，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（23-24高一下·江苏南京·期末）已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若的三角形有两解 【解题思路】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可；对于B，由余弦定理得，即可判断三角形为等腰三角形；对于C，根据余弦定理只能得，即为锐角，无法判断的情况；对于D，利用正弦定理得，即可判断三角形解的个数. 【解答过程】对于A，因为，则由正弦定理可得， ，所以，即，故A正确； 对于B，由余弦定理得， 化简得，故为等腰三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理， 因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误； 对于D，若，则由正弦定理得， 因为，所以三角形有两解，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 【解题思路】由余弦定理可得答案. 【解答过程】， ， 故答案为： 13．（5分）（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.    【解题思路】设，利用三角函数分别表示,然后分别中利用余弦定理表示,因为,所以, 求出h即可 【解答过程】设 在中，，. 在中， ,, 在中，,. 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：, 因为, 所以， 即，. 故答案为： . 14．（5分）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为 14 千米. 【解题思路】在中，利用余弦定理求出的值，再在中，结合余弦定理与基本不等式，得解. 【解答过程】在中，，，， 由余弦定理知，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以 ， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以与之和的最大值为14． 故答案为：14. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且. (1)求； (2)已知点在线段上，且，求长. 【解题思路】（1）由余弦定理可得答案； （2）由余弦定理求出，平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案. 【解答过程】（1）由余弦定理可得， ，， 解得； （2）由（1）可得， ，， 在中，，， 解得. 16．（15分）（23-24高一下·江苏·期中）已知是三边长且，的面积． (1)求角； (2)求的周长． 【解题思路】（1）直接利用余弦定理计算即可； （2）先根据面积公式求出，结合，得到，进而得到，求出周长． 【解答过程】（1）由余弦定理得， 因为，所以； （2）由三角形面积公式得， 即，解得， 故， 又，故， 所以， 故，， 故的周长为． 17．（15分）（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状. 【解题思路】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合已知条件可得出，利用（1）中的结果可判断出的形状. 【解答过程】（1）因为，则，整理可得， 由余弦定理可得， 又因为，故. （2）因为，则， 由余弦定可得， 即，整理可得，则， 又，故为等边三角形. 18．（17分）（23-24高一下·江苏宿迁·期中）某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 (1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD； (2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 【解题思路】（1）利用直角三角形知识可求，利用两角和的正切公式可求； （2）利用两角和的正切公式表示出，利用基本不等式可求答案. 【解答过程】（1）由题意,在中，， 所以； 在中，, 在中，, 因为，所以， 所以， 解得，所以. （2）设，则； 在中，, 在中，, 于是 设，则 . 当且仅当时，即时，等号成立； 又恒成立，所以，所以； 由正切函数在上为增函数，所以取最大值时，也最大. 当时，张角最大. 19．（17分）（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在四边形中，.   (1)求证：. (2)若，且，求四边形的面积. 【解题思路】（1）由条件结合正弦定理证明，由此证明结论； （2）由余弦定理求，结合三角形面积公式求结论. 【解答过程】（1）在中，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 即， 所以. 又， 所以， 所以. （2），则，由（1）知， 因为，则在中，由余弦定理得， ，即 又，解得， 此时四边形的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 解三角形全章综合测试卷（基础篇） 【苏教版（2019）】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·江苏泰州·期中）在中，如果，则（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高一下·江苏盐城·期中）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 4．（5分）（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（5分）（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（5分）（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）一艘船在A处，灯塔S在船正北方向，船以100海里/小时的速度向北偏东30°航行，30 分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船南偏西75°方向上．此时灯塔S与船B之间的距离为（    ）海里 A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一·江苏·假期作业）已知锐角中，，则边上的高的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知锐角三角形三边长分别为，则实数的可能取值是（    ） A． B． C．7 D． 10．（6分）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（   ） A．的值是 B．的外接圆半径是 C．的面积是 D． 11．（6分）（23-24高一下·江苏南京·期末）已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若的三角形有两解 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 13．（5分）（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.    14．（5分）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为 千米. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且. (1)求； (2)已知点在线段上，且，求长. 16．（15分）（23-24高一下·江苏·期中）已知是三边长且，的面积． (1)求角； (2)求的周长． 17．（15分）（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状. 18．（17分）（23-24高一下·江苏宿迁·期中）某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 (1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD； (2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 19．（17分）（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在四边形中，.   (1)求证：. (2)若，且，求四边形的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$