第11章 解三角形全章题型总结【4个知识点10大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第11章 解三角形全章题型总结【4个知识点10大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 余弦定理、正弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，内角的对边分别为，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角，，的对边分别为，，， 若，则角（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A． B．19 C． D．7 【题型2 正弦定理解三角形】 【例2】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式2-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则b=（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【知识点2 解三角形的相关应用】 1．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 2．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】 【例3】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【变式3-3】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4 正、余弦定理判定三角形形状】 【例4】（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【变式4-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【变式4-2】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【变式4-3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【知识点3 三角形面积公式】 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【题型5 三角形面积公式的应用】 【例5】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，，则的面积为（    ） A．4 B．8 C．24 D．32 【变式5-2】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·江西·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D．6 【知识点4 测量问题】 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型6 距离、高度、角度测量问题】 【例6】（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 【变式6-1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）玉泉寺铁塔位于湖北省当阳县城西15公里的覆船山东麓玉泉寺门前，全称“如来舍利宝塔”，又称当阳铁塔.它始建于北宋嘉祐六年公元1061年，由玉泉寺僧务本禅师领工铸建，是我国最高、最重和保存最完整的铁塔.如图，某测绘小组为了测量玉泉寺铁塔的实际高度PO，选取了与塔底O在同一水平面内的3个测量基点A，B，三点共线，现测得米，米，在点A、点B测得塔顶P的仰角均为，在点C测得塔顶P的仰角为，则塔高参考数据：取，，，，，，（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式6-2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 【题型7 解三角形的实际应用】 【例7】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【变式7-1】（23-24高二下·云南·期中）某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形，，（单位：百米），，，且拟在、两点间修建一条笔直的小路（路的宽度忽略不计），则当草坪的面积最大时，（    ） A．百米 B．百米 C．百米 D．百米 【变式7-2】（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【变式7-3】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 【题型8 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例8】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【变式8-1】（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 【变式8-2】（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【变式8-3】（23-24高三上·广东·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且． (1)若，证明：； (2)在（1）的条件下，且，求的值． 【题型9 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例9】（23-24高一下·江苏徐州·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 【变式9-3】（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知A，B，C为的三内角，且其对边分别为a，b，c．若 且 ． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 【题型10 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 【例10】（23-24高一下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高三上·广东中山·阶段练习）锐角中，已知，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 【变式10-3】（23-24高三上·北京昌平·期末）已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 解三角形全章题型总结【4个知识点10大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 余弦定理、正弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，内角的对边分别为，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用余弦定理解三角形即可. 【解答过程】， 所以. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用余弦定理求解即可. 【解答过程】因为，, 在中，. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角，，的对边分别为，，， 若，则角（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用余弦定理计算可得. 【解答过程】由余弦定理可得， 又，所以. 故选：C. 【变式1-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A． B．19 C． D．7 【解题思路】由余弦定理计算可得 【解答过程】由余弦定理得， 所以 ．因为， 所以． 故选：D. 【题型2 正弦定理解三角形】 【例2】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【解题思路】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【解答过程】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 【变式2-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据正弦定理即可求解. 【解答过程】解：由正弦定理可得，，， ，， 或， 故选：D. 【变式2-2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则b=（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【解答过程】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：C. 【变式2-3】（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理即可求解. 【解答过程】由正弦定理可得， 故选：C. 【知识点2 解三角形的相关应用】 1．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 2．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】 【例3】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【解答过程】由正弦定理可得，若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解． 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解． 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解． 若D 成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解． 故选：C． 【变式3-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【解答过程】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【解题思路】先求出，再由正弦定理求出角B即可得解. 【解答过程】由题，所以， 又，所以， 所以且由正弦定理， 所以由得或，故三角形解的个数为2. 故选：C. 【变式3-3】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理用表示，再借助的范围求解即得. 【解答过程】在中，由正弦定理得，则， 由满足条件，的有两个，得，且，即， 因此，所以. 故选：A. 【题型4 正、余弦定理判定三角形形状】 【例4】（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【解题思路】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【解答过程】由，利用正弦定理，， 即，因，则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【解题思路】应用正弦边角关系及二倍角正弦公式有，结合三角形内角的性质得或，即可得答案. 【解答过程】由已知及正弦边角关系有，则， 三角形中，则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【解题思路】利用余弦定理将等式整理得到，对或分类讨论即可判断． 【解答过程】由， 由余弦定理得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确． 故选：D． 【变式4-3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【解题思路】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理求出，从而得解. 【解答过程】因为，由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以， 又，由余弦定理， 又，所以， 所以，则为等边三角形. 故选：D. 【知识点3 三角形面积公式】 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【题型5 三角形面积公式的应用】 【例5】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由结合余弦定理求出，再由余弦定理得，进而由两边平方得，再由三角形面积公式即可得解. 【解答过程】因为， 所以由余弦定理得， 整理得，故， 又，所以， 所以由得即，    又由题， 所以 ， 即，故， 所以的面积为. 故选：C. 【变式5-1】（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，，则的面积为（    ） A．4 B．8 C．24 D．32 【解题思路】首先利用三角函数恒等变换化简条件等式，再根据最值，确定三角形内角的关系，再根据余弦定理以及三角形面积公式，即可求解. 【解答过程】由题意可知，， 即， 则， 即，其中，， 其中和的最大值为1，只有当，时，等号成立， ，， 设，由， 则，所以的面积为. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求的值，即可求解的值，由正弦定理结合已知等式可得可求的值，进而利用三角形的面积公式即可求解. 【解答过程】由及正弦定理得， 所以，又， 所以， 又由正弦定理，即， 所以， 所以， 所以， 即， 解得或（，舍）， 所以的面积. 故选：A. 【变式5-3】（23-24高一下·江西·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D．6 【解题思路】由题意，根据余弦定理可得，结合基本不等式和可得，即可求解. 【解答过程】因为，由余弦定理可得， 则，则， 又，所以，则的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 故选：B． 【知识点4 测量问题】 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型6 距离、高度、角度测量问题】 【例6】（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 【解题思路】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【解答过程】在中，，， 则，， 在中，，，， 则， ， ， 在中，，， 则， . 故选：D. 【变式6-1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）玉泉寺铁塔位于湖北省当阳县城西15公里的覆船山东麓玉泉寺门前，全称“如来舍利宝塔”，又称当阳铁塔.它始建于北宋嘉祐六年公元1061年，由玉泉寺僧务本禅师领工铸建，是我国最高、最重和保存最完整的铁塔.如图，某测绘小组为了测量玉泉寺铁塔的实际高度PO，选取了与塔底O在同一水平面内的3个测量基点A，B，三点共线，现测得米，米，在点A、点B测得塔顶P的仰角均为，在点C测得塔顶P的仰角为，则塔高参考数据：取，，，，，，（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解题思路】由题意得求出，得是等腰三角形，取的中点得，理由勾股定理可得答案. 【解答过程】由题意得 ，， 所以是等腰三角形， 取的中点，连接，则，， 由勾股定理得， 所以，则， 解得，所以. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【解答过程】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以， 故选：C. 【变式6-3】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 【解题思路】求出，再利用正弦定理得，最后根据三角函数定义即可得到答案. 【解答过程】根据题意，可得，， 在中，. 在中，，，所以， 在中，由正弦定理得，即， 即，解得， 在中，，，所以. 故选：A. 【题型7 解三角形的实际应用】 【例7】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【解题思路】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【解答过程】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 【变式7-1】（23-24高二下·云南·期中）某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形，，（单位：百米），，，且拟在、两点间修建一条笔直的小路（路的宽度忽略不计），则当草坪的面积最大时，（    ） A．百米 B．百米 C．百米 D．百米 【解题思路】先求出，再由，结合三角形面积公式与三角恒等变换转化为三角函数的最值即可 【解答过程】 设， 在中，， 由，， 所以为等边三角形， 当时，草坪的面积最大，此时， 故选：C. 【变式7-2】（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【解题思路】（1）根据含直角三角形的性质即可得到路程，再除以速度即可； （2）设t小时后恰与货船在C处相遇，在中利用余弦定理即可得到方程，解出即可. 【解答过程】（1）由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； （2）由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇． 【变式7-3】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 【解题思路】（1）根据题意在由余弦定理可求出AC，再在中由正弦定理求DC即可. （2）根据已知条件、两个三角形和边角的联系建立需求量之间的等量关系，再由面积公式进行推算即可. 【解答过程】（1），则， 在中，，即， 在中，， 由正弦定理知；，即， 则千米. （2）设，则，在中：， 在中：， 则，得， 因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故，故， 故，故， 所以 ， 当等号成立时，，， 此时，故此时为锐角三角形， 即圆心在的内部或边界， 所以. 【题型8 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例8】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【解题思路】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论； （2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求. 【解答过程】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 【变式8-1】（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 【解题思路】（1）根据正弦定理结合已知条件得出，对角的范围进行分类讨论，再利用正弦函数的单调性即可得出结果； （2）根据余弦函数在上单调递减，得，利用余弦定理转化为边的关系即可得出结果. 【解答过程】（1）由正弦定理知，，若，则，即． （ⅰ）若A，，则由在单调递增，得． （ⅱ）若，，则，此时， 由在单调递增，得，显然不成立，舍去． （ⅲ）若，，必有成立. 综上，在中，若，则. （2）由在上单调递减，若，则， 由余弦定理得，，则， 所以， 即， 即， 而，，所以． 所以在中，若，则. 【变式8-2】（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【解题思路】（1）根据题干，利用余弦定理化简可得，再由正弦定理可得即，再根据是锐角三角形，所以即可得解； （2）由是锐角三角形，所以，由正弦定理可得结合角的范围即可得解. 【解答过程】（1） 根据正弦定理，由 ， 即. 是锐角三角形， ，， 因此有 （2）是锐角三角形，，而， 由正弦定理，得， 则， 而 所以， 因此的取值范围为. 【变式8-3】（23-24高三上·广东·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且． (1)若，证明：； (2)在（1）的条件下，且，求的值． 【解题思路】（1）应用正弦定理得、，根据已知有，将左侧化简整理为，即可证结论； （2）由及余弦定理得到，结合求得，最后应用余弦定理求即可. 【解答过程】（1）   在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 因为，所以， 而 ． 所以，即． （2）由，得，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，， 即，整理得，， 在中，由余弦定理得 ， ∴，故，即， 所以. 【题型9 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例9】（23-24高一下·江苏徐州·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理边化角得到，由锐角三角形求出，然后将的取值范围转化为函数的值域问题求解即可. 【解答过程】因为，所以由正弦定理得：, 即，所以，即，又，所以. 因为锐角三角形ABC，所以，即，解得. . 令，因为，所以， 则在单调递减， 所以. 故选：C. 【变式9-1】（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【解答过程】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C. 【变式9-2】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据数量积的坐标表示，利用正弦定理和余弦定理角化边可得； （2）利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得. 【解答过程】（1）因为， 所以 ， 利用正弦定理角化边得， 又， ，则， 又为锐角三角形，故. （2）由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 【变式9-3】（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知A，B，C为的三内角，且其对边分别为a，b，c．若 且 ． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意可得，再根据正弦定理可得，进而即可求得角A的大小； （2）先根据题意及正弦定理得到，，从而得到，再结合（1）得到B的取值范围，进而即可求得的周长的取值范围． 【解答过程】（1）由，则， 又由正弦定理得， 又因为，则， 所以，即， 又因为，所以． （2）由正弦定理有， 则，， 所以 ， 又，则，则，则， 所以， 故的周长的取值范围为． 【题型10 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 【例10】（23-24高一下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围. 【解答过程】由以及正弦定理得，所以 即，又B为钝角，所以，故 于是 ，因为，所以 由此，即的取值范围是 故选：A. 【变式10-1】（24-25高三上·广东中山·阶段练习）锐角中，已知，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由余弦定理得：，再由正弦定理得：，则，利用三角形内角和定理和三角函数的恒等变换，转化为求三角函数的值域，求出范围即可得到结果. 【解答过程】 ，由余弦定理得：，即， 由正弦定理得：，， ， 又由得：，， ， . 故选：D. 【变式10-2】（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 【解题思路】（1）根据图形求出最小正周期可求得，代入点可求得； （2）根据求得，根据面积求出，即可由余弦定理求得. 【解答过程】解：（1）据图象可得，故， 由得：． 由得：． 由知，， ，解得， ； （2），， ，， ，， 由题意得的面积为，解得， 由余弦定理得，解得：. 【变式10-3】（23-24高三上·北京昌平·期末）已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 【解题思路】（1）整理得 ，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值. 【解答过程】解：（1） ． 的最小正周期为：； 当时， 即当时，函数单调递减， 所以函数单调递减区间为：； （2）因为，所以 ，， ，． 设边上的高为，所以有， 由余弦定理可知：， ，， （当用仅当时，取等号），所以， 因此边上的高的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$