专题11.1 解一元一次不等式（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版2024）

专题11.1 解一元一次不等式 · 典例分析 【典例1】已知，则代数式最大值与最小值的差是 ． 【思路点拨】 首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a． 【解题过程】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解不等式组得：； （1）当时，， 当时有最小值， 当时有最大值5； （2）当时，， ∴当时的值恒等于5（最大值）； ∴最大值与最小值的差是. 故答案为：. · 学霸必刷 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）定义新运算“*”，规定．若关于x的不等式的解集为，则 m 的值为（   ） A． B． C．2 D．3 3．（23-24七年级下·重庆江津·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）使不等式成立的整数共有（   ） A．10000个 B．20000个 C．9999个 D．80000个 5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）非负数满足，记最大值为，最小值为，则等于（       ） A．7 B．16 C．20 D．21 6．（23-24八年级上·福建三明·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（    ） A．0 B． C． D． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解为 ． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程的解为非负数，则m的范围为 ． 9．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 10．（23-24七年级下·广东珠海·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是 ． 11．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）已知：，化简： ． 12．（2024七年级·全国·竞赛）无论取何值，都成立，则的取值范围是 ． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）若不等式的解是，则不等式的解是 ． 14．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，当时，．例如：，．若已知，则x的取值范围为 ． 15．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）若关于x、y的方程组有整数解，且关于z的一元一次不等式有负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 16．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 17．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若方程的解是不等式的最大整数解，求的值． 18．（23-24七年级下·四川内江·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 20．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）若关于x的方程的解大于的解，求a的取值范围． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式的解集与关于的不等式的解集相同，求的值． 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式． （1）当时，求该不等式的解集； （2）a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 23．（24-25八年级上·浙江杭州·期中） 关于x的方程的方程 的解满足． （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 24．（23-24七年级下·福建泉州·期中）对于两个不等式，若有个相同的整数使这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“级关联”． （1）不等式和是“ 级关联”，请说明理由； （2）若不等式和 是“级关联”，求的取值范围． 25．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． （1）请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； （2）若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； （3）若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 26．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： （1）填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； （2）解不等式； （3）求不等式的解集． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.1 解一元一次不等式 · 典例分析 【典例1】已知，则代数式最大值与最小值的差是 ． 【思路点拨】 首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a． 【解题过程】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解不等式组得：； （1）当时，， 当时有最小值， 当时有最大值5； （2）当时，， ∴当时的值恒等于5（最大值）； ∴最大值与最小值的差是. 故答案为：. · 学霸必刷 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【解题过程】 解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）定义新运算“*”，规定．若关于x的不等式的解集为，则 m 的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【思路点拨】 本题考查新定义、解一元一次不等式、解一元一次方程，先根据新定义可得，解不等式得，从而可得，再解方程即可． 【解题过程】 解：由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∵不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：B． 3．（23-24七年级下·重庆江津·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵关于x的不等式有且只有三个负整数解， ∴x的负整数解有：， ∴， 解得：， 故选：C． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）使不等式成立的整数共有（   ） A．10000个 B．20000个 C．9999个 D．80000个 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式，化简绝绝对值，分类讨论是解题的关键．分，，三种情况，去绝对值，解不等式即可． 【解题过程】 解：当时，，解得，即，其整数解有3999个； 当时，恒成立，整数解有2001个； 当时，999，解得，即，整数解有3999个． 综上所述，使不等式成立的整数共有（个）． 故选：C． 5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）非负数满足，记最大值为，最小值为，则等于（       ） A．7 B．16 C．20 D．21 【思路点拨】 本题考查了不等式的性质，求不等式解集，先将原式变形，代入M式子，根据不等式的性质求出范围即可求出a，b的值，得出结果． 【解题过程】 解：将变形，得， 将分别代入，得， ， ， 当时，M可以取最大值，最大值， 当时， M可以取最小值，最小值， ． 故选：D． 6．（23-24八年级上·福建三明·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（    ） A．0 B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 解方程组得，，由得到，解得，即可得到m的最小整数解． 【解题过程】 解：， 得：， 解得 得：， 解得 ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为， 故选：B． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解为 ． 【思路点拨】 本题考查了求一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为．先按照解一元一次不等式的一般步骤求解，然后取其非负整数解即可． 【解题过程】 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的非负整数解为：或， 故答案为：或． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程的解为非负数，则m的范围为 ． 【思路点拨】 本题考查的是一元一次方程的解法，解题的关键是正确解出一元一次方程、根据题意得到一元一次不等式并正确解出不等式．解出关于x的方程，根据题意列出关于m的一元一次不等式，解不等式得到答案． 【解题过程】 解： ， 关于x的方程的解为非负数， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式的整数解．先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，即可解答． 【解题过程】 解：∵， ∴． ∵不是不等式的整数解， ∴， 解得． ∵是关于x的不等式的一个整数解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·广东珠海·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是 ． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．由，可得，由不等式的解集为，则，即且，可求，则，整理得，计算求解即可． 【解题过程】 解：， ∴， ∵不等式的解集为， ∴，即且， 解得，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）已知：，化简： ． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次不等式，化简绝对值，整式的加减计算，先解不等式得到，进而得到，据此化简绝对值即可得到答案． 【解题过程】 解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．（2024七年级·全国·竞赛）无论取何值，都成立，则的取值范围是 ． 【思路点拨】 分类讨论求出不同情况下的取值即可求出的取值范围． 【解题过程】 解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上，， 则当时，恒成立． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）若不等式的解是，则不等式的解是 ． 【思路点拨】 先解第一个不等式，根据不等式的解得到，，再代入第二个不等式中求解即可． 【解题过程】 解：解不等式得， ∵该不等式的解是， ∴该不等式的解为，且， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴不等式可化为， 即， ∴， 解得， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，当时，．例如：，．若已知，则x的取值范围为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了新定义，解不等式，分当时得到不等式，当时得到不等式，两种情况解不等式即可得到答案． 【解题过程】 解：当时，解得， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时，解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 15．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）若关于x、y的方程组有整数解，且关于z的一元一次不等式有负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【思路点拨】 本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，先解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求得a的值，再根据一元一次不等式的解的情况得到a的取值范围，然后取公共a值即可．解答关键是正确求得a的取值范围进而求得a值． 【解题过程】 解：解方程组， 得：，则， 将代入②中，得，则， ∴方程组的解为， ∵该方程组有整数解， ∴为或， 当即，符合题意； 当即，符合题意； 当即，符合题意； 当即，符合题意； ∵关于z的一元一次不等式即有负整数解， ∴，则， 综上，或， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【思路点拨】 （1）先去括号，移项、合并同类项，再将系数化为1求解不等式，最后将解集在数轴上表示出来即可； （2）先将原方程进行化简，再去分母，去括号，移项、合并同类项，将系数化为1求解不等式，最后将解集在数轴上表示出来即可． 【解题过程】 解：（1）去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示为：    （2）原方程化简为， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示为：    17．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若方程的解是不等式的最大整数解，求的值． 【思路点拨】 本题考查了由一元一次方程和一元一次不等式解的情况求参数，先求出方程的解和不等式的解集，根据不等式的解集确定出方程的解，再代入方程的解即可求解，正确计算是解题的关键． 【解题过程】 解：解方程，得， 解不等式，得， 不等式的最大整数解为， ∵方程的解是不等式的最大整数解， ∴， 解得． 18．（23-24七年级下·四川内江·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 【思路点拨】 此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整数解是解本题的关键．求出不等式的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入所求代数式中计算，即可求出值． 【解题过程】 解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 则不等式最小的整数解为， 又不等式最小整数解是方程的解， 将代入方程得：， 解得：， 则． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 【思路点拨】 本题考查的是一元一次不等式的应用及其解法，先分别解不等式与，再结合题意可得，从而可得答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， ∴解得． 20．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）若关于x的方程的解大于的解，求a的取值范围． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先求出一元一次方程以及一元一次不等式，然后再根据题意列出不等式，求解不等式即可得出答案． 【解题过程】 解： ， ， ∵的解大于的解， ∴， 解得：． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式的解集与关于的不等式的解集相同，求的值． 【思路点拨】 本题主要考查不等式的解集，掌握解不等式的方法是解题的关键．根据不等式的解集与关于的不等式的解集相同，然后根据题意建立一个关于的不等式，从而确定的范围即可． 【解题过程】 解：不等式， 解得． 关于的不等式， 不等式的解集与关于的不等式的解集相同， 解得． 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式． （1）当时，求该不等式的解集； （2）a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【思路点拨】 本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【解题过程】 （1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 23．（24-25八年级上·浙江杭州·期中） 关于x的方程的方程 的解满足． （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先解方程可得：，然后把x的值代入中进行计算，即可解答； （2）根据不等式的性质可得：，从而可得，然后利用（1）的结论可得：，从而可得：，即可解答． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； （2）， ， ∵不等式的解为， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵a是整数， ∴． 24．（23-24七年级下·福建泉州·期中）对于两个不等式，若有个相同的整数使这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“级关联”． （1）不等式和是“ 级关联”，请说明理由； （2）若不等式和 是“级关联”，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了新定义：两个不等式是“级关联”，解题的关键是掌握不等式的性质和理解题意． （1）先分别解出两个不等式，再表示出两个不等式的解集即可求解； （2）先分别解出两个不等式，再根据题意即可求解． 【解题过程】 （1）解：由可得：， 由得：， 两个不等式的解集为， 有整数、、三个相同的整数使这两个不等式同时成立， 不等式和是“级关联”， 故答案为：； （2）由得， 由得：， 两个不等式的解集为， 不等式和 是“级关联”， ， ． 25．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． （1）请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； （2）若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； （3）若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）分别解方程和不等式，判定是否符合定义； （2）分别解方程和不等式，根据方程的解在不等式的解集范围内确定的取值范围； （3）分别解方程和不等式，根据方程的解不在不等式的解集范围内确定的取值范围. 【解题过程】 （1）解方程，得， 解不等式，得， 不在范围内， 组合是“无缘组合”． （2）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“有缘组合， 在范围内， （3）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“无缘组合”， ， 解得． 26．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： （1）填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； （2）解不等式； （3）求不等式的解集． 【思路点拨】 此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定 和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【解题过程】 （1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$