10.4整式的除法（6大题型提分练）（题型专练）数学新教材青岛版七年级下册

10.4整式的除法 题型一 单项式除以单项式 1．化简 ． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3． ． 4．计算：（    ） A．1 B． C． D． 5．填空：（ ）． 题型二 多项式除以单项式 1．所得结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．先化简再求值：，其中． 4．计算： 题型三 整式除法的特殊运算 1．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)的商是_______． (2)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． (3)在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 2．在学习整式的除法之后，小婷通过延伸发现：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．如图，计算时，可以仿照用竖式计算．请你仿照上面的例子计算的结果为 ． 题型四 整式的混合运算 1．先化简，再求值：其中  ． 2．计算 (1)； (2) 3．计算： (1) (2) 4．先化简，再求值：，其中． 5．先化简，再求值，其中． 题型五 新定义的整式混合运算 1．定义新运算符号⊕：，求 ． 2．对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 题型六 整式除法的应用 1．如图，图1的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2这样的杯子中，那么一共需要（   ）个这样的杯子． A． B． C． D． 2．如图，将一张长方形纸板的四角各减去一个边长为的小正方形（阴影部分），制成如图的无盖纸盒．若该纸盒的容积为，则原长方形纸板的周长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为（   ） A． B． C． D． 4．若长方体的体积是，底面积是，则这个长方体的高是 ． 5．如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示） 6．某居民小区响应党的号召，开展全民健身活动．该小区准备修建一座健身馆，其设计方案如图所示，区为成年人活动场所，区为未成年人活动场所，其余地方均种花草． (1)活动场所和花草的面积各是多少； (2)整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 7．如图，某种空心卷纸的外直径为，内直径为，高度为． (1)请用含的式子表示该空心卷纸的体积； (2)若每层纸的厚度为．假如把这卷纸全部拉开，那么这卷纸的总长度大约是多少米（取）？ 1．现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知A，B均为整式，，小明在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)将整式A化为最简形式． (2)求整式B． (3)求的正确结果． 4．在信息传递的过程中，信息的发送方甲方，为了保护传输的数据信息不被第三方窃取，采用一个密钥将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙方用另一把密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密．若某种加密规则如图所示，当发送方发出，，求解密后，的值． 5．李老师给学生出了一道题：当时，求的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件是多余的．”小颖说：“不给这个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说得有道理？为什么？ 6．已知是多项式，明明在计算时，将看成了，结果得到． (1)求多项式； (2)求． 7．（1）先化简，再求值： ，其中，． （2）阅读理解： 已知，，求的值． 解：∵， ∴，即． ∵， ∴． 参考上述过程解答： （1）若，． ①________；②________； （2）已知，求的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.4整式的除法 题型一 单项式除以单项式 1．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【详解】解：． 故答案为：． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式， 先将两个单项式的系数相除，再将相同字母分别相除可得答案． 【详解】解：原式． 故选：C． 3． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方、单项式除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用积的乘方、幂的乘方法则化简，然后再运用单项式除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．计算：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解：， 故选：D． 5．填空：（ ）． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握该运算规则是解题的关键． 利用单项式除法法则计算即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 题型二 多项式除以单项式 1．所得结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟知多项式除以单项式的计算法则是解题的关键． 直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的除法，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 3．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算完全平方公式和多项式乘多项式的运算，再合并同类项计算括号内的，再进行多项式除以单项式的运算，然后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，利用多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 题型三 整式除法的特殊运算 1．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)的商是_______． (2)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． (3)在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式，多项式乘以多项式，熟知多项式与多项式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）根据题中竖式求解； （2）根据长方形周长计算公式结合已知条件列出关于a、x的等式即可得到答案； （3）先求出长方形B的面积，进而求出长方形C的面积，再利用短除法求出长方形C的另一边长即可． 【详解】（1）解：， ∴的商是， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：长方形B的面积为， ∴长方形C的面积为 ， ， ∴长方形C的另一边长为． 2．在学习整式的除法之后，小婷通过延伸发现：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．如图，计算时，可以仿照用竖式计算．请你仿照上面的例子计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与多项式的除法计算，根据所给例子计算即可． 【详解】解：用竖式计算，如图， ∴． 故答案为；：． 题型四 整式的混合运算 1．先化简，再求值：其中  ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先根据完全平方公式和多项式除以多项式的计算法则去中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，接着根据非负数的性质求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 2．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的乘除．熟练掌握单项式的乘除运算，完全平方公式，平方差公式，是解题的关键． （1）再根据单项式乘除法法则去掉括号，系数同底数幂分别相乘除； （2）根据完全平方公式、平方差公式展开，合并同类项即可解得． ． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键． （1）先根据多项式除以单项式运算法则和平方差公式，再合并同类项即可； （2）先将原式看作，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【分析】先利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．本题考查了整式的混合运算，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴，， 解得： ，， 当，，时，原式． 5．先化简，再求值，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据完全平方公式，单项式乘多项式，平方差公式去小括号，再合并同类项，然后计算除法，最后代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型五 新定义的整式混合运算 1．定义新运算符号⊕：，求 ． 【答案】 【分析】根据新运算得出原式，再根据整式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的除法和有理数的混合运算，能正确根据整式的除法法则进行计算是解此题的关键． 2．对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．由，，推出，结合，即可求解． 【详解】解： ，， 当时，则， 当时，则， ， ， 始终成立， ， ， ， 故选：D． 题型六 整式除法的应用 1．如图，图1的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2这样的杯子中，那么一共需要（   ）个这样的杯子． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式除法的应用，列代数式，解本题的关键在熟练掌握圆柱的体积公式．圆柱的体积公式．首先算出图（1）中瓶子的体积，然后再算出图（2）中杯子的体积，即可得出结论． 【详解】解：图（1）瓶子的上半部分的体积为 ； 图（1）瓶子的下半部分的体积为 ； ∴图（1）瓶子的体积为 ； 图（2）杯子的体积为 ； ∴一共需要杯子为个 故选：A． 2．如图，将一张长方形纸板的四角各减去一个边长为的小正方形（阴影部分），制成如图的无盖纸盒．若该纸盒的容积为，则原长方形纸板的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式除法和加法的实际应用，先利用除法求出纸盒的宽，进而求出原长方形纸板的长和宽，再列式求出原长方形纸板的周长即可，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：纸盒的宽为， ∴原长方形纸板的长为，宽为， ∴原长方形纸板的周长为， 故选：． 3．如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式乘法，正确利用图形面积关系是解题关键．首先求出大正方形面积，进而利用图形总面积不变得出等式求出答案． 【详解】解：∵，拼成的长方形一边长为m， ∴． 故另一边长为：． 故选：C． 4．若长方体的体积是，底面积是，则这个长方体的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的应用，熟练掌握单项式除以多项式法则是解题的关键． 利用多项式除以单项式法则计算，即可求解． 【详解】解： ∴这个长方体的高是． 故答案为：． 5．如图，一个柱体工件的体积为．其形状和部分尺寸如图所示，求工件的长．（用含的式子表示） 【答案】工件的长 【分析】本题考查了整式除法运算的应用．用柱体工件的体积除以底面积，即可求得工件的长． 【详解】解：根据题意得，工件的长 ． 6．某居民小区响应党的号召，开展全民健身活动．该小区准备修建一座健身馆，其设计方案如图所示，区为成年人活动场所，区为未成年人活动场所，其余地方均种花草． (1)活动场所和花草的面积各是多少； (2)整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【答案】(1)活动场所面积是，花草的面积 (2)倍 【分析】本题考查整式的混合运算，列代数式， （1）根据题意表示出活动场所和花草的面积即可； （2）根据题意列出关系式，利用多项式除以单项式法则计算即可； 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：活动场所面积：， 花草的面积： ， ， ∴活动场所面积是，花草的面积是； （2） ， ∴整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的倍． 7．如图，某种空心卷纸的外直径为，内直径为，高度为． (1)请用含的式子表示该空心卷纸的体积； (2)若每层纸的厚度为．假如把这卷纸全部拉开，那么这卷纸的总长度大约是多少米（取）？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查列代数式、单项式除以单项式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据圆柱的体积底面积高，然后代入数据计算即可； （2）根据卷纸的总体积不变，即可求解． 【详解】（1）解：， 答：该空心卷纸的体积为； （2）解：， 答：这卷纸的总长度大约是米． 1．现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含的式子表示出，，，，进而求出，，最后代入计算即可求解，正确识图是解题的关键 【详解】解：由图可得，， ， 由图得，， ， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵, ∴， 故选：． 2．如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积是解题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：． 3．已知A，B均为整式，，小明在计算时，误把“”抄成了“”，这样他计算的正确结果为． (1)将整式A化为最简形式． (2)求整式B． (3)求的正确结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可； （2）根据题意可得，则，根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可； （3）根据（2）中求出B的值，列出式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ， （2）解：根据题意可得：， ∴， ； （3）解： ． 4．在信息传递的过程中，信息的发送方甲方，为了保护传输的数据信息不被第三方窃取，采用一个密钥将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙方用另一把密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密．若某种加密规则如图所示，当发送方发出，，求解密后，的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的除法运算，涉及单项式除以单项式，多项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键；分别按单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则计算，再代入求值即可． 【详解】解：由题意可知，， ； 将，代入，得， ； ∴，． 5．李老师给学生出了一道题：当时，求的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件是多余的．”小颖说：“不给这个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说得有道理？为什么？ 【答案】小明说得有道理，理由见解析 【分析】本题考查整式运算中的无关型问题，利用单项式乘以多项式和多项式除以单项式的法则进行计算，利用结果进行说明即可． 【详解】解：小明说得有道理．理由如下： 原式． 因为最后的化简结果不含y，所以最后的结果与y的值无关， 所以小明说得有道理． 6．已知是多项式，明明在计算时，将看成了，结果得到． (1)求多项式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，多项式除以单项式： （1）根据题意可得，据此根据多项式除以单项式的计算法则求解即可； （2）根据（1）所求利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴． 7．（1）先化简，再求值： ，其中，． （2）阅读理解： 已知，，求的值． 解：∵， ∴，即． ∵， ∴． 参考上述过程解答： （1）若，． ①________；②________； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2）（1）①5，②1；（2）47 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据平方差公式和多项式乘以多项式运算法则计算括号内，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式运算法则计算，得到最简式，最后代入求值即可； （2）（1）①根据题意可知，根据完全平方公式展开后即可得到答案；②先根据完全平方公式展开后，再根据①所求值和即可得到答案；（2）根据题意，再将其根据完全平方公式将展开，即可得到答案 【详解】解：（1） 当，时，原式． （2）（1）① ， ， ， ， ； 故答案为：5． ②由①可知，且， ， 故答案为：1． （2） ， ， ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$