10.2整式的乘法（10大题型提分练）（题型专练）数学新教材青岛版七年级下册

10.2整式的乘法 题型一 单项式乘单项式 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 3．等于（　　） A． B． C． D． 4．计算： (1)； (2)． 题型二 单项式乘多项式 1．计算： (1)； (2)． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．计算： (1)； (2)． 5．计算： (1)； (2)． 题型三 单项式乘多项式的应用 1．如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ． 2．如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 3．为筹备2025年春节花展，厦门市园博苑计划培育两种新引进的花卉．如图所示，目前有一块由两个边长分别为米，米的正方形组成的不规则闲置地块可用于花卉培育．工作人员取小正方形边的中点，沿将该地块分割成两个小地块，分别用于培育两种花卉． (1)请用含有的代数式表示两个地块面积； (2)若，判断工作人员的做法能否使两种花卉的培育面积相等，并说明理由． 题型四 多项式乘多项式 1．计算的结果中，含的项的系数为（   ） A． B．1 C．5 D． 2．若多项式，则a，b的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1) (2) 题型五 多项式乘多项式的应用 1．如图，某农业示范基地有一块长为米，宽为米的长方形耕地，现决定将其中一小块长为米，宽为米的长方形耕地继续播种原种子，其余耕地全部作为新种子试验田． (1)求新种子试验田的面积（用含a，b的代数式表示，要求化简）； (2)当，时，求新种子试验田的面积（结果用科学记数法表示）． 2．如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 3．“筑牢民生之基，增强百姓奉福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）： (2)当，时，求绿化部分的面积． 4．2025年2月10日，南水北调东线一期工程正式启动本年度调水工作，计划向黄河以北调水1.51亿立方米．如图，某段河道的横截面是梯形，已知上底的长度为，下底的长度为，河道的最大高度为． (1)求河道横截面的面积； (2)经测量得出，那么长的南水北调的河道最多可以蓄水多少立方米？（棱柱的体积棱柱的底面积高） 题型六 整式乘法的混合运算 1．（1）计算：； （2）已知，求的值． 2．计算：． 3．化简． 4．先化简，再求值： (1)已知，求的值； (2)，其中． 题型七 整式乘法的化简求值 1．已知，，求代数式的值． 2．已知，求代数式的值． 3．先化简，再求值：，其中． 4．已知，则的值是 ． 5．先化简，再求值：，其中． 6．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 题型八 利用整式的乘法求字母的值 1．已知，则a，b的值分别是（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 4．已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 5．若，则的值是（    ） A．2 B． C．5 D． 6．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．若，则的值为 ． 8．若 ，则求的值． 9．若，则 ． 题型九 整式乘法展开式不含某项，求字母的值 1．若恒成立，求的值． 2．已知的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 3．若与的乘积中不含的一次项，则m的值为（　　） A． B．3 C．0 D．1 4．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 5．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 6．若的计算结果中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 题型十 多项式乘法的规律探究问题 1．根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就之一，它直观的呈现了展开式中各项的系数，如图所示．如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；⋯ 根据上述材料，的展开式中含项的系数为（   ）． A． B．20 C． D． 3．填空： ①________； ②________； ③________； … 根据上述计算回答下列问题： （1）写出反应上述规律的关系式； （2）利用上述规律反映的关系式计算：． 4．观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； … 请猜想的展开式第三项的系数为 ． 1．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 任务： (1)运算从第 步开始出错，出现错误的原因是 ． (2)正确运算结果为 ． 3．定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 4．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图①可以得到．请解答下列问题： (1)写出图②所表示的数学等式：________ (2)解决下面问题：已知，求的值． 5．计算：． 6．说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 7．【项目任务】老师与学生一起探索两个十位上的数字和为10，个位上的数相同的两位数字积的规律． 【初步探究】； ； ； ． 【类比尝试】结合上面的探究，学生独立完成下面任务： 填空：____________； 【深入探究】 具有上述一定特点的两个两位数的乘积体现的一般规律：设其中的一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，这个两位数表示为，则另一个两位数的十位上的数字为______，个位上的数为n，这个两位数表示为______，这两个两位数相乘的一般性结论为____________（用含m，n的代数式表示），并证明． 8．如图，若每个小长方形的长为，宽为． (1)求阴影部分的面积； (2)当时，阴影部分的面积是多少？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2整式的乘法 题型一 单项式乘单项式 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，直接根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 3．等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则是解决此题的关键．利用单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型二 单项式乘多项式 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； 本题考查了单项式乘以多项式，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则成为解题的关键． 直接运用单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算即可．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解：， 故答案为：． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先进行括号内的运算，再去括号，最后合并同类项即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后合并同类项即可； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】（1）解： （2）解： 题型三 单项式乘多项式的应用 1．如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算．由题意得，小芳卧室的面积为，再根据整式的混合运算法则整理即可． 【详解】解：由题意得，小芳卧室的面积 ． 故答案为：． 2．如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了列代数式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，空地的长比宽的2倍少1米，设空地的宽是米，则分别表示出花圃的宽和长，再根据面积公式列式，即可作答． （2）由（1）得花圃的面积为平方米，先整理得，然后代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，空地的长为米， ∵周边道路的宽度是米， ∴花圃的宽是米，花圃的长是米， ∴花圃的面积为平方米； （2）解：∵花圃的宽是米，且要求花圃的宽是米， ∴， 则， ∴花圃的面积为平方米． 3．为筹备2025年春节花展，厦门市园博苑计划培育两种新引进的花卉．如图所示，目前有一块由两个边长分别为米，米的正方形组成的不规则闲置地块可用于花卉培育．工作人员取小正方形边的中点，沿将该地块分割成两个小地块，分别用于培育两种花卉． (1)请用含有的代数式表示两个地块面积； (2)若，判断工作人员的做法能否使两种花卉的培育面积相等，并说明理由． 【答案】(1)， (2)工作人员的做法能使两种花卉的培育面积相等，理由见详解 【分析】本题主要考查字母表示数或数量关系，理解图示中线段的数量关系正确列出代数式是关键． （1）根据题意，空白部分根据三角形面积公式计算，另一边不规则图形的面积有两个正方形的面积减去空白部分的面积即可； （2）将分别代入进行计算即可． 【详解】（1）解：点是的中点， ∴， ∴空白部分的面积， ∴阴影部分的面积； （2）解：工作人员的做法能使两种花卉的培育面积相等，理由如下， 当时， ， ， ∴， ∴工作人员的做法能使两种花卉的培育面积相等． 题型四 多项式乘多项式 1．计算的结果中，含的项的系数为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式法则计算即可得． 【详解】解： ， 则计算的结果中，含的项的系数为， 故选：A． 2．若多项式，则a，b的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 故选：B． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的运算—分解因式、多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：， ， ， ， ． 题型五 多项式乘多项式的应用 1．如图，某农业示范基地有一块长为米，宽为米的长方形耕地，现决定将其中一小块长为米，宽为米的长方形耕地继续播种原种子，其余耕地全部作为新种子试验田． (1)求新种子试验田的面积（用含a，b的代数式表示，要求化简）； (2)当，时，求新种子试验田的面积（结果用科学记数法表示）． 【答案】(1) (2)平方米． 【分析】本题考查的是整式的乘法运算与图形面积，求解代数式的值； （1）利用大的长方形面积减去小的长方形的面积即可； （2）把，代入（1）中的代数式进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， 原式（平方米）． 答：新种子试验田的面积为平方米． 2．如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式运算的应用： （1）用长方形的面积减去正方形的面积，进行求解即可； （2）将代入（1）中的结果中，进行计算即可． 【详解】（1）解：； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为； （2）当时，； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为． 3．“筑牢民生之基，增强百姓奉福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）： (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)47平方米 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，弄清题意，列出相应的式子是解此题的关键． （1）根据绿化面积矩形面积正方形面积，利用多项式乘以多项式法则，去括号并合并即可得解； （2）将的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米， 答：绿化面积是平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：绿化面积是47平方米． 4．2025年2月10日，南水北调东线一期工程正式启动本年度调水工作，计划向黄河以北调水1.51亿立方米．如图，某段河道的横截面是梯形，已知上底的长度为，下底的长度为，河道的最大高度为． (1)求河道横截面的面积； (2)经测量得出，那么长的南水北调的河道最多可以蓄水多少立方米？（棱柱的体积棱柱的底面积高） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，掌握整式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可； （2）先代入求出梯形面积，再根据棱柱的体积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：河道横截面的面积为： ； （2）当时， ， ， 答：长的南水北调的河道最多可以蓄水． 题型六 整式乘法的混合运算 1．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算，同底数幂的乘法和幂的乘方逆用； （1）先根据单项式乘多项式，多项式乘多项式分别计算，再合并同类项即可； （2）根据，代入求值即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵， ∴ ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 3．化简． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则将式子展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 4．先化简，再求值： (1)已知，求的值； (2)，其中． 【答案】(1)，5 (2)， 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值， （1）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 当时，原式． 题型七 整式乘法的化简求值 1．已知，，求代数式的值． 【答案】15 【分析】本题考查多项式乘多项式化简求值，利用多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．已知，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代数式求值．利用整式混合运算法则把式子进行整理，再将变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值为5． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，整式的加减计算，正确运算法则，正确计算是解题的关键． 先运用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式法则进行计算，再进行加减计算，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当， 原式 ． 4．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式并求值．根据多项式乘多项式的法则，以及整体代入法，进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握多项式乘多项式法则，合并同类项法则进行计算，是解题的关键． 根据多项式乘多项式的法则展开，然后合并同类项，最后x=7代入即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 6．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 题型八 利用整式的乘法求字母的值 1．已知，则a，b的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．先利用多项式乘以多项式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法运算，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的运算法则展开等号左边的式子，再与等腰右边的比较，可得的值，代入计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 3．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 4．已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 5．若，则的值是（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，能够灵活运用法则进行计算是解此题的关键．先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 6．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 7．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式乘法的应用，解题的关键是熟知整式的乘法法则．先利用整式的乘法展开，再利用等式的性质即可求出、，再进行求解． 【详解】解： ，， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 8．若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴， 故答案为：6． 题型九 整式乘法展开式不含某项，求字母的值 1．若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 2．已知的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式； 根据多项式乘以多项式的运算法则对展开，然后根据结果中不含x的一次项可知一次项系数为0，进而可求出a的值． 【详解】解：， ∵的计算结果中不含x的一次项， ∴， ∴， 故选：C． 3．若与的乘积中不含的一次项，则m的值为（　　） A． B．3 C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及无关型问题，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据乘积中含的一次项的系数等于0求解即可得． 【详解】解：， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：B． 4．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 5．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 6．若的计算结果中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的运算以及计算结果中不含与项即可得到答案； （2）将代入式子计算即可． 【详解】（1）解：原式， 计算结果中不含与项， ， 解得； （2）解：将代入， 原式 ． 题型十 多项式乘法的规律探究问题 1．根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用规律探究求值，找出规律，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：C． 2．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就之一，它直观的呈现了展开式中各项的系数，如图所示．如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；⋯ 根据上述材料，的展开式中含项的系数为（   ）． A． B．20 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，找到规律是解题的关键；由图知，的展开式中各项的系数分别为1，5，10，10，5，1，由此即可求解． 【详解】解：由题意知，的展开式中各项的系数分别为1，5，10，10，5，1， 则含的项为， ∴的展开式中含项的系数为． 故选：D． 3．填空： ①________； ②________； ③________； … 根据上述计算回答下列问题： （1）写出反应上述规律的关系式； （2）利用上述规律反映的关系式计算：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用， 根据多项式乘多项式法则计算填空； 对于（1），根据上述规律得出关系式解答即可； 对于（2），根据（1）中的规律解答即可． 【详解】解：①； ②； ③； 故答案为：． （1）根据上述过程，得 ； （2） ． 4．观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； … 请猜想的展开式第三项的系数为 ． 【答案】45 【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘多项式，根据各式与展开式系数规律，确定出所求展开式第三项系数即可． 【详解】解：根据题意得：第五个式子系数为1，6，15，20，15，6，1， 第六个式子系数为1，7，21，35，35，21，7，1， 第七个式子系数为1，8，28，56，70，56，28，8，1， 第八个式子系数为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 第九个式子系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1， 则的展开式第三项的系数是45， 故答案为：45． 1．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 故选：C． 2．下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 任务： (1)运算从第 步开始出错，出现错误的原因是 ． (2)正确运算结果为 ． 【答案】(1)二；与相乘时，的指数没有相加 (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． （1）根据多项式乘多项式的运算法则判断即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：运算从第二步开始出错，出现错误的原因是与相乘时，的指数没有相加， 故答案为：二；与相乘时，的指数没有相加； （2）解：， ， ， ， 故答案为：． 3．定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 【答案】(1)多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为； (2)； (3)9 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算的应用，理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据和谐多项式的概念，计算即可验证； （2）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； （3）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； 【详解】（1）解：， ， ， 故多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为 （2）解： ， ， 多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式， ； （3）解： 多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式， ， 解得， ． 4．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图①可以得到．请解答下列问题： (1)写出图②所表示的数学等式：________ (2)解决下面问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)45 【分析】本题主要考查列代数式，代数式求值，熟练掌握列代数式是解题的关键． （1）根据大长方形面积等于各个长方形面积之和列式即可； （2）将代入求值即可． 【详解】（1）解：图②所表示的数学等式：， 故答案为：； （2）解： ， 将代入， 得：， 解得． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的运算，设，将计算转化为：，得到最终结果为即可． 【详解】解：设， 则原式 6．说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握该运算规则是解题的关键．对代数式，先计算乘法，然后去括号，接着从左到右进行计算，得到答案，从而得证． 【详解】解： 是任意的正整数， 总能被6整除 对于任意的正整数，代数式的值总能被6整除． 7．【项目任务】老师与学生一起探索两个十位上的数字和为10，个位上的数相同的两位数字积的规律． 【初步探究】； ； ； ． 【类比尝试】结合上面的探究，学生独立完成下面任务： 填空：____________； 【深入探究】 具有上述一定特点的两个两位数的乘积体现的一般规律：设其中的一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，这个两位数表示为，则另一个两位数的十位上的数字为______，个位上的数为n，这个两位数表示为______，这两个两位数相乘的一般性结论为____________（用含m，n的代数式表示），并证明． 【答案】[类比尝试] ；[深入探究] ；，证明见解析 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键； [类比尝试]根据规律写出等式即可求解； [深入探究]根据题意列出代数式，进而根据多项式乘以多项式进行计算即可得证． 【详解】[类比尝试]， 故答案为：． [深入探究] 具有上述一定特点的两个两位数的乘积体现的一般规律：设其中的一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，这个两位数表示为，则另一个两位数的十位上的数字为，个位上的数为n，这个两位数表示为，这两个两位数相乘的一般性结论为（用含m，n的代数式表示）， 故答案为：；，． 证明:左边 右边 8．如图，若每个小长方形的长为，宽为． (1)求阴影部分的面积； (2)当时，阴影部分的面积是多少？ 【答案】(1) (2)40 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据阴影部分面积等于长方形面积减去三个空白三角形面积即可求解； （）把，代入求解即可； 【详解】（1）解：阴影部分的面积是： ； （2）解：当时， 阴影部分面积． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$