10.1幂的运算（13大题型提分练）（题型专练）数学新教材青岛版七年级下册

10.1幂的运算 题型一 同底数幂的乘法 1．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 5．计算： ． 题型二 同底数幂乘法的逆用 1．若，，则（   ） A．8 B．2 C．15 D．1 2．若 ，，则的值为 ． 3．若，，则 为 ． 4．已知，，则 ． 题型三 积的乘方 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2． ． 3． ． 题型四 积的乘方逆用 1．计算： ． 2．计算： ． 3．计算 ． 题型五 幂的乘方 1．下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 2．的值是（　　） A． B． C． D． 3．计算：（   ） A． B． C． D． 4．等于（    ）． A． B． C． D． 题型六 幂的乘方逆用 1．若，则 ． 2．已知，，，则，，的大小关系为 ． 3．若，则的值为 ． 4．已知，求值： (1)； (2)． 题型七 同底数幂的除法 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则 ． 3．计算：，则 ． 4． ． 5．若，则 ． 6． 已知， （m， n是整数）， 求： (1)的值： (2)的值． 题型八 0指数幂 1．的值是（   ） A．0 B．1 C．5 D． 2．无意义，则 ． 3．如果等式成立，则满足条件x值为（   ） A．3或 B．4或3或 C．4或2或 D．4或 题型九 负整数指数幂 1．的值为（   ） A．64 B． C． D． 2．如果，则x的值为（  ） A． B．3 C． D． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．若，，则a、b、c、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十 科学记数法表示绝对值小于1的数 1．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 2．某种细胞的直径大约是米．用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．纳米（nm）是非常小的长度单位，．已知某流感病毒的直径是87纳米，该病毒直径用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．嫦娥六号探测器在近月轨道时飞行大约需要，数据用科学记数法表示为 ． 题型十一 还原科学记数法表示的小数 1．某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为（  ） A．200 B．0.2 C．0.02 D．0.002 2．某项抽奖活动特等奖的中奖率用科学记数法可表示为，下列与数据“”相等的是（   ） A． B． C． D． 3．很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（   ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 4．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物得到了广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为千克，则将数据还原为原数为（　　） A．0.00000201 B．0.0000201 C．0.000000201 D．0.000201 5．一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表示为，这个数用小数表示为（ ） A． B． C． D． 题型十二 幂的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)． (2)． 3．（1）计算： （2）计算： 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十三 利用幂的运算比较大小 1．比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 2．比较大小： ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 3．比较大小： （用“”，“”或“”来连接）． 4．我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 1．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 3．若实数，满足，则 ． 4．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 5．若，则 ． 6．规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 7．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1幂的运算 题型一 同底数幂的乘法 1．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．先利用乘方变为同底数幂的乘法，再计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 3．代数式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方逆用，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．根据同底数幂的乘法，逆用幂的乘方，可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法的法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，即可得出结果． 【详解】解：； 故答案为：． 题型二 同底数幂乘法的逆用 1．若，，则（   ） A．8 B．2 C．15 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，逆用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选C． 2．若 ，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，代数式求值等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则的逆用公式是解题的关键：． 由同底数幂的乘法法则的逆用公式即可直接得出答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 3．若，，则 为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题关键．将变形为求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 4．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算公式是解题的关键．利用同底数幂的乘法的逆运算公式得，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型三 积的乘方 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是积的乘方运算，根据计算即可. 【详解】解：A．，错误； B．，错误； C．，错误． D. ，正确， 故选D． 2． ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，直接运用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3． ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．把括号里的每一个因式分别乘方，再把所得的结果相乘即可． 【详解】解： 题型四 积的乘方逆用 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方运算的逆运算，得到即可得到答案，熟记是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步可变形为，据此计算求解即可． 【详解】解； 故答案为：． 3．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘和积的乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂相乘和积的乘方的逆用即可计算答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型五 幂的乘方 1．下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，，据此求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，根据积的乘方法则计算：等于把积中的每个因式乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：． 故选：C． 3．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 直接根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 4．等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，能正确根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算是解此题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】 ， 故选：C． 题型六 幂的乘方逆用 1．若，则 ． 【答案】27 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方法则，利用同底数幂的乘法和幂的乘方法则的逆运用，即可求解．掌握上述法则的逆运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：27． 2．已知，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】/． 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算．将，，都变形为底数为2的幂，然后进行比较大小即可． 【详解】解：，，， ∵, ∴， 即． 故答案为：． 3．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：1． 4．已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)72 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算，代入计算即可； （2）根据，积的乘方，同底数幂的乘方，积的乘方的逆运算法则，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 已知， ∴原式； （2）解：， 已知， ∴原式． 题型七 同底数幂的除法 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相除，根据同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，利用幂的乘方变形得出同底数幂的乘法是解题关键．根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的除法进行计算，最后代入求出即可． 【详解】解：由，得, ， 故答案为：． 3．计算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、解一元一次方程等知识，先由同底数幂的除法运算得到，确定，解方程即可得到答案．熟记同底数幂的除法运算、一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即，解得， 故答案为：． 4． ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据同底数幂的除法法则计算求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 6． 已知， （m， n是整数）， 求： (1)的值： (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方的逆用，同底数幂的除法的逆用，熟练掌握和灵活运用相关法则是解题的关键； （1）把化为，再代入计算即可； （2）把化为，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ， ∴； （2）解：； 题型八 0指数幂 1．的值是（   ） A．0 B．1 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂运算，熟记当时，是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．无意义，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了零指数幂，根据零指数幂的意义∶求解即可． 【详解】解∶∵无意义， ∴， ∴， 故答案为∶4． 3．如果等式成立，则满足条件x值为（   ） A．3或 B．4或3或 C．4或2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的运算，根据1的任何次幂均为1，的偶数次幂均为1，任何非零数的零次幂均为1，即可进行解答． 【详解】解： 若，解得：，此时符合题意； 若，解得：，此时，，不符合题意； 当时，解得：，此时，符合题意； 综上：或． 故选：D． 题型九 负整数指数幂 1．的值为（   ） A．64 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据（，p为负整数）计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．如果，则x的值为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了涉及负整数指数幂的计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 将化为，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 3．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，正确掌握相关性质是解题关键．直接利用负整数指数幂的性质，负整数指数幂：（，为正整数），计算得出答案． 【详解】解： ， 故选：C． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要查了负整数指数幂．根据负整数指数幂法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 5．若，，则a、b、c、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，计算每一项再比较即可，熟知计算法则是解题的关键． 【详解】解：；；， ， ∴． 故选：A． 题型十 科学记数法表示绝对值小于1的数 1．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）． 确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256． 【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则． 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以， 那么0.0000000256用科学记数法表示为， 故选：B． 2．某种细胞的直径大约是米．用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：D． 3．纳米（nm）是非常小的长度单位，．已知某流感病毒的直径是87纳米，该病毒直径用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，掌握形式为是解题的关键．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解： m, ， 故选：C． 4．嫦娥六号探测器在近月轨道时飞行大约需要，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十一 还原科学记数法表示的小数 1．某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为（  ） A．200 B．0.2 C．0.02 D．0.002 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为0.02， 故选：C． 2．某项抽奖活动特等奖的中奖率用科学记数法可表示为，下列与数据“”相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法还原原数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 3．很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（   ） A． B．0.000006 C． D．0.00006 【答案】B 【分析】考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B 4．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物得到了广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为千克，则将数据还原为原数为（　　） A．0.00000201 B．0.0000201 C．0.000000201 D．0.000201 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 5．一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表示为，这个数用小数表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法－原数，科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．把的小数点向左移动6位即可求解． 【详解】解：，这个数用小数表示为． 故选：C． 题型十二 幂的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算及整式的混合运算，掌握运算法则和顺序正确计算是解题关键． （1）先计算乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，然后再计算加减法即可； （2）先做乘方，然后做乘除，最后做加减； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方、同底数幂的除法进行计算即可； （2）利用零指数幂和负整数指数幂进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 3．（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十三 利用幂的运算比较大小 1．比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方．根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较． 【详解】解：∵，，， ∴； 故选：D． 2．比较大小： ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方．根据幂的乘方和积的乘方的运算法则即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 故答案为：． 3．比较大小： （用“”，“”或“”来连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方公式的逆用，先逆用幂的乘方得出，，再根据，比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即， 故答案为：． 4．我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方以及幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则解答即可； （2）根据幂的乘方的逆用解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 又， ， ． 1．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 2．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 3．若实数，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、负整数指数幂、零指数幂，先根据非负数的性质得出，，再由负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 【答案】(1)C (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据根据同底数幂的乘法法则得，即可解答 【详解】（1）解：，，且， ， 上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）∵， ， ∴， 即． 故答案为：． 5．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先将变形为，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： ． 6．规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． （1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，得出，进而结合定义，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形得出，，比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴， ∵ ∴ 7．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析    【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$