重难点03 完全平方公式重难点题型专项训练（9大题型+18道培优题提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（冀教版2024）

专题03 完全平方公式重难点题型专项训练 9大题型 题型一 完全平方公式的结构辨析 1．下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查添括号，完全平方公式、平方差公式，掌握去括号与添括号法则以及完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．根据添括号法则以及平方差公式、完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：A、B．，因此选项A符合题意，选项B不符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意． 故选：A． 2．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 利用平方差公式，及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A．，此项符合题意； B．，此项不符合题意； C．，此项不符合题意； D．，此项不符合题意． 故选：A． 3．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，原式＝x2－y2，用了平方差公式；选项B，原式＝2x2＋xy－y2，用了多项式乘法法则；选项C，原式＝2x2－3xy＋y2，用了多项式乘法法则；选项D，原式＝－(x－y)2＝－x2＋2xy－y2，用了完全平方公式，故选D. 题型二 完全平方式 4．要使成为形如的完全平方式，则，的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据，进行作答即可． 【详解】解：， ∵使成为形如的完全平方式， 即 ∴． 故选：B 5．下列多项式属于完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是完全平方公式的应用，根据两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式判断即可． 【详解】解：．，不属于完全平方式，故该选项不符合题意； ．，属于完全平方式，故该选项符合题意； ．，不属于完全平方式，故该选项不符合题意； ．，不属于完全平方式，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．下列多项式中是完全平方式的有（    ） ①     ②      ③       ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式有和两个，根据以上内容逐个判断即可，熟练掌握完全平方式的结果特点是解答的关键． 【详解】解：依题意，是完全平方式，故①符合题意； 不是完全平方式，故②不符合题意； 不是完全平方式，故③不符合题意； 不是完全平方式，故④不符合题意； 故是完全平方式的只有①， 故选A． 7．如果是完全平方式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的特点即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 利用完全平方公式比较多小 8．设，，其中为实数，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式减法的应用，完全平方公式的应用，利用作差法，用完全平方公式，得，即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 9．已知（其中a为有理数），则A与B的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，完全平方公式的运用，利用作差法比较A，B大小即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 10．若，，，则下列、、的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零指数幂法则、平方差公式、完全平方公式求出、、的值，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ， 故选：． 题型四 利用完全平方公式直接计算 11．给出下列算式：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：，故①错误； ，故②错误； ，故③错误； ，故④正确； 故选C． 12．运用完全平方公式计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟记完全平方公式．根据完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：     13．化简：． 【答案】 【分析】先利用完全平方公计算，再合并同类项即可. 【详解】解： ． 题型五 利用完全平方公式求代数式的值 14．已知，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式．先把的左右两边同时平方，然后利用完全平方公式展开，即可求出即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ∴， ． 故选：D． 15．已知，则的值为（    ） A．49 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 16．若代数式可化为，则是（   ） A．5 B．4 C．3 D．8 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将变形为，与对比，即可求出，即可求解． 【详解】解：， 而代数式可化为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 17．已知，，则 【答案】2 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 故答案为：2． 18．已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查完全平方公式，解题的关键是将已知等式两边平方． 将两边分别平方，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 19．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据，结合条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 解得：， 故答案为： 20．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．若，则的值是（　　） A． B．11 C． D．22 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式求解，根据已知条件可得出，代入，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故选：D 题型六 利用完全平方公式求欠缺部分 22．若，则A，B各等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 将已知等式中间第一项利用完全平方公式化简，右边第一项也利用完全平方公式展开，计算出A与B的值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 23．老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，整式的加减．由题意可知：所的二次三项式是个加数，根据加数和另一个加数，列出算式，进行化简即可． 【详解】解：由题意得： ， 所捂的多项式为：； 故选：B． 题型七 利用完全平方公式解决新定义问题 24．定义，，给出下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是读懂题意，掌握运算法则．根据完全平方公式，得，，再逐项判断即可． 【详解】解：由完全平方公式，得，， 若，则，，则； 若，则，， ∴和不一定相等，故A错误，B正确； 若，则， 又∵，， ∴， ∴；故C正确，不符合题意； 若，则或，则，故D正确，不符合题意． 故选A． 25．如果一个正整数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．如：，所以8和16都是“幸福数”．下列数是“幸福数”的是（   ） A．205 B．250 C．508 D．520 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，含有乘方的有理数的混合运算，理解“幸福数”的计算，找出“幸福数”的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，若是“幸福数”，则，是的整数，由此验证各选项即可求解． 【详解】解：一个正整数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”， ∴若是“幸福数”，则，是的整数， ∴， A、，不是整数，不符合题意； B、，不是整数，不符合题意； C、，不是整数，不符合题意； D、， ∴， ∴，符合题意； 故选：D ． 26．若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“美好数”．例如：因为，所以2是“美好数”．已知（其中x，k是整数），若S为“美好数”，则下列k的值中符合要求的是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，新定义问题，解题的关键是理解题中“美好数”的形式． 利用“和平数”的形式（a，b是整数）来表示，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，不符合“美好数”的形式，不符合题意； B、当时，，不符合“美好数”的形式，不符合题意； C、当时，，符合“美好数”的形式，符合题意； D、当时，，不符合“美好数”的形式，不符合题意； 故选：C． 27．我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因为（x、y是整式），所以M为“完全式”．若（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完全式”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， S为“完全式”， ， ， 故选：C． 28．对于任意有理数 a、b 现用“☆”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，涉及完全平方公式，整式的加减运算，正确理解新定义，掌握运算法则是解题的关键． 由新定义得到，再化简计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 题型七 利于完全平方公式进行简便运算 29．利用完全平方公式进行简便运算： （1）（ ） ； （2）（ ） ． 【答案】 100 1 10201 10 0.2 96.04 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用完全平方公式，进行计算即可解答； （2）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）， 故答案为：． 30．利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9801 (2)10609 【分析】本题主要考查完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）将99写成的形式，利用完全平方公式进行计算即可； （2）将103写成的形式，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型八 利用完全平方公式化简求值 31．先化简，再求值：，其中m满足 【答案】，8 【分析】先根据平方差公式，完全平方公式，积的乘方，单项式除以单项式进行化简，再整体代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 32．先化简，再求值： ，其中 【答案】，96 【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式进行化简，再代入求值即可． 【详解】原式 当时， 原式． 33．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6． 【分析】先根据完全平方公式，多项式乘以多项式进行化简，再代入数计算即可． 【详解】解： ， 把代入． 题型九 完全平方公式与几何图形 34．如图，将四个小正方形用两种不同方法放在大正方形的四个顶点处，则图2中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，先求小正方形的边长，再利用面积公式求解即可． 【详解】小正方形的边长为： 则阴影部分的面积可以看成一个边长为正方形和四三个长为，宽为的长方形的和 即： 故选：A． 35．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（    ）    A．9 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形列出a、b的关系式求解即得． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图甲得：，即， 由图乙得：，整理得， 所以 所以． 即正方形A、B的面积之和为13． 故选D． 36．一个正方形的边长为a，若这个正方形的边长增加1，则这个正方形的面积增加 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的乘法公式，先表示两个正方形的面积求出，然后化简合并解题即可． 【详解】解：这个正方形的面积增加， 故答案为：． 37．如图所示的图形验证了一个等式，则这个等式是 ．    【答案】 【分析】根据图形中面积两种求法验证即可． 【详解】解：大长方形的面积， 大长方形的面积， ∴， 故答案为：． 38．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为________ ；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是________ ； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，根据正方形的面积等于边长的平方，即可作答． （2）观察图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积，列式计算，即可作答． （3）结合面积相等，列式即可作答． 【详解】（1）解：依题意，阴影部分是小正方形，且边长为， ∴图2中的阴影部分的面积为， 故答案为：； （2）解：结合图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积， 即， 故答案为：； （3）解：依题意，大长方形的宽为，大长方形的长为， 故大长方形的面积为； ∵观察图形，大长方形是由3个小正方形、1个大正方形，4个小方形组成的， ∴大长方形的面积为， 即． 故答案为：． 39．问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解： 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若， ①则 ， ②求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其农作物种植面积和为，求长方形院子的面积． 【答案】（1）18；（2）①3；②7；（3）长方形院子的面积为 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算、合并同类项、完全平方公式在几何图形中的应用； （1）利用完全平方公式进行变形求解即可； （2）①根据合并同类项法则进行计算即可； ②由①可得，再利用完全平方公式进行计算即可； （3）由题意得，，再利用完全平方公式进行变形计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 即， ∴； （2）①， 故答案为：3； ②由①得，， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 答：长方形院子的面积． 培优训练 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式，根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 2．若x为任意实数，则代数式的最小值是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，依据题意得，，再由对于任意实数，，从而可得，进而可以判断得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式进行变形是关键． 【详解】解：由题意得，． 对于任意实数，， ． 的最小值是． 故选：D． 3．已知，则等于（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值计算．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设，得， 得，得，得，得，得或，代入计算可得． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∴或， ∴． 故选：D． 4．设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用； ，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故选：B． 5．下列计算：①；②；③；④正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了整式混合运算，利用单项式乘以多项式法则及平方差公式、完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用单项式乘以多项式法则及、进行运算是解题的关键． 【详解】解：①，故此项错误，不符合题意； ②，故此项错误，不符合题意； ③，此项正确，符合题意； ④ ，故此项错误，不符合题意； 故选：A． 6．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，则长方形的面积是（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，设，根据题意，得到，，利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴，即：长方形的面积是； 故选C． 7．用简便方法计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再求出答案即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 8．已知，则等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查完全平方公式，等式两边同时除以，得到，进而得到，利用完全平方公式进行求值即可． 【详解】解：∵，且当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 9．定义：，若，则的值为 ． 【答案】/3 【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次方程、整式的运算，首先根据新定义运算把算式转化为一元一次方程，再根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解： ， 根据题意可得：， 整理得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得： 故答案为： ． 10．若满足，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式即可得出答案，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， 得：， 故答案为：． 11．如图，将面积分别为和的正方形甲、乙各一个，矩形丙两个进行无重叠无缝隙拼接，恰好能拼成一个大的正方形，则个矩形丙最少与 个正方形乙才能拼成一个大正方形． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．按如图所示进行拼接，设正方形甲、乙边长为，，则，求出矩形丙的面积为，再根据即可求解． 【详解】解：按如图所示进行拼接，设正方形甲、乙边长为，， ∴， ∵正方形甲、乙的面积分别为，， ∴，， ∴矩形丙的面积为， ∴，， ∴， 如图（方法不唯一）为正方形， ∴最少需要个正方形乙才能拼成一个大正方形， 故答案为：． 12．利用整式乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及完全平方和公式、平方差公式和含乘方的有理数混合运算等知识，熟练掌握相关运算公式及有理数运算法则是解决问题的关键． （1）将转化为，利用完全平方和公式运算即可得到答案； （2）将转化为，利用平方差公式运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．运用整式乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)810000； (2)400． 【分析】本题主要考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键． （1）将转化为，再利用平方差公式计算即可； （2）将转化为，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算中的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．根据整式的混合运算法则化简，再代入值计算即可． 【详解】解： , 当时，原式． 15．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键．根据完全平方公式和平方差公式及单项式乘以多项式运算法则先展开合并，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 16．【观察探索】（1）用“”“”或“”号完成以下填空，并观察两边算式，探究规律： ， ， ______， ______， … 【猜想归纳】（2）用一个含字母m，n的式子表示上以规律为______； 【拓展提高】（3）利用上述结论，比较代数式与的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，完全平方公式的应用，整式的加减等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）分别计算各式，然后比较大小即可； （2）观察几个式子的规律得到结论：两个数的平方和大于或等于这两个数积的2倍．运用完全平方公式和平方数非负性质可证明这个结论． （3）利用作差法得到，整理后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； ∵， ∴； （2）用字母表示这个规律： 证明：∵ ∴； （3） ∴． 17．把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方式的逆用和非负数的性质，负整数指数幂的含义，熟练掌握完全平方公式的逆运用是解题的关键． （1）根据完全平方公式的逆运用计算即可； （2）根据完全平方公式的逆运用把原式化为，再利用非负数的性质计算即可． （3）把化为，再结合非负数的性质进一步求解即可． 【详解】解：（1）； （2） ， ∵，， ∴； ∴的最小值为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∴． 18．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系． ． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值： ②已知，求的值． (3)如图，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为30，的面积为14，则的长度为 ． 【答案】(1) (2)①；②27 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）根据正方形面积的不同表示方法，即可得到等式； （2）①根据（1）所得等式代入计算即可；②根据（1）所得等式代入计算即可； （3）设正方形和的边长分别为、，利用已知条件得到，，再结合（1）所得等式代入计算即可． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， 则， 故答案为： （2）解：①由（1）所得等式可知，， ， ， ； ②， ， ， 令，，则， ， ， ， ，即； （3）解：设正方形和的边长分别为、，则，， 阴影部分的面积和为30，的面积为14， ，， ， ， ， ， ， 、都是正数， ，即． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 完全平方公式重难点题型专项训练 9大题型 题型一 完全平方公式的结构辨析 1．下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 题型二 完全平方式 4．要使成为形如的完全平方式，则，的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．下列多项式属于完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 6．下列多项式中是完全平方式的有（    ） ①     ②      ③       ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如果是完全平方式，那么 ． 题型三 利用完全平方公式比较多小 8．设，，其中为实数，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．已知（其中a为有理数），则A与B的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 10．若，，，则下列、、的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四 利用完全平方公式直接计算 11．给出下列算式：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12． 运用完全平方公式计算： 13． 化简：． 题型五 利用完全平方公式求代数式的值 14．已知，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 15．已知，则的值为（    ） A．49 B． C．7 D． 16．若代数式可化为，则是（   ） A．5 B．4 C．3 D．8 17．已知，，则 18．已知，则 ． 19．若，则的值是 ． 21．若，则的值是（　　） A． B．11 C． D．22 20．已知，求的值． 题型六 利用完全平方公式求欠缺部分 22．若，则A，B各等于（   ） A． B． C． D． 23．老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（　　） A． B． C． D． 题型七 利用完全平方公式解决新定义问题 24．定义，，给出下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．如果一个正整数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．如：，所以8和16都是“幸福数”．下列数是“幸福数”的是（   ） A．205 B．250 C．508 D．520 26．若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“美好数”．例如：因为，所以2是“美好数”．已知（其中x，k是整数），若S为“美好数”，则下列k的值中符合要求的是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因为（x、y是整式），所以M为“完全式”．若（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 28．对于任意有理数 a、b 现用“☆”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为 ． 题型七 利于完全平方公式进行简便运算 29．利用完全平方公式进行简便运算： （1）（ ） ； （2）（ ） ． 30．利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 题型八 利用完全平方公式化简求值 31． 先化简，再求值：，其中m满足 32． 先化简，再求值： ，其中 33． 先化简，再求值：，其中． 题型九 完全平方公式与几何图形 34．如图，将四个小正方形用两种不同方法放在大正方形的四个顶点处，则图2中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 35．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（    ）    A．9 B．11 C．12 D．13 36．一个正方形的边长为a，若这个正方形的边长增加1，则这个正方形的面积增加 ． 37．如图所示的图形验证了一个等式，则这个等式是 ．    38．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为________ ；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是________ ； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ ． 39．问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解： 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若， ①则 ， ②求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其农作物种植面积和为，求长方形院子的面积． 培优训练 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若x为任意实数，则代数式的最小值是（   ） A．6 B．3 C． D． 3．已知，则等于（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 5．下列计算：①；②；③；④正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，则长方形的面积是（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 7．用简便方法计算的结果是 ． 8．已知，则等于 ． 9．定义：，若，则的值为 ． 10．若满足，则 ． 11．如图，将面积分别为和的正方形甲、乙各一个，矩形丙两个进行无重叠无缝隙拼接，恰好能拼成一个大的正方形，则个矩形丙最少与 个正方形乙才能拼成一个大正方形． 12．利用整式乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 13．运用整式乘法公式简便计算： (1)； (2)． 14．先化简，再求值：，其中． 14． 先化简，再求值：，其中． 16．【观察探索】（1）用“”“”或“”号完成以下填空，并观察两边算式，探究规律： ， ， ______， ______， … 【猜想归纳】（2）用一个含字母m，n的式子表示上以规律为______； 【拓展提高】（3）利用上述结论，比较代数式与的大小． 17．把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 18．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系． ． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求的值： ②已知，求的值． (3)如图，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为30，的面积为14，则的长度为 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$