重难点02 平方差公式重难点题型专项训练（7大题型+14道培优题提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（冀教版2024）

专题02 平方差公式重难点题型专项训练 7大题型 题型一 平方差公式的结构辨析 1．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子，不能利用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 3．是一个平方差的形式，则“”里可以填 . 题型二 利用平方差公式进行计算 4．三个连续偶数，中间一个数为，则这三个数的积为（　　） A． B． C． D． 5．计算的结果等于 ． 6．运用平方差公式计算：． 7． 已知，，求的值． 8．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 题型三 利用平方差公式进行简便计算 8． 利用平方差公式计算：． 10．利用平方差公式计算： (1)； (2)； 11．用简便方法计算：． 12．用简便方法计算：． 题型四 平方差公式与新定义运算 13． 定义新运算：，例如：．按照这种运算规定计算，并求出当等于多少时，该式的值为0． 14． 对于任意实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值． 题型五 利用平方差公式化简求值 15． 先化简，再求值：，其中． 16． 先化简，再求值：，其中 17． 先化简，再求值：，其中，． 题型六 构造平方差公式进行巧妙计算 18．计算：（    ） A． B． C． D． 19．【观察思考】 观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得 ________（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 20．感知：（1）填空______． ______． 探究：仿照感知，计算： （2）； 应用：（3）计算：． 题型七 平方差公式与几何图形 21．观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（    ） A． B． C． D． 22．观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是 ． 24．将两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（大正方形），如图所示： (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．（写成多项式乘法的形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______． A．    B． C．    D． (4)根据（3）中所得公式，当，时，求阴影部分的面积． 25．如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．    (1)请直接用含和的代数式表示______，______；写出利用图形的面积关系所得到的公式：______（用式子表示）． (2)依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程． 解：原式 ． 请仿照康康的解题过程计算：． (3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明：任意两个相邻奇数的平方差必是的倍数． 培优训练 1．下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．是一个平方差的形式，则“”里可以填（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，大正方形中恰好形成一个小正方形，包围小正方形的是四个全等的小长方形，下列（　　）中的等式能准确的描述其中所蕴含的几何关系． A． B． C． D． 7．四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为（    ） A． B． C． D． 8．运算： ． 9．的个位数是 ． 10．如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 11．已知，求的值． 12． 先化简，然后选择一个合适的x，y的值，使该式有最小值． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平方差公式重难点题型专项训练 7大题型 题型一 平方差公式的结构辨析 1．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、不能用平方差公式计算，不符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、能用平方差公式计算，符合题意； 故选：D． 2．下列式子，不能利用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：．根据平方差公式和完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：A、，可以用平方差公式计算，不符合题意； B、，可以用平方差公式计算，不符合题意； C、，不可以用平方差公式计算，符合题意； D、，可以用平方差公式计算，不符合题意； 故选：C． 3．是一个平方差的形式，则“”里可以填( ) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平方差公式运算，由平方差公式，即可求解； 掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： 是一个平方差的形式， ， ”里可以填， 故答案为：（答案不唯一）． 题型二 利用平方差公式进行计算 4．三个连续偶数，中间一个数为，则这三个数的积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．根据三个连续偶数，中间一个是，则另外两个分别为，，再求出之积即可． 【详解】解：根据三个连续偶数，中间一个是，则另外两个分别为，； ∴． 故选：A． 5．计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．，直接利用平方差公式求解即可． 【详解】 故答案为： 6．运用平方差公式计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式进行求解即可． 【详解】解： ． 7．已知，，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式计算即可． 【详解】∵，， ∴ ． 8．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）两次利用平方差公式求解； （2）先利用平方差，再合并同类项求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 利用平方差公式进行简便计算 9．利用平方差公式计算：． 【答案】6399 【分析】利用平方差公式求解即可． 【详解】 ． 10．利用平方差公式计算： (1)； (2)； 【答案】(1)249996 (2) 【分析】 本题主要考查了平方差公式； （1）将502和498分别转化为的形式，然后利用平方差公式作答即可； （2）将分别转化为的形式，然后利用平方差公式作答即可． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 11．用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法公式——平方差公式，掌握“”是解题关键． 利用平方差公式，将变形为即可求解． 【详解】解：原式 ． 12．用简便方法计算：． 【答案】50000． 【分析】利用平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 题型四 平方差公式与新定义运算 13．定义新运算：，例如：．按照这种运算规定计算，并求出当等于多少时，该式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ． 14．对于任意实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的运算，弄清楚新定义的运算方法是解题的关键． 应先根据所给的运算方法列式，并根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把已知条件整体代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 原式． 题型五 利用平方差公式化简求值 15．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算的化简求值， 先根据整式的乘法法则计算，再代入求值． 【详解】解：原式． 当时，原式． 16．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式 17．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了乘法公式、多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则对多项式化简，然后再代数求值． 利用平方差公式、多项式乘多项式和单项式乘多项式运算法则即可解答此题． 【详解】解： 当，时，代入上式， 原式． 题型六 构造平方差公式进行巧妙计算 18．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据题中所给式子的结构特征，添加，从左到右逐步运用平方差公式化简即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键. 【详解】解： ， 故选：B. 19．【观察思考】 观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得 ________（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了平方差公式，多项式乘法的规律问题． （1）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，把x换为5即可求解； （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果； 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； （3）解：①由可得： ， ∴； ②由可得： 原式 ． 20．感知：（1）填空______． ______． 探究：仿照感知，计算： （2）； 应用：（3）计算：． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查整式乘法，乘法公式，解题的关键是熟练掌握乘法公式，灵活运用所学知识解决问题．属于中考常考题型． （1）直接利用平方差公式计算即可； （2）构造平方差公式计算即可； （3）构造平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）， ； （2） ； （3） ． 题型七 平方差公式与几何图形 21．观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式的几何运用．运用长方形的面积及正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得： 第一个图的面积为：， 第二个图的面积为：， ， 故选：B． 22．观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用长方形的面积及正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：左边长方形的面积为：， 右边的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积：， 则表示的运算为：， 故选B． 23．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是 ． 【答案】 【分析】根据两个图形的特征结合正方形、长方形的面积公式，即可求解， 本题考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 【详解】解：左图中阴影部分的面积， 右图中阴影部分的面积， 可以验证， 故答案为：． 24．将两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（大正方形），如图所示： (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．（写成多项式乘法的形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______． A．    B． C．    D． (4)根据（3）中所得公式，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)，， (3)D (4) 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用： （1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出答案： （2）根据图形列出代数式，即可求解； （3）根据（1）（2）所求即可得到答案； （4）根据进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得，， 故答案为：； （2）解：该长方形的宽是，长是，面积是； 故答案为：，，． （3）解：由（1）（2）可知， 故选：D； （4）解：当，时，． 25．如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．    (1)请直接用含和的代数式表示______，______；写出利用图形的面积关系所得到的公式：______（用式子表示）． (2)依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程． 解：原式 ． 请仿照康康的解题过程计算：． (3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明：任意两个相邻奇数的平方差必是的倍数． 【答案】(1)；； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据图形可知，，根据两个面积相等即可求解； （2）根据康康的演示，可知将转化为，即可求解； （3）根据（1）中结论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∵， ∴， 故答案为：；；． （2） ， ∴原式的值为． （3）证明：设一个奇数为，则另一个比它大且相邻的奇数为， ∴ ， ∴任意两个相邻奇数的平方差必是的倍数． 培优训练 1．下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式逐项判断即可求解，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键． 【详解】解：、，能用平方差公式计算，该选项不合题意； 、，能用平方差公式计算，该选项不合题意； 、，能用平方差公式计算，该选项不合题意； 、，不能用平方差公式计算，该选项符合题意； 故选：． 2．下列各式中能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的运用，根据整式乘法及平方差公式逐项判断即可求解，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键． 【详解】解：、，不能用平方差公式计算，该选项不合题意； 、，能用平方差公式计算，该选项符合题意； 、，不能用平方差公式计算，该选项不合题意； 、，不能用平方差公式计算，该选项不合题意； 故选：． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法、整体代入法求代数式的值．首先根据平方差公式把等式的左边展开可得：，把常数项移到等号的右边可得：，然后再把整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ． 故选：B ． 4．是一个平方差的形式，则“”里可以填（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解： 是一个平方差的形式， ， “”里可以填， 故选：D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的有关运算，由得，据此即可求解，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．如图，大正方形中恰好形成一个小正方形，包围小正方形的是四个全等的小长方形，下列（　　）中的等式能准确的描述其中所蕴含的几何关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式在几何图形中的应用，分别用代数式分别表示“大正方形”，中间“小正方形”以及个长方形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：整体上“大正方形”的边长为，因此面积为，中间“小正方形”的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， 所以有， 即 ， 故选：B． 7．四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平行四边形和正方形面积公式表示出阴影部分的面积． 根据平行四边形面积公式求出第一个图形的面积，根据正方形面积公式求出第二个图形阴影的面积．即可求出答案． 【详解】解：由第二个图形看出，第一个图形的高为， 面积是， 第二个图形阴影的面积是， ∵两个图形的阴影部分的面积相等， ∴， 故选：A． 8．运算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的运用，利用平方差公式计算即可求解，熟练掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为： 9．的个位数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式中的3变形为，反复利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：原式 … ∵，，，，，末尾是2，4，8，6四个一组循环， ， ∴的个位数是6， 即的个位数是6， 故答案为：6． 10．如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 【答案】 / 【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空； （）根据平方差公式计算即可； 本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：（）阴影面积是， 故答案为：； （）图面积为：， ∴根据图形可以得到乘法公式， 故答案为：； （） ， 故答案为：． 11．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，能根据平方差公式将变形为是解答本题的关键． 根据平方差公式将变形为，即可得解． 【详解】解： ． 12．先化简，然后选择一个合适的x，y的值，使该式有最小值． 【答案】；当时，该式有最小值，最小值为0 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 利用平方差公式进行化简，再根据结果即可求解． 【详解】解：原式 ． 故原式的化简结果与的取值无关，且当时，该式有最小值，最小值为0． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了平方差公式，即． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可； （3）根据平方差公式计算即可； （4）连续两次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 14．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)2 (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题； （2）根据（1）中的发现即可解决问题； （3）根据（1）中的发现，将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解； 【详解】（1）解：由题知， 图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积为， 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得， 所以． 故选：B． （2）解：由（1）可知， ， 又，， 所以． 故答案为：2； （3）解：原式 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$