8.3 向量的坐标表示（第2课时）（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

8.3 向量的坐标表示（第2课时） 题型一 向量的正交分解 1．向量的正交分解：向量能表示成两个相互 的向量，，的线性组合，即，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解.把有序实数对叫做向量的坐标，记为 . 2．平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 3．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型二 向量的坐标表示 4．已知向量，点的坐标是，则点的坐标是 ． 5．若向量的起点的坐标为，且，则终点的坐标为 . 6．向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 . 7．在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则 ， . 题型三 向量的加减运算 8．已知向量，则 ． 9．已知，则 . 10．若，，则与向量同向的单位向量是 . 题型四 向量的数乘运算 11．已知点，，若点满足，则点的坐标为 ． 12．已知点A（1,1,-4），B（2,-4,2），C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为 ． 题型五 根据向量的线性运算求参数 13．过，的直线与x轴交于点P，设，则 14．已知，，，且，则 ． 15．已知向量，，，且，则 . 题型六 向量的模 16．已知，则 ． 17．已知向量，，若，则 . 18．已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 题型七 平行向量及求参问题 19．下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 20．已知，，若，则 ． 21．已知向量，，向量，，若，则实数 . 题型八 线段平行和长度问题 22．设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为 A． B． C．或 D．或 23．已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 24．线段的端点为、，直线上的点，使，则 ． 题型九 向量数量积的坐标表示 25．已知向量，，则 ． 26．已知向量，，则 . 27．设，则等于（    ） A． B． C． D．1 28．已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 题型十 向量夹角问题 29．为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 30．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 31．已知，，，则 ． 32．已知平面向量，，满足，，则与的夹角为 ． 题型十一 投影向量问题 33．已知、，则向量在向量上的投影向量为 ． 34．已知向量，则在上的投影向量的长度为（   ） A． B． C．10 D．20 35．在平面直角坐标系中，点，将绕原点逆时针旋转得到向量，则在上的投影向量的坐标是 ． 题型十二 向量数量积有关的模长问题 36．已知向最与的夹角为60°，，，则 ， . 37．已知向量，，则的最大值为 ． 38．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 题型十三 向量数量积有关的其他应用 39．已知向量，，若，则 ． 40．已知，，，则 . 41．设向量，，，若的最大值为5，则正实数m的值为 ． 题型十四 向量的坐标表示的几何应用 42．如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是 ． 43．已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为 ． 题型十五 解答综合题 44．已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 45．在直角坐标系xOy中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上． (1)若，求； (2)设，用x，y表示． 46．在长方形中，，，、分别是线段、的中点，是长方形（含边界）内一点． (1)求； (2)求的值； (3)求的取值范围． 一、填空题 1．在梯形中，已知，点分别在线段和上，则的最大值为 ． 2．对集合，其中，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则 . 二、单选题 3．已知点Q是单位圆内接正十二边形边上的任意一点，设，则a的值可以为（    ） A．22.5 B．23.5 C．24.5 D．25.5 4．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 三、解答题 5．如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心. (1)若，，，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，求的最大值. 6．在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． (1)已知，，求； (2)①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3 向量的坐标表示（第2课时） 题型一 向量的正交分解 1．向量的正交分解：向量能表示成两个相互 的向量，，的线性组合，即，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解.把有序实数对叫做向量的坐标，记为 . 【答案】 垂直 【分析】略 【解析】略 2．平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 【答案】 【分析】根据向量的正交分解直接可得答案. 【解析】因为点，所以 故答案为： 3．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 【解析】因为，所以， 所以. 故选：C. 题型二 向量的坐标表示 4．已知向量，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设点坐标为，表示出，即可求出. 【解析】设点坐标为，点的坐标是， ， 即，， 解得：，， 故点的坐标. 故答案为：. 5．若向量的起点的坐标为，且，则终点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点，由向量的坐标表示求得，再根据向量相等，即可求解. 【解析】设点，由向量的坐标表示， 可得向量， 因为，所以，解得，即终点的坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了根据向量的坐标表示，以及向量相等的条件的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，以及相等向量的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示，以及向量的正交分解，即可求解，得到答案. 【解析】根据向量的坐标表示，可得向量的坐标表示为， 坐标为的向量为，即坐标为的向量的正交分解为. 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的正交分解，其中解答中熟记向量的坐标表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7．在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则 ， . 【答案】 ； 【分析】设点，，根据数量积的坐标表示结合三角函数求解即可. 【解析】设点，， ∵，且， ∴，. ∵，， ∴，. 故，. 故答案为：； 题型三 向量的加减运算 8．已知向量，则 ． 【答案】 【分析】由向量的坐标运算求解即可. 【解析】向量， 所以. 故答案为：. 9．已知，则 . 【答案】 【分析】首先表示出，，再根据线性运算的坐标表示计算可得. 【解析】因为， 所以，， 所以. 故答案为： 10．若，，则与向量同向的单位向量是 . 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，然后计算与向量同向的单位向量即可. 【解析】因为, 所以, 所以与向量同向的单位向量为. 故答案为：. 题型四 向量的数乘运算 11．已知点，，若点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，根据条件得到，，再利用向量相等即可求出结果. 【解析】设，因为，，所以，，又， 所以，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 12．已知点A（1,1,-4），B（2,-4,2），C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为 ． 【答案】 【分析】设C（x，y，z），由已知条件，可推得，，再结合向量的相等性准则，即可求解． 【解析】设C， A（1,1,-4），B（2,-4,2）， ， ， ，解得， C点坐标为. 故答案为：. 题型五 根据向量的线性运算求参数 13．过，的直线与x轴交于点P，设，则 【答案】 【分析】首先设，再根据向量相等，转化为方程组，即可求解. 【解析】设，则，， 则，得，， 故答案为： 14．已知，，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，可得向量坐标的对应关系，即，即可求解. 【解析】由题，，即，解得，， 所以. 故答案为： 15．已知向量，，，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标线性运算即可求解. 【解析】， 由可知 解得故． 故答案为： 题型六 向量的模 16．已知，则 ． 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【解析】，∴. 故答案为： 17．已知向量，，若，则 . 【答案】2或4 【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，可得答案. 【解析】由题意，得，则，解得或4. 故答案为：或. 18．已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于向量的坐标，求得向量的坐标，利用坐标求向量的模长，计算化简可得，即可求解. 【解析】因为， 所以， 则 故当时，取得最小值. 故选：C. 题型七 平行向量及求参问题 19．下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 【答案】① 【分析】根据向量共线的坐标公式逐一判断即可. 【解析】对于①，因为，所以； 对于②，因为，所以不平行； 对于③，因为，所以不平行； 对于④，因为，所以不平行. 故答案为：①. 20．已知，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【解析】由题意，得．因为， 所以，解得． 故答案为：． 21．已知向量，，向量，，若，则实数 . 【答案】 【分析】根据题意可知，不共线，若，则，使得，代入结合向量相等运算． 【解析】根据题意可知，不共线 若，则，使得，即 则可得，解得 故答案为：． 题型八 线段平行和长度问题 22．设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】将向量模长关系改写成向量共线的形式，注意分类计算坐标. 【解析】，点在直线上，且，或，故或，故点坐标为或， 故选：C. 【点睛】本题考查根据向量共线求解点的坐标问题，难度较易.共线三点间的模长倍数关系可以转化为共线向量的形式，注意方向问题. 23．已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得． 【解析】由得，即，， ， ， ， 与同向的单位向量为，反向的单位向量为． 故选：C． 24．线段的端点为、，直线上的点，使，则 ． 【答案】或 【解析】由题意可得出或，根据题意可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【解析】由已知得，， 由可得或. ①当时，可得，解得，此时，； ②当时，可得，解得，此时. 综上所述，或. 故答案为：或. 题型九 向量数量积的坐标表示 25．已知向量，，则 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【解析】由，可得. 故答案为：. 26．已知向量，，则 . 【答案】 【分析】由向量数量积的坐标运算即可求解. 【解析】由题意可得：， 所以， 故答案为： 27．设，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平面向量坐标运算和数量积的坐标表示求解可得. 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：B 28．已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 【答案】C 【分析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 【解析】因为，，，所以，， 则． 故选：C. 题型十 向量夹角问题 29．为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求，即可得夹角余弦值. 【解析】因为， 则， 所以. 故选：C. 30．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据与的夹角为锐角，由，且与不共线解不等式求解. 【解析】因为，，所以， 因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线， 所以，且，解得且， 即实数的取值范围是. 故答案为： 31．已知，，，则 ． 【答案】/0.8 【分析】利用向量的坐标代入题设方程求得的值，再根据向量夹角的坐标公式计算即得. 【解析】因，， 则，解得，则， 故． 故答案为：. 32．已知平面向量，，满足，，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据条件求出，接着根据条件以及向量夹角余弦公式求解即可. 【解析】由题，且， 所以， 所以，又， 所以，即与的夹角为. 故答案为：. 题型十一 投影向量问题 33．已知、，则向量在向量上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】求出向量的坐标，利用投影向量的定义可求得结果. 【解析】由已知条件可得，记，且， 所以，向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 34．已知向量，则在上的投影向量的长度为（   ） A． B． C．10 D．20 【答案】B 【分析】利用数量积公式及投影向量长度公式计算即可. 【解析】由题可知，， 则在上的投影向量的长度为. 故选：B 35．在平面直角坐标系中，点，将绕原点逆时针旋转得到向量，则在上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】由题意作图，由投影向量的定义在图中表示，根据一次函数与模长公式，可得答案. 【解析】由题意，过作，垂足为，作图如下： 由题意可知，， 为在上的投影向量， 则，， 设直线的函数解析式为，代入，解得， 则可设，则，解得， 所以. 故答案为：. 题型十二 向量数量积有关的模长问题 36．已知向最与的夹角为60°，，，则 ， . 【答案】 【分析】由题意，求得，再根据向量的数量积的运算和模的公式，即可求解. 【解析】由题意，，所以， 因为与的夹角为60°，， 所以， 所以. 故答案为：，. 37．已知向量，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律得到，最后根据余弦函数的性质计算可得. 【解析】因为，所以， 所以 ， 又，所以， 所以当，即时，取得最大值且. 故答案为： 38．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，，由已知可得，由向量的加法和模的坐标运算结合基本不等式求解即可. 【解析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，， 则，，， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：C. 题型十三 向量数量积有关的其他应用 39．已知向量，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据向量坐标运算求出的坐标，再利用向量垂直的性质列出方程，最后求解方程得到的值. 【解析】因为，，所以， 因为，所以，解得． 故答案为： 40．已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据平面向量的线性运算，可求得，，再结合平面向量共线定理的坐标表示，即可求解. 【解析】由题意，，可得，， 又，所以，解得. 故答案为：. 41．设向量，，，若的最大值为5，则正实数m的值为 ． 【答案】 【分析】因，故用三角换元设，利用坐标计算，化简为三角函数求其最大值，得到关于的方程. 【解析】因，，则， ，设，， 则 ，其中， 因的最大值为5，则， 解得，则正实数m的值为. 故答案为：. 题型十四 向量的坐标表示的几何应用 42．如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用坐标法求向量的数量积，结合相关函数的性质求数量积的范围. 【解析】以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，设， 所以，， 所以，又， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 43．已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最大值. 【解析】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴， 线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，取最大值. 故答案为：. 题型十五 解答综合题 44．已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】(1)或3： (2)1或 (3) 【分析】（1）利用即可； （2）利用得出值，再利用求模公式； （3）利用且不共线即可. 【解析】（1）若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. （2）若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. （3）因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 45．在直角坐标系xOy中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上． (1)若，求； (2)设，用x，y表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量相等列方程即可求得，进而求得 （2）利用向量相等列方程即可求得，进而求得 【解析】（1），，， 则，， 则 则，解之得，经检验符合题意 则 （2），，， 则，， 由 可得，解之得 则 46．在长方形中，，，、分别是线段、的中点，是长方形（含边界）内一点． (1)求； (2)求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）利用平面向量数量积的坐标运算可求出，进而可求得的值； （3）设点，且，，利用平面向量数量积的坐标运算结合不等式的基本性质可得出的取值范围. 【解析】（1）在长方形中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，所以，，， 所以，. （2）由平面向量数量积的坐标运算可得， 故. （3）设点，则，，则，， 所以，， 因为，，则，则， 所以，，即的取值范围是. 一、填空题 1．在梯形中，已知，点分别在线段和上，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】 先建立平面直角坐标系，通过写出的坐标表示，再进行运算，最后根据取值范围得到最大值. 【解析】 如图建系，，所以，    设，则， 令， 则， 所以 当时取到等号. 故答案为：3 2．对集合，其中，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则 . 【答案】5或 【分析】取,则存在使得，由此可以推出，继续取，则存在使得，由此可得，则，或，则，分类讨论即可求解. 【解析】取，则存在使得，从而可得，即， 所以一定是一正一负（因为0不属于集合），不妨令，则， 所以，所以， 取，则存在使得，从而可得， 若，则矛盾，故不可能同时大于0， 若，则矛盾，故不可能同时小于0， 所以必定有一正一负， 所以有：，则，或，则， 情况一：当，时，， 从而，或（舍去，集合元素间互异），或，即（舍去，与矛盾）， 此时（这里不考虑具体与的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数交换位置不影响结果）， 情况一：当，，， 从而，即（舍去，集合元素间互异），或（舍去，集合元素间互异），或，即， 此时（这里不考虑具体与的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数交换位置不影响结果）， 综上所述，或. 故答案为：5或. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，且，其中满足：，，或，，由此即可顺利得解. 二、单选题 3．已知点Q是单位圆内接正十二边形边上的任意一点，设，则a的值可以为（    ） A．22.5 B．23.5 C．24.5 D．25.5 【答案】B 【分析】如图建立平面直角坐标系，表示出12个顶点的坐标，设，然后表示出，化简得，不妨设在上，表示出线段的方程，则表示出，利用二次函数的性质可求出其范围，从而可求出的范围，进而可求得答案. 【解析】如图建立平面直角坐标系，则， ， 设，则 ， ， ， ， 所以， 由正十二边形的对称性，不妨设在上， 因为，所以， 所以为，即， 所以， 因为对称轴为， 所以的最小值为， 最大值为， 所以， 所以， 即， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的运算，考查二次函数的性质，解题的关键是建立平面直角坐标系，表示出各顶点的坐标，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题. 4．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【解析】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴.    如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 三、解答题 5．如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心. (1)若，，，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，求的最大值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算求得的值. （2）设，求得关于的表达式，进而求得的取值范围. （3）设，，将表示为关于的表达式，求得的取值范围，进而求得的最大值. 【解析】（1）以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系.，， 所以. （2）设，， 则，. ， 由于，根据对勾函数的性质可知. （3）； . 设，，则这两个式子为， 化简得 解得 所以， 设，， 令， 所以由对勾函数的性质得， 所以当时，即点与点重合时，取到最大值. 【点睛】求解平面向量数量积有关问题，有两个求解思路，一个是利用平面向量的基本定理，通过转化的方法来求得数量积；另一个思路是根据图形的特征，通过建立平面直角坐标系，利用坐标法来进行求解. 6．在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． (1)已知，，求； (2)①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据“相离度”的定义代入相应值进行计算. （2）首先证明①，可得，根据，等价于即可证明； ②由左右同时平方可求得，由题知为的重心，然后以、为基底表示出、，进而求出，再代即可得解. 【解析】（1）． （2）①因为 ， 且，，则， 所以． 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得，， 则， ， ， 可得， 所以． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$