第24讲 简单的三元一次方程组（二类知识点+九大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第24讲 简单的三元一次方程组 （九大题型） 学习目标 1．理解三元一次方程组的含义； 2．会解简单的三元一次方程组； 3．掌握三元一次方程组的代数应用. 知识点1 三元一次方程及三元一次方程组的概念 *1.三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 要点： (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义 如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作三元一次方程组. 要点：三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可． 知识点2 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法． 【即学即练1】下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】解下列三元一次方程组： (1) (2) 【即学即练3】解方程组，以下解法不正确的是（    ） A．由①，②消去z，再由①，③消去z B．由①，③消去z，再由②，③消去z C．由①，③消去y，再由①，②消去y D．由①，②消去z，再由①，③消去y 【即学即练4】如果方程组的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（　　） A． B．﹣ C．3 D．﹣3 【即学即练5】已知满足，则 ． 题型1：三元一次方程组的概念 【典例1】．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． *题型2：根据三元一次方程的概念求参数 【典例2】．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 【变式2-1】．若是一个关于的三元一次方程，那么 ， ． 题型3：三元一次方程组解法的辨析 【典例3】．解方程组若要使运算简便，可先消未知数（   ） A． B． C． D．以上说法都不对 【变式3-1】．用加减法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先消x B．先消y C．先消z D．都一样 【变式3-2】．将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ． 【变式3-3】．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 题型4：解三元一次方程组 【典例4】．解下列三元一次方程组： (1)； (2)． 【变式4-1】．解下列三元一次方程组： (1) (2)． 【变式4-2】．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【变式4-3】．解下列三元一次方程组： (1) (2) 题型5：辨析三元一次方程组的解 【典例5】．方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 题型6：三元一次方程组的代数应用 【典例6】．三元一次方程组的解是 ． 【变式6-1】．若是三元一次方程组的解，则的值是 ． 【变式6-2】．如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【变式6-3】．关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【变式6-5】．方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式6-6】．若，则 ， ， ． 【变式6-7】．已知满足，则 ． 【变式6-8】．三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 题型7：新定义题—矩阵 【典例7】．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 题型8：材料阅读题 【典例8】．探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为 ． 【变式8-1】．感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)三元一次方程组的解是 ___________． 题型9：规律题 【典例9】．一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积．若这组数第1个数是a，第5个数是，则第2028个数是 （用含a的式子表示）． 【变式9-1】．如下表，从左到右的每个格子中都填入了一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等． 5 … (1)格子中所表示的整数为______，所表示的整数为______，所表示的整数为______； (2)请你求出第2023个整数是多少； (3)请你求出前2024个整数的和． 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（    ） A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x 3．三元一次方程有无数个解，下列四组值中不是该方程的解的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则等于（    ） A． B． C．2 D． 5．解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（    ） A． B． C． D． 6．方程组的解为（    ） A． B． C． D． 7．已知满足y＝ax2＋bx＋c的x，y的对应值有x＝3，y＝0；x＝1，y＝0和x＝0，y＝3，则a，b，c三数值为(　　)． A． B． C． D． 8．已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（    ） A．k B．k C．k D．k 9．若实数x，y，z满足，则x＋y＋6z＝（    ） A．－3 B．0 C．3 D．不能确定值 10．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 二、填空题 11． （填“是”或“不是”）方程组的解． 12．解三元一次方程组，可 ，并解得 ． 13．若是方程5x＋my＋2z＝3的一个解，则m的值是 ． 14．已知，则 ． 15．已知xyz≠0，从方程组中求出x：y：z＝ ． 16．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ． 17．阅读下列材料，然后解答后面的问题． 已知方程组，求x＋y＋z的值． 解：将原方程组整理，得 ②－①，得x＋3y＝7，③ 把③代入①，得x＋y＋z＝6. 仿照上述解法，解决下面问题． 已知方程组则x＋2y－z的值为 ． 18．已知方程组若设 ，则k= ． 三、解答题 19． 20．解三元一次方程组. 21．解方程组：. 22．解方程组：. 23．解方程组时，一马虎的学生把写错而得，而正确的解是,求a+b-c的值． 24．探索创新完成下面的探索过程： 给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______； 解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______． 25．已知实数x，y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则__________，_________． (2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 26．在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． 填空：a=______，b=______，c=______； d=______，e=______，f=______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24讲 简单的三元一次方程组 （九大题型） 学习目标 1．理解三元一次方程组的含义； 2．会解简单的三元一次方程组； 3．掌握三元一次方程组的代数应用. 知识点1 三元一次方程及三元一次方程组的概念 *1.三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 要点： (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义 如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作三元一次方程组. 要点：三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可． 知识点2 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法． 【即学即练1】下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案． 【解析】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确； 故选：D． 【即学即练2】解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】5.（1） ①＋②，得4x＋z＝5，④ ③＋④，得5x＝10，解得x＝2 把x＝2代入①，得2×2－y＝4，解得y＝0 把x＝2代入③，得2－z＝5，解得z＝－3 所以原方程组的解为． （2） ①＋②，得x＋z＝2，④ ②＋③，得5x－8z＝36，⑤ ④×5－⑤，得13z＝－26，解得z＝－2 把z＝－2代入④，得x＝4 把x＝4，z＝－2代入②，得y＝0 所以原方程组的解是． 【即学即练3】解方程组，以下解法不正确的是（    ） A．由①，②消去z，再由①，③消去z B．由①，③消去z，再由②，③消去z C．由①，③消去y，再由①，②消去y D．由①，②消去z，再由①，③消去y 【答案】D 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解析】解：解方程组， 以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y． 故选：D． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【即学即练4】如果方程组的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（　　） A． B．﹣ C．3 D．﹣3 【答案】A 【分析】解方程组，求出x，y，z的值，将x，y，z的值代入kx+2y﹣3z=8中，即可求出k的值． 【解析】 ①﹣②，得 x﹣z＝2④ ③+④，得 2x＝6， 解得，x＝3 将x＝3代入①，得 y＝5， 将x＝3代入③，得 z＝1， 故原方程组的解是， 又∵方程组的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8， ∴3k+2×5﹣3×1＝8， 解得，k＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了解方程组的问题，掌握解方程组的方法是解题的关键． 【即学即练5】已知满足，则 ． 【答案】 【分析】本题侧重考解查三元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键． 把方程两式相加得出，把代入得，进而得到的值． 【解析】解：原方程组变为， 由得， 把代入得， 所以． 故答案为：． 题型1：三元一次方程组的概念 【典例1】．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案． 【解析】解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确； 故选：D． 【变式1-1】．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组． 根据三元一次方程组的定义逐一判断即可． 【解析】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意； B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； D.，不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选A． 【变式1-2】．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的方程组，叫做三元一次方程组．根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证． 【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组． A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确； B、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故B选项错误； C、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故C选项错误； D、不是整式方程，故D选项错误； 故选：A． *题型2：根据三元一次方程的概念求参数 【典例2】．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【解析】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：． 【变式2-1】．若是一个关于的三元一次方程，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案． 【解析】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：，0． 题型3：三元一次方程组解法的辨析 【典例3】．解方程组若要使运算简便，可先消未知数（   ） A． B． C． D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查的是解方程组时，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进行消元”是解本题的关键．观察观察未知数x，y，z的系数的绝对值最小公倍数，从而可确定先消去系数的绝对值最小公倍数最小的未知数． 【解析】解：观察未知数x的系数的绝对值分别是5，2，7，其最小公倍数为70， 观察未知数y的系数的绝对值分别是7，，，其最小公倍数为105， 观察未知数z的系数的绝对值分别是6，3，2，其最小公倍数为6， 所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去z， 故选：C． 【变式3-1】．用加减法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先消x B．先消y C．先消z D．都一样 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组．观察方程组，第一个方程不含有未知数y，因此将第二和第三个方程联立，首先消去y，进而选择即可． 【解析】解：， ∵方程①只有两个未知数x和z组成，而方程②③中y前面的系数是倍数关系， ∴方程②③消去y较容易， 故选：B． 【变式3-2】．将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【解析】解：， 由②③得：④， ∴ 故答案为：． 【变式3-3】．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键，先消去未知数可得，从而可得答案． 【解析】解：， ②③得：即， ③①得：， ∴， 故选A 题型4：解三元一次方程组 【典例4】．解下列三元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确消元的数学思想，会解三元一次方程组． （1）将第一个式子减去第二个式子，再加上第二个式子，可以算出的值，就可以把、的值都求出来． （2）先将三元一次方程化为二元一次方程组，再化为一元一次方程即可解答本题． 【解析】（1）解：由题意可知： 将得 ∴ ∴， 把代入得 ∴ ∴ ∴ ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得④， ，得⑤， ，得， 解得， 把代入④，得， 把，代入②，得． 所以原方程组的解是． 【变式4-1】．解下列三元一次方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解方程组较简单． （1）把三元一次方程组化为二元一次方程组，求解二元一次方程组即可得解； （2）把三元一次方程组化为二元一次方程组，求解二元一次方程组即可得解． 【解析】（1）解：， 由，得④， 由，得 把代入④，得 把，代入①，得 ， ∴， ∴原方程组的解是． （2）解： 由，得 把④和组成方程组得 ∴ 把代入①，得 ∴原方程组的解是． 【变式4-2】．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】略 【变式4-3】．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1） 由①，得4x＝3y，x＝y④ 由②得4z＝5y，z＝y，⑤ 把④和⑤代入③，得，解得y＝12 把y＝12代入④和⑤，得． ∴原方程组的解为． （2）将原方程组改写为 由②，得x＝6＋4y，代入①化简，得 11y－4z＝－19，④ 由③，得2y＋3z＝4，⑤ 由④×3＋⑤×4，得33y＋8y＝－57＋16， ∴y＝－1 将y＝－1代入⑤，得z＝2 将y＝－1代入②，得x＝2 ∴原方程组的解为 题型5：辨析三元一次方程组的解 【典例5】．方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组，根据方程组特点，将三个方程相加得到，进而求解代值即可． 【解析】解： 得：，即， 将①代入④，得， 将②代入④，得， 将③代入④，得， ∴方程组的解为， 故选：B 【变式5-1】．下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解，解题的关键是利用加减消元法进行求解． 方程组利用加减消元法求解即可． 【解析】 得： 得： 把代入中 ， 把，代入得： ， 方程组的解为， 故选：D． 题型6：三元一次方程组的代数应用 【典例6】．三元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】利用消元法求解三元一次方程组即可． 【解析】解： 由可得： 由可得： 将，代入可得： 解得 将分别代入，可得，， 则方程组的解为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是掌握消元法求解三元一次方程组． 【变式6-1】．若是三元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，把代入中即可求解，解题的关键是理解三元一次方程组的解． 【解析】解：∵是三元一次方程组的解， ∴将代入中得： ， 解得：， 故答案为：． 【变式6-2】．如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可． 【解析】解：， 得④， 得， 解得：， ∴， ∴将，代入， 得， 解得：， 故选：B． 【变式6-3】．关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握三元一次方程组解的定义是解题的关键． 【解析】解：把 代入得，， ∴， ∴， 故选：． 【变式6-4】．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求不要求出，及的值，而是整体求出．由题意，可将，及的值代入方程组得到关于，，的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出的值． 【解析】解：由题意将代入方程组得： ， 得：， 即， ∴． 故选：． 【变式6-5】．方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【解析】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 【变式6-6】．若，则 ， ， ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查绝对值非负性，解三元一次方程组；根据绝对值非负性列出三元一次方程组，计算求解即可． 【解析】解：根据题意得： 由②得 把代入③ 得： 把，代入① 解得： 故答案为：，1，． 【变式6-7】．已知满足，则 ． 【答案】 【分析】本题侧重考解查三元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键． 把方程两式相加得出，把代入得，进而得到的值． 【解析】解：原方程组变为， 由得， 把代入得， 所以． 故答案为：． 【变式6-8】．三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解三元一次方程组，将三个式子相加求出的值，进而求出的值即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 题型7：新定义题—矩阵 【典例7】．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【解析】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 【变式7-1】．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，①②③得，． 【解析】（1）解：由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得：， 矩阵对应的方程组的解为； （2）解：矩阵所对应的方程组的解为， 将代入， 得， ①②③得，． 题型8：材料阅读题 【典例8】．探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解三元一次方程组，分别用含的代数式表示，然后再相加即可得出的值 【解析】解： ，得：， ，得：， ∴， 故答案为：1. 【变式8-1】．感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)三元一次方程组的解是 ___________． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． （1）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答； （2）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答． 【解析】（1）解：， 得：， 解得：， 故答案为：5； （2）解：， 得：， 解得：④， 得：， 得：， 得：， 原方程组的解为： 故答案为：． 题型9：规律题 【典例9】．一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积．若这组数第1个数是a，第5个数是，则第2028个数是 （用含a的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，设第2个数为，第3个数为，第4个数为，根据任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，求出，进而得到这组数每6个一组进行循环，进一步求出第2028个数即可． 【解析】解：设第2个数为，第3个数为，第4个数为，由题意，得：， ∴， ∴， 进而可得第六个数为， ∴依次可得这组数据为，即：这组数以6个为一组，进行循环， ∵， ∴第2028个数是； 故答案为：． 【变式9-1】．如下表，从左到右的每个格子中都填入了一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填的整数之和都相等． 5 … (1)格子中所表示的整数为______，所表示的整数为______，所表示的整数为______； (2)请你求出第2023个整数是多少； (3)请你求出前2024个整数的和． 【答案】(1)5，， (2) (3)1352 【分析】本题主要考查了三元一次方程组及数字规律型问题，根据题意列出方程组及方程组求解和根据数字之间的规律进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可列方程组，，求方程组的解即可得出答案； （2）根据题意可得格子中的整数以""为周期循环，则，即可得出答案． （3）由每三个相邻格子中的整数的和为2，，可得前2024个整数中包含674个循环，再加上后面的两个整数和5，再求解即可． 【解析】（1）解：根据题意可得， 解得 故答案为∶； （2）解：由（1）可知从左往右格子中的整数以，5，三个数字依次循环． 因为， 所以第2023个整数是． （3）解：因为每三个相邻格子中的整数的和为2，， 所以前2024个整数中包含674个循环，再加上后面的两个整数和5， 所以前2024个整数的和为． 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义：含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程组叫做三元一次方程组，逐一判断是解题关键． 【解析】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2， 故A选项中方程组不是三元一次方程组； 对于B选项，第一个方程中分母含有未知数， 故B选项中方程组不是三元一次方程组； 对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故C选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故D选项中的方程组是三元一次方程组． 故选：D． 2．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（    ） A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x 【答案】B 【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案． 【解析】解：由②3+③得：11x+10z=35， ∴转化为二元一次方程组为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元． 3．三元一次方程有无数个解，下列四组值中不是该方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把x、y和z的值代入方程检验即可． 【解析】因为方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值， 所以把A、B、C、D选项中x，y与z的值代入方程检验可得：只有D选项能使方程左右两边相等. 故选：D. 【点睛】考查了三元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4．若，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据平方和绝对值的非负性得到三元一次方程组，解方程组即可. 【解析】解：由，可得 解得则. 故选A. 【点睛】本题考查平方和绝对值的非负性以及解三元一次方程组，利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题关键． 5．解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各选项进行分析后即可判断． 【解析】A选项：得，得，故正确； B选项：得，得，故错误； C选项：得，得，故错误； D选项：得，得，故错误. 故选：A. 【点睛】考查了解三元一次方程组，解题关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 6．方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代入消元法解三元一次方程组即可求解． 【解析】解：， 由①得④，由②得⑤， 将④⑤代入③得，， 解得， 将代入④得， 将代入⑤得， 原方程组的解为． 故选C． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握代入消元是解题的关键． 7．已知满足y＝ax2＋bx＋c的x，y的对应值有x＝3，y＝0；x＝1，y＝0和x＝0，y＝3，则a，b，c三数值为(　　)． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意把x，y的值分别代入y＝ax2＋bx＋c得出三元一次方程组，求出方程组的解即可． 【解析】代入得： ③代入①，②得 ④-⑤得：2a=2， 所以，a=1， 把a=1入⑤得，1+b=-3， 解得，b=-4， 所以，方程组的解为 故选A. 【点睛】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能根据题意得出三元一次方程组，题目比较好，难度适中． 8．已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（    ） A．k B．k C．k D．k 【答案】A 【分析】根据得出，，然后代入中即可求解． 【解析】解：， ①+②得， ∴③， ①﹣③得：， ②﹣③得：， ∵， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出的代数式是解题的关键． 9．若实数x，y，z满足，则x＋y＋6z＝（    ） A．－3 B．0 C．3 D．不能确定值 【答案】A 【解析】略 10．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．任意实数 【答案】C 【分析】根据新定义可得，即可求解． 【解析】解：由题意得 ， 整理得： ②③得：， 将①代入上式得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键． 二、填空题 11． （填“是”或“不是”）方程组的解． 【答案】不是 【分析】将代入到方程组中去检验即可． 【解析】解：把分别代入到方程组 看左、右两边的值是否相等即可，可发现它是第一、二个方程的解，不是第三个方程的解，所以它不是这个方程组的解． 故答案为：不是． 【点睛】本题考查三元一次方程组的解，解题关键是掌握三元一次方程组解的定义即：使方程组所有方程左右两边都相等的未知数的值为三元一次方程组的解． 12．解三元一次方程组，可 ，并解得 ． 【答案】 3 【分析】由①+②+③得到关于x一元一次方程组，即可求得x的值． 【解析】解： 由①+②+③得： 解得3． 故答案为: ；3． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 13．若是方程5x＋my＋2z＝3的一个解，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】把x=1，y=-2，z=2代入5x+my+2z=3即可得到m的值． 【解析】解：把x=1，y=-2，z=2代入5x+my+2z=3得， 5-2m+4=3， 解得m=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解，将解代入即可求出系数m的值． 14．已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的非负性以及三元一次方程组，先由，得，再把这三个式子相加，得，即可作答． 【解析】解：∵， ∴ 则，得， ∴， 故答案为：3 15．已知xyz≠0，从方程组中求出x：y：z＝ ． 【答案】2：7：5 【分析】根据方程组系数的特点，先消去未知数y，得出x与z的关系，再得出y与z的关系，最后求比值． 【解析】 ①+②得5x﹣2z＝0，解得x＝z， 将x＝z代入②得y＝z， ∴x：y：z＝2：7：5． 故答案为：2：7：5 【点睛】本题考查了解三元一次方程组．关键是把其中一个未知数当作已知数，求另外两个未知数与这个未知数的关系． 16．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】将k看做已知数求出x与y，代入2x十3y= 6中计算即可得到k的値． 【解析】解： ①+②得：2x=14k，即x=7k， 将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=-2k， 将x=7k，y=-2k代入2x+3y=6得：14k-6k=6， 解得：k= 故答案为： 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值． 17．阅读下列材料，然后解答后面的问题． 已知方程组，求x＋y＋z的值． 解：将原方程组整理，得 ②－①，得x＋3y＝7，③ 把③代入①，得x＋y＋z＝6. 仿照上述解法，解决下面问题． 已知方程组则x＋2y－z的值为 ． 【答案】3 【分析】把2x+z看成一个整体，类比题干解法即可求出答案． 【解析】将原方程整理得， ②×2得-6（x+2y-z）+2（2x+z）=-2③， ①-③得8（x+2y-z）=24， 解得x+2y-z=3． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题的关键是利用整体法解方程组，此题难度不大． 18．已知方程组若设 ，则k= ． 【答案】2 【解析】分析：求出 代入 得出关于k的方程，求出方程的解即可． 详解：设 则x=2k，y=3k，z=4k， 代入5x−2y+z=16得：10k−6k+4k=16， 解得：k=2， 故答案为2. 点睛：考查解三元一次方程组，根据得出x=2k，y=3k，z=4k，是解题的关键. 三、解答题 19． 【答案】 【分析】先把①，②，③的左右两边分别相加，再进行整理即可得出，再利用加减消元法④－①、④－② 、④－③分别求得z、x、y的解即可． 【解析】解：， ①＋②＋③得： ， 即， ④－①得： ④－②得： ④－③得： 故方程组的解为： 【点睛】本题考查加减消元法求解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法求出． 20．解三元一次方程组. 【答案】 【分析】②-①得出-2y=4，求出y=-2，把y=-2代入①和③，即可得出一个关于x、z的方程组，七月初方程组的解即可． 【解析】解： ②-①得：-2y=4， 解得：y=-2， 把y=-2代入①得：x-2+z=4， 即x+z=6④， 把y=-2代入③得：4x-4+z=17， 即4x+z=21⑤， 由④和⑤组成一个二次一次方程组 ， 解得： ， 所以原方程组的解是： ． 【点睛】此题考查解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键． 21．解方程组：. 【答案】 【分析】用加减消元法解. 【解析】， ，得……④ ，得……….⑤ 由④和⑤组成一个二元一次方程组， 解得，把， 代入②得.解得， 故原方程组的解为. 【点睛】考查了解三元一次方程组，解题关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 22．解方程组：. 【答案】. 【分析】用加减消元的方法即可解题. 【解析】 （2）-（1）×4,得7x=7,即x=1, （3）-（1）×27得：77y=77,即y=1,把x=1，y=1代入（1），得-2z=-2,即z=1. ∴原方程组的解是： . 【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元的方法即可求解. . 23．解方程组时，一马虎的学生把写错而得，而正确的解是,求a+b-c的值． 【答案】-12 【分析】把代入，把代入得到三元一次方程组，即可求出a,b,c，即可求解. 【解析】把代入，把代入 得解得 故a+b-c=-2-4-6=-12 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解和解三元一次方程组，解题的关键是根据题意列出三元一次方程组. 24．探索创新完成下面的探索过程： 给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______； 解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______． 【答案】；解方程组过程见解析；；； 【分析】根据换元法可以将原方程组化为，①+②+③得出然后分别求出A、B、C的值即可． 【解析】解：令=A，=B，=C，则方程组可变为：， ①+②+③得， 得：， 得：， 得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出，是解题的关键． 25．已知实数x，y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则__________，_________． (2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)-1，5 (2)-11 【分析】（1）利用①-②可得x-y的值，利用（①+②）可得x+y的值； （2）根据新运算的定义可得出a、b、c的三元一次方程组，由可得出a+b+c的值，即的值． 【解析】（1）， 由①-②可得：x-y=-1， 由（①+②）可得：x+y=5， 故答案为：-1，5； （2）依题意得：， 由可得：a+b+c=-11， 即= a+b+c=-11． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程． 26．在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． 填空：a=______，b=______，c=______； d=______，e=______，f=______． 【答案】(1)x=-1，y=1 (2)0，-1，5；5，4，10 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，列方程组可求出a，b，c的值；设图丙中三个空格中的数分别为d，e，f的值． 【解析】（1）由题意得 ， 解得 ． （2）设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，由题意得 ， 整理得 ， 解得 ． 故答案为：0，-1，5； 设图丙中三个空格中的数分别为m，n，h，由题意得 ， 整理得 ， 解得 ． 故答案为：5，4，10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$