第23讲 二元一次方程组的应用（三类知识点+十四大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第23讲 二元一次方程组的应用 （十四大题型） 学习目标 1．学会建立含有两个未知数的实际问题为背景的二元一次方程组； 2．、尝试解决常见问题：行程、销售、古代、数字等； 3. 掌握解二元一次方程组的应用的基本思路. 知识点1由例1引出用二元一次方程组解决实际问题 例l：某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元.某一天，科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元. 问：该天这两种票各售出多少万张? 解 设该天售出成人票x万张、学生票y万张.根据题意，可得方程组 由① , 得y=1-x. 将③代入②,得60x+45(1-x)=57. 解得x=0.8. 把x=0.8代入③,解得y=0.2. 所以，这个方程组的解是 答：该天售出成人票0.8万张、学生票0.2万张. 注：①对于这道题目，如果设一个未知量得到一元一次方程，解方程较为简便，但列方程前要先搞清楚另一个未知量与所设未知量的关系；如果设两个未知量，可以直截了当地列出方程组，但需求解一个二元一次方程组. ②两种方法都可行，列方程解应用题时可根据题目灵活选择未知数的个数. 本章重点强调的是后一种方法. 知识点2 画行程示意图解决行程问题 例2：甲、乙两车分别从相距400 km的 A 、B 两地出发，匀速相向而行. 如果甲、乙两车同时出发，那么行驶4h 后两车相遇；如果甲车比乙车先出发5h, 那么在乙车出发2h 后两车相遇.求甲、乙两车的速度. 分析 可以设甲车的速度为x km/h, 乙车的速度为y km/h. 根据题意，画出示意图(图9-3-1): 解 设甲车的速度为xkm/h, 乙车的速度为y km/h. 根据题意，可得方程组 由 ① , 得 y=100-x. 把③代入②,得 7x+2(100-x)=400. 解得x=40. 把x=40 代入③,解得y=60. 所以，这个方程组的解是 答：甲车的速度为40 km/h, 乙车的速度为60 km/h. 另：列表分析法可参考教材p116-117例5；百分数的应用可参考教材p117-118例6。 知识点3 实际问题与二元一次方程组的解题思维导图 要点： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【即学即练1】某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有 本. 【即学即练2现用180张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【即学即练3】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【即学即练4】一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大27，则原来的两位数是 ． 【即学即练5】甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔分钟相遇一次；如果同向而行，每隔分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快，则甲每分钟跑 圈． 题型1：行程问题 【典例1】．甲，乙两船相距，相向而行，后相遇；同向而行，甲后追上乙．水流速度忽略不计，甲，乙两船的速度分别为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．某船顺流航行36km用了，逆流航行也用了，则水流的速度为 ，船在静水中的速度为 ． 【变式1-2】．小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【变式1-3】．甲、乙两人在的环形跑道上同一起点同时背向起跑，后相遇．若甲先从起跑点出发，后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过后乙追上甲．设甲、乙二人的速度分别为、，则根据题意列方程组为 ． 题型2：工程问题 【典例2】．有一项要生产154个零件的任务．若甲先做5天，乙再加入合做，则再做3天可超产2个；若乙先做5天，然后两人合做3天，则还有13个零件未完成．甲每天生产 个零件，乙每天生产 个零件． 【变式2-1】．现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 题型3：数字问题 【典例3】．已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是10，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数比原数大18，则原来的两位数是 ． 【变式3-2】．有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是 ． 题型4：年龄问题 【典例4】．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 【变式4-1】．小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【变式4-2】．六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大 岁． 题型5：分配问题（含配套问题） 【典例5】．有大、小两种型号的货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，则辆大货车与辆小货车一次可以运货 t． 【变式5-1】．某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 【变式5-2】．一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 题型6：销售、利润问题 【典例6】．某学校去商场购买办公用品，买50件A商品和30件B商品用了920元，买60件A商品和10件B商品用了1000元．问：购买一件A商品和一件B商品需要 元． 【变式6-1】．小刚的妈妈去银行购买了两种理财产品，共买了20000元，一种年利率为，另一种年利率为，一年期满后共得利息680元，则小刚的妈妈两种理财产品分别买了 ． 【变式6-2】．已知两件服装的成本共500元，某服装店老板分别以和的利润率定价后进行销售，共获利130元，则两件服装的成本分别为（   ） A．300元，200元 B．200元，300元 C．250元，250元 D．240元，260元 题型7：和、差、倍积分问题 【典例7】．已知两个角的和是，差是，则这两个角的度数分别是 ． 【变式7-1】．已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是 A． B． C． D． 【变式7-2】．甲、乙两人各买了相同数量的信封和信笺，甲每发出一封信只用1张信笺，乙每发出一封信用3张信笺，结果甲用掉了所有的信封，但余下50张信笺，而乙用掉了所有的信笺，但余下50个信封，则甲、乙两人买的信笺张数、信封个数分别为(　　) A．150，100 B．125，75 C．120，70 D．100，150 题型8：几何问题 【典例8】．如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和阴影部分无缝隙拼合而成的一个大长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式8-1】．如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于 ． 【变式8-2】．个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图所示，若拼成如图所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．一个小长方形的长为 厘米． 题型9：图表信息题 【典例9】．如图，在幻方中，填入个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等按以上规则填成的幻方中，的值为 ． 【变式9-1】．根据图提供的信息，可知一个杯子的价格是 元． 【变式9-2】．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则 . x 2y y 6 0 题型10：古代问题 【典例10】．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，4大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加4小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 斛米． 【变式10-1】．古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊．咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于大约1500年前，其中一道题的原文：“今三人共车，两车空；两人工车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人乘车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各有多少？上述问题中车有 辆． 题型11：开放性问题 【典例11】．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 【变式11-1】．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 题型12：方案问题 【典例12】．某地有120吨水果，计划用甲、乙两种货运车运往上海销售，已知甲种车能装载5吨，乙种车能装载6吨，现有甲、乙两种车共22辆． (1)若在满载情况下，恰好能将这些水果一趟全部运完，那么甲、乙种车各有多少辆？ (2)假如甲种车每辆每趟运费为1500元，乙种车每辆每趟运费为1700元，现要求车辆满载，将水果最多可分两趟恰好全部运完，但要求总运费不超过34500元，这样的配车方案若存在，请求出这样的所有配车方案；若不存在，请说明理由． 【变式12-1】．某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车向内地运输蔬菜，租用这两种货车的部分信息如下表： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 2辆 5辆 (1)求1辆中型车和1辆大型车满载一次各运输蔬菜的吨数； (2)若蔬菜种植基地计划一次运完蔬菜，且恰好每辆车都装满． （i）请你帮该蔬菜种植基地设计租车方案； （ii）若中型车每辆需租金1000元/次，大型车每辆需租金1500元/次，请你帮该蔬菜种植基地计划最少租车费是多少元？此时租车方案是什么？ 【变式12-2】．小李在某商场购买A、B两种商品若干次（每次A、B商品都买），三次购买A、B商品的数量和费用如下表所示： 购买A商品的数量/个 购买B商品的数量/个 购买总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 第三次 660 (1)求A、B商品的标价各是多少元？ (2)小李第三次购买方案可能有哪几种？ 题型13：其他问题 【典例13】．如图，小华同学将两个不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时砝码重量如图所示，则较大苹果的重量为 克． 【变式13-1】．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论I：若m的值为3，则y的值为4；结论II：不论m，n取何值，的值一定为3.下列说法正确的是（   ） A．I，II都对 B．I对，II不对 C．I不对，II对 D．I，II都不对 【变式13-2】．如图，用火柴棍连续搭建三角形和正方形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建三角形和正方形共用了77根火柴棍，并且三角形的个数比正方形的个数少5个，那么一共能连续搭建三角形、正方形个数分别是（   ）    A．12个；17个 B．17个；12个 C．17个；22个 D．22个；17个 题型14：解答综合题 【典例14】．某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． 【变式14-1】．《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪，其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 【变式14-2】．南方某市出租车计费标准如下框，赵亮上周坐了两次出租车，一次里程千米 ，车费元，另一次里程千米，车费87.5元． (1)画示意图可以帮助我们理清数量间的关系，请把下面的示意图补充完整； (2)列方程组求解，． 【变式14-3】．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)根据表格信息可知：球队胜一场积　　　　分，负一场积　　　　分； (2)根据积分规则，在E队已经进行的11场比赛中，胜负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 一、单选题 1．《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章，其中第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲太半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x，y，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．小李家去年节余5000元，今年可节余9500元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为元，支出为元，则可列方程组为（    ） A． B． C．D． 3．某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示： 甲食材 乙食材 每克所含蛋白质 0.3单位 0.7单位 每克所含碳水化合物 0.6单位 0.4单位 若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（　　） A．562.5元 B．875元 C．550元 D．750元 5．一个三位数各位数字的和是14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，若把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则这个三位数是（    ） A．635 B．653 C．563 D．536 6．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则依题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（    ）． A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 8．“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方a、b的值分别是（    ） A．11，9 B．9，11 C．8，13 D．13，8 二、填空题 9．某公司在安排出差的22名员工住宿时，有2人间和3人间两种房间可供选择，如果每一个房间都住满，则安排住宿的方案有 种． 10．在一次有12个队参加的足球循环赛中（每两队之间比赛一场），规定胜一场记3分，平一场记1分，负场记0分.某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2，结果共积19分，则该队在这次循环赛中战平了 场. 11．A，B两地相距80km．一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，船在静水中的速度是 km/h． 12．“五一”前夕，某服装专卖店按标价打折销售.小明去店里买了一套服装，衣服打五折，裤子打七折，共计260元，付款后，收银员结算时不小心把衣服、裤子的标价计算反了，多找给小明40元，则衣服裤子原标价分别是 . 13．如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是( )分钟．    三、解答题 14．为增强学生体质，舒缓学习压力，培养团队意识，增进班级凝聚力．某校初三年级组织了一场拔河比赛，并为获得一等奖和二等奖共8个班级购买奖品，共花费600元，其中一等奖奖品每班100元，二等奖奖品每班60元，求获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个？根据题意列方程组． 15．加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成件，第二道工序每人每天可为完成件．现有位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一，第二工序所完成的件数相等．列二元一次方程组 16．一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时． （1）求该轮船在静水中的速度和水流速度； （2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？ 17．某班将举行知识竞赛活动，班长安排小明购买奖品，图片是小明买回奖品时与班长的对话情境． (1)试计算两种笔记本各买多少本？ (2)小明为什么不可能找回68元？ 18．随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 时间（分钟） 里程数（公里） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 12 10 16 （1）求x，y的值； （2）如果小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？ 19．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 二元一次方程组的应用 （十四大题型） 学习目标 1．学会建立含有两个未知数的实际问题为背景的二元一次方程组； 2．、尝试解决常见问题：行程、销售、古代、数字等； 3. 掌握解二元一次方程组的应用的基本思路. 知识点1由例1引出用二元一次方程组解决实际问题 例l：某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元.某一天，科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元. 问：该天这两种票各售出多少万张? 解 设该天售出成人票x万张、学生票y万张.根据题意，可得方程组 由① , 得y=1-x. 将③代入②,得60x+45(1-x)=57. 解得x=0.8. 把x=0.8代入③,解得y=0.2. 所以，这个方程组的解是 答：该天售出成人票0.8万张、学生票0.2万张. 注：①对于这道题目，如果设一个未知量得到一元一次方程，解方程较为简便，但列方程前要先搞清楚另一个未知量与所设未知量的关系；如果设两个未知量，可以直截了当地列出方程组，但需求解一个二元一次方程组. ②两种方法都可行，列方程解应用题时可根据题目灵活选择未知数的个数. 本章重点强调的是后一种方法. 知识点2 画行程示意图解决行程问题 例2：甲、乙两车分别从相距400 km的 A 、B 两地出发，匀速相向而行. 如果甲、乙两车同时出发，那么行驶4h 后两车相遇；如果甲车比乙车先出发5h, 那么在乙车出发2h 后两车相遇.求甲、乙两车的速度. 分析 可以设甲车的速度为x km/h, 乙车的速度为y km/h. 根据题意，画出示意图(图9-3-1): 解 设甲车的速度为xkm/h, 乙车的速度为y km/h. 根据题意，可得方程组 由 ① , 得 y=100-x. 把③代入②,得 7x+2(100-x)=400. 解得x=40. 把x=40 代入③,解得y=60. 所以，这个方程组的解是 答：甲车的速度为40 km/h, 乙车的速度为60 km/h. 另：列表分析法可参考教材p116-117例5；百分数的应用可参考教材p117-118例6。 知识点3 实际问题与二元一次方程组的解题思维导图 要点： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【即学即练1】某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有 本. 【答案】5 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 设人数为，图书为，根据每人分一本，则余一本，若每人分2本，则缺3本列出方程组解答即可． 【解析】解：设人数为，图书为，根据题意可得：， 解得：， 答：共有图书5本， 故答案为：5． 【即学即练2】现用180张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程． 设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，根据一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，盒身与盒底正好配套可知盒底是盒身的两倍，故可列出二元一次方程组． 【解析】解：设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套， 列方程为， 故选B． 【即学即练3】我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数＝35，鸡的脚的数量+兔的脚的数量＝94． 【解析】解：设有x只兔子，y只鸡， 根据题意，得， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．注意：每只兔子有4只脚，每只鸡有2只脚．解题关键是弄清题意，找到正确的等量关系，列出方程组． 【即学即练4】一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大27，则原来的两位数是 ． 【答案】25 【分析】设原来的两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据“十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大27”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再将其代入（10x＋y）中即可得出结论． 【解析】解：设原来的两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴10x＋y＝10×2＋5＝25， 即原来的两位数是25． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，是解题的关键． 【即学即练5】甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔分钟相遇一次；如果同向而行，每隔分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快，则甲每分钟跑 圈． 【答案】 【分析】设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，根据“如果同时同地出发，相向而行，每隔3分钟相遇一次；如果同向而行，每隔7分钟相遇一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解析】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈， 依题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型1：行程问题 【典例1】．甲，乙两船相距，相向而行，后相遇；同向而行，甲后追上乙．水流速度忽略不计，甲，乙两船的速度分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及相遇问题和追及问题．需要理解“相向而行”和“同向而行”的含义． 在相遇问题中，两船的路程之和等于总路程．在追及问题中，快船的路程减去慢船的路程等于两船的初始距离，分别利用“路程速度时间”列出方程组． 【解析】解：设甲船的速度为，乙船的速度为， 根据题意，得， 解得：， 甲船的速度为，乙船的速度为， 故选：D． 【变式1-1】．某船顺流航行36km用了，逆流航行也用了，则水流的速度为 ，船在静水中的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设水流速度为，船在静水中的速度为，根据“顺流3小时航行，逆流3小时航行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解析】解∶设水流速度为，船在静水中的速度为， 依题意，得： ， 解得∶， 故答案为：，． 【变式1-2】．小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分，由等量关系列方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程组求解是解决问题的关键． 【解析】解：设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分， 则，解得， 两地间的距离为（千米）， 故选：A． 【变式1-3】．甲、乙两人在的环形跑道上同一起点同时背向起跑，后相遇．若甲先从起跑点出发，后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过后乙追上甲．设甲、乙二人的速度分别为、，则根据题意列方程组为 ． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．根据“同一起点同时背向起跑，后相遇”得，根据“先从起跑点出发，后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过后乙追上甲”得，得出方程组即可． 【解析】解：设甲、乙二人的速度分别为、，则根据题意，得 ． 故答案为：． 题型2：工程问题 【典例2】．有一项要生产154个零件的任务．若甲先做5天，乙再加入合做，则再做3天可超产2个；若乙先做5天，然后两人合做3天，则还有13个零件未完成．甲每天生产 个零件，乙每天生产 个零件． 【答案】 15 12 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是找出等量关系，列方程组求解． 设甲每天做个，乙每天做个，等量关系为：甲5天生产的零件甲乙3天生产的零件，乙5天生产的零件甲乙3天生产的零件，列方程组求解． 【解析】解：设甲每天做个，乙每天做个， 由题意得：， 解得：， 答：甲每天做15个，乙每天做12个． 故答案为：15，12． 【变式2-1】．现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案． 【解析】解：根据题意， 设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米， 依题意可列方程组： ， 故选：． 【变式2-2】．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【解析】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 题型3：数字问题 【典例3】．已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得等量关系：①甲数乙数，②甲数乙数，根据等量关系列出方程组即可． 【解析】解：设甲数为，乙数为，根据题意， 可列方程组，得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 【变式3-1】．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是10，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数比原数大18，则原来的两位数是 ． 【答案】46 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设原来的两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，根据题意建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【解析】解：设原来的两位数的十位上的数字为，个位上的数字为， 由题意得：， 解得， 则原来的两位数是， 故答案为：46． 【变式3-2】．有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，根据“将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小；又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小”，可列出关于、的二元一次方程，解之即可求出结论． 【解析】解：设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 原来的数为， 故答案为：． 题型4：年龄问题 【典例4】．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【解析】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 【变式4-1】．小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【解析】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 【变式4-2】．六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大 岁． 【答案】12 【分析】设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意列出二元一次方程组并求解即可计算甲比乙大多少岁． 【解析】解：设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意， 可得，解得， ∴甲比乙大24-12=12岁． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组． 题型5：分配问题（含配套问题） 【典例5】．有大、小两种型号的货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，则辆大货车与辆小货车一次可以运货 t． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，首先根据辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，列出二元一次方程组，解方程组求出一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨，然后再求出辆大货车与辆小货车一次可以运货多少吨． 【解析】解：设一辆大货车一次可以运货，一辆小货车一次可以运货， 根据题意可得：， 解得：， 辆大货车与辆小货车一次可以运货． 故答案为： ． 【变式5-1】．某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解题关键． 设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，根据共有30名工人，和每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，列出方程组，解方程组即可． 【解析】解：设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，由题意可得 解得 则需要安排10人来制作桌子，20人来制作椅子． 故选：B． 【变式5-2】．一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的构建是解题的关键．根据题意，设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，结合恰好配套，确定等量关系，列出方程后联立构成方程组即可． 【解析】解：由题意可得， ， 故选：D． 题型6：销售、利润问题 【典例6】．某学校去商场购买办公用品，买50件A商品和30件B商品用了920元，买60件A商品和10件B商品用了1000元．问：购买一件A商品和一件B商品需要 元． 【答案】20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据“买50件A商品和30件B商品用了920元，买60件A商品和10件B商品用了1000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解析】解：设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）， ∴购买一件A商品和一件B商品需要20元． 故答案为：20． 【变式6-1】．小刚的妈妈去银行购买了两种理财产品，共买了20000元，一种年利率为，另一种年利率为，一年期满后共得利息680元，则小刚的妈妈两种理财产品分别买了 ． 【答案】12000元、8000元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用－储蓄的年利率问题，其中本金利息本息和，年利率＝，根据这些关系式即可列出方程解决问题．设第一种理财买了x元，另一种买了y元，根据题意列出方程组，解方程组即可求出结果． 【解析】解：若设第一种理财买了x元，另一种买了y元， 则根据题意可列方程组为， ∴， 故答案为：12000元、8000元． 【变式6-2】．已知两件服装的成本共500元，某服装店老板分别以和的利润率定价后进行销售，共获利130元，则两件服装的成本分别为（   ） A．300元，200元 B．200元，300元 C．250元，250元 D．240元，260元 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用， 设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得等量关系：①成本共500元；②共获利130元，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【解析】解：设A服装成本为x元，B服装成本y元， 由题意得：， 解得：． 答：A服装成本为300元，B服装成本200元． 故选：A． 题型7：和、差、倍积分问题 【典例7】．已知两个角的和是，差是，则这两个角的度数分别是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，角的计算，角的单位（度分秒）之间的换算等知识点，根据题意列出方程组是解题的关键． 设这两个角的度数分别是，，根据题意列出方程组，求解即可． 【解析】解：设这两个角的度数分别是，，则有： ， 解得：， 故答案为：，． 【变式7-1】．已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由两数x，y之和是10可列式； 由x比y的3倍大2可列式． 故选C． 【变式7-2】．甲、乙两人各买了相同数量的信封和信笺，甲每发出一封信只用1张信笺，乙每发出一封信用3张信笺，结果甲用掉了所有的信封，但余下50张信笺，而乙用掉了所有的信笺，但余下50个信封，则甲、乙两人买的信笺张数、信封个数分别为(　　) A．150，100 B．125，75 C．120，70 D．100，150 【答案】A 【分析】首先设每人购买信封的张数为x个，信笺的个数为y张，然后根据题意列出二元一次方程组，然后得出答案． 【解析】解：设每人购买信封的张数为x个，信笺的个数为y张，则 解得： 即他们都购买了信笺张，信封个， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 题型8：几何问题 【典例8】．如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和阴影部分无缝隙拼合而成的一个大长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可知长加上宽的两倍等于15，长为宽的三倍，据此列出方程组求解即可． 【解析】解；设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得，， 解得， ∴阴影部分的正方形边长为， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为． 【变式8-1】．如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用：设小长方形的长，宽分别为，用小长方形的长和宽，与大长方形的长和宽的关系，列出方程组进行求解即可． 【解析】解：设小长方形的长，宽分别为．根据题意可得： 解得 ∴小长方形面积为：． 故答案为：2． 【变式8-2】．个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图所示，若拼成如图所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．一个小长方形的长为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据两个长方形的长与宽之间的关系找到相等关系，根据相等关系列方程组求解即可． 【解析】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意可得：， 解方程组可得：， 小长方形的长为． 故答案为： ． 题型9：图表信息题 【典例9】．如图，在幻方中，填入个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等按以上规则填成的幻方中，的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知每行每列每对角线上的三个数之和都相等可知，即可得解； 【解析】∵每行每列每对角线上的三个数之和都相等， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，二元一次方程的应用，根据表格，根据每行每列每对角线上的三个数之和都相等得知是解题的关键． 【变式9-1】．根据图提供的信息，可知一个杯子的价格是 元． 【答案】8 【分析】设一个杯子的价格是x元，一个茶瓶的价格为y元，根据题意，列出方程，即可求解． 【解析】解：设一个杯子的价格是x元，一个茶瓶的价格为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：一个杯子的价格是8元． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式9-2】．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则 . x 2y y 6 0 【答案】 【分析】根据图中各行、各列上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，求解后即可得出结果． 【解析】解：依题意得： ， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型10：古代问题 【典例10】．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，4大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加4小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 斛米． 【答案】1 【分析】设1个大桶可以盛x斛米，一个小桶可以盛y斛米，根据题意列出方程组，即可求解． 【解析】解：设1个大桶可以盛x斛米，一个小桶可以盛y斛米， 由题意可得， 解得：x+y=1， 即1大桶加1小桶共盛1斛米， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 【变式10-1】．古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊．咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设甲有羊只，乙有羊只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解析】设甲有羊只，乙有羊只． ∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．” ； 乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．” ． 联立两方程组成方程组． 故选：D 【变式10-2】．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于大约1500年前，其中一道题的原文：“今三人共车，两车空；两人工车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人乘车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各有多少？上述问题中车有 辆． 【答案】15 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设有人，辆车，根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解析】解：设有人，辆车． 根据题意，得 解得． 即上述问题中车有15辆． 故答案为：15 题型11：开放性问题 【典例11】．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； 【解析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分， 依题意得：， ∴解这个方程组为：， ∴大壮的得分为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 【变式11-1】．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 【答案】 4 5 【解析】解：根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2， 依两个等量关系列出方程组， 解得． 故答案为：4和5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解． 题型12：方案问题 【典例12】．某地有120吨水果，计划用甲、乙两种货运车运往上海销售，已知甲种车能装载5吨，乙种车能装载6吨，现有甲、乙两种车共22辆． (1)若在满载情况下，恰好能将这些水果一趟全部运完，那么甲、乙种车各有多少辆？ (2)假如甲种车每辆每趟运费为1500元，乙种车每辆每趟运费为1700元，现要求车辆满载，将水果最多可分两趟恰好全部运完，但要求总运费不超过34500元，这样的配车方案若存在，请求出这样的所有配车方案；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)甲种车有12辆，乙种车有10辆 (2)存在这样的配车方案，该方案为：分配乙种车10辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲种车有辆，乙种车有辆，根据甲、乙两种车22辆在满载情况下恰好一趟运送120吨水果，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由（1）可知：当将水果一趟恰好全部运完时，需甲种车12辆，乙种车10辆，求出总运费，由该值大于34500，可得出该方案不符合题意；当将水果分两趟恰好全部运完时，设分配甲种车辆，乙种车辆，根据分配的两种车分两趟恰好运送120吨水果，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，可得出各分配方案，再结合要求总运费不超过34500元，即可找出符合题意的配车方案． 【解析】（1）设甲种车有辆，乙种车有辆， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种车有12辆，乙种车有10辆； （2）由（1）可知：当将水果一趟恰好全部运完时，需甲种车12辆，乙种车10辆， （元，， 该方案不符合题意； 当将水果分两趟恰好全部运完时，设分配甲种车辆，乙种车辆， 根据题意得：， ． 又，均为自然数， 或或， 该情况下共有3种配车方案， 方案1：分配乙种车10辆，所需总运费（元）； 方案2：分配甲种车6辆，乙种车5辆，所需总运费（元）； 方案3：分配甲种车12辆，所需总运费（元）． ， 存在这样的配车方案，该方案为：分配乙种车10辆． 【变式12-1】．某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车向内地运输蔬菜，租用这两种货车的部分信息如下表： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 2辆 5辆 (1)求1辆中型车和1辆大型车满载一次各运输蔬菜的吨数； (2)若蔬菜种植基地计划一次运完蔬菜，且恰好每辆车都装满． （i）请你帮该蔬菜种植基地设计租车方案； （ii）若中型车每辆需租金1000元/次，大型车每辆需租金1500元/次，请你帮该蔬菜种植基地计划最少租车费是多少元？此时租车方案是什么？ 【答案】(1)1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜 (2)（i）该蔬菜种植基地有3种租车方案．方案1：租用中型车14辆，大型车3辆；方案2：租用中型车9辆，大型车6辆；方案3：租用中型车4辆，大型车9辆．（ii）最少租车费为17500元，此时租车方案是租用中型车4辆，大型车9辆 【分析】（1）设1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜．根据题意，列出方程，解答即可． （2）（i）设租用中型车辆，大型车辆．根据题意，得，求方程的整数解即可得到答案；（ii）依次计算，比较解答即可． 本题考查了方程组的应用——方案问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【解析】（1）解：设1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜． 根据题意，得     解得 答：1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜． （2）（i）设租用中型车辆，大型车辆． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴或或 ∴该蔬菜种植基地有3种租车方案． 方案1：租用中型车14辆，大型车3辆； 方案2：租用中型车9辆，大型车6辆； 方案3：租用中型车4辆，大型车9辆． （ii）当，时，租车费用为（元）． 当，时，租车费用为（元）． 当，时，租车费用为（元）． ∵， ∴最少租车费为17500元，此时租车方案是租用中型车4辆，大型车9辆． 【变式12-2】．小李在某商场购买A、B两种商品若干次（每次A、B商品都买），三次购买A、B商品的数量和费用如下表所示： 购买A商品的数量/个 购买B商品的数量/个 购买总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 第三次 660 (1)求A、B商品的标价各是多少元？ (2)小李第三次购买方案可能有哪几种？ 【答案】(1)商品的标价是80元，商品的标价是100元 (2)见解析 【分析】（1）设商品的标价为元，商品的标价为元，根据前两次购物的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据总价单价数量，列出关于，的二元一次方程，求出正整数解，即可得出各购买方案． 【解析】（1）解：设商品的标价是元，商品的标价是元， 依题意得：， 解得：， 答：商品的标价是80元，商品的标价是100元； （2）依题意得：， 整理得：， 又，均为正整数， 或， 购买方案可能有2种，①购买商品2件，商品5件；②购买商品7件，商品1件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 题型13：其他问题 【典例13】．如图，小华同学将两个不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时砝码重量如图所示，则较大苹果的重量为 克． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图示列方程组解题即可． 【解析】解：由题可得：， 解得， ∴较大苹果的重量为克， 故答案为：． 【变式13-1】．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论I：若m的值为3，则y的值为4；结论II：不论m，n取何值，的值一定为3.下列说法正确的是（   ） A．I，II都对 B．I对，II不对 C．I不对，II对 D．I，II都不对 【答案】D 【分析】结论I：根据m的值为3，求出n的值，根据已知关系即可求出y的值；结论Ⅱ：根据已知得①，②，所以①-②得：，再根据，即可得出的值为定值，即可判断得解． 本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【解析】解：结论I：若m的值为3，则， ∴． ∴ ∴． ∴，故I不正确． 结论Ⅱ： ∵①，②， ∴①-②得：, ∵， ∴， ∴， ∴的值为定值2，故Ⅱ不正确． 故选：D． 【变式13-2】．如图，用火柴棍连续搭建三角形和正方形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建三角形和正方形共用了77根火柴棍，并且三角形的个数比正方形的个数少5个，那么一共能连续搭建三角形、正方形个数分别是（   ）    A．12个；17个 B．17个；12个 C．17个；22个 D．22个；17个 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，二元一次方程组的应用，设连续搭建三角形个，连续搭建正方形个，根据搭建三角形和正方形共用了77根火柴棍，并且三角形的个数比正方形的个数少5个，列方程组求解，解答本题的关键是读懂题意，仔细观察图形， 找出合适的等量关系，列方程组求解． 【解析】解：搭建1个三角形，需要3根火柴， 搭建2个三角形，需要根火柴， 搭建3个三角形，需要根火柴， 搭建个三角形，需要根火柴，即根火柴； 搭建1个正方形，需要4根火柴， 搭建2个正方形，需要根火柴， 搭建3个正方形，需要根火柴， 搭建个正方形，需要根火柴，即根火柴； 设连续搭建三角形个，连续搭建正方形个， 由题意得，， 解得：． 故选：C． 题型14：解答综合题 【典例14】．某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． 【答案】每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意，列出方程组，解出方程，即可． 【解析】解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， ∴， 解得：， 答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． 【变式14-1】．《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪，其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？ 【答案】7.5尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，设绳子长x尺，长木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【解析】解：设绳子长x尺，长木长y尺， 依题意，得：， 解得， 答：木长7.5尺． 【变式14-2】．南方某市出租车计费标准如下框，赵亮上周坐了两次出租车，一次里程千米 ，车费元，另一次里程千米，车费87.5元． (1)画示意图可以帮助我们理清数量间的关系，请把下面的示意图补充完整； (2)列方程组求解，． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解析】（1）解：如图， （2）解：根据题意列方程组得，， 解得：． 【变式14-3】．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)根据表格信息可知：球队胜一场积　　　　分，负一场积　　　　分； (2)根据积分规则，在E队已经进行的11场比赛中，胜负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)胜场、负场 (3)无法实现，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，设出未知数，由等量关系列方程或方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程（组）求解是解决问题的关键． （1）设胜一场积分，负一场积分，由A队得分可得；由B队得分可得；解二元一次方程组即可得到答案； （2）设E队胜场，则负场，由E队已经进行的11场比赛中的得分情况列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，可知D队还剩下场比赛，还需要取得分，设D队胜场，则负场，列方程求解即可确定答案． 【解析】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 则由A队得分可得；由B队得分可得； 即，解得， 故答案为：； （2）解：设E队胜场，则负场， ， 解得，则， 答：在E队已经进行的11场比赛中，胜场、负场； （3）解：无法实现， 理由如下： 若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分， 还剩下场比赛，还需要取得分， 设D队胜场，则负场， ， 解得， ，而只剩下场比赛， 在D队已经进行了11场比赛，积分为17分基础上，D队希望最终积分达到28分是无法实现的． 一、单选题 1．《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章，其中第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲太半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x，y，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，甲的钱乙所有钱的一半，乙的钱甲所有钱的，据此列方程组可得． 【解析】解：根据题意，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 2．小李家去年节余5000元，今年可节余9500元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为元，支出为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得等量关系：①去年的收入为元去年的支出元结余5000元；②今年的收入今年的支出今年可节余9500元，根据等量关系列出方程组即可． 【解析】解：设去年的收入为元，支出为元，根据题意可得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键． 3．某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示： 甲食材 乙食材 每克所含蛋白质 0.3单位 0.7单位 每克所含碳水化合物 0.6单位 0.4单位 若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出列方程组所需的等量关系．根据题意和表格中的数据，列出方程组即可． 【解析】解：由题意可得， ， 故选：C． 4．长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（　　） A．562.5元 B．875元 C．550元 D．750元 【答案】B 【解析】试题分析：利润率=（售价－进价）÷进价×100%，标价=售价÷折扣. 进价：500÷20%=2500元  售价：（2500+500）÷80%=3750元   3750×90%－2500=875元. 考点：商品销售问题 5．一个三位数各位数字的和是14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，若把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则这个三位数是（    ） A．635 B．653 C．563 D．536 【答案】A 【分析】设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则原来的三位数为：100z+10y+x，新数表示为：100y+10z+x，根据题意列三元一次方程组求解即可． 【解析】解：设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，由题意得： ， 解得：， ∴原三位数为：635． 故选：A． 【点睛】本题考查了数字问题在三元一次方程组中的应用，正确理解题意、列出相应的三元一次方程组是解题的关键． 6．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则依题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示可得：大长方形的宽可以表示为x＋2y，宽又是75厘米，故x＋2y＝75，大长方形的长可以表示为2x，或x＋3y，故2x＝3y＋x，整理得x＝3y，联立两个方程即可． 【解析】解：根据图示可得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 7．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（    ）． A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题考查了相遇问题和追击问题，设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S，根据题意，得，解方程组解得即可． 【解析】解：设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S， 根据题意，得， 解得， 故， 故选C． 8．“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方a、b的值分别是（    ） A．11，9 B．9，11 C．8，13 D．13，8 【答案】D 【分析】本题是一道有关探究规律的题目，侧重考查知识点的应用能力，依题意，得,再解二元一次方程组即可． 【解析】解：依题意，得， 解得：， 故选：D． 二、填空题 9．某公司在安排出差的22名员工住宿时，有2人间和3人间两种房间可供选择，如果每一个房间都住满，则安排住宿的方案有 种． 【答案】4 【分析】设住3人间的需要x间，住2人间的需要y间，根据总人数是22人，列出二元一次方程，解答即可． 【解析】解：设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间， 3x+2y=22， 因为x，y是自然数，2y是偶数，22是偶数， 所以，3x只能是偶数，即x必须是偶数， 当x=0时，y=11， 当x=2时，y=8， 当x=4时，y=5， 当x=6时，y=2， 综合以上得知，有4种租住方案． 故答案是：4． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，解答此题的关键是，根据题意，设出未知数，列出二元一次方程，再根据方程的未知数的特点解答即可． 10．在一次有12个队参加的足球循环赛中（每两队之间比赛一场），规定胜一场记3分，平一场记1分，负场记0分.某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2，结果共积19分，则该队在这次循环赛中战平了 场. 【答案】1 【分析】设该队胜了x场，平了y场，根据题意列出二元一次方程组即可求解. 【解析】设该队胜了x场，平了y场， 由于该队要和其他11个队各比赛一场，所以该队一共比赛了11场， 其中负了场. 由题意，得，解得. 即该队在这次循环赛中战平了1场. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解. 11．A，B两地相距80km．一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，船在静水中的速度是 km/h． 【答案】18 【分析】设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，根据一艘船从A地出发，顺水航行4小时到B地；而从B地出发，逆水航行5小时到A地列出方程组解答问题即可． 【解析】解：设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，由题意得 ， 解得． ∴船在静水中的速度为18km/h， 故答案为：18． 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 12．“五一”前夕，某服装专卖店按标价打折销售.小明去店里买了一套服装，衣服打五折，裤子打七折，共计260元，付款后，收银员结算时不小心把衣服、裤子的标价计算反了，多找给小明40元，则衣服裤子原标价分别是 . 【答案】100元、300元 【分析】设衣服、裤子原标价分别是x元、y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解. 【解析】设衣服、裤子原标价分别是x元、y元. 由题意，得，解得. 则衣服、裤子原标价分别是100元、300元. 故答案为：100元、300元. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解. 13．如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是( )分钟．    【答案】25 【分析】本题主要考查列代数式及方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．设步行速度为，则车速为，设，，则的路程为，的路程为，再根据题意列出方程组，进一步求解即可． 【解析】解：设步行速度为，则车速为，设，， 则的路程为，的路程为， 根据题意知，， 解得， 则从步行至，再从坐车所需总时间为（分钟）， 故答案为：25． 三、解答题 14．为增强学生体质，舒缓学习压力，培养团队意识，增进班级凝聚力．某校初三年级组织了一场拔河比赛，并为获得一等奖和二等奖共8个班级购买奖品，共花费600元，其中一等奖奖品每班100元，二等奖奖品每班60元，求获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个？根据题意列方程组． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．设获得一等奖的班级有个，二等奖的班级有个，根据“一等奖和二等奖共8个班级”可得方程：；根据“共花费600元”可得方程：，即可得到答案． 【解析】解：设获得一等奖的班级有个，二等奖的班级有个， 根据题意得：． 15．加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成件，第二道工序每人每天可为完成件．现有位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一，第二工序所完成的件数相等．列二元一次方程组 【答案】第一道工序安排4人，第二道工序安排3人 【分析】由题意可得等量关系：每天第一、第二道工序所完成的件数相等和现有7位工人参加这两道工序，据此列出方程组，求解即可． 【解析】解：设第一道工序安排x人，第二道工序安排y人， 根据题意得：， 解得：， 答：第一道工序安排4人，第二道工序安排3人． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用总人数和两道工序完成的件数相等列出方程组是解题关键． 16．一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时． （1）求该轮船在静水中的速度和水流速度； （2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？ 【答案】（1）该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时；（2）甲、丙两地相距千米． 【分析】(1)设该轮船在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； (2)设甲、丙两地相距千米，则乙、丙两地相距千米，根据时间＝路程÷速度，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】(1)设该轮船在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时； (2)设甲、丙两地相距千米，则乙、丙两地相距千米， 依题意，得：， 解得：， 答：甲、丙两地相距千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程． 17．某班将举行知识竞赛活动，班长安排小明购买奖品，图片是小明买回奖品时与班长的对话情境． (1)试计算两种笔记本各买多少本？ (2)小明为什么不可能找回68元？ 【答案】(1)5元、8元的笔记本分别买了25本和15本 (2)不可能 【分析】（1）设5元、8元的笔记本分别买x本、y本，根据题意列出二元一次方程组，解得即可； （2）若找回68元，设买m本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，计算m的值看是否为整数，得出结论． 【解析】（1）设5元、8元的笔记本分别买x本、y本， 依题意得， 解得， 答：5元、8元的笔记本分别买了25本和15本； （2）设买m本5元的笔记本，则买本8元的笔记本， 依题意得，， 解得， m为整数， 不合题意，舍去； 故不能找回68元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次方程，能根据题意得出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 18．随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 时间（分钟） 里程数（公里） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 12 10 16 （1）求x，y的值； （2）如果小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？ 【答案】（1）x=1，y=；（2）小华的打车总费用为18元. 【分析】（1）根据表格内容列出关于x、y的方程组，并解方程组． （2）根据里程数和时间来计算总费用． 【解析】解：(1)由题意得， 解得； （2）小华的里程数是11km，时间为14min． 则总费用是：11x+14y=11+7=18（元）． 答：总费用是18元． 19．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【解析】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$