第17讲 圆柱及其侧面展开图 （三类知识点+九大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第17讲 圆柱及其侧面展开图（九大题型） 学习目标 1．了解圆柱及其有关概念； 2．体验得到圆柱侧面展开图的过程；并会计算圆柱的侧面积； 3. 掌握圆柱的表面积与体积的计算.. 知识点1 圆柱的有关概念 在日常生活中，除了长方体和正方体，我们还会看到地铁站里的柱子、不锈钢桶、笔筒、木块等,这些物体都给我们呈现了如图8-1-2所示的立体图形的形象. 操作 如图8 - 1 - 3,将长方形OAA'O'以它的一条边OO '所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成怎样的立体图形? 我们发现，按上述操作，所得到的立体图形与图8-1-2的立体图形一样. 我们把像这样的立体图形叫作圆柱体，简称圆柱.因此，圆柱也可以看成是以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周而成的立体图形. 如图8-1-4,在圆柱中，我们把上、下两个圆形叫作圆柱的底面，夹在两个底面之间的曲面叫作圆柱的侧面. 两个底面圆心O 、O '之间的距离叫作圆柱的高，有时也 把线段0O'称为圆柱的高. 如图8-1-3,长方形的边OA 、O'A '旋转形成圆柱的两个底面，它们是两个半径相等的圆形.长方形的边AA'旋转形成圆柱的侧面.线段AA'叫作圆柱的母线，它转动到任何位置，都是圆柱的母线，易知母线的长等于圆柱的高. 知识点2 圆柱的侧面展开图 操作 沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面剪开，然后铺在平面上，可以得到一个怎样的图形?得到的这个图形的面积与圆柱的底面、母 线之间会有怎样的关系呢? 我们发现，将一个圆柱的侧面按上述操作(沿母线AA '剪开)得到的图形是一个长方形，如图8-1-5所示.我们把它称为圆柱的侧面展开图.长方形的边AA'是圆柱的母线，它的长度等于圆柱的高；边AA₁的长度等于底面的周长.圆柱的侧面积可以从它的侧面展开图得出，这就得到结论： 圆柱的侧面积等于它的底面周长和母线长的乘积，即 S侧=Cl=2πrl=2πrh. 其中，S侧表示圆柱的侧面积，r、C、l和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高. 知识点3 圆柱的表面积与体积 与长方体的表面积、体积一样，圆柱所有面的面积之和叫作圆柱的表面积，圆柱所占空间的大小叫作圆柱的体积. 1.圆柱的表面积：圆柱的表面由它的侧面和两个底面组成.因此，圆柱的表面积等于它的侧面积与两个底面积的和，即 其中 ，S表、S 侧 和S底分别表示圆柱的表面积、侧面积和底面积，r 和h分别表示它的底面半径和高. 2.圆柱的体积： 回顾前面圆的面积计算公式的探究过程：将一个圆等分成越多的扇形， 然后按照一定方式拼接起来，生成的平面图形将越接近一个长方形. 现在能否类比圆的面积计算公式的探究过程，将求一个圆柱的体积转化为求一个长方体的体积呢? 如图8-1-8,我们可以将圆柱的底面等分为许多扇形，然后沿着扇形的半 径将圆柱切开，并重新拼接起来，最终得到一个近似的长方体.如果将圆柱的底面划分得更细，即扇形的数量更多，那么拼接得到的立体图形就会越接近一个真正的长方体. 由于体积没有发生变化，因此可以通过求切拼后的长方体的体积来求圆柱的体积.切拼后得到的长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高.于是可以得出结论：圆柱的体积等于其底面积与高的乘积，即 V=S底h. 其中，V表示圆柱的体积，S底表示它的底面积，h表示它的高. 【即学即练1】下列关于圆柱的说法，错误的是（    ） A．两个底面是大小相同的圆 B．侧面是曲面 C．有无数条高，且长度都相等 D．展开图是长方形或正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆柱的相关知识，圆柱是由两个底面和一个侧面围成的．它的底面是大小相同的两个圆，侧面是一个曲面．圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形(或正方形)． 【解析】解：．圆柱两个底面是大小相同的圆，说法正确，故该选项不符合题意； ．圆柱侧面是曲面，说法正确，故该选项不符合题意； ．圆柱有无数条高，且长度都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．圆柱的侧面沿高展开是长方形或正方形，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 【即学即练2】圆柱的上、下两面都是 形，而且大小 ，圆柱的侧面沿高展开是 形或 形，它的一边是圆柱的 ，相邻的另一边是圆柱的 ．一个圆柱体有 条高． 【答案】 圆 相等 长方 正方 底面周长 高 无数条 【分析】根据圆柱的特征，圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形或正方形，这个长方形或正方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，一个圆柱体有无数条高，由此解答即可． 【解析】圆柱的上、下两面都是圆形，而且大小相等，圆柱的侧面沿高展开是长方形或正方形，它的一边是圆柱的底面周长，相邻的另一边是圆柱的高，一个圆柱体有无数条高． 故答案为：圆，相等，长方，正方，底面周长，高，无数条． 【点睛】考查了圆柱的特征，圆柱的展开图，熟练掌握圆柱的特征和展开图是解答本题的关键． 【即学即练3】下图圆柱沿虚线剪开的侧面展开图是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，根据圆柱的侧面展开图的特征即可得到结果． 【解析】解：由题意得圆柱的侧面展开图是一个长方形，且长方形的长比宽大很多，即展开图为 ， 故选：B． 【即学即练4】圆柱的底面半径是，高是，则该圆柱的侧面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查圆柱侧面积的求解，根据圆柱的侧面积=底面周长×高，进行求解即可. 【解析】解：圆柱的侧面积是：， 故答案为：. 【即学即练5】一个圆柱形笔筒的侧面积是，高是，它的底面半径是 ，体积是 【答案】 /0.5 【分析】本题主要考查用方程解决圆柱侧面积问题，知道圆柱侧面积的计算公式是解题的关键．设底面半径为，可得，根据，求解即可得到答案． 【解析】解：设底面半径为， 根据题意，得， 解得， 故答案为：； 【即学即练6】把一个底面周长、高的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体（如图），发现：( )不变，( )改变了，表面积增加了( )． 【答案】 体积 表面积 120 【分析】本题主要考查截一个几何体，由图形可得圆柱的底面周长等于长方体的两条长之和是解题的关键．根据圆柱体积公式的推导过程可知，把圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，由此可知体积不变，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，根据圆的周长公式：，那么，据此求出圆柱的底面半径，再根据长方形的面积公式：，把数据代入公式解答． 【解析】解：（厘米）， 所以圆柱的体积为：（立方厘米）， 近似的长方体的体积为：（立方厘米）， 所以圆柱的表面积为：（平方厘米）， 近似的长方体的表面积为： （立方厘米）， 所以表面积增加：（平方厘米）， 即体积不变，表面积改变了，表面积增加了． 故答案为：体积；表面积；120． 题型1：圆柱及其有关概念 【典例1】．下面图中，哪个不是圆柱体？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆柱由3个面组成，上下两个面叫做底面，圆柱周围的面叫做侧面。 【解析】C选项是球体，不是圆柱体. 故答案为：C 【点睛】本题考查圆柱体的认识。 【变式1-1】．如图，下面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体，据此分析。 【解析】 A． 绕轴旋转一周得到圆锥； B． 绕轴旋转一周得到圆柱； C． 绕轴旋转一周得到圆台； D． 绕轴旋转一周得到半球。 故答案为：B 【点睛】此题考查了圆柱体的特征，关键是熟悉圆柱特征。 【变式1-2】．纸片和小棒做成下面的小旗，快速旋转小棒，想象纸片旋转所形成的图形是（    ）。 A．          B．           C．          D． 【答案】D 【分析】先判断小旗的形状，根据小旗的形状结合圆锥、圆台、球、圆柱的特征判断旋转后形成的图形即可。 【解析】小旗是正方形，旋转后会形成一个圆柱体。 故答案为：D 【点睛】本题考查了圆柱的特征，圆柱可以由长方形或正方形绕一条边旋转而成。 【变式1-3】．圆柱的组成。    【答案】见详解 【分析】根据圆柱的特征即可得出答案。 【解析】如图：    【点睛】此题考查了学生对圆柱的认识。 【变式1-4】．下面哪些图形是圆柱？在（    ）里画“√”。 【答案】见详解 【分析】根据圆柱的特征，圆柱的上下底面完全相同，侧面是一个曲面，有无数条高。据此旋转即可。 【解析】如图： 【变式1-5】．圆柱有( )个底面，( )个侧面，( )个底面是大小一样的圆，侧面是一个( )面。 【答案】 两 一 两 曲 【分析】根据圆柱的认识，如下图，圆柱有两个底面，一个侧面，两个底面是大小一样的圆，侧面是一个曲面。 【解析】根据分析，圆柱有两个底面，一个侧面，两个底面是大小一样的圆，侧面是一个曲面。 【点睛】此题考查了圆柱的认识，关键是掌握圆柱的特征。 【变式1-6】．以图中的虚线为轴进行旋转，旋转后会得到图（    ）。    A．  B．  C．D．     【答案】C 【分析】以图中的虚线为轴进行旋转得到一个圆柱体，此时长方形的宽为圆柱的高，长方形的长为圆柱的底面直径；据此解答 【解析】根据圆柱的特征可知：以图中的虚线为轴进行旋转得到的是一个底面直径为5cm高为3cm的圆柱。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查圆柱的特征，解题时注意旋转时不是以长方形的宽为轴进行旋转的。 【变式1-7】．转动长方形，生成下面的两个圆柱。 （1）圆柱甲是以长方形的( )边所在的直线为轴旋转而成的，底面半径是( )，高是( )。 （2）圆柱乙是以长方形的( )边所在的直线为轴旋转而成的，底面半径是( )，高是( )。 【答案】 或 或 【分析】（1）通过观察圆柱的底面半径和高可知，圆柱甲的底面半径大于高，因此圆柱甲是以边（或边）所在的直线为轴旋转所得，圆柱的高等于边（或边）的长，底面半径等于边（或边）的长。 （2）通过观察圆柱的底面半径和高可知，圆柱乙的底面半径小于高，因此圆柱乙是以边（或边）所在的直线为轴旋转所得，圆柱的高等于边（或边）的长，底面半径等于边（或边）的长。 【解析】（1）圆柱甲是以长方形的或边所在的直线为轴旋转而成的，底面半径是，高是。 （2）圆柱乙是以长方形的或边所在的直线为轴旋转而成的，底面半径是，高是。 【点睛】圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。 题型2：圆柱的侧面展开图 【典例2】．将圆柱的侧面沿直线剪开，不可能出现（    ）。 A．长方形 B．三角形 C．平行四边形 【答案】B 【解析】根据圆柱的侧面展开的特点，进行判断即可。 【解析】将圆柱的侧面沿直线剪开，可能出现平行四边形、长方形，不可能出现三角形。 故答案为：B。 【点睛】本题考查圆柱的展开图，解答本题的关键是掌握圆柱的展开图特征。 【变式2-1】．通过预习，我知道了一个圆柱由两个( )面和一个( )面组成，两个( )面积相等。沿高剪开，圆柱的( )面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的( )，宽等于圆柱的( )。 【答案】 底 侧 底面 侧 周长 高 【分析】如下图，圆柱是由两个底面和一个侧面围成的。圆柱的两个底面是大小相同的两个圆，即两个底面面积相等。圆柱的侧面沿高剪开，侧面展开后是一个长方形（或正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。    【解析】一个圆柱由两个底面和一个侧面组成，两个底面面积相等，沿高剪开，圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 【点睛】圆柱的侧面如果不是沿高剪开，那么它的侧面展开图就不是长方形（或正方形），而是平行四边形或其他一些不规则图形。如下图：    【变式2-2】．圆柱的侧面。 圆柱的侧面沿高展开后是( )形。把展开的长方形纸重新包上，长方形的长等于圆柱的( )，宽等于( )。 【答案】 长方 底面周长 圆柱的高 【分析】圆柱的侧面展开后，如下图是长方形； 把展开的长方形纸重新包上，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于高。 【解析】根据分析，圆柱的侧面展开后是长方形，把展开的长方形纸重新包上，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 【点睛】此题考查了圆柱的展开图，关键能够熟悉圆柱的特征。 题型3：圆柱的侧面积 【典例3】．一个圆柱的侧面展开后是一个正方形，它的底面半径是3cm，它的高是（    ）厘米。 A．6 B．18.84 C．28.26 D．37.68 【答案】B 【分析】侧面展开图是正方形，所以圆柱的底面周长与圆柱的高相等，根据圆柱的底面周长＝，可以求出圆柱的高。 【解析】 ＝ ＝（厘米） 它的高是18.84厘米。 故答案为：B 【点睛】 【变式3-1】．一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是6厘米，那么底面半径是( )厘米，侧面积是( )平方厘米，底面积是( )平方厘米。 【答案】 2 75.36 12.56 【分析】先根据圆的周长公式的逆运算，用求出半径，再根据侧面积公式，然后根据圆的面积公式，代入数据计算即可。 【解析】 （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是6厘米，那么底面半径是2厘米，侧面积是75.36平方厘米，底面积是12.56平方厘米。 【变式3-2】．一个圆柱的底面半径是6cm，它的高是6cm，这个圆柱的侧面积是( )cm2。 【答案】226.08 【分析】根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝2r，代入数据解答即可。 【解析】2×3.14×6×6 ＝2×18.84×6 ＝37.68×6 ＝226.08（cm2） 所以这个圆柱的侧面积是226.08cm2。 【变式3-3】．一个圆柱的底面周长是2.512dm。高是5cm，它的侧面积是( )cm2。 【答案】125.6 【分析】根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【解析】2.512dm＝25.12cm 25.12×5＝125.6（cm2） 它的侧面积是125.6cm2。 【变式3-4】．计算下面各圆柱的侧面积。（单位：分米） 【答案】200.96平方分米；226.08平方分米 【分析】先利用圆的周长公式求出圆柱的底面周长，再根据圆柱侧面积＝底面周长×高，列式计算即可。 【解析】3.14×8×8 ＝25.12×8 ＝200.96（平方分米） 2×3.14×3×12 ＝18.84×12 ＝226.08（平方分米） 两个圆柱的侧面积分别是200.96平方分米、226.08平方分米。 【变式3-5】．一个圆柱的侧面积是62.8平方厘米，高是5厘米。这个圆柱的底面直径是（    ）厘米。 A．2 B．4 C．8 【答案】B 【分析】根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，那么底面周长等于侧面积除以高，再根据圆的周长公式即可求出底面直径，据此即可解答。 【解析】62.8÷5＝12.56（厘米） 12.56÷3.14＝4（厘米） 则这个圆柱的底面直径是4厘米。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式3-6】．用一块铁皮做一根长2米、管口直径0.2米的圆柱形通风管，至少需要铁皮多少平方米？ 【答案】1.256平方米 【分析】由题意可知，要求的是圆柱形通风管的侧面积，根据，代入数据计算即可。 【解析】 （平方米） 答：至少需要铁皮1.256平方米。 题型4：圆柱的表面积 【典例4】．如果圆柱的底面半径是R，高为h，那么这个圆柱的表面积是（    ）。 A．2πRh B．πR2＋2h C．2πR2＋2πRh D．πR2h 【答案】C 【分析】圆柱的表面积＝圆柱的两个底面积＋圆柱的侧面积，再根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，据此解答即可。 【解析】由分析可知： 如果圆柱的底面半径是R，高为h，那么这个圆柱的表面积是：2πR2＋2πRh。 故答案为：C 【变式4-1】．一个圆柱的底面直径是6dm，高是4dm，这个圆柱的侧面积是( )，表面积是( )。 【答案】 75.36dm2/75.36平方分米 131.88dm2/131.88平方分米 【分析】将数据代入圆柱的侧面积公式：S＝πdh，表面积公式：S表＝S侧＋2S底，S底＝πr2计算即可。 【解析】侧面积：3.14×6×4 ＝18.84×4 ＝75.36（dm2） 表面积：75.36＋3.14×（6÷2）2×2 ＝75.36＋3.14×9×2 ＝75.36＋56.52 ＝131.88（dm2） 这个圆柱的侧面积是75.36dm2，表面积是131.88dm2。 【点睛】本题主要考查圆柱的侧面积、表面积公式，牢记公式是解题的关键。 【变式4-2】．如下图，圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的面积是113.04cm2，圆柱的底面半径是( )cm，表面积是( )cm2。 【答案】 3 169.56 【分析】根据题意可知，圆柱的侧面展开图是一个长方形，所以长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，底面周长＝侧面积÷高，代入数据，求出圆柱的底面周长，再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱底面的半径；再根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，据此求出圆柱的表面积。 【解析】113.04÷6÷3.14÷2 ＝18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（cm） 3.14×33×2＋113.04 ＝3.14×9×2＋113.04 ＝28.26×2＋113.04 ＝56.52＋113.04 ＝169.56（cm2） 圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的面积是113.04cm2，圆柱的底面半径是3cm，表面积是169.56cm2。 【变式4-3】．一根圆柱形木料，底面积是300cm2，把它截成两段圆柱形木料后，表面积增加( )cm2。 【答案】600 【分析】将圆柱形木料截成两段圆柱形木料后，增加了两个截面，即增加了两个底面积，底面积×2＝增加的表面积，据此列式计算。 【解析】300×2＝600（cm2） 表面积增加600cm2。 【点睛】将立体图形截开，因为面数目增加，所以表面积增加。 【变式4-4】．把一个底面半径2厘米，高6厘米的圆柱，高减少2厘米，表面积减少（    ）平方厘米。 A．10 B．25.12 C．75.36 【答案】B 【分析】一个圆柱的高减少2厘米，则表面积减少底面半径为2厘米，高为2厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，据此进行计算即可。 【解析】3.14×（2×2）×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（平方厘米） 则表面积减少25.12平方厘米。 故答案为：B 【点睛】本题考查圆柱的侧面积，熟记公式是解题的关键。 【变式4-5】．一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（    ）平方厘米。 A．157 B．985.96 C．1142.96 【答案】C 【分析】一个圆柱的侧面展开后是一个边长为31.4厘米的正方形，说明这个圆柱的底面周长和高都是31.4厘米，根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，代入相应数值计算即可解答。 【解析】 （平方厘米） 圆柱的表面积是1142.96平方厘米。 故答案为：C 【点睛】解答本题的关键是理解圆柱侧面展开图的特征，以及熟记圆柱表面积的计算公式。 题型5：圆柱的体积 【典例5】．一个圆柱的底面积是12dm2，高是6dm，它的体积是( )dm3。 【答案】72 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，列式计算即可。 【解析】12×6＝72（dm3） 它的体积是72dm3。 【变式5-1】．一个圆柱的底面直径和高都是10cm，它的侧面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 314 785 【分析】根据圆柱的侧面积公式，圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【解析】侧面积：（cm2） 体积： （cm3） 即一个圆柱的底面直径和高都是10cm，它的侧面积是314cm2，体积是785cm3。 【变式5-2】．一个高5分米的圆柱的体积是141.3立方分米，这个圆柱底面积是( )平方分米。 【答案】28.26 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，公式变形得到，圆柱的底面积＝体积÷高，据此解答。 【解析】141.3÷5＝28.26（平方分米） 故这个圆柱底面积是28.26平方分米。 【变式5-3】．如图，将一个边长为5cm的正方形，以一边为轴旋转一周得到一个( )体。得到的这个立体图形的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 圆柱 5 392.5// 【分析】正方形以一边为轴旋转一周得到一个圆柱体，它的高是5cm，底面半径是5cm。根据V＝πr2h，求出圆柱的体积即可解答。 【解析】旋转后得到一个圆柱，高是正方形边长5cm。 3.14×52×5 ＝3.14×25×5 ＝78.5×5 ＝392.5（cm3） 故旋转一周得到一个圆柱，得到的这个圆柱的高是5cm，体积是392.5cm3。 题型6：圆柱体积的变化 【典例6】．圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积（    ）。 A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的27倍 D．体积不变 【答案】A 【分析】根据圆柱的体积公式，以及因数与积的变化规律，圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，底面积就扩大到原来的倍，高不变，体积就扩大到原来的倍。据此解答。 【解析】根据圆柱体积＝，半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的倍。 故答案为：A 【变式6-1】．底面积是28.26dm2的圆柱体的高增加3dm，体积增加（    ）dm3。 A．28.26 B．14.13 C．84.78 D．56.52 【答案】C 【分析】圆柱体的体积＝底面积×高，当高增加3dm，体积增加＝底面积×增加的高。 【解析】由分析可知，圆柱体体积增加：28.26×3＝84.78（dm3） 故答案为：C 【变式6-2】．圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大原来的2倍，体积扩大到原来的（    ）。 A．6倍 B．9倍 C．18倍 D．12倍 【答案】C 【分析】根据圆的面积可知，如果一个圆的半径扩大到原来的若干倍，则这个圆的面积就扩大到原来的该倍数的平方倍。即圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，圆柱体的底面积就扩大到原来的32倍；圆柱的体积，圆柱体的底面积扩大到原来的32倍，高扩大原来的2倍，根据积的变化规律可知，圆柱的体积扩大到原来的（32×2）倍。 【解析】32×2 ＝9×2 ＝18 所以体积扩大到原来的18倍。 故答案为：C 【点睛】此题考查了圆的面积、圆柱的体积计算公式及积的变化规律。 【变式6-3】．圆柱的底面半径缩小为原来的，高扩大到原来的2倍，它的体积（    ）。 A．缩小为原来的 B．扩大到原来的4倍 C．缩小为原来的 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝，若圆柱的底面半径缩小为原来的，则半径为，高扩大到原来的2倍，则高为2h，再代入体积公式中，求出圆柱的体积，与之前的体积比较即可得解。 【解析】原来圆柱的体积为： 变化后，圆柱的体积为： ＝ ＝ 所以它的体积缩小到原来的。 故答案为：C 【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆柱的体积公式求解。 题型7：圆柱的综合应用 【典例7】．圆柱、正方体和长方体的底面周长相等，高也相等，则（    ）的体积最大。 A．圆柱 B．正方体 C．长方体 D．都一样 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式：，正方形的周长公式：，长方形的周长公式：，因为在平面图形中，当圆的周长、正方形的周长、长方形的周长相等时，圆的面积最大，再根据圆柱、正方体、长方体的统一体积公式：，所以圆柱、正方体和长方体的底面周长相等，高也相等时，圆柱的体积最大。据此解答即可。 【解析】因为在平面图形中，当圆的周长、正方形的周长、长方形的周长相等时，圆的面积最大，所以圆柱的底面积最大，再根据圆柱、正方体、长方体的统一体积公式：，所以圆柱、正方体和长方体的底面周长相等，高也相等时，圆柱的体积最大。 故答案为：A 【点睛】解答此题的关键是明确：在平面图形中，当圆的周长、正方形的周长、长方形的周长相等时，圆的面积最大。 【变式7-1】． 在棱长为的正方体中挖一个最大的圆柱。正方体与圆柱的体积之比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在棱长为的正方体中挖一个最大的圆柱，圆柱的底面直径和高都是，可设为2，分别求出正方体与圆柱体的体积，再求它们之间的比。 【解析】设，则： 正方体的体积 圆柱体的体积：π 故答案为：A 【点睛】解决此类问题，用赋值法计算比较简单。 【变式7-2】．把一块底面积是64平方分米，高是8分米的圆柱形铁块熔铸成一个长16分米，宽8分米的长方体。长方体高多少分米？ 【答案】4分米 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出铁块体积，再根据长方体的高＝体积÷长÷宽，列式解答即可。 【解析】64×8÷16÷8 ＝512÷16÷8 ＝4（分米） 答：长方体高4分米。 【变式7-3】．下图这个长方形的长是2厘米，宽是1厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。这两个圆柱的（    ）。 A．体积相等 B．底面积相等 C．表面积相等 D．侧面积相等 【答案】D 【分析】以长为轴旋转一周，可得到一个底面半径是1厘米，高是2厘米的圆柱；以宽为轴旋转一周，可得到一个底面半径是2厘米，高是1厘米的圆柱；根据圆柱的底面积公式：S＝πr2 ，侧面积公式：S＝2πrh，表面积公式：S＝2πr2＋2πrh，体积公式：V＝πr2h，代入数据求解，再比较即可。 【解析】底面半径是1厘米，高是2厘米的圆柱， 底面积：3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 侧面积：2×1×3.14×2＝12.56（平方厘米） 表面积：2×3.14＋12.56 ＝6.28＋12.56 ＝18.84（平方厘米） 体积：3.14×2＝6.28（立方厘米） 底面半径是2厘米，高是1厘米的圆柱， 底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 侧面积：2×2×3.14×1＝12.56（平方厘米） 表面积：2×12.56＋12.56 ＝25.12＋12.56 ＝37.68（平方厘米） 体积：12.56×1＝12.56（立方厘米） 3.14≠12.56 底面积不相等； 12.56＝12.56 侧面积相等； 18.84≠37.68 表面积不相等； 6.28≠12.56 体积不相等。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了圆柱的底面积、侧面积、表面积、体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【变式7-4】．一个圆柱形薯片筒如图，底面直径是4厘米，高14厘米。 （1）这个薯片筒的体积是多少立方厘米？(不计厚度) （2）在这个薯片筒的侧面贴上一圈商标纸，至少需要多少平方厘米的商标纸？ 【答案】（1）175.84立方厘米 （2）175.84平方厘米 【分析】（1）根据圆柱的体积：V＝πr2h，代入数据即可求出这个薯片筒的体积。 （2）圆柱的侧面积：S＝πdh，代入数据即可求出这个薯片筒侧面贴上一圈商标纸的面积。 【解析】（1）3.14×（4÷2）2×14 ＝3.14×22×14 ＝3.14×4×14 ＝175.84（立方厘米） 答：这个薯片筒的体积是175.84立方厘米。 （2）3.14×4×14＝175.84（平方厘米） 答：在这个薯片筒的侧面贴上一圈商标纸，至少需要175.84平方厘米的商标纸。 题型8：转化法求圆柱的表面积、体积 【典例8】．如果一个圆柱的底面直径增加2厘米，它的侧面积就增加62.8平方厘米。如果它的高增加2厘米，它的侧面积就增加12.56平方厘米。这个圆柱原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】31.4立方厘米 【分析】根据，圆的周长＝圆周率×直径，当底面直径增加2厘米，则底面周长就增加厘米，则圆柱的侧面积就增加厘米，已知侧面积增加62.8厘米，可用62.8÷3.14÷2得到高；又由如果它的高增加2厘米，它的侧面积就增加12.56平方厘米，用12.56÷2得到底面周长，再用周长除以圆周率除以2得到半径，再根据圆柱的体积公式。 【解析】高： （厘米） 周长：（厘米） 半径： （厘米） 体积： （立方厘米） 答：这个圆柱原来的体积是31.4立方厘米。 【变式8-1】．如图，一个圆柱切拼成一个近似长方体后（    ）。 A．表面积不变，体积不变 B．表面积不变，体积变大 C．表面积变大，体积不变 D．表面积变大，体积变大 【答案】C 【分析】由图可知，把圆柱切拼成长方体后，圆柱的侧面积相当于长方体前后两个面的面积，圆柱上下底面的面积相当于长方体上下两个面的面积，切拼后的长方体比圆柱增加了左右两个面的面积；物体所占空间的大小叫作物体的体积，圆柱切拼成长方体后，只是形状发生了变化，物体所占空间的大小没有改变，所以圆柱的体积和长方体的体积相等，据此解答。 【解析】一个圆柱切拼成一个近似长方体，切拼后的长方体比圆柱增加了左右两个面的面积，所占空间的大小没有改变，即体积没有改变。所以一个圆柱切拼成一个近似长方体后表面积变大，体积不变。 故答案为：C 【变式8-2】．如图，将一个直径为6cm、高为8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了（    ）cm2。 A．24 B．36 C．48 D．96 【答案】C 【分析】把圆柱拼成一个近似的长方体，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体表面积增加的部分是左右两个侧面的面积；用6÷2＝3（cm）求出半径是3cm，长方体侧面的面积＝圆柱的底面半径×圆柱的高，据此解答。 【解析】6÷2＝3（cm） 【变式1-1】×3×2 ＝24×2 ＝48（cm2） 所以表面积比原来增加了48cm2。 故答案为：C 【变式8-3】．把一个高6dm、底面半径2dm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体（如图），这时表面积（    ）。    A．增加了24dm2 B．增加了12dm2 C．减少了24dm2 D．减少了12dm2 【答案】A 【分析】如上图，把圆柱转化成长方体后，长方体上面、下面分别等于圆柱的上、下底面；长方体的前面和后面的面积和等于圆柱的侧面积。也就是转化后的长方体的表面积比圆柱的表面积多了长方体左、右面的面积和。先用圆柱的高（6dm）乘底面半径（2dm）求出长方体的右面（或左面）的面积，再乘2求出长方体左、右面的面积和，即增加的表面积。 【解析】6×2×2＝24（dm2） 所以这时表面积增加了24dm2。 故答案为：A 【点睛】把圆柱转化成长方体后，转化后的长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长为圆柱的高，宽为圆柱的底面半径的长方形的面积。 【变式8-4】．如图中，把一个半径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，这个长方体前面的面积是500平方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】2000 【分析】观察可知，长方体前面的面积就是圆柱的侧面积的一半，则长方体前面的面积乘2即可得圆柱的侧面积，根据圆柱侧面积公式的逆运算，，算出圆柱的高，最后根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【解析】 （厘米） （立方厘米） 圆柱的体积是2000立方厘米。 【点睛】本题需要熟记圆柱的体积公式以及侧面积公式，关键是求出圆柱的高。 【变式8-5】．淘气和笑笑利用底面半径是5cm、高是10cm的圆柱来研究圆柱体积计算公式（如图），下面是他们的推导过程： (1)淘气通过观察图形，认为它的体积可以分三步计算。 第一步：3.14×5＝15.7（厘米） 第二步：15.7×10＝157（平方厘米） 请你补充第三步：( )。 (2)笑笑受到启发，换个思路来想，也是分三步计算。 第一步：3.14×5＝15.7（厘米） 第二步：5×10＝50（平方厘米） 请你补充第三步：( )。 (3)在推导圆柱的体积公式时，淘气是将圆柱拼成熟悉的图形—长方体进行的，这种学习数学的方法叫“转化”。想一想，我们在学习( )时也用到过这样的方法（举一例）。 【答案】(1)157×5＝785（立方厘米） (2)15.7×50＝785（立方厘米） (3)平行四边形的面积 【分析】把圆柱体沿着高切开，可以拼成一个近似的长方体。圆柱的体积等于长方体的体积，这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的长等于圆柱底面圆的周长的一半，长方体的宽等于圆柱底面圆的半径。 长方体的体积＝底面积×高。 （1）圆柱体积计算公式的推导过程，圆柱的体积等于长方体的体积，淘气第一步求出底面圆周长的一半，即长方体的长，第二步求的是长方体的长与高的积，即一个长方形的面积，第三步应是这个长方形的面积乘长方体的宽，就可以得到长方体的体积（即圆柱的体积）； （2）笑笑第一步求的是圆周长的一半，即长方体的长，第二步求的是长方体的宽与高的积，即一个长方形的面积，所以第三步这个长方形的面积乘长方体的长，就可以得到长方体的体积（即圆柱的体积）； （3）在数学学习中，“转化”的方法常用于将陌生的知识或问题转化为熟悉的形式来解决。比如在学习平行四边形的面积时，我们将平行四边形通过割补法转化为长方形来计算面积。 【解析】（1）由分析可得：第三步：157×5＝785（立方厘米） （2）由分析可得：第三步：15.7×50＝785（立方厘米） （3）在学习平行四边形的面积时，我们将平行四边形通过割补法转化为长方形来计算面积。因此我们在学习平行四边形的面积时也用到过这样的方法。 （答案不唯一） 题型9：组合体的表面积 【典例9】．有一个如图所示的箱子，其上半部分的形状是一个圆柱的一半，下半部分是以一个棱长为1米的正方体，已知每涂1平方米需要油漆0.5千克，那么要把这个箱子的外表面都涂上油漆，共需要油漆 千克。（π取3.14） 【答案】3.6775 【分析】根据题意可知，上半部分要涂色的面积是一个圆柱的表面积的一半，下半部分要涂色的面积是正方体的5个面的面积；根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，代入数据再除以2即可求出上半部分涂色的面积；然后先用1×1求出正方体一个面的面积，再乘5即可求出下半部分涂色的面积；再用加法即可求出总面积，然后乘0.5千克，即可求出油漆的总千克数。 【解析】2×3.14×（1÷2）2＋3.14×1×1 ＝2×3.14×0.52＋3.14×1×1 ＝2×3.14×0.25＋3.14×1×1 ＝1.57＋3.14 ＝4.71（平方米） 【变式1-1】.71÷2＝2.355（平方米） 【变式1-1】×1×5＝5（平方米） 【变式1-1】.355＋5＝7.355（平方米） 【变式1-1】.355×0.5＝3.6775（千克） 共需要油漆3.6775千克。 【点睛】本题考查了组合体表面积的计算，掌握相应的公式是解答本题的关键。 【变式9-1】．如图，将三个圆柱叠在一起，表面积减少了( )平方分米。 【答案】31.4 【分析】通过观察图形可知，把三个小、中、大圆柱摞起来，表面积比原来减少了小、中圆柱的两个底面的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【解析】3.14×（2÷2）2×2＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×1×2＋3.14×4×2 ＝6.28＋25.12 ＝31.4（平方分米） 则表面积减少了31.4平方分米。 【点睛】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式9-2】．下面各图分别是由大小相同的小圆柱组合而成的。 若用m表示一个小圆柱的侧面积，用s表示一个小圆柱的底面积。观察每幅图的表面积变化规律，那么第⑧幅图的表面积是( )。 【答案】8m＋2s 【分析】通过观察图形的表面积变化规律可知：①m＋2s；②2m＋2s；③3m＋2s……，由此可得出n×m＋2s，以此解答。 【解析】由分析可知， ①m＋2s ②2m＋2s ③3m＋2s …… 第⑧幅图的表面积是8×m＋2s＝8m＋2s。 【点睛】此题主要考查学生通过观察图形表面积变化总结规律的能力。 一、选择题 1．下面各图中，h表示的是圆柱的高的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆柱的高是圆柱的上底面和下底面之间的距离。圆柱有无数条高。 【解析】A．是一条曲线，圆柱的高应该是一条线段； B．是上下两个底面之间的距离； C．是一条斜线，不可以； D．是圆柱的底面到圆边之间的距离，不可以 故答案为：B 2．圆柱体的底面直径扩大2倍，高不变，体积将会扩大（    ）。 A．2倍 B．8倍 C．4倍 【答案】C 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，当圆柱的高不变，体积大小与圆柱的底面积有关系，因为底面积与半径的平方有关，所以体积的变化就等于半径的平方，直径扩大2倍，那么半径也对应着扩大2倍。 【解析】圆柱体的底面直径扩大2倍，高不变，体积将会扩大倍，也就是4倍。 故答案为：C 【点睛】考查圆柱的体积与直径的关系。 3．新疆吐鲁番火焰山景区有一根世界上最大的圆柱形温度计，取名“金箍棒”。它的直径是，高，温度显示高。它的体积大约是（    ）。 A．2 B．4 C．11 D．24 【答案】B 【分析】题中的温度显示高是干扰条件。已知底面直径是，高是，根据圆柱的体积公式即可求出体积。 【解析】3.14×（0.65÷2）²×12 ＝0.3316625×12 ≈4（立方米）； 故答案为：B。 【点睛】熟练掌握圆柱体积的计算公式是解答本题的关键。 4．如图：以正方形ABCD的AB边为轴旋转后形成一个圆柱，下面对所形成圆柱的正确描述是（    ）。 A．圆柱的底面直径和高相等 B．圆柱的底面半径和高相等 C．圆柱的底面周长和高相等 D．圆柱的侧面积和正方形的面积相等 【答案】B 【分析】以正方形ABCD的AB边为轴旋转后形成一个圆柱，AB边即是圆柱的高，BC边即是圆柱的半径，正方形的边长相等，AB＝BC，所以高等于半径。据此选择。 【解析】根据分析：旋转后会形成一个圆柱，根据正方形和圆柱的特征，底面半径和高相等。 故答案为：B 【点睛】此题主要根据圆柱的特征和正方形的特征来判断求解。 5．如图，一张长方形纸分别沿长和宽围成不同的圆柱形纸筒，如果给两个纸筒都配上底面，则圆柱①与圆柱②的表面积相比（    ）。 A．S①＞S② B．S①＜S② C．S①＝S② D．无法确定 【答案】B 【分析】用同一张长方形的纸围成的圆柱体，所以这两个圆柱的侧面积是相等的，因此只需要比较两个圆柱的底面积就可以知道哪个圆柱的表面积较大。 【解析】假设长方形的长为，宽为，＞， 是②圆柱的底面周长，所以②圆柱的底面面积是2× 是①圆柱的底面周长，所以①圆柱的底面面积是2× 因为＞，所以②的表面积＞①的表面积。 【点睛】重点是能够根据长方形的长和宽表示圆柱的底面积，然后比较大小。 二、填空题 6．圆柱的侧面是一个( )面，把它沿高展开，如果得到一个长方形，那么长方形的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )。 【答案】 曲 底面周长 高 【解析】 如图所示：圆柱的侧面是一个曲面，把它沿高展开，如果得到一个长方形，那么长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 7．做底面直径是2分米，长是9分米的圆柱形通风管，至少需要铁皮 平方分米。 【答案】56.52 【分析】通风管没有上下两个底面，那么做这个通风管需要的铁皮面积是圆柱的侧面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”列式计算即可。 【解析】3.14×2×9＝56.52（平方分米） 所以，至少需要铁皮56.52平方分米。 8．如果一个圆柱形水桶的底面积是0.6平方米，高是0.5米，那么它的体积是( )立方米。 【答案】0.3 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，用圆柱形水桶的底面积乘高，即可算出这个水桶的体积是多少。据此解答。 【解析】0.6×0.5＝0.3（立方米） 如果一个圆柱形水桶的底面积是0.6平方米，高是0.5米，那么它的体积是0.3立方米。 【点睛】本题主要考查圆柱的体积计算，属于基础知识，要熟练掌握。 9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高是，那么圆柱的底面周长是( )，底面直径是( )。 【答案】 25.12 8 【分析】由题意可知，圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以圆柱的底面周长等于圆柱的高，即圆柱的底面周长为，再根据“d＝c÷π”求出直径即可。 【解析】圆柱的底面周长为； 25.12÷3.14＝8（分米）。 【点睛】明确圆柱的侧面展开图是一个正方形时，圆柱的底面周长和高相等是解答本题的关键。 10．一个圆柱的底面半径是1dm，高是1m，把它平均锯成4段小圆柱，如果每锯一次的时间是3分钟，那么锯完一共需要 分钟；锯完后表面积一共增加了 dm2。 【答案】 9 18.84 【分析】根据题意，锯1次需要3分钟，锯成4段，需要锯4－1＝3次，用锯1次需要的时间×锯的次数，即3×3解答； 锯1次增加2个截面的面积，锯3次增加2×3＝6个截面的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出1个截面的面积，再乘6，即可解答。 【解析】3×（4－1） ＝3×3 ＝9（分钟） 3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝3.14×6 ＝18.84（dm2） 一个圆柱的底面半径是1dm，高是1m，把它平均锯成4段小圆柱，如果每锯一次的时间是3分钟，那么锯完一共需要9分钟；锯完后表面积一共增加了18.84dm2。 三、解答题 11．用铁皮做一个圆柱形茶叶筒，底面直径是1分米，高是2分米，则做这个茶叶筒至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】7.85平方分米 【分析】求做一个圆柱形茶叶筒至少需要铁皮的面积，就是求圆柱的表面积；根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可求解。 【解析】底面半径：1÷2＝0.5（分米） 3.14×1×2＋3.14×0.52×2 ＝6.28＋3.14×0.25×2 ＝6.28＋1.57 ＝7.85（平方分米） 答：做这个茶叶筒至少需要铁皮7.85平方分米。 12．长方体的高是5厘米，上底、下底是边长4厘米的正方形，把它削成最大的圆柱。计算出圆柱的体积。 【答案】62.8立方厘米 【分析】由题意分析可知，当圆柱的底面直径等于长方体底面的边长，即4厘米，高等于长方体的高，此时削成圆柱是最大的，再根据圆柱的体积公式进行计算即可。 【解析】3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方厘米） 即圆柱的体积是62.8立方厘米。 13．下图是地震灾区居民用布搭的一个简易帐篷，帐篷的长是12m，横截面是一个直径为3m的半圆形。 （1）搭这样一个帐篷需要布约多少平方米？（结果精确到1m） （2）这个帐篷的空间有多大？ 【答案】（1）64m；（2）42.39m 【分析】（1）要求搭帐篷所需的布料即是求底面半径为（3÷2）＝1.5米，高为12米的圆柱的表面积的一半，即为：[3.14×（3÷2）2×2＋3.14×3×12]×≈64平方米； （2）这个帐篷的空间等于底面半径为1.5米，高为12米的圆柱的体积的一半，即：3.14×（3÷2）2×12×＝42.39立方米；据此解答。 【解析】（1）[3.14×（3÷2）2×2＋3.14×3×12]× ＝[14.13＋113.04]× ＝127.17× ≈64（平方米） 答：搭这样一个帐篷需要布约64平方米。 （2）3.14×（3÷2）2×12× ＝3.14×2.25×6 ＝42.39 （立方米） 答：这个帐篷的空间有42.39立方米。 【点睛】本题考查了圆柱体积与表面积的应用，此题的关键是要理解做帐篷所需的布料底面半径为1.5米，高为12米的圆柱的表面积的一半，帐篷的空间等于底面半径为1.5米，高为12米的圆柱的体积的一半。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 圆柱及其侧面展开图（九大题型） 学习目标 1．了解圆柱及其有关概念； 2．体验得到圆柱侧面展开图的过程；并会计算圆柱的侧面积； 3. 掌握圆柱的表面积与体积的计算.. 知识点1 圆柱的有关概念 在日常生活中，除了长方体和正方体，我们还会看到地铁站里的柱子、不锈钢桶、笔筒、木块等,这些物体都给我们呈现了如图8-1-2所示的立体图形的形象. 操作 如图8 - 1 - 3,将长方形OAA'O'以它的一条边OO '所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成怎样的立体图形? 我们发现，按上述操作，所得到的立体图形与图8-1-2的立体图形一样. 我们把像这样的立体图形叫作圆柱体，简称圆柱.因此，圆柱也可以看成是以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周而成的立体图形. 如图8-1-4,在圆柱中，我们把上、下两个圆形叫作圆柱的底面，夹在两个底面之间的曲面叫作圆柱的侧面. 两个底面圆心O 、O '之间的距离叫作圆柱的高，有时也 把线段0O'称为圆柱的高. 如图8-1-3,长方形的边OA 、O'A '旋转形成圆柱的两个底面，它们是两个半径相等的圆形.长方形的边AA'旋转形成圆柱的侧面.线段AA'叫作圆柱的母线，它转动到任何位置，都是圆柱的母线，易知母线的长等于圆柱的高. 知识点2 圆柱的侧面展开图 操作 沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面剪开，然后铺在平面上，可以得到一个怎样的图形?得到的这个图形的面积与圆柱的底面、母 线之间会有怎样的关系呢? 我们发现，将一个圆柱的侧面按上述操作(沿母线AA '剪开)得到的图形是一个长方形，如图8-1-5所示.我们把它称为圆柱的侧面展开图.长方形的边AA'是圆柱的母线，它的长度等于圆柱的高；边AA₁的长度等于底面的周长.圆柱的侧面积可以从它的侧面展开图得出，这就得到结论： 圆柱的侧面积等于它的底面周长和母线长的乘积，即 S侧=Cl=2πrl=2πrh. 其中，S侧表示圆柱的侧面积，r、C、l和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高. 知识点3 圆柱的表面积与体积 与长方体的表面积、体积一样，圆柱所有面的面积之和叫作圆柱的表面积，圆柱所占空间的大小叫作圆柱的体积. 1.圆柱的表面积：圆柱的表面由它的侧面和两个底面组成.因此，圆柱的表面积等于它的侧 面积与两个底面积的和，即 其中 ，S表、S 侧 和S底分别表示圆柱的表面积、侧面积和底面积，r 和h分别表示它的底面半径和高. 2.圆柱的体积： 回顾前面圆的面积计算公式的探究过程：将一个圆等分成越多的扇形， 然后按照一定方式拼接起来，生成的平面图形将越接近一个长方形. 现在能否类比圆的面积计算公式的探究过程，将求一个圆柱的体积转化为求一个长方体的体积呢? 如图8-1-8,我们可以将圆柱的底面等分为许多扇形，然后沿着扇形的半 径将圆柱切开，并重新拼接起来，最终得到一个近似的长方体.如果将圆柱的底面划分得更细，即扇形的数量更多，那么拼接得到的立体图形就会越接近一个真正的长方体. 由于体积没有发生变化，因此可以通过求切拼后的长方体的体积来求圆柱的体积.切拼后得到的长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高.于是可以得出结论：圆柱的体积等于其底面积与高的乘积，即 V=S底h. 其中，V表示圆柱的体积，S底表示它的底面积，h表示它的高. 【即学即练1】下列关于圆柱的说法，错误的是（    ） A．两个底面是大小相同的圆 B．侧面是曲面 C．有无数条高，且长度都相等 D．展开图是长方形或正方形 【即学即练2】圆柱的上、下两面都是 形，而且大小 ，圆柱的侧面沿高展开是 形或 形，它的一边是圆柱的 ，相邻的另一边是圆柱的 ．一个圆柱体有 条高． 【即学即练3】下图圆柱沿虚线剪开的侧面展开图是（    ）． A． B． C． D． 【即学即练4】圆柱的底面半径是，高是，则该圆柱的侧面积是 ． 【即学即练5】一个圆柱形笔筒的侧面积是，高是，它的底面半径是 ，体积是 【即学即练6】把一个底面周长、高的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体（如图），发现：( )不变，( )改变了，表面积增加了( )． 题型1：圆柱及其有关概念 【典例1】．下面图中，哪个不是圆柱体？（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图，下面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式1-2】．纸片和小棒做成下面的小旗，快速旋转小棒，想象纸片旋转所形成的图形是（    ）。 A．          B．           C．          D． 【变式1-3】．圆柱的组成。    【变式1-4】．下面哪些图形是圆柱？在（    ）里画“√”。 【变式1-5】．圆柱有( )个底面，( )个侧面，( )个底面是大小一样的圆，侧面是一个( )面。 【变式1-6】．以图中的虚线为轴进行旋转，旋转后会得到图（    ）。    A．   B．  C．D．     【变式1-7】．转动长方形，生成下面的两个圆柱。 （1）圆柱甲是以长方形的( )边所在的直线为轴旋转而成的，底面半径是( )，高是( )。 （2）圆柱乙是以长方形的( )边所在的直线为轴旋转而成的，底面半径是( )，高是( )。 题型2：圆柱的侧面展开图 【典例2】．将圆柱的侧面沿直线剪开，不可能出现（    ）。 A．长方形 B．三角形 C．平行四边形 【变式2-1】．通过预习，我知道了一个圆柱由两个( )面和一个( )面组成，两个( )面积相等。沿高剪开，圆柱的( )面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的( )，宽等于圆柱的( )。 【变式2-2】．圆柱的侧面。 圆柱的侧面沿高展开后是( )形。把展开的长方形纸重新包上，长方形的长等于圆柱的( )，宽等于( )。 题型3：圆柱的侧面积 【典例3】．一个圆柱的侧面展开后是一个正方形，它的底面半径是3cm，它的高是（     ）厘米。 A．6 B．18.84 C．28.26 D．37.68 【变式3-1】．一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是6厘米，那么底面半径是( )厘米，侧面积是( )平方厘米，底面积是( )平方厘米。 【变式3-2】．一个圆柱的底面半径是6cm，它的高是6cm，这个圆柱的侧面积是( )cm2。 【变式3-3】．一个圆柱的底面周长是2.512dm。高是5cm，它的侧面积是( )cm2。 【变式3-4】．计算下面各圆柱的侧面积。（单位：分米） 【变式3-5】．一个圆柱的侧面积是62.8平方厘米，高是5厘米。这个圆柱的底面直径是（    ）厘米。 A．2 B．4 C．8 【变式3-6】．用一块铁皮做一根长2米、管口直径0.2米的圆柱形通风管，至少需要铁皮多少平方米？ 题型4：圆柱的表面积 【典例4】．如果圆柱的底面半径是R，高为h，那么这个圆柱的表面积是（    ）。 A．2πRh B．πR2＋2h C．2πR2＋2πRh D．πR2h 【变式4-1】．一个圆柱的底面直径是6dm，高是4dm，这个圆柱的侧面积是( )，表面积是( )。 【变式4-2】．如下图，圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的面积是113.04cm2，圆柱的底面半径是( )cm，表面积是( )cm2。 【变式4-3】．一根圆柱形木料，底面积是300cm2，把它截成两段圆柱形木料后，表面积增加( )cm2。 【变式4-4】．把一个底面半径2厘米，高6厘米的圆柱，高减少2厘米，表面积减少（    ）平方厘米。 A．10 B．25.12 C．75.36 【变式4-5】．一个圆柱的侧面沿高展开后是一个边长31.4厘米的正方形，这个圆柱的表面积是（    ）平方厘米。 A．157 B．985.96 C．1142.96 题型5：圆柱的体积 【典例5】．一个圆柱的底面积是12dm2，高是6dm，它的体积是( )dm3。 【变式5-1】．一个圆柱的底面直径和高都是10cm，它的侧面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【变式5-2】．一个高5分米的圆柱的体积是141.3立方分米，这个圆柱底面积是( )平方分米。 【变式5-3】．如图，将一个边长为5cm的正方形，以一边为轴旋转一周得到一个( )体。得到的这个立体图形的高是( )cm，体积是( )cm3。 题型6：圆柱体积的变化 【典例6】．圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积（    ）。 A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的27倍 D．体积不变 【变式6-1】．底面积是28.26dm2的圆柱体的高增加3dm，体积增加（    ）dm3。 A．28.26 B．14.13 C．84.78 D．56.52 【变式6-2】．圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大原来的2倍，体积扩大到原来的（    ）。 A．6倍 B．9倍 C．18倍 D．12倍 【变式6-3】．圆柱的底面半径缩小为原来的，高扩大到原来的2倍，它的体积（    ）。 A．缩小为原来的 B．扩大到原来的4倍 C．缩小为原来的 题型7：圆柱的综合应用 【典例7】．圆柱、正方体和长方体的底面周长相等，高也相等，则（    ）的体积最大。 A．圆柱 B．正方体 C．长方体 D．都一样 【变式7-1】． 在棱长为的正方体中挖一个最大的圆柱。正方体与圆柱的体积之比是（    ）。 A． B． C． D． 【变式7-2】．把一块底面积是64平方分米，高是8分米的圆柱形铁块熔铸成一个长16分米，宽8分米的长方体。长方体高多少分米？ 【变式7-3】．下图这个长方形的长是2厘米，宽是1厘米。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。这两个圆柱的（    ）。 A．体积相等 B．底面积相等 C．表面积相等 D．侧面积相等 【变式7-4】．一个圆柱形薯片筒如图，底面直径是4厘米，高14厘米。 （1）这个薯片筒的体积是多少立方厘米？(不计厚度) （2）在这个薯片筒的侧面贴上一圈商标纸，至少需要多少平方厘米的商标纸？ 题型8：转化法求圆柱的表面积、体积 【典例8】．如果一个圆柱的底面直径增加2厘米，它的侧面积就增加62.8平方厘米。如果它的高增加2厘米，它的侧面积就增加12.56平方厘米。这个圆柱原来的体积是多少立方厘米？ 【变式8-1】．如图，一个圆柱切拼成一个近似长方体后（    ）。 A．表面积不变，体积不变 B．表面积不变，体积变大 C．表面积变大，体积不变 D．表面积变大，体积变大 【变式8-2】．如图，将一个直径为6cm、高为8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了（    ）cm2。 A．24 B．36 C．48 D．96 【变式8-3】．把一个高6dm、底面半径2dm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体（如图），这时表面积（    ）。    A．增加了24dm2 B．增加了12dm2 C．减少了24dm2 D．减少了12dm2 【变式8-4】．如图中，把一个半径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，这个长方体前面的面积是500平方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【变式8-5】．淘气和笑笑利用底面半径是5cm、高是10cm的圆柱来研究圆柱体积计算公式（如图），下面是他们的推导过程： (1)淘气通过观察图形，认为它的体积可以分三步计算。 第一步：3.14×5＝15.7（厘米） 第二步：15.7×10＝157（平方厘米） 请你补充第三步：( )。 (2)笑笑受到启发，换个思路来想，也是分三步计算。 第一步：3.14×5＝15.7（厘米） 第二步：5×10＝50（平方厘米） 请你补充第三步：( )。 (3)在推导圆柱的体积公式时，淘气是将圆柱拼成熟悉的图形—长方体进行的，这种学习数学的方法叫“转化”。想一想，我们在学习( )时也用到过这样的方法（举一例）。 题型9：组合体的表面积 【典例9】．有一个如图所示的箱子，其上半部分的形状是一个圆柱的一半，下半部分是以一个棱长为1米的正方体，已知每涂1平方米需要油漆0.5千克，那么要把这个箱子的外表面都涂上油漆，共需要油漆 千克。（π取3.14） 【变式9-1】．如图，将三个圆柱叠在一起，表面积减少了( )平方分米。 【变式9-2】．下面各图分别是由大小相同的小圆柱组合而成的。 若用m表示一个小圆柱的侧面积，用s表示一个小圆柱的底面积。观察每幅图的表面积变化规律，那么第⑧幅图的表面积是( )。 一、选择题 1．下面各图中，h表示的是圆柱的高的是（    ）。 A． B． C． D． 2．圆柱体的底面直径扩大2倍，高不变，体积将会扩大（    ）。 A．2倍 B．8倍 C．4倍 3．新疆吐鲁番火焰山景区有一根世界上最大的圆柱形温度计，取名“金箍棒”。它的直径是，高，温度显示高。它的体积大约是（    ）。 A．2 B．4 C．11 D．24 4．如图：以正方形ABCD的AB边为轴旋转后形成一个圆柱，下面对所形成圆柱的正确描述是（    ）。 A．圆柱的底面直径和高相等 B．圆柱的底面半径和高相等 C．圆柱的底面周长和高相等 D．圆柱的侧面积和正方形的面积相等 5．如图，一张长方形纸分别沿长和宽围成不同的圆柱形纸筒，如果给两个纸筒都配上底面，则圆柱①与圆柱②的表面积相比（    ）。 A．S①＞S② B．S①＜S② C．S①＝S② D．无法确定 二、填空题 6．圆柱的侧面是一个( )面，把它沿高展开，如果得到一个长方形，那么长方形的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )。 7．做底面直径是2分米，长是9分米的圆柱形通风管，至少需要铁皮 平方分米。 8．如果一个圆柱形水桶的底面积是0.6平方米，高是0.5米，那么它的体积是( )立方米。 9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高是，那么圆柱的底面周长是( )，底面直径是( )。 10．一个圆柱的底面半径是1dm，高是1m，把它平均锯成4段小圆柱，如果每锯一次的时间是3分钟，那么锯完一共需要 分钟；锯完后表面积一共增加了 dm2。 三、解答题 11．用铁皮做一个圆柱形茶叶筒，底面直径是1分米，高是2分米，则做这个茶叶筒至少需要铁皮多少平方分米？ 12．长方体的高是5厘米，上底、下底是边长4厘米的正方形，把它削成最大的圆柱。计算出圆柱的体积。 13．下图是地震灾区居民用布搭的一个简易帐篷，帐篷的长是12m，横截面是一个直径为3m的半圆形。 （1）搭这样一个帐篷需要布约多少平方米？（结果精确到1m） （2）这个帐篷的空间有多大？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$