第27讲 概率初步（第2课时）(二类知识点+九大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第27讲 概率初步（第2课时）(九大题型） 学习目标 1.认识频率与概率的关系，加深对概率的理解； 2.会用列表和画树状图等方法计算事件发生的概率； 3.学会运用概率知识解决简单的实际问题. 一、用频率估计概率 1.频率 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m（频数）与试验总次数n的比值. 2.我们通常把某事件在大数次试验中发生的频率，作为这个事件的概率的估计值， 3.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数；频率是不确定的，与试验次数的多少有关。 用频率估计概率，得到的只是近似值。为了得到概率的可靠的估计值，试验的次数要足够大。 要点： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 4.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 二、用树形图或表格求概率 1.树形图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树形图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 3.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 【即学即练1】在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 【解析】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 【即学即练2】在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外，其余均相同．每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定于0.2．估计袋中红球的个数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了用频率估计概率， 先设红球的个数为x个，根据大量多次的试验得出的频率稳定在概率附近得，求出解即可． 【解析】解：设红球的个数为x个，根据题意，得 ， 解得． 经检验：是方程的解， 所以袋中红球的个数是3． 故答案为：3． 【即学即练3】做抛掷一个质地均匀，并标有1，2，3，4四个数字的正四面体试验，在大量重复试验中，对于事件“着地面为奇数”的频率和概率，下列说法正确的是（    ） A．概率等于频率 B．频率等于 C．当试验次数很多时，频率稳定在概率附近 D．试验得到的频率和概率不可能相等 【答案】C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此逐一判断即可． 【解析】解：A、频率等于概率，错误，不符合题意； B、频率近似，错误，不符合题意； C、当试验次数很多时，频率稳定在概率附近，正确，符合题意； D、试验得到的频率与概率不可能相等，错误，不符合题意； 故选：C． 【即学即练4】小颖、小亮和小丽三位同学随机地站成一排做游戏，小颖恰好站在中间的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用列表法展示所有6种可能的结果，其中小颖恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解． 【解析】解：列表如下： 左 中 右 小颖 小亮 小丽 小颖 小丽 小亮 小亮 小颖 小丽 小丽 小颖 小亮 小亮 小丽 小颖 小丽 小亮 小颖 共有6种等可能的结果，其中小颖恰好站在中间的占2种， 所以小亮恰好站在中间的概率=． 故选A． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，解题关键是掌握利用列表法与树状图法求概率． 【即学即练5】非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．江油市非物质文化遗产有江油肥肠、重华烟火架、铁索飞渡、青林口高抬戏等．小聪和小颖商定从“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”四种中各随机选择一种，用于宣传江油的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，设“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”分别用表示，画树状图展示所有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【解析】解：设“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”分别用表示， 画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种的结果数为种， ∴两人恰好选中同一种的概率为， 故选：． 题型1:频率 【典例1】．小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（　    ） A．80 B．64 C．1.2 D．0.8 【答案】D 【分析】根据频率等于频数除以数据总和即可求解． 【解析】解：∵小亮共投篮80次，进了64个球， ∴小明进球的频率为：64÷80=0.8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了频数和频率，掌握“频率等于频数除以数据总和”是解答本题的关键． 【典例2】．今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了频率的计算，掌根频率的计算方法成为解题的关键． 据日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用频率公式计算即可． 【解析】解：日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是． 故答案为：． 【典例3】．已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【答案】0.4 【分析】此题考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 【解析】解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π， ∴无理数出现的频率是：． 故答案为0.4． 题型2:频率与概率的关系 【典例4】．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（    ） A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定 B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同 C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5 D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518 【答案】A 【分析】根据频率的概念与计算公式逐项判断即可得． 【解析】A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，此项正确； B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率可能不同，此项错误； C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为，此项错误； D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是，则“正面向下”的频率为，此项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了频率的概念与计算公式，掌握理解频率的概念是解题关键． 【典例5】．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是(     ) A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【解析】因为大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近， 可以用这个常数估计这个事件发生的概率, 所以D选项说法正确, 故选D． 【典例6】．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=，则下列说法正确的是(　　) A．p一定等于 B．p一定不等于 C．多投一次，p更接近 D．投掷次数逐步增加，p稳定在附近 【答案】D 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果． 【解析】投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在附近． 故选：D． 【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生． 【典例7】．一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是 ． 【答案】0.32 【分析】由题意依据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率进行分析即可． 【解析】解：一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32， 那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.32． 故答案为：0.32． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【典例8】．一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余都完全相同．小明同学做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回袋中，然后再重复进行下一次试验，当摸球次数很大时，摸到白球的频率接近于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的求法，在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=，列式求解即可． 【解析】∵一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球， ∴摸到白球的概率为， ∴摸到白球的频率为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了概率的求法，熟悉掌握概率的计算方法是解题的关键． 题型3:由频率估计总体 【典例9】．事件A发生的概率为，大量重复试验后，事件A平均每n次发生的次数是10，那么n＝ ． 【答案】200 【分析】根据概率的意义进行解答即可得出答案． 【解析】事件A发生的概率为，大量重复做这种试验， 事件A平均每n次发生的次数是10，则n＝10200； 故答案为：200． 【点睛】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率． 【典例11】．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是（  ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】B 【分析】由在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可知其概率，再利用概率公式即可推算出a的大小． 【解析】由题意可得， 解得． 经检验：a=20是原方程的根且符合题意 故选B． 【点睛】本题考查用频率估计概率，熟记概率公式是解本题的关键 【典例11】．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有 个． 【答案】6 【分析】球的总数乘以红球所占球的总数的比例即为红球的个数． 【解析】红球个数为：40×15%＝6个， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【典例12】．某科研小组，为了考查某河野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河中野生鱼有(     ) A．8000条 B．4000条    C．2000条 D．1000条 【答案】B 【解析】试题解析：∵300条鱼中发现有标记的鱼有15条， ∴有标记的占到， ∵有200条鱼有标记， ∴该河流中有野生鱼200÷=4000（条）； 故选B． 【典例13】．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在．和，则该袋子中的白色球可能有(　　) A．6个 B．16个 C．18个 D．24个 【答案】B 【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案． 【解析】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45， ∴摸到白球的频率为1-0.15-0.45=0.4， 故口袋中白色球的个数可能是40×0.4=16个． 故选：B． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 题型4:用频率估计概率 【典例14】．某收费站在2 h内对经过该站的机动车统计如下表: 类型 轿车 货车 客车 其他 数量/辆 36 24 8 12 若有一辆机动车经过这个收费站,利用上面的统计表估计它是轿车的概率为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图表可得出,轿车的数量为:36,机动车的数量为:36+24+2+12=80,所以轿车的概率为:,故选:B. 【典例15】．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下： 抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000 合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84 估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为 ． 【答案】0.84 【分析】观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到口罩合格的概率即可． 【解析】解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84， ∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84． 故答案为：0.84． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键是熟练运用频率估计概率解决问题． 【典例16】．如图是某种幼树在移植过程中成活率的统计图，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ．（结果精确到0.01） 【答案】0.88 【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率解答即可． 【解析】解：在大量重复试验的情况下，频率的稳定值作为概率的估计值，即次数越多，频率越接近于概率，则这种幼树移植成活的概率约为0.88． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比，掌握以上知识是解题的关键． 【典例17】．太原市林业部门要考察某种幼苗的移植成活率，于是进行了试验，表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况： 移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 369 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 根据以上数据，估计这种幼苗移植成活的概率是（    ） A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 【答案】C 【解析】略 【典例18】．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 【答案】B 【解析】①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.620.错误, 故选B. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键. 题型5:列举法求概率 【典例19】．甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球两次，最后球在乙手上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查利用列举法求概率，求出所有的传球方法共有多少种，找出最后球在乙手上的的情况，即可得最后球在乙手上的概率． 【解析】解：用甲→乙→丙表示一种传球方法， 所有传球方法共有：甲→乙→甲； 甲→乙→丙； 甲→丙→甲； 甲→丙→乙； 则共有4种传球方法，最后球在乙手上的有1种情况， ∴最后球在乙手上的概率为， 故选：A 【典例20】．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率的知识．首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解析】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反， ∴两枚硬币全部正面向上的概率是： ． 故选A． 【典例21】．小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么小明、小刚两人恰好相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，由题意可得出所有等可能的结果以及小明、小刚两人恰好相邻的结果，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：将小明、小红、小刚3位同学分别记为，，， 3人随机站成一排，所有等可能的结果有：，，，，，，共6种， 其中小明、小刚两人恰好相邻的结果有：，，，，共4种， 小明、小刚两人恰好相邻的概率为． 故选：C． 【典例22】．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“惊蛰”“夏至”“秋分”“冬至”四张邮票中的两张送给小乐．小明将这四张邮票背面朝上放在桌上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键；因此此题可根据列举法求解概率． 【解析】解：由题意得： 小乐随机抽取两张邮票的情况有：（惊蛰、夏至），（惊蛰、秋分），（惊蛰、冬至），（夏至、秋分），（夏至、冬至），（秋分、冬至）共6种可能，其中抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票就1种可能，所以小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是； 故选A． 【典例23】．如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会相等的结果，那么，小球最终到达F点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率，先列举出所有等可能得情况，再利用概率公式求解即可． 【解析】解：由图可知，共有，，，4种等可能的情况， 其中小球最终到达F点的情况有，，共2种， ∴小球最终到达F点的概率为． 故选：A． 题型6:列举法或树形图法求概率 【典例24】．一个不透明的盒子中装有4个除颜色外都相同的小球，其中3个是白球，1个是红球，从中随机同时摸出两个小球，那么摸出小球的颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出树状图即可求解； 【解析】由题意可得： 一共有12中可能，摸出小球颜色不同的情况有6种， ∴概率是； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，准确计算是解题的关键． 【典例25】．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图标，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列举法或树状图法求概率；利用树状图列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【解析】解：列树状图得： 共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是， 故选A． 【典例26】．不透明的盒子中装有黑、白、红小球各一个，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到相同颜色的小球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率，概率公式，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 画树状图展示所有等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【解析】解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的小球的结果数为， 两次摸到相同颜色的小球的概率是． 故选：． 【典例27】．从1、、4这三个数中，随意取两个数组成一个点的坐标，这个点恰好落在第二象限的可能性大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 用列表法得出所有等可能结果，从中找到该点在第二象限的结果数，再利用概率公式求解可得． 【解析】解：根据题意列表如下： 1 4 1 4 共有6种等可能情况，该点在第二象限的情况数有和这2种结果， ∴该点在第一象限的概率等于． 故选：C． 【典例28】．张亮、王明两名同学参加课外社团，运动类的有篮球、足球和乒乓球三种社团可供选择，若每人只能选择参加一种运动类的社团，则两人恰好选中同个社团的概率是 ． 【答案】 【分析】利用树状图的方式求解即可． 【解析】解：画树状图如下：（用A，B，C分别表示篮球、足球、乒乓球）． 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一社团的结果为3种， ∴两人恰好选中同一社团的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查用树状图或表格法求概率，正确列出树状图或表格是解题关键． 【典例29】．中秋佳节将至，妈妈买了4个月饼，分别是2个红枣味和2个蛋黄味，小妍随意吃两个恰好都是蛋黄味的概率是 ． 【答案】 【分析】用树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两个恰好是蛋黄味的结果数，再按照等可能事件概率公式计算即可． 【解析】解：用代表两个红枣味的粽子，用代表两个蛋黄味的粽子，画树状图如下：    根据树状图可得，一共有12种等可能的情况，其中恰好两个都是蛋黄味的结果数为2个， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法和树状图法，熟练掌握用树状图法或列表法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 【典例30】．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．    【答案】 【分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出． 【解析】      总共有12种组合， 《论语》和《大学》的概率， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式． 【典例31】．“二十大”报告中对新时代好青年提出了四个要求：“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”，现有四张卡片，正面分别写有这四个词语，它们除此之外完全相同，现反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下词语后放回洗匀；再随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数，以及这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：设“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”这四个词语分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中有2次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”， ∴这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率为． 故答案为：． 题型7:游戏的公平性 【典例32】．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 【答案】D 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答案． 【解析】解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； ∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数， ∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种， ∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同， ∴这个游戏是公平的， 故选：D． 【典例33】．众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案. 【解析】解：根据题意画出树状图： ∴共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况， ∴小明获胜的概率 P==， 故选: B. 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 【典例34】．小明、小强做游戏，掷两枚均匀的硬币，若出现朝上的两个面都是正面时，小明赢，否则小强赢，该游戏对 有利． 【答案】小强 【分析】先画出树状图得出所有等可能结果，根据概率公式计算出两人获胜的概率，再比较大小即可． 【解析】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可得共有4种等可能的结果，出现朝上的两个面都是正面的结果数有1种，出现朝上的两个面不都是正面的结果数有3种， ∴小明赢的概率为，小强赢的概率为， ∵， ∴该游戏对小强有利， 故答案为：小强． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 题型8:概率的其他应用 【典例35】．将一枚质地均匀的骰子，骰子的数字记为k，则一次函数y＝（k﹣3）x+5﹣k的图象不经过第四象限的概率是 . 【答案】 【分析】先画出不经过第四象限的一次函数图像（如下图），发现一次函数的图象不经过第四象限,需满足，依此列出关于k的不等式组，即可得到符合条件的k的值，在用列举法求出概率即可. 【解析】一次函数y＝（k﹣3）x+5﹣k的图象不经过第四象限, ，解得：, 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的数字记为k有：1、2、3、4、5、6，符合条件的只有4、5， 所以则一次函数y＝（k﹣3）x+5﹣k的图象不经过第四象限的概率是. 故答案为：. 【点睛】本题依据条件列出关于k的不等式组是关键，特别注意b的值除了可以大于0，也可以等于0，别遗漏直线经过原点的情况. 【典例36】．从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 【答案】． 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为负数求出此时m的取值范围，再根据一次函数图像不经过第一象限求出m的取值范围，最终确定m可以选取的数值，最后计算概率． 【解析】解分式方程得： 方程的解为负数， 且， 解得：且， 一次函数图象不经过第一象限， ， 且， 在，，，，，这个数中符合且的有，这个数， 使分式方程的解为负数且一次函数图象不经过第一象限的概率为 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式，分式方程的解，一次函数图象与系数的关系等知识点，综合性较强。注意求分式方程的解时分母不能为零． 【典例37】．□ABCD的两条对角线AC、BD相交于O，现从下列条件：①AC⊥BD②AB=BC③AC=BD ④∠ABD=∠CBD中随机取一个作为条件，可推出□ABCD是菱形的概率是 【答案】 【分析】根据菱形的判定方法直接就可得出推出菱形的概率． 【解析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”直接判断①符合题意； 根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可直接判断②符合题意； 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，所以③不符合菱形的判定方法； ，， BC=CD，是菱形，故④符合题意； 推出菱形的概率为：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查菱形的判定及概率，熟记菱形的判定方法是解题的关键，然后根据概率的求法直接得出答案． 题型9:解答题 【典例38】．一个盒子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． (1)若只从盒子里摸出一个球，直接写出摸出一个白球的概率是________． (2)若从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球，求两次摸出都是红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出一个白球的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出一个白球的结果有1种， ∴摸出一个白球的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： 红 红 白 红 （红，红） （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） 共有9种等可能的结果，其中两次摸出都是红球的结果有4种， ∴两次摸出都是红球的概率为． 【典例39】．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 350 投中次数(m) 28 60 78 104 123 152 251 投中频率() 　 　 　 　 　 　 　 (1)计算表中的投中频率(精确到0.01)； (2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)？ 【答案】（1）见解析；（2）0.5. 【分析】（1）用投中的次数除以投篮的次数即可得出答案； （2）计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率． 【解析】（1）根据题意得： 28÷50=0.56； 60÷100=0.60； 78÷150=0.52； 104÷200=0.52； 123÷250≈0.49； 152÷300≈0.51； 350÷251≈0.50； 见下表： 投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 350 投中次数(m) 28 60 78 104 123 152 251 投中频率() 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 (2)由题意得： 投篮的总次数是50+100+150+200+250+300+350=1400(次)， 投中的总次数是28+60+78+104+123+152+251=796(次)， 则这名球员投篮的次数为1400次，投中的次数为796， 故这名球员投篮一次,投中的概率约为：≈0.5. 故答案为0.5. 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解题的关机爱你是掌握利用频率估计概率. 【典例40】．我校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． (1)小吴从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为________． (2)学校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．请用画树状图的方法，求《红楼梦》被选中的概率． 【答案】(1) (2)《红楼梦》被选中的概率为． 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及《红楼梦》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】（1）解：共有4部名著， ∴随机选择1部为《西游记》的概率为． 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种， ∴《红楼梦》被选中的概率为． 【典例41】．有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． (1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，新的游戏规则见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可； （2）根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可． 【解析】（1）解：列表如下： ╲ 0 0 0 2 2 1 0 3 3 2 共有种等可能的结果，其中和为的结果有种， 王扬获胜的概率； （2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 由（1）可知，王扬获胜的概率为，刘菲获胜的概率为，， 二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平， 新的游戏规则如下：分别转动转盘与；两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；如果和为，王扬获胜，和为刘菲获胜． 一、单选题 1．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（   ） A．一定是 B．一定不是 C．随着的增大，可能是 D．随着的增大，稳定在附近 【答案】D 【分析】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【解析】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 2．在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了22次，则出现反面朝上的频数、频率分别是（　　） A．22，44% B．22，56% C．28，56% D．28，44% 【答案】C 【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案． 【解析】解：∵在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了22次， ∴出现反面朝上的频数、频率分别是：50﹣22＝28，×100%＝56%． 故选：C． 【点睛】本题考查了频率、频数的概念及频率的求法：频率=． 3．一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球都是红球的可能性是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有情况，让2个球都是红球的情况数除以总情况数即为所求的可能性． 【解析】解：画树状图如下： 所有等可能结果有12种，2个球都是红球的有2种， ∴P（2个球都是红球）＝＝． 故选：C． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回实验还是不放回实验是解题关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4．一个不透明的袋子中有若干个黄色和白色的两种小球，这些球除颜色外其他完全相同．已知黄球有个，每次摸球前先将袋子中的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，估计袋子中白球的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了用频率估计概率，利用概率估计总体个数，根据题意，得出摸到黄球的概率是，用黄球的个数除以摸到黄球的概率求出总个数，再减去黄球的个数即可求出白球的个数． 【解析】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在， ∴根据题意任意摸出个，摸到黄球的概率是：， 设袋中白球的个数为个， 则白球的个数为：个． 故选：C． 5．有4条线段，分别为，，，，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有情况，让能构成直角三角形的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【解析】解：4条线段的全部组合有，共四组．能构成直角三角形的组合只有一组， （能构成直角三角形）． 故选：C． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题关键是列出所有可能，能熟练运用概率公式求解． 6．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出树状图得出所有等情况数，符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可． 【解析】解：记三组分别为A，B，C，画树状图如下： 所以所有的等可能的情况数有27种，符合条件的情况数有6种， 所以小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是 故选B 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7．如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这是一个两步概率问题，根据列表得出全部等可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【解析】解：根据题意，列表如下： 蓝球1 蓝球2 红球 红1 （红1，蓝球1） （红1，蓝球2） （红1，红球） 红2 （红2，蓝球1） （红2，蓝球2） （红2，红球） 蓝 （蓝，蓝球1） （蓝，蓝球2） （蓝，红球） 由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的结果有2种， （指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色）， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 8．两张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到四张形状相同的小图片，再把这四张小图片均匀混合在一起，从四张小图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将四张小图片分别记作A、B、C、D，首先利用列表法展示所有可能的结果数，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解． 【解析】解：将四张小图片分别记作A、B、C、D A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 共有12种情形，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的情况数目有4种，所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为 故选B 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 9．将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式成立的事件发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结果，满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率． 【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果， 满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10 当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果， 当b=6时，a有7种结果 当b=7时，a有5种结果 当b=8时，a有3种结果 当b=9时，a有1种结果 ∴共有45+7+5+3+1=61种结果， ∴所求的概率是， 故选D． 【点睛】本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏． 10．信阳是河南传统餐饮历史文化名城，信阳菜历经千年的积淀和发展，以鲜、香、爽、醇、中的独特味道传遍大江南北.某游客慕名而来，决定从“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”这5个特色美食中随机选取2 个进行品尝，则他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过列表法列出所有情况，再根据抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的情况数利用概率公式进行计算即可． 【解析】记“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”分别为A、B、C、D、E．抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”即为AB或BA，则5个特色美食中随机选取2个进行品尝的所有可能情况列表为： A B C D E A AB AC AD AE B AB BC BD BE C AC BC CD CE D AD BD CD DE E AE BE CE DE 共有20种等可能事件，其中抽到AB或BA的有2种， 到AB或BA的概率为 即抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为． 故选：C． 【点睛】 本题考查了列表法或画树状图法求概率，即一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率． 二、填空题 11．在实数，－3.14，0，中，无理数出现的频率为 【答案】 【分析】根据无理数的概念确定这些实数中只有是无理数，即在这四个数中无理数只有1个，由此即可确定其出现的频率． 【解析】实数，－3.14，0，中只有是无理数， ∴无理数出现的频率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查无理数的概念和求频率．确定这四个实数中无理数只有这一个是解题关键． 12．某企业技术革新后，其产品的合格率提升明显，随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到，依此我们可以估计该产品合格的概率为 ．（结果要求保留2位小数）． 【答案】0.99 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．根据随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到，所以估计合格件数的概率为，问题得解． 【解析】解：∵随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到， ∴依此我们可以估计该产品合格的概率为（结果保留2位小数）， 故答案为：． 13．对1000件某品牌毛衣进行抽检，统计合格毛衣的件数．在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格毛衣的频率稳定在，则这1000件毛衣中合格的件数大约是 件． 【答案】950 【分析】用总件数乘以合格毛衣的频率即可得出答案． 【解析】解：（件）， 故答案为：950． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14．春节期间，小巴和小蜀为各自的母亲买一束鲜花，现有三种鲜花可供选择：康乃馨、郁金香和薰衣草，两人恰好选择到同种鲜花的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择到同种类型鲜花的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解析】解：将康乃馨、郁金香和薰衣草分别记为A、B、C， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择到同种类型鲜花的有3种结果， ∴两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为=， 故答案为． 15．如图是第19届亚运会的宣传画，总面积为，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在宣传画的图案上的频率稳定在常数0.7附近，由此可估计宣传画上图案的面积约为 ．    【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，本题考查的是利用频率估计概率，正确得到世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系是解题的关键． 【解析】解：∵长方形宣传画的总面积为，骰子落在宣传画的图案上的频率稳定在常数附近， ∴宣传画上图案的面积约为：． 故答案为：． 16．现有四张正面分别标有数字-3，-2，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀后，随机抽取两张，记上面的数字分别为m，n，则使得一次函数的图象不经过第二象限的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，画出树状图，得到12种等可能结果，其中使得一次函数的图象不经过第二象限的有10种，再根据概率公式，即可求解． 【解析】 解：根据题意，画出树状图，如上图： 得到12种等可能结果， 一次函数的图象不经过第二象限即为 其中满足的情况有10种， 所以使一次函数的图象不经过第二象限概率为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率及一次函数图像及性质，根据题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 17．某商场“元旦”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘.商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 800 1000 落在“洗衣液”区域的次数 60 122 240 295 472 604 落在“洗衣液”区域的频率 请估计当很大时，获得“洗衣液”的概率是 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【解析】解：概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定得到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计事件发生的概率．由统计数据，可知落在“洗衣液”区域的频率逐渐稳定在，故获得“洗衣液”的概率为． 故答案为：． 18．如图，小凌同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条路径行走．游戏规定一进入迷官只许前进不许后退，可转弯，则小凌不回头便能走出迷宫的概率是 ． 【答案】 【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率公式进行计算． 【解析】解：在各个道路上标上相应的字母， 根据标出的字母画出树状图，如图所示： ∵共有等可能的8条道路可走，其中能够走出迷宫的只有2条道路， ∴小凌不回头便能走出迷宫的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了画树状图法求概率，根据题意画出树状图，是解题的关键． 三、解答题 19．有两把不同的锁（记为A，B），四把不同的钥匙（记为a，b，c，d），其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c和d都不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，请用树状图法或列表法求一次就能打开锁的概率． 【答案】 【分析】根据题意列表，再根据概率公式求解即可． 【解析】解：列表如下． 钥匙锁 a b c d A ( A,a ) ( A,b ) ( A,c ) ( A,d) B ( B,a ) ( B,b ) ( B,c ) ( B,d ) 由上表可知，共有8种等可能的结果，一次就能打开锁的结果有2种． 所以一次就能打开锁的概率是． 【点睛】本题考查列表法求概率，正确理解题意是解题关键． 20．某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个，超市在某天提供的早餐食品为菜包、面包，鸡蛋、油条四样食品． (1)按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率． 【答案】(1)不可能 (2)（该天早餐得到菜包和油条） 【分析】（1）由题意“一人一份，一份两样，一样一个”可直接得到答案． （2）按照列表法或画树状图法，将所有可能一一列举出来，进而依照概率的计算公式可求得答案． 【解析】（1）解：由题意“一人一份，一份两样，一样一个”可知得到两个鸡蛋为不可能事件． （2）解：根据题意画树状图：（菜包、面包、鸡蛋、油条四样食品分别用，，，表示） 共有种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为， ∴   该天早餐得到菜包和油条的概率． 【点睛】本题考查概率初步，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21．有若干张背面完全相同的卡片，王芬每次随机抽取一张卡片，记录下卡片正面上的字母，然后放回，重复这样的试验800次，记录结果如下表： (1)填空：表中__________； (2)从这些卡片中随机抽取一张，请估计它正面上的字母为A的概率（结果保留一位小数） 试验总次数 100 200 400 500 800 抽取的卡片上为A的次数 54 104 196 255 400 抽取的卡片上为A的频率 0.54 0.52 0.49 m 0.5 【答案】(1) (2) 【分析】（1）事件发生的频率事件发生的次数试验总次数，代入数值计算即可； （2）试验总次数越多，事件发生的频率越接近事件发生的概率． 【解析】（1）解：根据事件发生的频率计算公式，； 故答案为：； （2）根据表格数据，试验总次数最多是500次，抽取的卡片上为A的频率是，因此抽取的卡片上为A的概率是． 【点睛】本题考查用频率估计概率，关键是掌握频率的计算方法：事件发生的频率事件发生的次数试验总次数，试验总次数越多，事件发生的频率越接近于事件发生的概率． 22．两人做“锤子、剪刀、布”的游戏．游戏规则是：若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“锤子”，另一人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤子”，则出“布”者胜．若两人出相同的手势，则认为此次游戏无效，重新开始游戏． (1)请用画树状图或列表法写出游戏中所有可能出现的有效结果． (2)在这个游戏的有效结果中，无论你出“锤子、剪刀、布”中的哪一个，你获胜的概率是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意画出树状图，从而得出所有有效结果； （2）由树状图求得所有等可能的结果与获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解析】（1）解：画树状图得： ∵所有可能的有效结果为：（布、剪）、（剪、锤）、（锤、布）、（剪、布）、（锤、剪）、（布、锤）； （2）由树状图知获胜的结果数为3， ∴获胜的概率为． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别． (1)从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率． (2)从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写有“3”的球的个数除以总的球的个数即可得解； （2）利用树状图列举法即可求解； 【解析】（1）根据题意，上面的数字恰好是“3”的概率为：， 即所求概率为； （2）利用树状图列举法： 如图 两次之和为“3”的次数共计有2次，总计有9种抽球的方式，则两次之和为“3”的概率为：． 【点睛】本题考查了公式法和列举法求概率的知识，掌握理解列举法的基本原理是解答本题的关键． 24．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？ 操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 统计结果如表： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到有记号球的次数m 25 44 57 105 160 199 摸到有记号球的频率 0.25 0.22 0.19 （1）请你完成上表中数据，并估计摸到有记号球的概率是多少？ （2）估计盒中共有球多少个？没有记号球有多少个？ 【答案】（1）0.21，0.20，0.20；0.20；（2）40个，32个 【分析】（1）根据表格中n和m的数值代入求解即可； （2）根据题意得出得出摸到有记号球的概率是0.2，然后求出盒中球的总个数，即可求出没有记号球的个数． 【解析】解：（1）根据105÷500＝0.21，160÷800＝0.2，199÷1000≈0.2， 故摸到有记号球的概率是：0.2； （2）根据图表可以得出摸到有记号球的概率是0.2， 设盒中共有x个球，可列方程：＝0.2， 解得：x＝40， 故没有记号球有40－8＝32个． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率问题，解题的关键是熟练掌握频率和概率的关系． 25．建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动． (1)若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ； (2)若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率计算公式计算即可； （2）格局题意，列出表格，再根据概率计算公式计算即可． 【解析】（1）解：任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是， 故答案为：． （2）解：列出表格如下： 一共有12种情况，其中至少有1位是或的有6种， ∴抽得的2位学生中至少有1位是或的概率为． 【点睛】本题考查概率计算公式，画树状图或列表得出所有的情况，找出符合条件的情况数是解答本题的关键． 26．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 【答案】； 【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算； （2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算. 【解析】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6， 其中，掷出5时可以回到点A， ∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为； （2）若要经一次操作， 使得棋子跳回到点， 则①第一次就掷出5， ②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4， 画树状图如下： 共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到点的情况有7种， ∴经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率为. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要求的情况数. 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27讲 概率初步（第2课时）(九大题型） 学习目标 1.认识频率与概率的关系，加深对概率的理解； 2.会用列表和画树状图等方法计算事件发生的概率； 3.学会运用概率知识解决简单的实际问题. 一、用频率估计概率 1.频率 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m（频数）与试验总次数n的比值. 2.我们通常把某事件在大数次试验中发生的频率，作为这个事件的概率的估计值， 3.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数；频率是不确定的，与试验次数的多少有关。 用频率估计概率，得到的只是近似值。为了得到概率的可靠的估计值，试验的次数要足够大。 要点： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 4.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 二、用树形图或表格求概率 1.树形图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树形图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 3.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 【即学即练1】在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外，其余均相同．每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定于0.2．估计袋中红球的个数是 ． 【即学即练3】做抛掷一个质地均匀，并标有1，2，3，4四个数字的正四面体试验，在大量重复试验中，对于事件“着地面为奇数”的频率和概率，下列说法正确的是（    ） A．概率等于频率 B．频率等于 C．当试验次数很多时，频率稳定在概率附近 D．试验得到的频率和概率不可能相等 【即学即练4】小颖、小亮和小丽三位同学随机地站成一排做游戏，小颖恰好站在中间的概率是（　　） A． B． C． D． 【即学即练5】非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．江油市非物质文化遗产有江油肥肠、重华烟火架、铁索飞渡、青林口高抬戏等．小聪和小颖商定从“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”四种中各随机选择一种，用于宣传江油的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是（   ） A． B． C． D． 题型1:频率 【典例1】．小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（　    ） A．80 B．64 C．1.2 D．0.8 【典例2】．今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是 ． 【典例3】．已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 题型2:频率与概率的关系 【典例4】．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（    ） A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定 B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同 C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5 D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518 【典例5】．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是(     ) A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【典例6】．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=，则下列说法正确的是(　　) A．p一定等于 B．p一定不等于 C．多投一次，p更接近 D．投掷次数逐步增加，p稳定在附近 【典例7】．一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是 ． 【典例8】．一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余都完全相同．小明同学做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回袋中，然后再重复进行下一次试验，当摸球次数很大时，摸到白球的频率接近于（　　） A． B． C． D． 题型3:由频率估计总体 【典例9】．事件A发生的概率为，大量重复试验后，事件A平均每n次发生的次数是10，那么n＝ ． 【典例10】．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是（  ） A．25 B．20 C．15 D．10 【典例11】．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有 个． 【典例12】．某科研小组，为了考查某河野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河中野生鱼有(     ) A．8000条 B．4000条    C．2000条 D．1000条 【典例13】．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在．和，则该袋子中的白色球可能有(　　) A．6个 B．16个 C．18个 D．24个 题型4:用频率估计概率 【典例14】．某收费站在2 h内对经过该站的机动车统计如下表: 类型 轿车 货车 客车 其他 数量/辆 36 24 8 12 若有一辆机动车经过这个收费站,利用上面的统计表估计它是轿车的概率为(　　) A． B． C． D． 【典例15】．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下： 抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000 合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84 估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为 ． 【典例16】．如图是某种幼树在移植过程中成活率的统计图，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ．（结果精确到0.01） 【典例17】．太原市林业部门要考察某种幼苗的移植成活率，于是进行了试验，表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况： 移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 369 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 根据以上数据，估计这种幼苗移植成活的概率是（    ） A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 【典例18】．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 题型5:列举法求概率 【典例19】．甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球两次，最后球在乙手上的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例20】．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例21】．小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么小明、小刚两人恰好相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例22】．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“惊蛰”“夏至”“秋分”“冬至”四张邮票中的两张送给小乐．小明将这四张邮票背面朝上放在桌上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是（   ） A． B． C． D． 【典例23】．如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会相等的结果，那么，小球最终到达F点的概率是（    ） A． B． C． D． 题型6:列举法或树形图法求概率 【典例24】．一个不透明的盒子中装有4个除颜色外都相同的小球，其中3个是白球，1个是红球，从中随机同时摸出两个小球，那么摸出小球的颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例25】．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图标，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是（   ） A． B． C． D． 【典例26】．不透明的盒子中装有黑、白、红小球各一个，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到相同颜色的小球的概率是（   ） A． B． C． D． 【典例27】．从1、、4这三个数中，随意取两个数组成一个点的坐标，这个点恰好落在第二象限的可能性大小是（    ） A． B． C． D． 【典例28】．张亮、王明两名同学参加课外社团，运动类的有篮球、足球和乒乓球三种社团可供选择，若每人只能选择参加一种运动类的社团，则两人恰好选中同个社团的概率是 ． 【典例29】．中秋佳节将至，妈妈买了4个月饼，分别是2个红枣味和2个蛋黄味，小妍随意吃两个恰好都是蛋黄味的概率是 ． 【典例30】．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．    【典例31】．“二十大”报告中对新时代好青年提出了四个要求：“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”，现有四张卡片，正面分别写有这四个词语，它们除此之外完全相同，现反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下词语后放回洗匀；再随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率是 ． 题型7:游戏的公平性 【典例32】．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 【典例33】．众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例34】．小明、小强做游戏，掷两枚均匀的硬币，若出现朝上的两个面都是正面时，小明赢，否则小强赢，该游戏对 有利． 题型8:概率的其他应用 【典例35】．将一枚质地均匀的骰子，骰子的数字记为k，则一次函数y＝（k﹣3）x+5﹣k的图象不经过第四象限的概率是 . 【典例36】．从，，，，，这个数中任意选一个数作为的值，则使关于的方程的解是负数，且关于的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 【典例37】．□ABCD的两条对角线AC、BD相交于O，现从下列条件：①AC⊥BD②AB=BC③AC=BD ④∠ABD=∠CBD中随机取一个作为条件，可推出□ABCD是菱形的概率是 题型9:解答题 【典例38】．一个盒子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． (1)若只从盒子里摸出一个球，直接写出摸出一个白球的概率是________． (2)若从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球，求两次摸出都是红球的概率． 【典例39】．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 350 投中次数(m) 28 60 78 104 123 152 251 投中频率() 　 　 　 　 　 　 　 (1)计算表中的投中频率(精确到0.01)； (2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)？ 【典例40】．我校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． (1)小吴从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为________． (2)学校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．请用画树状图的方法，求《红楼梦》被选中的概率． 【典例41】．有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． (1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 一、单选题 1．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（   ） A．一定是 B．一定不是 C．随着的增大，可能是 D．随着的增大，稳定在附近 2．在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了22次，则出现反面朝上的频数、频率分别是（　　） A．22，44% B．22，56% C．28，56% D．28，44% 3．一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球都是红球的可能性是（　　） A． B． C． D． 4．一个不透明的袋子中有若干个黄色和白色的两种小球，这些球除颜色外其他完全相同．已知黄球有个，每次摸球前先将袋子中的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，估计袋子中白球的个数是（　　） A． B． C． D． 5．有4条线段，分别为，，，，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是（    ）． A． B． C． D． 6．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（    ） A． B． C． D． 7．如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（    ） A． B． C． D． 8．两张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到四张形状相同的小图片，再把这四张小图片均匀混合在一起，从四张小图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（   ） A． B． C． D． 9．将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式成立的事件发生的概率为（    ） A． B． C． D． 10．信阳是河南传统餐饮历史文化名城，信阳菜历经千年的积淀和发展，以鲜、香、爽、醇、中的独特味道传遍大江南北.某游客慕名而来，决定从“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”这5个特色美食中随机选取2 个进行品尝，则他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在实数，－3.14，0，中，无理数出现的频率为 12．某企业技术革新后，其产品的合格率提升明显，随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到，依此我们可以估计该产品合格的概率为 ．（结果要求保留2位小数）． 13．对1000件某品牌毛衣进行抽检，统计合格毛衣的件数．在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格毛衣的频率稳定在，则这1000件毛衣中合格的件数大约是 件． 14．春节期间，小巴和小蜀为各自的母亲买一束鲜花，现有三种鲜花可供选择：康乃馨、郁金香和薰衣草，两人恰好选择到同种鲜花的概率为 ． 15．如图是第19届亚运会的宣传画，总面积为，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在宣传画的图案上的频率稳定在常数0.7附近，由此可估计宣传画上图案的面积约为 ．    16．现有四张正面分别标有数字-3，-2，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀后，随机抽取两张，记上面的数字分别为m，n，则使得一次函数的图象不经过第二象限的概率为 ． 17．某商场“元旦”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘.商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 800 1000 落在“洗衣液”区域的次数 60 122 240 295 472 604 落在“洗衣液”区域的频率 请估计当很大时，获得“洗衣液”的概率是 ．（精确到） 18．如图，小凌同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条路径行走．游戏规定一进入迷官只许前进不许后退，可转弯，则小凌不回头便能走出迷宫的概率是 ． 三、解答题 19．有两把不同的锁（记为A，B），四把不同的钥匙（记为a，b，c，d），其中钥匙a只能打开锁A，钥匙b只能打开锁B，钥匙c和d都不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，请用树状图法或列表法求一次就能打开锁的概率． 20．某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个，超市在某天提供的早餐食品为菜包、面包，鸡蛋、油条四样食品． (1)按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率． 21．有若干张背面完全相同的卡片，王芬每次随机抽取一张卡片，记录下卡片正面上的字母，然后放回，重复这样的试验800次，记录结果如下表： (1)填空：表中__________； (2)从这些卡片中随机抽取一张，请估计它正面上的字母为A的概率（结果保留一位小数） 试验总次数 100 200 400 500 800 抽取的卡片上为A的次数 54 104 196 255 400 抽取的卡片上为A的频率 0.54 0.52 0.49 m 0.5 22．两人做“锤子、剪刀、布”的游戏．游戏规则是：若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“锤子”，另一人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤子”，则出“布”者胜．若两人出相同的手势，则认为此次游戏无效，重新开始游戏． (1)请用画树状图或列表法写出游戏中所有可能出现的有效结果． (2)在这个游戏的有效结果中，无论你出“锤子、剪刀、布”中的哪一个，你获胜的概率是多少？ 23．一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别． (1)从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率． (2)从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明） 24．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？ 操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 统计结果如表： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到有记号球的次数m 25 44 57 105 160 199 摸到有记号球的频率 0.25 0.22 0.19 （1）请你完成上表中数据，并估计摸到有记号球的概率是多少？ （2）估计盒中共有球多少个？没有记号球有多少个？ 25．建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动． (1)若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ； (2)若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 26．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下： ①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定： ②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作： ③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作． （1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___． （2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$