第18讲 正方形(四类知识点+十一大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第18讲 正方形（十一大题型） 学习目标 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【即学即练1】正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论． 【解析】解：∵正方形和矩形都是特殊的平行四边形， ∴正方形和矩形具有平行四边形所有的性质，包括对角线互相平分， ∵正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直， ∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形、正方形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 【即学即练2】对角线长为4cm的正方形其边长为（　　） A．2cm B．cm C．4cm D．cm 【答案】B 【分析】根据正方形性质可知：正方形的一条对角线即为内角平分线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可知正方形的边长． 【解析】解：设这个正方形的边长为x cm， 则， 解可得cm； 则它的边长是cm； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，理解对角线长，边长之间的关系是解题关键． 【即学即练3】如图，已知E是正方形对角线上一点，且，则的度数是（    ） A．15° B．17.5° C．22.5° D．30° 【答案】C 【分析】根据正方形的性质求出，再利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出即可求出的度数． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确求出是解题的关键． 【即学即练4】如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法逐一判断即可求解． 【解析】∵是平行四边形，∴添加以下条件， A. ，，能判定四边形是正方形；     B. ，，能判定四边形是正方形； C. ，，能判定四边形是正方形；     D. ，，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形． 故选：D． 【即学即练5】如图，为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的边长为，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，先根据矩形的性质可得，再根据正方形的性质可得，从而得出，进一步可求出的值． 【解析】解：为正方形的对角线上一点， ． 四边形为矩形， ， ． ． ∴， ． 故选A． 【即学即练6】如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求正方形的边长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由正方形的性质，得出，结合，即可作答． （2）设，结合正方形的性质，得出，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴正方形的边长为． 题型1:正方形性质的辨析 【典例1】．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论． 【解析】解：A、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故A选项符合题意； B、正方形和矩形的对角都互补，故B选项不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C选项不符合题意； D、正方形和矩形的对角线都相等，故D选项不符合题意； 故选：A． 【典例2】．菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，根据菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质逐项判断即可． 【解析】解：A.菱形、正方形、矩形的对边相等，故选项A不符合题意； B. 菱形、正方形、矩形的对边平行，故选项B不符合题意； C. 菱形、正方形、矩形的对角线互相平分，的对角线互相 D. 菱形、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，故选项D符合题意； 故选：D． 【典例3】．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．两组对角分别相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查了正方形与菱形的性质，根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解析】解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角； 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分而且平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：B． 【典例4】．如图，正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，利用正方形的性质，进行判断即可． 【解析】解：A、根据正方形的性质可知，故A选项正确，不符合题意； B、根据正方形的性质可知，故B选项不正确，符合题意； C、根据正方形的性质可知，故C选项正确，不符合题意； D、根据正方形的性质可知，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 题型1:正方形性质的辨析 【典例5】．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用正方形的性质求解即可． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 【典例6】．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 【答案】22.5°/22.5度 【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC． 【解析】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点， ∴∠BAC=45°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°， ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠EBC=22.5°， 故答案为：22.5°． 【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数． 【典例7】．如图，由正方形和等边三角形组成，其中 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和性质以及等边三角形的性质，由正方形的性质得，由等边三角形的性质得出，求出，进而可求出结论． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 则，， ∴． 故答案为：． 【典例8】．如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于(    ). A．22.5° B．45° C．30° D．135° 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°， ∵四边形AEFC是菱形， ∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型． 【典例9】．如图，四边形是正方形，延长到，使，连接交于点，则 ．   【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，根据正方形的性质可得，根据，可得，由此即可求解． 【解析】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型3:利用正方形的性质求长度 【典例10】．若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，根据正方形的性质可得两直边与对角线组成直角三角形，运用勾股定理即可求解． 【解析】解：正方形的边长为1，相邻两直角边与对角线可组成直角三角形， ∴对角线长为， 故选：B ． 【典例11】．对角线长为4cm的正方形其边长为（　　） A．2cm B．cm C．4cm D．cm 【答案】B 【分析】根据正方形性质可知：正方形的一条对角线即为内角平分线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可知正方形的边长． 【解析】解：设这个正方形的边长为x cm， 则， 解可得cm； 则它的边长是cm； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，理解对角线长，边长之间的关系是解题关键． 【典例12】．如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据正方形得到，继而由即可求解． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选：C． 【典例13】．如图，正方形的边长是4，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握正方形、菱形的性质及勾股定理是解题的关键；连接，交于点O，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【解析】解：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形是边长为4的正方形，四边形是边长为的菱形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴； 故选A． 【典例14】．如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键．先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出． 【解析】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点D是斜边的中点， ∴， 故选：C． 【典例15】．如图，边长为4和8的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点T，交于点P，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定； 先根据正方形的性质证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【解析】∵四边形和是边长为4和8的两个正方形 ∴， ∴， ∴， 在中，，解得： 故答案为：． 【典例16】．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，根据正方形的性质得出是直角三角形，再根据勾股定理求出，，最后根据直角三角形的性质得出答案． 【解析】解：如图所示，连接， ∵四边形，是正方形， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 则． 在中，点H是的中点， ∴． 故答案为：． 题型4:利用正方形的性质求面积 【典例17】．如图，大正方形中摆放了两个小正方形，设它们的面积分别为，则 之间的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定， 根据正方形的性质得出，，，，都是等腰直角三角形，设正方形的边长为，再分别表示两个正方形的边长，进而得出面积之间的关系． 【解析】解：如图所示， ∵四边形是正方形，其余两个四边形也是正方形， ∴，，，，都是等腰直角三角形． 设正方形的边长为，则， ∴， 则， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 由，， 知， ∴． 故选：A． 【典例18】．如图放置的五块拼图中，①②③为正方形，④⑤为等腰直角三角形，若正方形③的面积为2，则正方形②的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 【解析】解：⑤为等腰直角三角形，正方形③的面积为2 腰直角三角形⑤的直角边长为 腰直角三角形⑤的斜边长为 ①为正方形， ④为等腰直角三角形， 等腰直角三角形④的直角边长为2 等腰直角三角形④的斜边长为 正方形②的面积为 故选：C． 【典例19】．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】8 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键，学会利用转化的思想思考问题．根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解． 【解析】解：由图可知：阴影部分的面积之和； 故答案为：8． 【典例20】．如图，正方形的边长为4，E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理；由勾股定理求得，则， 从而可得的面积相等且面积的，从而可求得四边形的面积． 【解析】解：正方形的边长为4， ， 由勾股定理求得， ， ； ， ； 同理得：的面积相等且等于面积的，即为2 四边形的面积为：； 故答案为：8． 题型5:正方形性质的解答证明题 【典例21】．如图，，分别是正方形的边，的中点，连接，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定． 先根据正方形的性质推得，，，由此证明后即可根据全等三角形的性质得证． 【解析】证：正方形中，，， 又，分别是正方形的边，的中点， ， 在和中， ， ， ． 【典例22】．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，先由正方形的性质得，，结合，证明边形是平行四边形，即可作答． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即． 【典例23】．如图，在正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，且，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质，证明，得到，利用等边对等角证明即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【解析】证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【典例24】．正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且． (1)求证：； (2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据正方形得出，，进而得到，证明，即可得到结论； （2），延长交于点，证明，即可得出结论． 【解析】（1）证明：正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下， 延长交于点， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ． 【典例25】．如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握正方形的性质得到三角形全等是解题的关键． 根据正方形的性质可证，得到，则有，即是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【解析】证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴． 题型6:正方形的判定 【典例26】．下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定问题，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用正方形的判定方法分别判断得出即可． 【解析】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，因为矩形对角线互相平分，而此时对角线互相垂直，故一条对角线为另一条对角线的垂直平分线，则得到邻边相等，故对角线互相垂直的矩形是正方形，故不符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，正确，根据菱形的对角线垂直且互相平分，此时对角线相等，则菱形被两条对角线分割成的四个直角三角形均是等腰直角三角形，继而得到菱形的一个内角为直角，因此对角线相等的菱形是正方形，故不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，因为对角线互相垂直且相等的四边形有无数个，故符合题意； 故选：D． 【典例27】．如图，已知四边形中，，下列条件能使四边形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定， 根据已知条件可以判断四边形是矩形，则邻边相等的矩形是正方形或者对角线互相垂直的矩形是正方形；解答本题的关键是需要掌握矩形与正方形间的区别与联系． 【解析】解：已知四边形中， ， 四边形是矩形． A、当时，只能判定四边形是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误，不符合题意； B、矩形的四个角都是直角，则，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误，不符合题意； C、矩形的对边，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误，不符合题意； D、当矩形的对角线相互垂直，即时，该矩形是正方形，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 题型7:添加一个条件成为正方形 【典例28】．已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用正方形的判定等． 先判断四边形是矩形，由正方形的判定可直接判断D正确． 【解析】解：在四边形中， ， 四边形为矩形， 而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形， 故D正确， 故选：D． 【典例29】．已知四边形中，，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（    ） A． B． C． D．与互相平分 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定．正方形的判定方法有：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形． 【解析】解：∵， ∴四边形为矩形， 因此再添加条件：一组邻边相等或对角线互相垂直，即可判定四边形为正方形， ∴当或时，四边形为正方形， ∴四个选项中只有C选项符合题意． 故选：C． 【典例30】．如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件，即可． 【解析】解：添加，理由： ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一） 题型8:特殊平行四边形判定的综合辨析 【典例31】．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，对角相等 B．②，有一组邻边相等 C．③，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理． 根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【解析】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，对角线互相垂直的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意． 故选：A． 【典例32】．下列说法不正确的是（     ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据平行边形、矩形、正方形、菱形的判定分别对各个选项进行判定求解． 【解析】A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此项不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故此项不符合题意； C．对角线互相平分且垂进的四边形是菱形，故此项不符合题意； D．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定，熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定是解答关键． 【典例33】．如图，已知四边形是平行四边形，已知下列结论中错误的（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，逐个判断即可． 【解析】解：A.∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故此项不符合题意； B.∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故此项不符合题意； C.∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，故此项不符合题意； D.∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，不一定是正方形，故此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，能正确运用判定定理判断是解题的关键． 题型9:证明四边形是正方形 【典例34】．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．    （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 【答案】见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形． 【解析】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB； （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°， ∵∠ADC=90°， ∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=45° ∴PM=MD， ∴四边形MPND是正方形． 【典例35】．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE． （1）当AC⊥BD时，求证：BE=2CD； （2）当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABCD是菱形．求得BC=CD．得到BE=2BC，于是得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BE，求得AD=CE，AD∥CE，推出平行四边形ACED是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． ∴BC=CD． 又∵CE=BC， ∴BE=2BC， ∴BE=2CD； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BE， 又∵CE=BC， ∴AD=CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵∠ACB=90°， ∴平行四边形ACED是矩形， 又∵CA=CB， ∴CA=CE， ∴矩形ACED是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 【典例36】．如图，在中，E、M分别为的中点，，延长交的延长线于点N，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，可得，可证，可得，可证四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可得，可得四边形是菱形； （2）由菱形的性质可得，可得，则四边形是正方形． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下：∵四边形是菱形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 【典例37】．如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质： （1）只需要证明，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形． 【解析】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：中，D是中点的，， ， 又， ， 四边形是菱形． 又， 四边形是正方形． 题型10:正方形在平面直角坐标系的应用 【典例38】．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用及正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作轴，过点作轴，四边形是正方形，，，再由“”可证，可得，，即可求解． 【解析】解：如图，过点作轴，过点作轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 故答案为：． 【典例39】．已知：如图，平面直角坐标系中，正方形的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动，顶点B、C都在第一象限，且对角线、相交于点P，则在点A、D运动的过程中，点P到y轴的距离的最大值是 ．              【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握正方形的性质，求出为定值．根据正方形的边长一定，得出的长度一定，从而得出当轴时，点到轴的距离最大，为的长度，即可得解． 【解析】解：∵四边形为正方形，且边长为4， ∴， ∴的长度为定值， ∴当轴时，点到轴的距离最大，且最大距离为的值， 即点P到y轴的距离的最大值为， 故答案为：． 题型11:解答综合题 【典例40】．如图，正方形中，点、分别在边、上，，和交于点，延长至点，使得，联结、．    （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，然后再证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），可得EB＝DF； （2）首先证明EC＝FC，再由AE＝AF可得AC垂直平分EF，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形AEGF是菱形． 【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴EB＝DF； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC， ∵EB＝DF， ∴EC＝FC， ∴AC垂直平分EF， ∵AO＝GO， ∴四边形AEGF是菱形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． 【典例41】．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF． （1）求证：FH＝ED； （2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠FAD＝45° 【分析】（1）根据正方形的性质，可得EF=CE，再根据∠CEF=∠90°，进而可得∠FEH=∠DCE，结合已知条件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可证明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性质可得FH=ED； （2）根据矩形的性质得到CD=AB=3，求得DE=4，根据全等三角形的性质得到FH=DE=4，EH=CD=3，得到AH=FH，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【解析】（1）证明：∵四边形CEFG是正方形， ∴CE=EF， ∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°， ∴∠FEH=∠DCE， 在△FEH和△ECD中， ， ∴△FEH≌△ECD（AAS）， ∴FH=ED； （2）解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=5， ∴CD=AB=3， ∵AE=1， ∴DE=4， ∵△FEH≌△ECD， ∴FH=DE=4，EH=CD=3， ∴AH=4， ∴AH=FH， ∵∠FHE=90°， ∴∠FAD=45°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【典例42】．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形 ABCD外作正方形 GCEF，联结DE交BG的延长线于点H． （1）求证：； （2）若正方形 ABCD的边长为1，当点H为 DE中点时，求CG的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据正方形性质证明全等即可； （2）联结BD，首先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据垂直平分线的性质求出BE的长度，即可求出CG的长度． 【解析】（1）证明：∵正方形，∴，， 同理：，， ∴， ∴在和， ， ∴，∴ 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，联结BD， ∵点H为中点，， ∴为的垂直平分线，∴， ∵， ∴，∴． ∵，∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等和垂直平分线的性质等，解题的关键是熟练掌握以上性质并作出辅助线． 【典例43】．如图，已知在正方形中，，．将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为．    (1)求线段和线段的长； (2)连接 ，　 　． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由对角线为，易知边长为8．设，由折叠可知在中，由勾股定理有，解得，即可得； （2）连接，作于点G，连接交于点H，由折叠知，可证明，则，，在中由勾股定理可求． 【解析】（1）解：∵对角线， ∴， 设，由折叠可知， 由于Q为中点， 则， 在中，由勾股定理可得： ， 解得：． 故； （2）解：如图所示，连接，作于点G，连接交于点H，    由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 由折叠可得， 由勾股定理有． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟悉折叠的性质、掌握以上定理并利用勾股定理建立关于x的方程是解题的关键． 【典例44】．如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，，M关于直线AF对称． （1）求证：B，M关于AE对称； （2）若的平分线交AE的延长线于G，求证：． 【答案】(1)见解析；（2）见解析 【分析】（1）由已知可证，，即可得证； （2）由上述结论可得，再证△AFG为等腰直角三角形． 【解析】解：连结AM，DM，BM， ∵D、M关于直线AF对称， ∴AF垂直平分DM， ∴AD=AM，FD=FM， ∴△DAF≌△MAF， ∴∠AMF=∠ADF=∠AME=∠ABE=90°，AM=AB，AE=AE， ∴△BAE≌△MAE， ∴EM=EB， ∴AE垂直平分BM， ∴B、M关于AE对称； （2）由（1）知△BAE≌△MAE， ∴AE平分∠BEF， ∴∠EAF=∠BAD=45°， 又AF平分∠DFE，FG平分∠EFC， ∴∠AFG=90°． ∴△AFG为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．有关45°角的问题，往往利用全等，构造等腰直角三角形，使问题迅速获解． 【典例45】．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ． （1）求证：EA是∠QED的平分线； （2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案； （2）由全等三角形的性质可得QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ，再结合勾股定理得出答案． 【解析】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°， ∴∠QAE＝45°， ∴∠QAE＝∠FAE， 在△AQE和△AFE中， ， ∴△AQE≌△AFE（SAS）， ∴∠AEQ＝∠AEF， ∴EA是∠QED的平分线； （2）由（1）得△AQE≌△AFE， ∴QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∴∠ABQ＝45°， ∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°， 在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2， 又∵QB＝DF， ∴EF2＝BE2+DF2＝1+9＝10， ∴EF＝． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AQE≌△AFE是解题关键． 一、单选题 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　） A．四个角都相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的不同，即可解答． 【解析】解：根据正方形和矩形的性质对比分析： ①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等； ②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角； ③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质． 2．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ） A．22.5° B．25° C．23° D．20° 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=∠BCA=45°； △ACE中，AC=AE， 则：∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°； ∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°． 【点睛】考点：正方形的性质． 3．如图，已知正方形ABCD的边长为5，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为 (   ) A．cm B．2cm C．5 cm D．10 cm 【答案】D 【解析】试题解析：设 根据勾股定理， 故选D. 4．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【解析】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：A 【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答． 5．如图，正方形中，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过N做NP⊥BC于P，则NP=DC，易证△BEC≌△PMN，即可得∠MCE=∠PNM，根据直角三角形内角和为180°即可求得∠ANM=90°-∠MCE． 【解析】解：过N做NP⊥BC于P，则NP=DC， ∵∠MCE+∠NMC=90°，∠MNP+∠NMC=90°， ∴∠MCE=∠MNP， 在△MNP和△ECB中， ， ∴△BEC≌△PMN， ∴∠MCE=∠PNM， ∴∠ANM=90°-∠MCE=50°． 故选C． 【点睛】本题考查了正方形各边长、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中证明△BEC≌△PMN是解题的关键． 6．下列命题中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．四个角都相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据正方形的判定方法即可判断． 【解析】A.对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，本选项不符合题意； B.对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形；本选项不符合题意； C.四个角都相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意； D.对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形；本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ；，则顶点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据、的互相垂直平分线，且，即有，问题得解． 【解析】解：连接 ，交于点， ， ， 四边形是正方形， 、的互相垂直平分线，且， ，， ∴点坐标， 故选：B． 【点睛】本题结合坐标系考查了正方形的性质，关键灵活运用正方形的性质进行线段计算，得出点的坐标． 8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质求得AO=BO=2，再根据勾股定理即可求解． 【解析】解：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4， ∴AC=BD=4，AC⊥BD， ∴AO=BO=2， ∵点E是OB的中点， ∴EO=， 在Rt△EOA中，EO=，AO=2， ∴AE=， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，解题的关键是熟知正方形的对角线相等且垂直平分． 9．如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质并利用SAS可证明△BAE≌△ADF，于是可得∠ABE＝∠DAF，进而可得△BGF是直角三角形，再根据点H为BF的中点，可知GH是BF的一半，然后根据勾股定理可以求得BF的长，从而可以得到GH的长． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∵AE＝DF， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴∠BGF＝90°， ∵点H为BF的中点， ∴GH＝BF， 又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°， ∴CF＝3， ∴BF＝＝＝， ∴GH＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 10．如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键． 根据正方形的性质可得，进而运用勾股定理得到，再证明得到，然后说明，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【解析】解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴． 故选D． 二、填空题 11．若正方形的边长为a，则它的对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形，对角线是斜边，结合勾股定理计算可得答案． 【解析】解：∵正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形，对角线是斜边； ∵正方形的边长为a， ∴对角线长是． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理，熟知正方形的两邻边与对角线构成一个等腰直角三角形是解题的关键． 12．作正方形中对角线的平行线，点E在直线上，且四边形是菱形，贴 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分类画出图形并利用等腰三角形的性质和30º直角三角形的判定求解即可； 【解析】解：1）如图：过点C作CH⊥BF， ∵AC//BF， ∴ ∵正方形，对角线为AC， ∴, 设，则，， ∵四边形是菱形， ∴ ∴, ∴ 2)如图，过点C作CH⊥BF， ∵AC//BF， ∴ ∵正方形，对角线为AC， ∴, 设，则，， ∵四边形是菱形， ∴ ∴, ∴, ∴, 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，30º直角三角形的判定和等腰直角三角形的性质，根据题意分类作出图形及利用等腰直角三角形性质及30º直角三角形的判定求解是解题的关键． 13．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 【答案】22.5°/22.5度 【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC． 【解析】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点， ∴∠BAC=45°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°， ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠EBC=22.5°， 故答案为：22.5°． 【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数． 14．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为 ． 【答案】196 【分析】连接AE可得AE=CE，勾股定理求出EF，DF=EF，求出AD可得答案． 【解析】解：连接AE，如图， ∵正方形ABCD， ∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°， ∵BE=BE， ∴△ABE≌△CBE， ∴AE=EC=10， ∵EF⊥AD，AF=6， ∴EF=， ∴DF=EF=8，AD=8+6=14， ∴正方形ABCD的面积为196， 故答案为：196． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．在正方形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，若正方形ABCD的周长是16cm，则DE= 【答案】4cm 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ODC=∠OCD=∠BAC=45°，再根据角平分线的定义求出∠OAE，然后求出∠DAE=67.5°，再根据三角形内角和等于180°求出∠DEA=67.5°，从而得到∠DEA=∠DAE，再根据等角对等边可得AD=DE，再根据正方形的周长求出边长DC的长度，从而得解． 【解析】如图,在正方形ABCD中,∠ODC=∠OCD=∠BAC=45°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠OAE=∠BAC=×45°=22.5°， ∴∠DAE=∠OAD+∠OAE=45°+22.5°=67.5°， 在△ADE中,∠DEA=180°−∠DAE−∠ADE=180°−67.5°−45°=67.5° ∴∠DEA=∠DAE， ∴DE=DA， ∵正方形ABCD的周长是16cm， ∴边长DC=16÷4=4(cm)， ∴DE=4cm. 故答案为4cm. 【点睛】此题考查正方形的性质，解题关键在于求出∠OAE. 16．如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AC 上一点，连接 EB、ED，延长 BE交 AD 于 F．当∠BED＝120°时，则∠ABF 的度数为 °． 【答案】15 【分析】由四边形ABCD是正方形，易证得△BEC≌△DEC，然后根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC=∠DEC=∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD=∠BEC+∠CAD． 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴BC=CD，∠EAB=∠ECB=∠ECD=45º，∠ABC=90º， ∵在 △BEC 与 △DEC 中， ∴△BEC ≌ △DEC(SAS) ， ∴∠BEC=∠DEC=∠BED ， ∵∠BED=120º ， ∴∠BEC=60º=∠AEF ， ∵∠BEC=∠BAE+∠ABF ∴∠ABF =60º-45º=15º 故答案为：15． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 17．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=a，CE=b，H是AF的中点，那么CH的长是 ．（用含a、b的代数式表示） 【答案】 【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF=90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【解析】解：连接AC、CF， 在正方形ABCD和正方形CEFG中， ∠ACG=45°，∠FCG=45°， ∴∠ACF=90°， ∵BC=a，CE=b， ∴AC=a，CF=b， 由勾股定理得，AF==， ∵∠ACF=90°，H是AF的中点， ∴CH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 18．如图，是正方形的边上的一点，沿折叠，使点落在点，已知，若使为等边三角形，则线段的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、含角的直角三角形的性质、等边对等角、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，由正方形的性质可得，，由等边三角形的性质可得，从而得出，由折叠的性质可得，作交于，则，从而得出，，由含角的直角三角形的性质、等边对等角结合勾股定理得出，，结合即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【解析】解：四边形是正方形， ，， 为等边三角形， ， ， 由折叠的性质可得：， 如图，作交于，则，   ，，， ，，， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:． 【答案】证明见解析． 【分析】由正方形的性质结合，，证明即可得到答案． 【解析】解：是正方形， ，， 在与中， 【点睛】本题考查的正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 20．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点． 求证： ． 【答案】证明见解析． 【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案． 【解析】证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°， 又∵CE=DF， ∴CE+BC=DF+CD即BE=CF， 在△BCF和△ABE中， ∴（SAS）， ∴AE=BF． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 21．如图 ，已知点 C 为线段 AB 上一点，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN=BM      【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质证明△CAN≌△MCB，可以得结论． 【解析】∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形， ∴AC=CM， NC =BC，∠ACN=∠BCM=90°， ∴△CAN≌△MCB（SAS）， ∴AN=BM． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质，掌握正方形的性质及全等三角形的判定定理是关键． 22．如图，已知正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求 BG的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由的余角相等可得∠CBG=∠CDE，进而证明△BCG≌△DCE，从而证明CG=CE； （2）证明正方形的性质可得，结合已知条件即可求得，进而勾股定理即可求得的长 【解析】（1）∵BF⊥DE ∴∠BFE=90° ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠DCE=90°, ∴∠CBG+∠E=∠CDE+∠E， ∴∠CBG=∠CDE ∴△BCG≌△DCE ∴CG=CE （2）∵，且，， ∴ ∵CG=CE     ∴， 在中， 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握三角形全等的性质与判定与勾股定理是解题的关键． 23．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交OC于点G． （1）求证：BG=CE； （2）若AB=4，BF是∠DBC的角平分线，求OG的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）先根据正方形的性质得到相等的线段和角证得，，所以； （2）利用是的角平分线求得，结合，可证明，所以，根据等腰，利用勾股定理可求出，所以．由可． 【解析】（1）证明：正方形中，、相交于， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：是的角平分线， ， ，， ， ， 在中，, 解得：， ， ， ． 【点睛】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，勾股定理．要掌握正方形中一些特殊的性质：四边相等，四角相等，对角线相等且互相平分．可利用这些等量关系求得三角形全等是解题的关键． 24．如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)点为平面内任一点，若以点、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标； (3)当直线与直线的夹角等于的倍时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据，求出点的坐标，利用待定系数法，求出直线的解析式即可． （2）分是正方形的边、是正方形的对角线两种情况，利用正方形性质即可求解． （3）当时，，利用两点间距离可求点坐标；当时，，此时，过点作交于，过点作轴交于，由是等腰直角三角形，求出，再由是的中点，求出的另一个点坐标即可． 【解析】（1）解：，点， ， ， ， ， 点在轴负半轴上， ， 设直线的解析式是， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①当是正方形的边时，对应的正方形为， ，，， ， ； ②当是正方形的对角线时，对应的矩形为， 、是正方形对角线， 线段和线段互相垂直平分， 点、的横坐标为， ， ， 综上所述：点的坐标为或； （3）解：设， ①当时，， ， ， ； ②当时，， 此时， 是等腰三角形， 过点作交于，过点作轴交于， ， ， 是等腰直角三角形， 是的中点， ， ， 是的中点， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角的判定与性质，等腰三角形的性质，数形结合解题是关键． 25．正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点作于点，于点，通过正方形性质可得，通过证明，可得出最后结论； （2）过点作于点，交于点，可证得四边形为矩形，通过矩形性质可得，在中，，由勾股定理可得，可得出，进一步证明，所以，，可求出； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，由正方形性质得到，由等腰三角形的性质可求得，由三角形面积关系得到，可证明，所以，当点在的延长线上时，同理可得． 【解析】（1）过点作于点，于点，   ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，交于点．   ， 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，    在正方形中，，， ， 在中，，则， ，，且， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点在的延长线上时，同理可得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 2 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 正方形（十一大题型） 学习目标 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【即学即练1】正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．对角线互相垂直 【即学即练2】对角线长为4cm的正方形其边长为（　　） A．2cm B．cm C．4cm D．cm 【即学即练3】如图，已知E是正方形对角线上一点，且，则的度数是（    ） A．15° B．17.5° C．22.5° D．30° 【即学即练4】如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【即学即练5】如图，为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的边长为，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【即学即练6】如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求正方形的边长． 题型1:正方形性质的辨析 【典例1】．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【典例2】．菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【典例3】．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．两组对角分别相等 D．对角线互相平分 【典例4】．如图，正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 题型2:利用正方形的性质求角度 【典例5】．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【典例6】．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 【典例7】．如图，由正方形和等边三角形组成，其中 ． 【典例8】．如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于(    ). A．22.5° B．45° C．30° D．135° 【典例9】．如图，四边形是正方形，延长到，使，连接交于点，则 ．   题型3:利用正方形的性质求长度 【典例10】．若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【典例11】．对角线长为4cm的正方形其边长为（　　） A．2cm B．cm C．4cm D．cm 【典例12】．如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【典例13】．如图，正方形的边长是4，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是（    ） A． B． C．4 D． 【典例14】．如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．18 【典例15】．如图，边长为4和8的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点T，交于点P，则的长为 ． 【典例16】．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ． 题型4:利用正方形的性质求面积 【典例17】．如图，大正方形中摆放了两个小正方形，设它们的面积分别为，则 之间的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【典例18】．如图放置的五块拼图中，①②③为正方形，④⑤为等腰直角三角形，若正方形③的面积为2，则正方形②的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【典例19】．如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【典例20】0．如图，正方形的边长为4，E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是 ． 题型5:正方形性质的解答证明题 【典例21】．如图，，分别是正方形的边，的中点，连接，，求证：． 【典例22】．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【典例23】．如图，在正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，且，连接，，．求证：． 【典例24】．正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且． (1)求证：； (2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因． 【典例25】．如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 题型6:正方形的判定 【典例26】．下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【典例27】．如图，已知四边形中，，下列条件能使四边形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 题型7:添加一个条件成为正方形 【典例28】．已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A．∠D=90° B． C． D． 【典例29】．已知四边形中，，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（    ） A． B． C． D．与互相平分 【典例30】．如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可） 题型8:特殊平行四边形判定的综合辨析 【典例31】．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，对角相等 B．②，有一组邻边相等 C．③，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 【典例32】．下列说法不正确的是（     ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【典例33】．如图，已知四边形是平行四边形，已知下列结论中错误的（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 题型9:证明四边形是正方形 【典例34】．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．    （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 【典例35】．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE． （1）当AC⊥BD时，求证：BE=2CD； （2）当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．    【典例36】．如图，在中，E、M分别为的中点，，延长交的延长线于点N，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由． 【典例37】．如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 题型10:正方形在平面直角坐标系的应用 【典例38】．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【典例39】．已知：如图，平面直角坐标系中，正方形的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动，顶点B、C都在第一象限，且对角线、相交于点P，则在点A、D运动的过程中，点P到y轴的距离的最大值是 ．              题型11:解答综合题 【典例40】．如图，正方形中，点、分别在边、上，，和交于点，延长至点，使得，联结、．    （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【典例41】．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF． （1）求证：FH＝ED； （2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数． 【典例42】．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形 ABCD外作正方形 GCEF，联结DE交BG的延长线于点H． （1）求证：； （2）若正方形 ABCD的边长为1，当点H为 DE中点时，求CG的长． 【典例43】．如图，已知在正方形中，，．将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为．    (1)求线段和线段的长； (2)连接 ，　 　． 【典例44】．如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，，M关于直线AF对称． （1）求证：B，M关于AE对称； （2）若的平分线交AE的延长线于G，求证：． 【典例45】．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ． （1）求证：EA是∠QED的平分线； （2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长． 一、单选题 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　） A．四个角都相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ） A．22.5° B．25° C．23° D．20° 3．如图，已知正方形ABCD的边长为5，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为 (   ) A．cm B．2cm C．5 cm D．10 cm 4．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 5．如图，正方形中，，则 （    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．四个角都相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ；，则顶点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（    ） A． B．3 C． D． 9．如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题 11．若正方形的边长为a，则它的对角线长为 ． 12．作正方形中对角线的平行线，点E在直线上，且四边形是菱形，贴 ． 13．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 14．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为 ． 15．在正方形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，若正方形ABCD的周长是16cm，则DE= 16．如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AC 上一点，连接 EB、ED，延长 BE交 AD 于 F．当∠BED＝120°时，则∠ABF 的度数为 °． 17．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=a，CE=b，H是AF的中点，那么CH的长是 ．（用含a、b的代数式表示） 18．如图，是正方形的边上的一点，沿折叠，使点落在点，已知，若使为等边三角形，则线段的长是 ．    三、解答题 19．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:． 20．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点． 求证： ． 21．如图 ，已知点 C 为线段 AB 上一点，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN=BM      22．如图，已知正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求 BG的长． 23．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交OC于点G． （1）求证：BG=CE； （2）若AB=4，BF是∠DBC的角平分线，求OG的长． 24．如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)点为平面内任一点，若以点、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标； (3)当直线与直线的夹角等于的倍时，直接写出点的坐标． 25．正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$