第24讲 四边形 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第24讲 四边形 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．中，的度数为100°，则（    ） A．60° B．80° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角相等的性质即可求解． 【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C， ∵∠A=100°， ∴∠C=100°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的对角相等的性质． 2．如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分一组对角．根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【解析】解：在菱形中，， ， 故选：D． 3．一个多边形的每一个外角都等于40°，那么这个多边形的内角和为(     ) A．1260° B．1080° C．1620° D．360° 【答案】A 【分析】先利用360°÷40°求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n-2）•180°计算即可求解． 【解析】360°÷40°=9， ∴(9−2)⋅180°=1260°. 故选A. 【点睛】此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握运算公式. 4．在矩形中，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【解析】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ． A. ，故该选项错误；     B. ，但方向不同，故该选项错误；     C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以，故该选项正确； D. ，故该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键． 5．下列命题中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【解析】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意； D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它们的判定方法是解题的关键． 6．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】C 【分析】此题考查了梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键掌握以上知识点． 设，交于点O，根据题意得到，，，然后利用勾股定理求出，，，进而利用梯形的面积和周长公式求解即可． 【解析】如图所示，设，交于点O， ∵在梯形中，，， ∴，， ∵，， ∴，即 ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴梯形的面积； ∵，， ∴ ∴ ∴梯形的周长． 故选：C． 二、填空题 7．已知四边形ABCD是周长为34的平行四边形，若AB=8，则BC= ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得：结合 从而可得答案. 【解析】解： 四边形ABCD是周长为34的平行四边形， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键. 8．菱形两对角线长分别为24和10，则该菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的面积公式是解本题的关键，已知菱形的两条对角线的长，即可计算菱形的面积， 【解析】解：∵菱形两对角线长分别为24和10， 菱形的面积为． 故答案为： 9．化简： ． 【答案】 【分析】根据向量的加减运算即可得． 【解析】原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的加减运算，熟记运算法则是解题关键． 10．内角为的正多边形的边数是 ． 【答案】12 【分析】题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等是解题的关键． 先根据内角求出外角，再根据正多边形的边数等于外角和除以外角度数即可求解． 【解析】解：由题意可得：一个外角为：， ∴边数为：． 故答案为：12． 11．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及，可得是等边三角形，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．顺次连接一个四边形各边中点得到的图形为菱形，则原四边形可能是 ． 【答案】矩形（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的性质，根据菱形的性质和三角形中位线定理可得原四边形对角线相等，据此可得答案． 【解析】解：如图所示，四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，且四边形是菱形， ∴，且分别是的中位线， ∴， ∴， ∴原四边形的对角线相等， ∴原四边形可以是矩形，正方形和等腰梯形等等， 故答案为：矩形（答案不唯一）． 13．如果某个等腰梯形的一个底角为60°，它的上、下底长分别为3和5，那么这个梯形的腰长是 ． 【答案】2 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰梯形的性质可得出AE的长度，在Rt△ABE中可求出腰长AB的长度． 【解析】解：如图， 过点A作AE⊥BC于点E，由题意得，AD=3，BC=5， ∴BE=（BC—AD）=1， ∵∠B=60°， ∴AB=2BE=2， 故这个梯形的腰长是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长度． 14．如图，是正方形的对角线，点E是延长线上的点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边对等角，先由正方形的性质得到，则，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，连接．若，，则线段的长为 ． 【答案】6.5 【分析】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和三角形中位线定理得出解答． 根据矩形的性质和三角形中位线定理得出，进而利用勾股定理得出，再根据矩形的性质解答即可． 【解析】∵O是矩形的对角线的中点，E是边的中点， ∴ ∵，四边形是矩形 ∴ ∴ 故答案为：． 16．如图，梯形中，，是梯形的中位线，若的面积为，则梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形的中位线，根据梯形的中位线得出，根据已知三角形的面积求出, 即可求出答案. 【解析】过作于, 交于, ∵是梯形的中位线, ∴, ∴, ∵的面积为 ， ∴, ∴梯形的面积为 故答案为：. 17．在平面直角坐标系中，若点P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线所在的直线分别与x轴或y轴垂直，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．如图为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为，如果点A，B的“相关菱形”为正方形，那么b的值是 ． 【答案】或6 【分析】本题主要考查坐标与图形、菱形的性质等知识点，审清题意、明确各线段之间的关系是解题的关键． 根据“相关菱形”的定义可知，且，，据此即可解答． 【解析】解：如图，过点A作轴于M， 根据“相关菱形”的定义可知M为“相关菱形”的对角线的交点， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴于M， ∴，，， ∴，解得：或6． 故答案为：或6． 18．如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、，由题意可知当在上时满足到点、的距离相等，得到，根据正方形性质可证明，从而推出，然后判定四边形是矩形，结合垂直平分，推出，即可根据勾股定理可算出，得到，最后再由勾股定理算出，即可得到答案． 【解析】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、 由题意可知，当旋转到上时，到点、的距离相等，且 四边形是正方形 ，， ， 在和中 ，， 四边形是矩形 又垂直平分， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的旋转，垂直平分线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意找到位置并作出相应的辅助线是解题的关键． 三、解答题 19．如图，在中，点E、F是上两点，，连接，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键． 由，可得，，证明，则，进而结论得证． 【解析】证明：∵， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， 四边形是矩形． 20．如图，在中，O为的中点，点E，F分别在上，经过点O，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，．求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，．结合线段中点，得出，得证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． （2）先得出，结合菱形性质，在中，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【解析】（1）证明：四边形为平行四边形， ． ，． 为的中点， ． ． ． ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． （2）解：为的中点，， ． 四边形为菱形， ． ． 在中，由勾股定理得． 为的中点， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21．如图，点在平行四边形的对角线上，设，，． (1)用向量表示下列向量： 向量_______；向量__________； (2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果) 【答案】(1) ，；(2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则即可解决问题． （2）如图，作CF∥DE，且CF＝DE，连接DF，则即为所求． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴，； 故答案为：，； （2）如图，即为所求． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 22．在△中，，边上的高，沿图中线段、将△剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形，如图1所示．请你解决如下问题： 已知：如图2，在△中，边上的高．请你设计两种不同的分割方法，将△沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形，并说明分割线的做法与拼接方法． 【答案】见解析 【分析】本题考查学生的动手操作能力，注意剪拼过程中图形的面积和保持不变，注意结合所需拼合图形的特点． 正方形的四条边都相等，四个角都是直角，注意应把所给三角形分为三块． 【解析】解：如图2，过、的中点、作的垂线段、，沿图中线段、将△剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形， 如图3，过的中点作，交于，作的垂线段，沿图中线段、将△剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形． 23．如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质得到，继而得到进行证明即可； （2）先证明，进而得到≌，从而，由，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵（） ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：，， ， ， ， ，， ≌， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰梯形的判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 24．已知在平面直角坐标系中，直线交轴负半轴于点，交轴于点，且．    (1)求直线的表达式； (2)已知点在直线上且在第一象限内，过点作轴，垂足为点，以线段为对角线作正方形（点在点的左侧）． ①如图，当点落在轴上时，求点的坐标； ②当的延长线经过点时，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由，当，求得点的坐标，根据，结合图象，即可求得点的坐标，代入解析式即可求解． （2）①设交于点，的坐标为，则，根据，得出，解方程即可求解； ②设的坐标为，，当经过点时，是等腰直角三角形，则，根据题意列出方程，解方程，进而即可求得对角线的长，根据勾股定理即可求解．． 【解析】（1）解：由，当，， 则， ∵， ∴， ∵在轴的负半轴， ∴, 代入，即， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）①设交于点，    设的坐标为，则 ∵轴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴轴，， 则 ∴， ∴ 解得： ∴； ②如图所示，设的坐标为，，    ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 当经过点时，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：, ∴， ∴边长为． 【点睛】本题考查了一次函数与结合图形综合，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 25．定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；②或 【分析】（1）根据四边形为菱形，得出，结合点为边中点，得出，，即可得到，即可证明； （2）①根据是梯形，，得到，结合“加和角梯形”中，为“加和角”，即可求出，分别过点、作、，垂足分别为点G，H，则，证出四边形为矩形，得到，证明，得到，求出，，，证明，根据勾股定理求出，在中，根据直角三角形的性质得出，，从而求出，，即可求解； ②由为“加和角”，可得，过点作于点，可得四边形为矩形，得出，由点为中点，，可得，分为当时和当时，分别作图求解即可； 【解析】（1）∵四边形为菱形， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴梯形为“加和角梯形”． （2）①∵梯形中，， ∴， ∵“加和角梯形”中，为“加和角”， ∴， ∴， ∴， 分别过点、作、，垂足分别为点G，H， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ，， 由为“加和角”， 可得， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 由点为中点，， 则， ， I．当时， ∵ 则， 则， ∵， ∴中，， ∵， ， ∴； II．当时，过点G作于点Q，交延长线于点P，作于点R，设， 由I知， 则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ． 综上，或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，梯形的性质，矩形的性质和判定，菱形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24讲 四边形 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．中，的度数为100°，则（    ） A．60° B．80° C．100° D．120° 2．如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 3．一个多边形的每一个外角都等于40°，那么这个多边形的内角和为(     ) A．1260° B．1080° C．1620° D．360° 4．在矩形中，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列命题中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 二、填空题 7．已知四边形ABCD是周长为34的平行四边形，若AB=8，则BC= ． 8．菱形两对角线长分别为24和10，则该菱形的面积为 ． 9．化简： ． 10．内角为的正多边形的边数是 ． 11．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 12．顺次连接一个四边形各边中点得到的图形为菱形，则原四边形可能是 ． 13．如果某个等腰梯形的一个底角为60°，它的上、下底长分别为3和5，那么这个梯形的腰长是 ． 14．如图，是正方形的对角线，点E是延长线上的点，且，则 ． 15．如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，连接．若，，则线段的长为 ． 16．如图，梯形中，，是梯形的中位线，若的面积为，则梯形的面积为 ． 17．在平面直角坐标系中，若点P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线所在的直线分别与x轴或y轴垂直，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．如图为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为，如果点A，B的“相关菱形”为正方形，那么b的值是 ． 18．如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ． 三、解答题 19．如图，在中，点E、F是上两点，，连接，，求证：四边形是矩形． 20．如图，在中，O为的中点，点E，F分别在上，经过点O，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，．求的长． 21．如图，点在平行四边形的对角线上，设，，． (1)用向量表示下列向量： 向量_______；向量__________； (2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果) 22．在△中，，边上的高，沿图中线段、将△剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形，如图1所示．请你解决如下问题： 已知：如图2，在△中，边上的高．请你设计两种不同的分割方法，将△沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形，并说明分割线的做法与拼接方法． 23．如图，已知是等边三角形，过点作（），且，连接、．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)点在腰上，连接交于点，若，求证：． 24．已知在平面直角坐标系中，直线交轴负半轴于点，交轴于点，且．    (1)求直线的表达式； (2)已知点在直线上且在第一象限内，过点作轴，垂足为点，以线段为对角线作正方形（点在点的左侧）． ①如图，当点落在轴上时，求点的坐标； ②当的延长线经过点时，求正方形的边长． 25．定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$