专题03 勾股定理（考点串讲，3大常考点+五大题型突破+4易错剖析+押题预测）八年级数学下学期新教材沪科版

八年级数学下学期·期中复习大串讲 专题03 勾股定理 沪科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大考点：知识梳理+针对训练 五大题型突破 +举一反三 四大易错易混经典例题 精选9道期中真题对应考点练 直角 正整 知识结构 1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用 2.勾股定理的应用条件 一、勾股定理 3.勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， A B C c a b 知识梳理 二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 2.勾股数 3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题. A B C c a b 考点1 勾股定理 1.在中， ,,,则 的长为( ) B A.5 B. C.3 D. 针对训练 2.[2024· 天津模拟] 如图，的顶点 的坐标为 ，顶点,分别在第一、四象限，且 轴， 若,，则点 的坐标是( ) D A. B. C. D. 3.[2024· 北京西城区期中] 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上 形成一个长方形，以表示3的点为圆心，以长方形的对角线长为半径作 圆与数轴有两个交点，其中点 表示的数是( ) C A.5.2 B. C. D. 4.（教材母题） 如图，图中所有的三角形都是 直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知 ，，，，则 的值是 ( ) B A.18 B.10 C.36 D.40 5.[2024· 北京朝阳区期中] 如图，在中， ， ， ，，则 的长为 ( ) B A.1.5 B.2 C.3 D.4 [解析] 点拨： ， ， ， . ， ， 解得（负值已舍去）， . ， ， ， ， . 考点2 勾股定理的逆定理 6.[2024· 重庆铜梁区期中] 下列各组数中是勾股数的是( ) D A.，， B.1，2， C.4，5，7 D.5，12，13 7.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是 ( ) C A. B. C. D. 8.如图，已知等腰三角形 的底边长 ，是 上的一点，且 ， . （1）求证： ； 证明：,,， ， . 是直角三角形，且 . （2）求 的面积. 解：设，则 . , . 在中， ， ， 即，解得 . . 的面积为 . 考点3 勾股定理及其逆定理的实际应用 9.（教材母题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水 一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国 数学史上的“葭生池中”问题.如图，即 ， ，，则 ( ) C A.8 B.10 C.12 D.13 10.（新考向数学文化）《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门 和，门边沿，两点到门槛的距离是1尺（1尺寸），两扇门的间隙为2寸，则门槛 长为_____寸. 101 11.（新情境生活应用）如图为某品牌婴儿车简化结构示意图.根据安全 标准需满足，现测得，， ， ，其中与之间由一个固定为 的零件连接 （即 ），通过计算说明该婴儿车是否符合安全标准. 解：在中， ，， ， 由勾股定理得 ， 在中，，， ， ， ， ， 是直角三角形， ，即 ， 该婴儿车符合安全标准. 题型一 方程思想解决折叠问题 1.如图，在中，， ， ，将折叠，使点落在边上的点 处，是折痕，则 的周长为( ) C A.6 B.8 C.12 D.14 题型剖析 2.如图，在三角形纸片中， ，， .沿过 点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处；再折叠纸片，使 点与点重合，第二条折痕与的交点为，求 的长. 解：由折叠得， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则 ， ，解得，即 . 3.如图，把一张长方形纸片沿折叠，点 与点 重合，点落在点处,连接.若长方形的长 为8， 宽 为4，求： （1）和 的长； 解： 四边形 为长方形， ,, . 由折叠得，， , 设，则 ， 在中， ， ，解得，， . （2）阴影部分的面积. 解：过点作于点 ， ，， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 . 4.如图6是一块直角三角形的绿地，量得直角边BC长为6 m，AC长为8 m，现在要将原绿地扩充成等腰三角形，且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后的等腰三角形绿地的周长. 题型二 利用勾股定理解决分类讨论问题 AD=AB AB=BD AD=BD 题型三 平面图形中的最短路径问题 模型一 图例 ________________ 基本策略 确定动点 所在的直线；利用对称性，将同侧的, 两点转化为异侧的两点，，则最短路径即为线段 ；常构造直角三角形 ，利用勾股定理求解 模型二 图例 基本策略 利用“垂线段最短”确定最短路径； 构造直角三角形，利用勾股定理求解 5.如图，在中， ,， 的平分线交于点,且，是边 上一动 点，则 的最小值为( ) C A.2 B. C.1 D. 6.[2024·天津和平区月考] 如图，在 中， ，，，为 边上一动 点，连接，与关于直线 对称，连 接，则 的最小值为( ) B A. B.1 C. D. 7.如图，在中，，，且，若点 在 边上（不含端点）运动，则线段 的最小值为___. [解析] 点拨：根据垂线段最短知， 当时， 的值最小， ,,, ， 当时， ， 即, , 此时 , 点在边上， 线段的最小值为 . 题型四 几何体中的最短路径问题 圆柱 图例 __________________________________________ 基本策略 将立体图形展开成平面图形， 利用“两点之间，线段最短”确 定最短路径；构造直角三角 形，利用勾股定理求解 注意：长方体不同的展开方法 构造的直角三角形的各边长不 同，因此要先分类讨论再计算 比较 长方体 阶梯 图例 ___________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 基本策略 将立体图形展开成平面图形， 利用“两点之间，线段最短”确 定最短路径；构造直角三角 形，利用勾股定理求解 注意：长方体不同的展开方法 构造的直角三角形的各边长不 同，因此要先分类讨论再计算 比较 将立体图形展开成平面图形， 利用“两点之间，线段最短”确 定最短路径；构造直角三角 形，利用勾股定理求解 注意：长方体不同的展开方法 构造的直角三角形的各边长不 同，因此要先分类讨论再计算 比较 续表 8.小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个 长方体的两个侧面，如图所示.他根据学过的数学知 识准确地判断出，从点攀爬到点 的最短路径长为 ( ) D A. B. C. D. 9.如图，圆柱的轴截面 是边长为4的正方形，动点 从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点 的最短 距离的平方为( ) A A. B. C. D. 10.[2024·武汉经开区期末] 如图，长方体的长、宽、高分别为 ， ，，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点 ，则蚂蚁爬行 的最短路径的长是______ . [解析] 点拨：如图①，展开前面和上面，连接 , ；如图 ②，展开前面和右面，连接 ， ；如图③，展 开左面和上面，连接 ， . ， 最短路径的长为 . 11.如图，长方体的长和宽分别为和，高为 . 如果用一根细线从点开始经过四个侧面缠绕一圈达到点 ，那么所用 细线最短需要______ . 题型五 利用数形结合解决最短路径问题 12.[2024·莆田涵江区期中] 【问题背景】 在中，，，三边的长分别为，， ，求这个三 角形的面积.小蔡同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格 （每个小正方形的边长均为1），然后在网格中画出格点 （即三个顶点都在小正方形的顶点处， , , ），如图①.这样不需求 的高，借用网格就能计算出它的面积.这种求 面积的方法 叫做构图法. 【问题解决】 （1）借用网格计算出图①中 的面积为_ _. 【思维拓展】 （2）请运用构图法比较与 的大小，在图②的正方形网格 （每个小正方形的边长均为1）中画出相应的图形. 解：如图①，由图可得, , ， 由三角形的三边关系可知 ， . 【探索创新】 （3）已知是正数，请运用构图法求出 的最小 值.（画出相应的图形） 解：如图②， 的最小值可转 化为平面直角坐标系中轴正半轴上一点 到 , 两点的距离的和的最小值， 作关于轴的对称点，连接， ， 则， ， 当,,三点共线时，的值最小，最小值为 的长度. ， ， ， 的最小值为 . 易错易混 押题预测 B A B 5 2 14 2或14