专题03 勾股定理的实际应用模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级下册

专题03 勾股定理的实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）； （2）确定要求的线段所在的直角三角形； （3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边，则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边，则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 2 【模型解读】模型一：梯子滑动模型 2 【模型解读】模型二：轮船航行模型 3 【模型解读】模型三：信号站（中转站）选择 4 【模型解读】模型四：台风（噪音）爆破模型 4 【模型解读】模型五：超速模型 5 【模型解读】模型六：风吹莲动模型 6 【模型解读】模型七：折竹抵地模型 7 【模型解读】模型八：不规则图形面积模型 8 9 1．（2024•巴中）“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（2024•吉林）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为_________________． 模型一：梯子滑动模型 相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 例1（2025秋•林甸县期末）如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将滑动（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 例2（2025春•邯郸校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，则小巷的宽为 米． 模型二：轮船航行模型 相关模型背景：轮船航行等。 解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长： 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 例1（2025春•武威校级期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西18°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为 ． 例2（2026春•太和县月考）如图，一艘小船以8海里/时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里/时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距 海里． 模型三：信号站（中转站）选择 模型相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁）,并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 模型四：台风（噪音）爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 例1（2026春•顺河区校级月考）某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为教学楼，点C与直线AB上两点A、B的距离分别为30m和40m，且AB＝50m，以货车为圆心的周围25m以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90° （2）教学楼C会受噪声影响吗？为什么？ （3）若货车的速度为2m/s，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 模型五：超速模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算行驶的距离； 2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； 3）比较实际行驶速度和规定速度。 例1（2025秋•龙海区期末）某条高速路限速100km/h，如图，一辆大巴车在这条高速路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方50m的B处，过了4s，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m． （1）求A、B两地的距离； （2）请判断这辆大巴车是否超速，并说明理由． 模型六：风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1（2025秋•贵州期末）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（　　）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈＝10尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 例2（2026春•兴化市月考）将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm．则h的取值范围是（　　） A．h≤16cm B．h≥7cm C．7cm＜h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 模型七：折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1（2025秋•古县期末）如图，受台风影响，一棵8米高的树被风刮断了，树顶落在离树根4米处，则折断处的高度AB为 米． 例2（2025秋•上城区期末）小明买了一个风筝进行试放，如图1，牵风筝线的手到地面的距离AB为1.5m，假设牵风筝线的手A的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝C的水平距离BD为16m，手与风筝C之间的距离AC为20m，已知点A、B、D、C在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线剩1m的情况下，如图2，若想要让风筝的离地高度再上升1m至C′处，请判断小明能否成功，并说明理由． 模型八：不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤： 1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形； 2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度； 3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形； 4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 例1（2025秋•普陀区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A、B、C都在格点上，那么边AB上的高是 ． 例2（2025秋•新安县期末）某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°． （1）连接AC，求AC的长； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为500元，则绿化这片空地共需花费多少元？ 1．（2025秋•西湖区校级月考）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 2．（2025秋•普陀区期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 3．（2025秋•原阳县期末）如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（　　） A．6km B．5km C．4km D． 4．（2025秋•高陵区期末）如图，这是我国海军某舰艇编队在南海开展实兵对抗的训练图，已知∠AOB＝90°红方战舰A在雷达站O的北偏东60°方向，距离40nmile处，且红方战舰A与蓝方战舰B相距50nmile，则蓝方战舰B在雷达站O的（　　） A．南偏东30°方向，距离30nmile处 B．北偏东30°方向，距离30nmile处 C．南偏东60°方向，距离30nmile处 D．北偏东60°方向，距离30nmile处 5．（2025秋•内江期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 6．（2026春•江岸区校级月考）如图，一棵大树在离地面6m处折断，树的顶端落在离树干底部8m处，那么这棵树原来的长度是（　　） A．10m B．12m C．14m D．16m 7．（2025秋•桂平市期末）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面12cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置48cm（如图），则水的深度BC为（　　） A．60cm B．72cm C．90cm D．96cm 8．（2025秋•菏泽月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是（　　） A．10 B． C． D． 9．（2025秋•衢江区期末）如图，一块四边形地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（　　） A．30m2 B．24m2 C．18m2 D．12m2 10．（2025秋•连云港期末）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 11．（2025秋•龙海区期末）“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机因物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（　　） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 12．（2025秋•招远市期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AD的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度DE＝0.5m，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为3m，即BC＝3m此时秋千踏板离地面的垂直高度BF＝1.5m．那么，绳索AD的长度为（　　） A．3m B．4m C．5m D．m 13．（2025秋•岑溪市期末）如图，某数学兴趣小组计划在鱼塘边的木杆A点测量鱼塘另一边木杆B点的长度，点C为存放鱼科的小屋，现测得AC＝6m，∠CAB＝60°，∠ACB＝75°，则可求出AB两点间的距离是（　　） A． B． C． D． 14．（2025秋•大英县期末）如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（　　） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 15．（2025秋•邓州市期末）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 16．（2025秋•松江区期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度为3m．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出QF的长度为9m．则旗杆的高度为 m． 17．（2025秋•泗洪县期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 18．（2025秋•下花园区期末）AI机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程AC为15米，则AB的长为 米． 19．（2025•连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 m． 20．（2025春•凉州区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝1，，则四边形ABCD的面积为 ． 21．（2025秋•洛宁县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 米． 22．（2025秋•永寿县期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 m． 23．（2025秋•永春县期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆AB的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离都是1.6米． 则旗杆AB的高度为 米． 24．（2025秋•常德校级期末）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行 米． 25．（2025秋•永宁县期末）公园里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被游客踏出了一条小路AC（如图），已知AB＝3m，BC＝4m，则游客走小路AC少走了 m． 26．（2025秋•泰兴市期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于AB时，AO＝2.4m，BO＝1.8m．如果梯子顶端下滑0.4m（即AC＝0.4m），那么梯子的底端B向右滑动 m． 27．（2025秋•成都期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是 尺． 28．（2025秋•朝阳期末）风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，BC为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得BC长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即CD的长）为1.8米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度AD； （2）如图2，若风筝沿DA方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线BC方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则BF的长度是多少米？ 29．（2025秋•永宁县期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想要风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 30．（2025秋•南皮县期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄M，从村庄M到公路原有两个出口A，B，其中AB＝MA，MB＝1.5km，由于暴雨导致M到A的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路MC（A，C，B在同一条直线上），测得MC＝1.2km，BC＝0.9km． （1）从村庄M到公路，请通过计算说明MC是否为距离最近的路； （2）求新修的路MC比原来的路MA短多少． 31．（2025秋•中原区期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 32．（2025秋•西山区校级期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°，求这片绿地的面积． 33．（2026春•南宁校级月考）如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里． （1）求小岛A，渔船P之间的距离（结果保留根号）； （2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发前往P点进行救援，救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP方向前往P点，已知A、P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船和补给船哪个先赶到P点．（参考数据：，，） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理的实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）； （2）确定要求的线段所在的直角三角形； （3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边，则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边，则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 2 【模型解读】模型一：梯子滑动模型 3 【模型解读】模型二：轮船航行模型 5 【模型解读】模型三：信号站（中转站）选择 6 【模型解读】模型四：台风（噪音）爆破模型 7 【模型解读】模型五：超速模型 9 【模型解读】模型六：风吹莲动模型 10 【模型解读】模型七：折竹抵地模型 12 【模型解读】模型八：不规则图形面积模型 14 16 1．（2024•巴中）“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】设BC＝x，则BD＝BA＝x+1，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程求解即可． 【解答】解：设BC＝x，则BD＝BA＝x+1， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB2＝AC2+BC2， 即（x+1）2＝52+x2， 解得x＝12， 即BC＝12， 故选：C． 2．（2024•吉林）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为_________________． 【答案】x2+22＝（x+0.5）2． 【分析】在Rt△AB'C中，由勾股定理得出方程即可． 【解答】解：在Rt△AB'C中，由勾股定理得， AC2+B'C2＝AB'2， 即x2+22＝（x+0.5）2，故答案为：x2+22＝（x+0.5）2． 模型一：梯子滑动模型 相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 例1（2025秋•林甸县期末）如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将滑动（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 【答案】C 【分析】利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【解答】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑4m后，顶端距离墙角的距离： B′O＝24﹣4＝20（m）， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： AA′＝15﹣7＝8（m）． 故选：C． 例2（2025春•邯郸校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，则小巷的宽为 米． 【答案】2.7． 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长． 【解答】解：在Rt△ABC中， AB2.5（米）， ∴A′B＝2.5米， 在Rt△A′BD中， BD2（米）， ∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米）， 答：小巷的宽为2.7米， 故答案为：2.7． 模型二：轮船航行模型 相关模型背景：轮船航行等。 解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长： 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 例1（2025春•武威校级期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西18°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为 ． 【答案】南偏西72°． 【分析】根据勾股定理的逆定理得出∠MON＝90°，再根据平角定义求出即可． 【解答】解：由题意知OM＝60，ON＝80，MN＝100， ∵602+802＝1002， ∴OM2+ON2＝MN2， ∴△OMN是直角三角形，∠MON＝90°， 又∠EOM＝18°， ∴∠NOF＝180°﹣∠EOM﹣∠MON＝180°﹣18°﹣90°＝72°， ∴渔船从港口O出发的方向为南偏西72°， 故答案为：南偏西72°． 例2（2026春•太和县月考）如图，一艘小船以8海里/时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里/时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距 海里． 【答案】34． 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了30海里和16海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【解答】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为90°， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口O为直角顶点，即∠AOB＝90°， 由题意得，第一艘船（西北方向）：速度8海里/时，航行2小时， ∴OA＝8×2＝16； 第二艘船（西南方向）：速度15海里/时，航行2小时， ∴OB＝15×2＝30海里， ∴． 故答案为：34． 模型三：信号站（中转站）选择 模型相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁）,并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 模型四：台风（噪音）爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 例1（2026春•顺河区校级月考）某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为教学楼，点C与直线AB上两点A、B的距离分别为30m和40m，且AB＝50m，以货车为圆心的周围25m以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90° （2）教学楼C会受噪声影响吗？为什么？ （3）若货车的速度为2m/s，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 【答案】（1）依题得：CA＝30m，CB＝40m， ∵302+402＝502， 即CA2+AB2＝AB2， ∴∠ACB＝90°； （2）教学楼C会受噪声影响； （3）货车影响教学楼持续的时间为7s． 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作CD⊥AB交AB于点D，结合直角三角形面积计算公式求出CD的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论； （3）设当EC＝FC＝25m时，正好影响教学楼C，利用勾股定理求出DE的长，进而得出EF的长，再根据时间＝路程÷速度即可得解． 【解答】（1）证明：依题得：CA＝30m，CB＝40m， ∵302+402＝502， 即CA2+AB2＝AB2， ∴∠ACB＝90°； （2）解：作CD⊥AB交AB于点D， ∵S△ABCAC•BCCD•AB， ∴DC24＜25， 以货车为圆心的周围25m以内为受影响区域，故教学楼C会受噪声影响； （3）解：如图，当EC＝FC＝25m时，正好影响教学楼C， ∵CD2+DE2＝CE2， ∴DE7（m）， 同理可得DF＝7m， ∴EF＝DE+DF＝14m， ∵货车的速度为2m/s， ∴货车影响教学楼持续的时间为14÷2＝7s． 模型五：超速模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算行驶的距离； 2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； 3）比较实际行驶速度和规定速度。 例1（2025秋•龙海区期末）某条高速路限速100km/h，如图，一辆大巴车在这条高速路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方50m的B处，过了4s，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m． （1）求A、B两地的距离； （2）请判断这辆大巴车是否超速，并说明理由． 【答案】（1）120m． （2）这辆大巴车超速了． 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）用路程除以时间求出速度，与限速进行比较即可． 【解答】解：（1）由题意知，△ABC是直角三角形，AC＝130m，BC＝50m， 可得（m）， 所以AB的长是120m． （2）大巴车的速度为：30m/s＝108km/h＞100km/h， ∴这辆大巴车超速了． 模型六：风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1（2025秋•贵州期末）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（　　）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈＝10尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 【答案】C 【分析】设OA＝x尺，则OC＝OB＝OA+AB＝（x+1）尺，在Rt△OAC中，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：设OA＝x尺，则：OC＝OB＝OA+AB＝（x+1）尺， 在Rt△OAC中，OC2＝OA2+AC2， ∴， 解得x＝12， ∴OA＝12尺，OB＝13尺， 即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺， 故选：C． 例2（2026春•兴化市月考）将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm．则h的取值范围是（　　） A．h≤16cm B．h≥7cm C．7cm＜h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【答案】D 【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出几的最大值和最小值即可． 【解答】解：当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h最大＝24﹣8＝16（cm）； 如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，连接AD， 在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm， 由勾股定理得：， 此时h最小＝24﹣17＝7（cm）， ∴h的取值范围是7cm≤h≤16cm， 故选：D． 模型七：折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1（2025秋•古县期末）如图，受台风影响，一棵8米高的树被风刮断了，树顶落在离树根4米处，则折断处的高度AB为 米． 【答案】3． 【分析】假设AB的长度为x米，故AC长度为（8﹣x）米，根据勾股定理，可求出x的值，即可得出答案． 【解答】解：根据题意，可知三角形ABC为直角三角形， 根据勾股定理，得AC2＝AB2+BC2， 设AB的长度为x米，故AC长度为（8﹣x）米，结合BC＝4米， 可得方程（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3， 故AB的长度为3米， 故答案为：3． 例2（2025秋•上城区期末）小明买了一个风筝进行试放，如图1，牵风筝线的手到地面的距离AB为1.5m，假设牵风筝线的手A的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝C的水平距离BD为16m，手与风筝C之间的距离AC为20m，已知点A、B、D、C在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线剩1m的情况下，如图2，若想要让风筝的离地高度再上升1m至C′处，请判断小明能否成功，并说明理由． 【答案】（1）13.5m； （2）小明能成功，理由如下： 如图2，延长DC至点C'，使CC'＝1m，连接AC'， ∴EC'＝CE+CC'＝12+1＝13（m）， 在Rt△AEF中，AC'5（m）， ∵AC＝20m，余线剩1m， ∴20+1＝21＞5， ∴能上升1m， 即小明能成功． 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可求解； （2）延长DC至点C'，使CC'＝1m，连接AC'，根据勾股定理可得AC'＝5m，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥CD于点E， 则AE＝BD＝16m，AB＝CD＝1.5m，∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：CE12（m）， ∴CD＝CE+CD＝12+1.5＝13.5（m）， 答：风筝离地面的垂直高度CD为13.5m； （2）小明能成功，理由如下： 如图2，延长DC至点C'，使CC'＝1m，连接AC'， ∴EC'＝CE+CC'＝12+1＝13（m）， 在Rt△AEF中，AC'5（m）， ∵AC＝20m，余线剩1m， ∴20+1＝21＞5， ∴能上升1m， 即小明能成功． 模型八：不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤： 1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形； 2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度； 3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形； 4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 例1（2025秋•普陀区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A、B、C都在格点上，那么边AB上的高是 ． 【答案】2． 【分析】分别求出AC、BC、AB的长，易证△ABC为直角三角形，再利用等面积即可得解； 【解答】解：由勾股定理及各点可得AC2，BC，AB5， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， ∴hAB2， 故答案为：2； 例2（2025秋•新安县期末）某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°． （1）连接AC，求AC的长； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为500元，则绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1）15m； （2）57000元． 【分析】（1）根据勾股定理计算AC即可； （2）由勾股定理逆定理可得△ACD是直角三角形，再计算面积，进而得到绿化费用即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴； 答：AC的长为15m； （2）∵CD＝17m，AD＝8m， ∴AD2+AC2＝82+152＝289＝172＝CD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°， ∴， ， ∴， ∴500×114＝57000（元）． 答：绿化这片空地共需花费57000元． 1．（2025秋•西湖区校级月考）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】先求出AB⊥B′C，B′C＝5尺，再设AB'＝AB＝x尺，则AC＝（x﹣1）尺，在Rt△AB′C中，利用勾股定理求解即可得． 【解答】解：由题意得：AB⊥B′C，AB′＝AB，（尺），BC＝1尺， 设AB'＝AB＝x尺，则AC＝AB﹣BC＝（x﹣1）尺， 在Rt△AB′C中，AC2+B′C2＝B′A2，即（x﹣1）2+52＝x2， 解得x＝13， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 2．（2025秋•普陀区期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【答案】C 【分析】根据图形和勾股定理，可以得到x2+62＝（10﹣x）2，然后即可得到哪个选项符合题意． 【解答】解：由图可得， x2+62＝（10﹣x）2， 故选：C． 3．（2025秋•原阳县期末）如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（　　） A．6km B．5km C．4km D． 【答案】A 【分析】设EA＝xkm，则EB＝（10﹣x）km，利用“DE＝CE”，结合勾股定理建立方程求解． 【解答】解：设EA＝xkm，则EB＝（10﹣x）km， ∵DA＝4km，CB＝6km， ∴DE＝DA2+EA2＝42+x2，CE＝CB2+BE2＝62+（10﹣x）2， ∵DE＝CE， ∴42+x2＝62+（10﹣x）2， 化简得20x＝120， 解得x＝6，即EA＝6km． 故选：A． 4．（2025秋•高陵区期末）如图，这是我国海军某舰艇编队在南海开展实兵对抗的训练图，已知∠AOB＝90°红方战舰A在雷达站O的北偏东60°方向，距离40nmile处，且红方战舰A与蓝方战舰B相距50nmile，则蓝方战舰B在雷达站O的（　　） A．南偏东30°方向，距离30nmile处 B．北偏东30°方向，距离30nmile处 C．南偏东60°方向，距离30nmile处 D．北偏东60°方向，距离30nmile处 【答案】A 【分析】根据∠AOB＝90°，点A在点O的北偏东60°方向，可知点B在点O的南偏东30°方向，根据勾股定理可知OB＝30nmile，即可求解． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，点A在点O的北偏东60°方向， ∴点B在点O的南偏东30°方向， 根据勾股定理可知， 综上可知点B在点O的南偏东30°方向，距离30（nmile）处． 故选：A． 5．（2025秋•内江期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【解答】解：∵正方形小方格边长为1， ∴BC5， AC， AB， 在△ABC中， ∵AB2+AC2＝5+20＝25，BC2＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 故选：A． 6．（2026春•江岸区校级月考）如图，一棵大树在离地面6m处折断，树的顶端落在离树干底部8m处，那么这棵树原来的长度是（　　） A．10m B．12m C．14m D．16m 【答案】D 【分析】直接由勾股定理列式计算即可． 【解答】解：由勾股定理可知，这棵树折断部分的长度是10（m）， ∴这棵树原来的长度是10+6＝16（m）， 故选：D． 7．（2025秋•桂平市期末）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面12cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置48cm（如图），则水的深度BC为（　　） A．60cm B．72cm C．90cm D．96cm 【答案】C 【分析】设荷花入水部分BC长hcm，则荷花的高（h+12）cm，因荷花偏离原位置48cm，那么水深hcm与水平距离48cm组成一个以（h+12）cm为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【解答】解：设荷花入水部分BC长hcm，则荷花的高（h+12）cm， 根据题意得（h+12）2＝482+h2，解得h＝90， 故选：C． 8．（2025秋•菏泽月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是（　　） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后利用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD进行计算即可解答． 【解答】解：如图： ∵∠B＝90°，AB＝2，， ∴根据勾股定理得，， ∵CD＝5，AD＝4， ∴AC2+AD2＝32+42＝25，CD2＝52＝25， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ． 即四边形ABCD的面积为6， 故选：B． 9．（2025秋•衢江区期末）如图，一块四边形地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（　　） A．30m2 B．24m2 C．18m2 D．12m2 【答案】B 【分析】连接AC，由AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°利用勾股定理可求出AC的长，再根据AB＝13m，BC＝12m，利用勾股定理的逆定理可证△ACB为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【解答】解：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m， ∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25， ∴AC＝5m， ∵AB＝13m，BC＝12m， ∴BC2＝122＝144，AB2＝132＝169， ∴AB2＝BC2+AC2，则△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴这块地的面积为． 故选：B． 10．（2025秋•连云港期末）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】先求出AB⊥B′C，B′C＝5尺，再设AB'＝AB＝x尺，则AC＝（x﹣1）尺，在Rt△AB′C中，利用勾股定理求解即可得． 【解答】解：由题意得：（尺），BC＝1尺，AB⊥B′C，AB′＝AB， 设AB'＝AB＝x尺，则AC＝AB﹣BC＝（x﹣1）尺， 在Rt△AB′C中，AC2+B′C2＝B′A2， 即（x﹣1）2+52＝x2， 解得x＝13， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 11．（2025秋•龙海区期末）“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机因物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（　　） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 【答案】C 【分析】由勾股定理可得出答案． 【解答】解：由题意知AB＝300米，BC＝400米， ∴AC500（米）， 故选：C． 12．（2025秋•招远市期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AD的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度DE＝0.5m，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为3m，即BC＝3m此时秋千踏板离地面的垂直高度BF＝1.5m．那么，绳索AD的长度为（　　） A．3m B．4m C．5m D．m 【答案】C 【分析】由题意可知，AB＝AD，EC＝BF＝1.5m，DE＝0.5m，则CD＝EC﹣DE＝1m，设绳索AD的长度为xm，则AB＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：由题意可知，AB＝AD，EC＝BF＝1.5m，DE＝0.5m， ∴CD＝EC﹣DE＝1.5﹣0.5＝1（m）， 设绳索AD的长度为xm，则AB＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2， 即x2＝32+（x﹣1）2， 解得：x＝5， 即绳索AD的长度为5m， 故选：C． 13．（2025秋•岑溪市期末）如图，某数学兴趣小组计划在鱼塘边的木杆A点测量鱼塘另一边木杆B点的长度，点C为存放鱼科的小屋，现测得AC＝6m，∠CAB＝60°，∠ACB＝75°，则可求出AB两点间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AB，过点C作CG⊥AB于点G，得到△ACG是含30°的直角三角形，△CGB为等腰直角三角形，再由30°的直角三角形性质以及勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，∠CAB＝60°，连接AB，过点C作CG⊥AB于点G， ∴∠ACG＝90°﹣60°＝30°， ∴∠GCB＝∠ACB﹣∠ACG＝75°﹣30°＝45°， ∵CG⊥AB， ∴，△CGB为等腰直角三角形， 在直角三角形ACG中，由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 14．（2025秋•大英县期末）如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（　　） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 【答案】C 【分析】根据勾股定理求得AC长即可． 【解答】解：由题意，得：AB＝6米，BC＝8米，∠ABC＝90°，如图， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝62+82＝100， ∴AC＝10米， ∴大树高6+10＝16（米）， 故选：C． 15．（2025秋•邓州市期末）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 【答案】A 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方＝（x﹣3）2﹣82；第二个笔筒中：直径平方＝（x﹣1）2﹣122；因直径相等，列方程即可求解． 【解答】解：设铅笔长度为xcm， 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm， ∴（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122， 解得x＝22， 故铅笔的长为22cm， 故选：A． 16．（2025秋•松江区期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度为3m．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出QF的长度为9m．则旗杆的高度为 m． 【答案】12． 【分析】由①得，绳子的长度比旗杆的高度多3m，设旗杆PQ的高度为xm，则绳子的长度PF为（x+3）m，在Rt△PQE中，由勾股定理得PQ2+QF2＝PF2，列出方程，并解方程即可得到答案． 【解答】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多3m， 设旗杆PQ的高度为xm，则绳子的长度PF为（x+3）m， 在Rt△PQF中，PF＝x+3，QF＝9， 由勾股定理得：PQ2+QF2＝PF2，则x2+92＝（x+3）2， 整理得：6x+9＝81， 解得：x＝12， ∴旗杆的高度为12m， 故答案为：12． 17．（2025秋•泗洪县期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 【答案】 【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【解答】解：设木柱长为x尺，根据题意得： AB2+BC2＝AC2， 则x2+82＝（x+3）2， 解得：x， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 18．（2025秋•下花园区期末）AI机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程AC为15米，则AB的长为 米． 【答案】12． 【分析】根据勾股定理计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝15米，BC＝9米， 由勾股定理得：AB12（米）， 故答案为：12． 19．（2025•连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】2.4． 【分析】根据长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m， ∴， 故答案为：2.4． 20．（2025春•凉州区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝1，，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】． 【分析】先由勾股定理求出AC，再通过勾股定理逆定理得∠ADC＝90°，最后由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD即可求解． 【解答】解：如图，连接AC， 在四边形ABCD中， ∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴， ∵CD＝1，，， ∴AC2＝CD2+AD2， ∴∠ADC＝90°， ∴ ， 故答案为：． 21．（2025秋•洛宁县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 米． 【答案】1.5 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米） 故答案为：1.5． 22．（2025秋•永寿县期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 m． 【答案】小巷的宽度BE为2.7米． 【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论． 【解答】解：在Rt△AED中，∵∠AED＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米， ∴AD2＝0.72+2.42＝6.25． 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2， ∴AB2+1.52＝6.25， ∴AB2＝4． ∵AB＞0， ∴AB＝2米． ∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7米． 答：小巷的宽度BE为2.7米， 故答案为：2.7． 23．（2025秋•永春县期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆AB的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离都是1.6米． 则旗杆AB的高度为 米． 【答案】13.6． 【分析】连接HF并延长，交AB于C，设绳子的长为x米，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，再根据勾股定理求出AC，进而求出AB． 【解答】解：如图，连接HF并延长，交AB于C， 由题意可知：HC⊥AB， 设绳子的长为x米，则AF＝（x）米， 在Rt△AFC中，AC2＝AF2﹣CF2＝（x）2﹣（）2， 在Rt△AHC中，AC2＝AH2﹣CH2＝x2﹣52， 则（x）2﹣（）2＝x2﹣52， 解得：x＝13， ∴AC12（米）， ∴AB＝12+1.6＝13.6（米）， 故答案为：13.6． 24．（2025秋•常德校级期末）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行 米． 【答案】5． 【分析】根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得AB的长． 【解答】解：如图，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米， ∴AC＝6﹣3＝3（米），BC＝4米， 在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：（米）， 即小鸟至少飞行5米， 故答案为：5． 25．（2025秋•永宁县期末）公园里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被游客踏出了一条小路AC（如图），已知AB＝3m，BC＝4m，则游客走小路AC少走了 m． 【答案】2． 【分析】利用勾股定理求出AC的长度，据此进一步求解即可． 【解答】解：依题意，， ∵3+4﹣5＝2， 即游客走小路AC少走了2m， 故答案为：2． 26．（2025秋•泰兴市期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于AB时，AO＝2.4m，BO＝1.8m．如果梯子顶端下滑0.4m（即AC＝0.4m），那么梯子的底端B向右滑动 m． 【答案】（1.8）． 【分析】先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB，再在Rt△OCD中利用勾股定理求出OD，从而得解． 【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝2.4m，BO＝1.8m， 根据勾股定理得，AB， ∴CD＝AB＝3m， ∵AC＝0.4m， ∴OC＝AO﹣AC＝2m， 在Rt△OCD中，ODm， ∴BD＝OD﹣OB＝（1.8）m， 即梯子的底端B应向右滑动（1.8）m． 故答案为：（1.8）． 27．（2025秋•成都期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是 尺． 【答案】4． 【分析】设水池的深度为h尺，利用勾股定理，列出关于h的方程求解． 【解答】解：设水池的深度为h尺， 则h2+32＝（h+1）2， h2+9＝h2+1+2h， 解得：h＝4， 度答案为：4． 28．（2025秋•朝阳期末）风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，BC为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得BC长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即CD的长）为1.8米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度AD； （2）如图2，若风筝沿DA方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线BC方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则BF的长度是多少米？ 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度AD为8.8米； （2）4米． 【分析】（1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到CE＝AC+AE＝7+8＝15米，EF＝AB＝25米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，（米）， ∴AD＝AC+CD＝7+1.8＝8.8（米）． 答：此时风筝离地面的垂直高度AD为8.8（米）． （2）CE＝AC+AE＝7+8＝15（米）， 由题意可得：EF＝AB＝25（米）， 在Rt△EFC中，（米）， ∴BF＝BC﹣CF＝24﹣20＝4（米）， 答：他应该朝射线BC方向前进4米． 29．（2025秋•永宁县期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想要风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的高度CE为21.7米； （2）他应该往回收线8米． 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， ∴CD＝20（负值舍去）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米）， 答：风筝的高度CE为21.7米； （2）由题意得，CM＝12米， ∴DM＝8米， ∴（米）， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 30．（2025秋•南皮县期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄M，从村庄M到公路原有两个出口A，B，其中AB＝MA，MB＝1.5km，由于暴雨导致M到A的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路MC（A，C，B在同一条直线上），测得MC＝1.2km，BC＝0.9km． （1）从村庄M到公路，请通过计算说明MC是否为距离最近的路； （2）求新修的路MC比原来的路MA短多少． 【答案】（1）是； （2）0.05km． 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理，验证△MCB三边是否满足MB2＝MC2+BC2，以此判断△MCB是否为直角三角形，进而得到MC与公路垂直，再根据“垂线段最短”确定MC是否为距离最近的路． （2）先设MA的长度为未知数，结合AB＝MA表示出AC的长度，再在Rt△MCA中利用勾股定理列方程，求解出MA的长度，最后计算MA与MC的差值． 【解答】解：（1）∵MB＝1.5，MC＝1.2，BC＝0.9， ∴MB2＝1.52＝2.25，MC2+BC2＝1.22+0.92＝2.25， ∴MB2＝MC2+BC2． ∴△MCB是直角三角形，且∠MCB＝90°， ∴MC⊥AB， ∴MC是村庄M到公路距离最短的路； （2）∵AB＝MA， ∴AC＝MA﹣0.9． 由（1）可知MC⊥AB， ∴∠MCA＝90°， ∴MA2＝AC2+MC2， ∴MA2＝（MA﹣0.9）2+1.22，解得MA＝1.25， ∴MA﹣MC＝0.05（km）， 答：新修的小路MC比原来的路MA短0.05km． 31．（2025秋•中原区期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理和线段的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得AC＝8dm，BC＝6dm，∠ACB＝90°， ∴AB10（dm）， ∴AB+AC＝10+8＝18（dm）， 答：绳子的总长度为18dm； （2）如图， 根据题意得∠ADB＝90°，AD＝8dm，CD＝7dm，AB＝（10+7）dm， ∴15（dm）， ∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 32．（2025秋•西山区校级期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°，求这片绿地的面积． 【答案】114m2． 【分析】连接AC，勾股定理求出AC的长，勾股定理的逆定理求出△ACD为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝90°， ∴AC15cm， ∵CD＝17m，AD＝8m， ∴根据勾股定理得，AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD为直角三角形，∠DAC＝90°， ∴绿地的面积； 答：这片绿地的面积是114m2． 33．（2026春•南宁校级月考）如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里． （1）求小岛A，渔船P之间的距离（结果保留根号）； （2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发前往P点进行救援，救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP方向前往P点，已知A、P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船和补给船哪个先赶到P点．（参考数据：，，） 【答案】（1）海里； （2）救援船先赶到P点． 【分析】（1）过点P作PD⊥AB于D点，可得∠BDP＝∠ADP＝90°，然后在Rt△PBD中，利用勾股定理求出BD，DP的长，再在Rt△PAD中，利用含30°的直角三角形的性质求出AP的长即可解答； （2）结合（1）可得海里，过点B作BF⊥AC，垂足为F，利用含30度的直角三角形的性质求出BF，证明△BCF是等腰直角三角形，求出CF，利用勾股定理求出AF，得到PF、CP，再分别算出两艘船分别到达点P的时间，判断即可． 【解答】解：（1）在Rt△PBD中，∠PBD＝45°，BP＝30海里，如图1，过点P作PD⊥AB于D点， ∴∠BDP＝∠ADP＝90°， ∴∠BPD＝45°， ∴PD＝BD， 由勾股定理得：PB2＝PD2+BD2＝2PD2， ∴海里， 在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°， ∴海里， ∴小岛A，渔船P之间的距离为海里； （2）由（1）可知，在Rt△PAD中，由勾股定理得：海里， ∴海里， 如图2，过点B作BF⊥AC，垂足为F， ∴∠AFB＝∠CFB＝90°， 由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°， ∴△BCF是等腰直角三角形， 在Rt△ABF中，∠BAF＝30°， ∴海里， ∴海里， 在直角三角形ABF中，由勾股定理得：海里 ∴海里， ∴， ∴救援船赶到P点的时间为：（小时）， 补给船赶到P点的时间为：（小时）， ∵，，即 ∴救援船先赶到P点． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $