专题02 一元二次方程（考题猜想，压轴必刷9大题型）八年级数学下学期新教材沪科版

专题02 一元二次方程 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0” 1 题型二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0” 3 题型三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0” 4 题型四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0” 6 题型六 利用配方法的求最值问题 9 题型七 换元法解一元二次方程 14 题型八 用一元二次方程解决营销问题 18 题型九 用一元二次方程解决动态几何问题 23 题型一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0” 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则的值 ． 3．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）已知：是关于x的一元二次方程，则 ． 4．（24-25九年级上·江西新余·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 题型二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0” 5．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）若关于的一元二次方程有一个根是，则 ． 6．（24-25八年级上·上海·期中）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）若关于x的一元二次方程有一根为0，则的值为 ． 题型三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0” 8．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 9．（24-25九年级上·广东梅州·期中）关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）如果关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 题型四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0” 13．（24-25九年级上·河南周口·期中）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为 ． 14．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 15．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）综合与探究 已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，求m的值； (3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 题型六 利用配方法的求最值问题 16．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 17．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 18．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． (2)求代数式的最小值． 19．（24-25九年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 题型七 换元法解一元二次方程 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 21．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 22．（24-25九年级上·四川乐山·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 23．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 题型八 用一元二次方程解决营销问题 24．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）2024年是农历甲辰龙年．网店老板小王近期购进一批进价89元的“龙年大吉”保温杯，以每个100元的价格销售．由于销售火爆，保温杯的销售单价经过两次调整后，上涨到每个121元，此时每天可售出66个． (1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； (2)调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加3个．为了尽快减少库存，小王决定降价促销．若使每天所获销售利润为1512元，则销售单价应降低多少元？ 25．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个，第三季度生产了288万个．回答下列问题： (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 26．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． (1)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (2)该商场1月份的销售量为件，月份和月份的平均增长率为．若前三个月的总销售量为件，求值． 27．（24-25九年级上·湖南永州·期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨2元，就少卖20个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 28．（24-25九年级上·湖南永州·期中）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动．已知一根跳绳的进价为20元，商场确定其售价为40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根．已知售价40元时，每月可销售500根，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 题型九 用一元二次方程解决动态几何问题 29．（24-25九年级上·湖北荆门·期中）已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 30．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，点从出发，沿以的速度向点B匀速移动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速移动．设运动的时间为． (1)______，______； (2)为何值时，的面积等于？ 31．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)直接写出________，________（用含有的代数式表示）； (2)求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 32．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． $$专题02 一元二次方程 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0” 1 题型二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0” 3 题型三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0” 4 题型四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0” 6 题型六 利用配方法的求最值问题 9 题型七 换元法解一元二次方程 14 题型八 用一元二次方程解决营销问题 18 题型九 用一元二次方程解决动态几何问题 23 题型一 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0” 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义：一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项．根据方程是一元二次方程，可得且，求出结果即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则的值 ． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数是2且系数不为零列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）已知：是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义．掌握一元二次方程必须满足的两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0是解题关键．根据一元二次方程的定义即得出且，解出m即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：0． 4．（24-25九年级上·江西新余·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， 解得：， 故答案为：． 题型二 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0” 5．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）若关于的一元二次方程有一个根是，则 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据一元二次方程的定义可得，根据一元二次方程的解的定义将代入原方程，得到关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是， ∴且， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海·期中）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为0． 将代入方程得到，求出，然后由得到，求出． 【详解】解：将代入， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：2． 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）若关于x的一元二次方程有一根为0，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入解方程，且注意即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 题型三 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0” 8．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 9．（24-25九年级上·广东梅州·期中）关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义可得且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：且，解得：且． 故答案为：且． 10．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得，且，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 11．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）如果关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据且列式求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】二次根式有意义的条件、根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，二次根式的意义，理解和掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程的定义、二次根式的意义以及根的判别式的意义得到，，且，然后求出不等式的公共部分即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 题型四 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0” 13．（24-25九年级上·河南周口·期中）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为 ． 【答案】3 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，，代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，所以的取值范围是； （2）解：根据题意得，，， 所以， 解得，， 又， 所以． 15．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）综合与探究 已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，求m的值； (3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． （1）根据判别式即可解答； （2）根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可； （3）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得； （2）解：，， ，即， ，即， 解得，， 而， 的值为6； （3）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， 所以， 方程化为， 解得，则，故舍去， 这个三角形的周长为17． 题型六 利用配方法的求最值问题 16．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1) (2)5 【知识点】配方法的应用、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， 的最大值为5． 17．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)16 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得，即可作答． （2）先整理原式为，再结合非负性，得出，，然后代入计算，即可作答． （3）先整理原式为，因为，所以当，时，取得最小值，最小值为16，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴配方得：， 即， ，， 故． （3）解：依题意， ， ， ，时， 即当，时，则， 即取得最小值，最小值为16． 18．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）先配方，再根据非负数的性质求解； （2）先配方，再根据非负数的性质求解． 【详解】（1）解：∵，， 故答案为：，； （2）∵， ∴代数式的最小值为． 19．（24-25九年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、配方法的应用 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 题型七 换元法解一元二次方程 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中求解方法是解答的关键．设，则原方程可化为，解方程得，，再解方程和，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根，舍去； 当时， ，即， 解得，， ∴原方程的解为，． 21．（24-25九年级上·河南商丘·期中）阅读材料： 为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为，解得，． 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意设，得到，求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：设，那么原方程可化为， 解得，． 当时，，即． ∵，，，， ∴此一元二次方程无解． 当时，，即． ∵，，，， ∴， 故原方程的解为，． 22．（24-25九年级上·四川乐山·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程的根为； (2)故原方程的根为． 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点， (1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案； (2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可； 熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得, 当时，,即, ∵， ∴方程无解， 当时，,即, 解得，, 故原方程的根为； （2）解：设,原方程可化为，即, 解得, 当时，, 解得,经检验是原方程的解， 当,时，, 解得,经检验是原方程的解， 故原方程的根为． 23．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得． 当时，；当时，； 原方程有四个根：． (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数满足，求的值； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)5 (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了换元法解方程．熟练掌握换元法解可化为一元二次方程的方程，是解题的关键． （1）设，则可化为； （2）原方程可化为，设，则，解得，可得或（舍去），的值为5； （3）设，则化为，解得，得（无实数根），或，解得． 【详解】（1）解：设， 那么， 于是方程可变为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， ∴或（实数范围内无意义，舍去）， 故的值为5． （3）解：设，则可化为， 解得， ∴， ∴（无实数根）， 或， ∴， 解得． 题型八 用一元二次方程解决营销问题 24．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）2024年是农历甲辰龙年．网店老板小王近期购进一批进价89元的“龙年大吉”保温杯，以每个100元的价格销售．由于销售火爆，保温杯的销售单价经过两次调整后，上涨到每个121元，此时每天可售出66个． (1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； (2)调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加3个．为了尽快减少库存，小王决定降价促销．若使每天所获销售利润为1512元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】(1)每次上涨的百分率为 (2)销售单价应降低20元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设每次上涨的百分率为，则第一次调整后的售价为元，第二次调整后的售价为元，由此列方程即可； （2）设销售单价应降低元，根据进价、售价、销量、利润之间关系列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每次上涨的百分率为， 由题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为． （2）解：设销售单价应降低元，根据题意，得 解方程，得，（不合题意，舍去）． 答：销售单价应降低20元． 25．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个，第三季度生产了288万个．回答下列问题： (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1)第二，三季度生产量的平均增长率为 (2)应该再增加4条生产线 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【详解】（1）解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． （2）解：设应该再增加条生产线， 则每条生产线的最大产能为万个／季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 26．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． (1)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (2)该商场1月份的销售量为件，月份和月份的平均增长率为．若前三个月的总销售量为件，求值． 【答案】(1)每件商品应降价元 (2)值为 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． （1）设每件商品应降价元，则每件利润为（元），降价后的销售量为件，由此列式求解即可； （2）根据题意，分别算出月份月份的销售量，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设每件商品应降价元，则每件利润为（元）， ∵售价为元时，每月可售出件，每件商品降价元，商场每月就可以多售出件， ∴降价后的销售量为（件）， ∴，整理得，， 解得，，， ∴当降价元时，每月销售量为（件），当降价元时，每月销售量为（件）， ∵有利于减少库存， ∴每件商品应降价元； （2）解：根据题意，月份的销售量为件，月份的销售量为， ∵前三个月的总销售量为件， ∴， 令，整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 解得，， ∴值为． 27．（24-25九年级上·湖南永州·期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨2元，就少卖20个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)售价应定为每个元 (2)这两周的平均增长率为 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． （2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 28．（24-25九年级上·湖南永州·期中）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动．已知一根跳绳的进价为20元，商场确定其售价为40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根．已知售价40元时，每月可销售500根，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 【答案】(1)这个降价率为 (2)每根跳绳应定价为32元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程应用-增长率与销售，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． （1）设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）设跳绳的降价元，根据该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：设跳绳的降价率为， 根据题意得：， 解得：（舍去），， 答：这个降价率为． （2）解：设跳绳降价元， 根据题意得：， 解得：，， 因为要尽可能扩大销售量，所以降价要多，因此降价8元，， 答：每根跳绳应定价为32元． 题型九 用一元二次方程解决动态几何问题 29．（24-25九年级上·湖北荆门·期中）已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 【答案】(1)2秒 (2)2秒或3秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查勾股定理和一元二次方程的应用： （1）设秒后，的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）设秒后，的面积等于，根据面积公式，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的长度等于， 由题意，得：，则：， ∵， ∴，即：， 解得：（舍去）或， ∴P，Q分别从A，B同时出发2秒后，的长度等于； （2）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， 解得：或； 答：P，Q分别从A，B同时出发2秒或3秒后，的面积等于． 30．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，点从出发，沿以的速度向点B匀速移动，同时点从点出发，沿以的速度向点匀速移动．设运动的时间为． (1)______，______； (2)为何值时，的面积等于？ 【答案】(1)，； (2)为或时，的面积等于． 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据，然后解一元二次方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意可知：，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（）得：，，，， ∵的面积等于， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：为或时，的面积等于． 31．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)直接写出________，________（用含有的代数式表示）； (2)求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)不能，理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、求不等式组的解集、函数解析式 【分析】此题考查列代数式，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． （1）根据路程=速度×时间解答即可； （2）根据可表示出四边形的面积，利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（2）的结论建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：∵运动的时间为t，点P的速度为，点Q的速度为， ，． 故答案为：，； （2）解：． ， ． （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 32．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． $$