专题01 二次根式（考点串讲，5大常考点+七大题型突破+4易错剖析+押题预测）八年级数学下学期新教材沪科版

八年级数学下学期·期中复习大串讲 专题01 二次根式 沪科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点梳理 押题预测 五大考点：考点梳理+针对训练 六大题型突破 五大易错易混经典例题 精选9道期中真题对应考点练 分母 能开得尽方 知识结构 3 考点1．二次根式的概念 一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 考点梳理 针对训练 1.[2024· 重庆秀山区期末] 下列各式一定为二次根式的是( ) A. B. C. D. B 2.若在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是______. 考点2：最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含_______； (2)被开方数中不含能___________的因数或因式． 开得尽方 分母 考点梳理 针对训练 3.下列二次根式是最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 4.若与最简二次根式可以合并，则 ___. 2 考点3：二次根式的性质 (1)＝|a|； (2)()2＝a(a ≥ 0)； (3)＝ · (a ≥ 0，b ≥ 0)； (4)＝(a ≥ 0，b>0). 考点梳理 5.若，则 的立方根是( ) A A.2 B. C.0 D.1 针对训练 6.[2024· 北京丰台区月考] 已知 ，化简 的结果为( ) C A. B. C.5 D.3 7.若实数满足，则 _______. 7 8.已知，，满足 . （1）求，， 的值. 解：根据题意，得，， ， ，， ， 解得，， . （2）以，， 为边长能否构成三角形？请说明理由.若能构成三角形， 求出三角形的周长. 解：以，， 为边长能构成三角形. 因为 ，所以能构成三角形. 该三角形的周长为 . 8 1．二次根式的乘除法则： 乘法： ＝______(a≥0，b≥0)； 除法： ＝____(a≥0，b>0)． 可以先将二次根式化成_____________，再将________________的 二次根式进行合并． 被开方数相同 最简二次根式 2．二次根式的加减： 类似合并同类项 逆用也适用. 考点4：二次根式的运算 考点梳理 9 注意平方差公式与完全平方公式的运用！ 3．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 9.[2024· 济宁] 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. B 针对训练 10.[2024· 重庆江北区期中] 估计 的值应在( ) C A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 11.[2024· 南京玄武区二模] 下列各数中，与 的积为有理数的是 ( ) C A. B. C. D. 11 12.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 12 （3） . 解：原式 . 13 13.已知， ，求下列式子的值： （1） ； 解： ， ， ， 原式 . （2） . 解： ， ， ， 原式 . 14 考点5：二次根式的实际应用 14.[2024· 蚌埠期中] 高空物体下落的时间（单位：）和高度 （单位：）近似满足公式：为重力加速度，取 . 若一物体从 的高空下落，则落到地面的时间大约为( ) B A. B. C. D. 针对训练 考点梳理 15 15.（1）如图①，在边长为 的正方形的一角剪去一个边长 为 的小正方形，求图中阴影部分的面积； 解：由题意得 . 16 （2）小明是一名爱动脑筋的学生，他发现沿图①中的虚线将阴影部分 剪开，可拼成如图②所示的长方形，请你根据小明的思路求图①中阴影 部分的面积. 解：由题意得，题图②中长方形的长为 ，题图②中长方形的宽为 ， . 17 题型1 巧用二次根式有意义的条件求值 1.若,则 ____. 题型剖析 2.已知,求 的值. 【解】由题可得解得， . . 18 题型2 巧用二次根式的非负性求值 3.若实数,,满足 . （1）求,, 的值； 【解】由题意可得,，解得 , , . 19 （2）若, 为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长. 当是腰长， 是底边长时，这个等腰三角形的腰长之和为 ,不能组成三角形，故不符合题意； 当是腰长， 是底边长时，这个等腰三角形的周长为 . 综上，这个等腰三角形的周长为 . 20 题型3 巧用 化简求值 4.如图，在数轴上的两个点表示的数为实数， ，化简： . 【解】 . 由数轴可知,，，, . 原式 . 21 5.化简： . 【解】由题意可知，则， 原式 . 22 题型4 巧用乘法公式化简求值 6.已知：, . （1）____， ____； 14 25 （2）求 的值； 【解】， ， . 23 （3）若为的整数部分，为的小数部分，求 的值. ， ， ， ， . 为的整数部分，为 的小数部分， , ， . 返回 24 题型5 巧用整体代入求值 7.已知， ，试求代数式 的值. 【解】原式 . 当，时，， ， 原式 . 返回 25 8.已知，，试求 的值. 【解】，，, ， 原式 . 返回 26 题型6 二次根式运算规律型 9.[2024· 德阳] 将一组数,2, , ,,, , ,…按以下方式 进行排列： 则第八行左起第1个数是( ) C A. B. C. D. [解析] 点拨：由题图可知第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行 共有3个数，归纳类推得前七行共有 （个） 数，则第八行左起第1个数是 . 27 10.先来看一个有趣的现象： ，这里根号里的因数2（整数部分）经过适当 的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具 有这一性质的数还有许多，如：， 等. （1）①请你写一个具有“穿墙”性质的数； [答案] （答案不唯一）. ②按此规律，若（，为正整数），则 的值为____. 28 （2）你能只用一个正整数 来表示含有上述规律的等式吗？证 明你找到的规律. 解：能.用含正整数的式子表示为 . 证明： . 29 易混易错 易错点三 分类讨论化简含有字母的二次根式 例3.化简： . 【解】 . 当时，原式 ； 当时，原式 ； 当时，原式 . 综上可知，原式 32 易错点四 阅读类比法化简复合二次根式 例4.先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数， ，使 ,，使得， ， 那么便有： . 33 例如：化简 . 首先把化为，这里， .由于 ，，即 ， ， . （1）填空：_________， _______ 【点拨】 ， . 35 （2）计算： . 【解】 . 返回 36 易错点五 二次根式中的分类讨论思想 例5.已知实数,满足，求以, 的值为两边长 的等腰三角形的周长. 解：根据题意得,，解得, . ①当是腰长时，三角形的三边长分别为，， ，满足三 角形的三边关系，所以周长为 . ②当是腰长时，三角形的三边长分别为，， ，满足三 角形的三边关系，所以周长为 . 所以三角形的周长为或 . 37 A 押题预测 B B 38 返回 1 3 -1 39 返回 40 41 42 43 eq \r(a) eq \r(\f(a,b)) eq \r(ab) $$