清单03 勾股定理（6个考点清单+7个题型解读）八年级数学下学期新教材沪科版

清单03 勾股定理 清单01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 清单02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 清单03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 清单04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 清单05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 清单06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 【考点题型一】以直角三角形三边为边长的图形面积（） 1．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，若正方形的面积分别为，，则正方形的面积是（    ） A．7 B．13 C．15 D．17 2．（24-25八年级上·江西鹰潭·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则（   ） A．76 B．54 C．62 D．81 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，分别以为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在中，，分别以，，为边在同侧作正方形，正方形，正方形．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】勾股树（数）的判断（） 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A．5，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，16 6．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．9，12，15 D．1，2，5 7．（24-25八年级上·陕西西安·期中）下列几组数中，一定是勾股数的是（    ） A．1，， B．3，4，5 C．，， D．，， 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，17 D．5，7，9 【考点题型三】已知直角三角形的两边，求第三边长（） 9．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，则的值为 ． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，，，则的周长是 ．    11．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为 ． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在中，，，在的延长线上有一点使得，过点作的垂线，垂足为，若，则 ． 【考点题型四】判断能否构成直角三角形（） 13．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）在中，若，，，则下列条件能判定是直角三角形的是（   ） A．， B． C．，， D．，， 14．（20-21八年级上·江苏连云港·期末）下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在中，下列条件：①；②；③；④，，．能判断是直角三角形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（24-25八年级上·河南商丘·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D．，， 【考点题型五】在网格中判断直角三角形（） 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、在小正方形的顶点上． (1)______（是、不是）直角三角形． (2)在图中画出与关于直线成轴对称的． (3)的面积为______． 18．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 19．（24-25八年级上·广东河源·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【考点题型六】利用勾股定理的逆定理求解（） 21．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点为边上一点，已知，，． (1)求证：； (2)求的长． 22．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 23．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 【考点题型七】勾股定理逆定理的实际应用（） 25．（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，求四边形的面积． 26．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． (1)求的长； (2)连接，判断的形状并说明理由． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否是村庄到河边最近的路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 28．（24-25八年级上·江西鹰潭·期中）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离． (1)判断支架是否垂直； (2)求点C到的距离． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 勾股定理 清单01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 清单02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 清单03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 清单04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 清单05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 清单06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 【考点题型一】以直角三角形三边为边长的图形面积（） 1．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，若正方形的面积分别为，，则正方形的面积是（    ） A．7 B．13 C．15 D．17 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由正方形的面积得，，再由勾股定理得，即可得出结论，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵正方形，的面积分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的面积， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江西鹰潭·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则（   ） A．76 B．54 C．62 D．81 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，连接，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：连接，则由勾股定理，得：， ∴， ∴， 故选C． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，分别以为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理解可得，进而推出，即． 【详解】解：在中，， ， ， ， 故选B． 4．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在中，，分别以，，为边在同侧作正方形，正方形，正方形．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，根据图形列出面积的等量关系是解题的关键．设四边形的面积为，的面积为，由，列出等式即可求解． 【详解】解：设四边形的面积为，的面积为， ，以，，为边作正方形，正方形，正方形， 根据勾股定理得：， ， ． 故选：． 【考点题型二】勾股树（数）的判断（） 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A．5，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，16 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个数构成一组勾股数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、不是正整数，不符合题意； D、，不符合题意； 故选A． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．9，12，15 D．1，2，5 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查勾股数，解答此题要用勾股数的定义，如果是正整数，且，那么叫做一组勾股数．根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解；A.，不是勾股数，不符合题意； B.，不是勾股数，不符合题意； C.，是勾股数，符合题意； D. ，不是勾股数，不符合题意； 故选择：C． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期中）下列几组数中，一定是勾股数的是（    ） A．1，， B．3，4，5 C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，“可以构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数”，所以只需要验证三个数是否为正整数，且是否符合勾股定理即可． 【详解】解：A． 不是正整数， 不是勾股数，故本选项不符合题意； B． ， 是勾股数，故本选项符合题意； C．，，不是正整数， ，，不是勾股数，故本选项不符合题意； D．当不是正整数时，，，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：B． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，17 D．5，7，9 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数的计算是解题的关键． 勾股数是指能够构成直角三角形三边的一组正整数，满足勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此即可求解． 【详解】解：A、，故该选项是勾股数，不符合题意； B、，故该选项是勾股数，不符合题意； C、，故该选项是勾股数，不符合题意； D、，故该选项不是勾股数，符合题意； 故选：D ． 【考点题型三】已知直角三角形的两边，求第三边长（） 9．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及判定，三角形内角和定理，三角形面积公式等．根据题意延长到点，使，连接，作于点，继而得到，，再利用勾股定理求出，继而求出面积． 【详解】解：延长到点，使，连接，作于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，，，则的周长是 ．    【答案】12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，根据勾股定理求出，根据角平分线得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 11．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，勾股定理的应用，化为最简二次根式，关键是求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标．先求出直线与坐标轴的交点坐标，，再利用勾股定理计算出，然后根据圆的半径相等得到，进而求出的长，即可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，，解得，则； 当时，，则， ∴， ∵以点A为圆心，为半径画弧，交x轴于点C， ∴， ∴， ∴C的坐标为， 故答案为． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在中，，，在的延长线上有一点使得，过点作的垂线，垂足为，若，则 ． 【答案】/# 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，先由等边对等角得出，，由互余关系推出，再由三角形外角的定义及性质得出，由三角形内角和定理得出，从而得出是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【考点题型四】判断能否构成直角三角形（） 13．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）在中，若，，，则下列条件能判定是直角三角形的是（   ） A．， B． C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，三角形三边的关系，逐项判断即可解答． 【详解】解：A 、，，， ， 是锐角三角形，故A选项不符合题意； B、当时，设，，， 则， 是直角三角形，故B选项符合题意； C、，，， ，， ， 不是直角三角形，故C选项不符合题意； D、，，， ， 、、不能构成三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 14．（20-21八年级上·江苏连云港·期末）下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理；利用三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，以及三角形的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，则， ∴为直角三角形，故不符合题意； B、∵， ∴设，，， ∵，， ∴，则不是直角三角形，故符合题意； C、∵， ∴，即， ∴为直角三角形，故不符合题意； D、∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在中，下列条件：①；②；③；④，，．能判断是直角三角形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、等边三角形的判定定理，根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、等边三角形的判定定理分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴，故是直角三角形，符合题意； ②∵， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； ③∵， ∴，故是直角三角形，符合题意； ④∵，，， ∴，故是等边三角形，不符合题意； 综上所述，能判断是直角三角形的有①③，共个， 故选：B． 16．（24-25八年级上·河南商丘·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D．，， 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由条件，可得，又，可求得，故是直角三角形； B、，可设，，，则，故是直角三角形； C、由条件，且，可求得，故是直角三角形； D、由条件可得到，不满足勾股定理的逆定理，故不是直角三角形． 故选：D． 【考点题型五】在网格中判断直角三角形（） 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、在小正方形的顶点上． (1)______（是、不是）直角三角形． (2)在图中画出与关于直线成轴对称的． (3)的面积为______． 【答案】(1)不是 (2)见解析 (3)4 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，作图一轴对称变换，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）利用勾股定理求出，，，由于，则不是直角三角形； （2）根据轴对称的性质即可画出； （3）利用网格，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，，，， ， 不是直角三角形， 故答案为：不是； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：． 18．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 【答案】(1)；；5 (2)是直角，理由见解析 (3)图见解析，， ，（答案不唯一） 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，用坐标表示点的位置，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用勾股定理计算求解，即可解题； （2）利用勾股定理逆定理进行判断，即可解题； （3）结合图形建立平面直角坐标系，再根据坐标系写出，，三点的坐标，即可解题（答案不唯一）． 【详解】（1）解：正方形网格的每个小方格边长均为1， ，，． 故答案为：，，5； （2）解：是直角，理由如下： ， 为直角三角形， 是直角． （3）解：以为原点，建立如下所示的平面直角坐标系， 由图知，， ，． 19．（24-25八年级上·广东河源·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】（）利用勾股定理计算即可； （）利用勾股定理的逆定理判断即可； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)13、52、65； (2)是直角三角形，证明见解析． 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， 故答案为：13、52、65； （2）解：是直角三角形． 证明：，， ， 是直角三角形，且． 【考点题型六】利用勾股定理的逆定理求解（） 21．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点为边上一点，已知，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）在中，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：在中， ， ∴为直角三角形，即， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴． 22．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形，四边形的面积为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形的面积为． 23．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． （1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【详解】（1）解：连接，如图． 在中，，，，， ∴， 解得（负值舍去） 即A、C两点之间的距离为； （2）解：∵， ∴， ∴四边形纸片的面积 ． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 【答案】(1)假 (2) (3)见解析 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）在线段上取一点，使，连，过作交于，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． 【详解】（1）解：在类勾股中，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形， 命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题， 故答案为：假； （2）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 整理得， 是“类勾股三角形”． 【考点题型七】勾股定理逆定理的实际应用（） 25．（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，求四边形的面积． 【答案】18 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ 答：四边形的面积为18． 26．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直于的小路，垂足为．点恰好是的中点，且． (1)求的长； (2)连接，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理和垂直平分线的性质是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． 【详解】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 27．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否是村庄到河边最近的路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是村庄到河边最近的路，理由见解析 (2)原来的路线的长为 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解一元一次方程等知识，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）先求出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的长度． 【详解】（1）解：是村庄到河边最近的路，理由如下： ∴ ∴是直角三角形，且， ∴， ∵垂线段最短， ∴是村庄到河边最近的路； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 答∶原来的路线的长为． 28．（24-25八年级上·江西鹰潭·期中）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离． (1)判断支架是否垂直； (2)求点C到的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）利用等积法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形， ； （2）连接，过作于， 的面积， ，解得：， 即点到的距离为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$