清单02 一元二次方程（4个考点清单+9个题型解读）八年级数学下学期新教材沪科版

清单02 一元二次方程 清单01 一元二次方程的定义及一般形式 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 清单02 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 清单03 解一元二次方程 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 清单04 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 【考点题型一】判断是否是一元二次方程（） 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）下列选项中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程”判断即可． 【详解】解：A、含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且． 一元二次方程必须满足以下条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．同时满足以上四个条件的方程就是一元二次方程．据此进行判断即可． 【详解】解：、方程可以转化为，是一元二次方程的一般形式，故本选项正确； 、不是整式方程，故本选项错误； 、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； 、中未知项的最高次数是3，故本选项错误； 故选：． 3．（24-25九年级上·重庆涪陵·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、，最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意； B、，有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程的一次项系数、常数项分别为（ ）． A． B．2，1 C． D．3，1 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，此题可根据形如（，且b、c为常数）的方程称之为一元二次方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项；由此问题可求解． 【详解】解：由题可知：一元二次方程的一次项系数为，常数项为； 故选：C． 【考点题型二】一元二次方程的一般形式（） 5．（24-25九年级上·福建泉州·期中）将方程改写成的形式，则的值分别为（    ） A．1，4，2 B．1，4， C．1，，2 D．1，， 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项进行分析即可． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【详解】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为1，，2， 故选：C． 6．（24-25九年级上·河南新乡·期中）将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：D． 7．（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将化简整理成一般式即可． 【详解】解：， ， 整理，得， 故选：C． 【考点题型三】利用一元二次方程的定义求参数（） 8．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则a满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：B 9．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数最高次是次的整式方程，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故选：C 10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据定义可知，且，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得：． 故答案为：1． 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数x的最高次数为2，即且，再结合绝对值的性质解得m的值，最后根据一元二次方程二次项系数不为0解题即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 【考点题型四】一元二次方程的解求参数的值（） 12．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知关于x的方程的一个根是1，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得，然后解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）若是方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】12 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，将代入，得到，再将作为整体代入即可． 【详解】解：是方程的一个解， ， ， ， 故答案为：12． 14．（24-25九年级下·广东东莞·期中）若a是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】2025 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．由题意得，根据，利用整体思想即可求解． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）若t是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2026 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：∵t是方程的一个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2026． 【考点题型五】解一元二次方程（） 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解一元二次方程配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 则， 所以； （2）解：， ， 或， 解得． 17．（24-25九年级上·四川成都·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用配方法解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，求解即可 【详解】（1）， ， ， ， ∴， ，； （2）． ， ∴或， ，． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用平方差公式法求解即可． 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： ， ， 19．（24-25九年级上·河南新乡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）把原方程变形后利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ∴， ∴， （2）解： 整理得： 配方得： 则 ∴， 20．（24-25九年级上·河南新乡·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即：， 解得：，； （2）解：， ， ， 解得：，； （3）解：， ， ， 解得：，； （4）解：， ， ， ， ， 解得：，． 【考点题型六】解一元二次方程中错解复原问题（） 21．（24-25九年级上·山西长治·期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．……………第一步 移项，合并同类项，得．……………………………第二步 系数化为1，得．………………………………………第三步 任务一：以上解方程的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请你写出正确的解答过程． 【答案】任务一：一，方程两边同除以，需要；任务二：见解析 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了等式的性质、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】任务一：解：小明的解法从第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边同除以，需要， 故答案为：一，方程两边同除以，需要； 任务二：解∶ ， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 22．（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明同学解方程的过程如下所示． 解方程：． 解：…第一步 …第二步 即或…第三步 所以，…第四步 (1)小明同学想用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解．从第_____步开始出现错误． (2)请你用适当的方法正确解该方程． 【答案】(1)配方法，一 (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解方程，是解题的关键： （1）小明想用配方法解方程，第一步一次项没有除以3开始出现错误； （2）移项后，利用十字相乘法进行因式分解，再求解即可． 【详解】（1）小明同学是用配方法求解方程， ∵变形时等式左右两边的值不变，一次项没有除以3 ∴第一步开始出现错误； 故答案为：配方法，一； （2） ， ∴，． 23．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 【答案】①一；②，；③， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项→将方程的右边化为零； 化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【详解】解：①明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②， ，即， ∴或， 解得：，， ∴此题的正确结果是：，， 故答案为：：，； ③， ， ， ， ∴或， 解得：，． 【考点题型七】根据判别式判断一元二次方程根的情况（） 24．（23-24九年级上·广东潮州·期中）方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：由题意， ∴， ∴原方程无实数根， 故选：C． 25．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）关于x的一元二次方程的判别式的值为4，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意可得，解方程即可求出a的值． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：， 故选：． 26．（24-25九年级上·河南新乡·期中）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（   ） A．由两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，由此可解． 【详解】解：根据题意，可得原方程根的判别式为 ： ， 当时，，有两个相等的实数根； 当时，，有两个不相等的实数根； 故根关于x的方程的根的情况无法确定， 故选D． 27．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为关于的一元二次方程有两个不等实数根，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型八】利用一元二次方程根与系数的关系求值（） 28．（24-25九年级上·广东梅州·期中）已知α，β是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：∵α，β是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：4． 29．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知m、n是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程有两，，则，是解题的关键． 先由根与系数的关系求得，，再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 30．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．熟记相关结论即可．由题意得：；即可求解； 【详解】解：由题意得：； ∴， 故答案为： 31．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）设是方程的两个实数根，的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程（为常数，且）的两个根，则，，一元二次方程的解． 根据题意得到，，代入计算即可得到答案． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：． 【考点题型九】用一元二次方程解决实际问题（） 31．（24-25九年级上·河南新乡·期中）某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品： (1)求该商品价格的平均月增长率； (2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件，则商家在降价的同时，为保证每月的利润达到6000元，应将售价定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商品平均每月的价格增长率为m， ， 解得， (舍去)． 答∶该商品平均每月的价格增长率为 （2）解：依题意，得， 解得∶， ∵商家尽快将这批商品售出， ∴取60， 答∶x为60时该商品每月的利润可达到6000元． 33．（24-25九年级上·四川成都·期中）某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系． (1)求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）； (2)该超市日均销售利润达到9万元时，请求出销售单价． 【答案】(1) (2)4元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的营销问题． （1）根据图中给定的数据，利用待定系数法即可求出y关于的函数表达式； （2）利用总利润等于每支的销售利润乘以日销售量，可得出关于的一元二次方程，解方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：设牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为：， 将，代入得， 解得：， 牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式为：； （2）由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 销售单价为4元． 34．（23-24九年级上·广西贵港·期中）据统计某公仔在某电商平台6月份的销量是5万件，8月份的销量是7.2万件． (1)若该平台6月份到8月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降低元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低元． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 （1）设月平均增长率是，利用8月份的销售量月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：月平均增长率是． （2）解：∵售价每降低元，每天可多售出2件， ∴售价每降低元，每天可多售出4件， 设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，． 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低元． 35．（24-25九年级上·北京海淀·期中）2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）依题意，设，则，即可作答． （2）根据矩形养鸡场，代入数值，进行求解即可. 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，设，且的铁栅栏， ∴长为， 即 （2）解：由题意可知： 解得：， ∵当时，，，不合题意，舍去． 当时，，符合题意， 答：鸡场的长为． 36．（24-25九年级上·云南文山·期中）“当你看小说时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你打游戏时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你在教室嬉闹时，尼泊尔的背包客一起端起酒杯在火堆旁．有很多走不到的路，看不到的风光，遇不见的人，出去走走才会发现，世界有不一样的世界，有不一样的你．但少年，梦要你亲自实现，那些你看不到的风景和遇不到的人都将在你生命里出现”．这是某直播平台推销《备考案》辅导书时的台词，所推销辅导书的成本为每套元，当售价为每套元时，每天可销售套，为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)《备考案》公司不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每天利润中捐出元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到元，且要最大限度让利消费者，求此时每套辅导书的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元二次方程以及一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据销售单价每降1元，每天多销售套，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，进行求解即可； 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：由题意得：， 解得：； ∵要最大限度让利消费者， ∴； 即：此时每套辅导书的售价为元； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一元二次方程 清单01 一元二次方程的定义及一般形式 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 清单02 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 清单03 解一元二次方程 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 清单04 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 【考点题型一】判断是否是一元二次方程（） 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）下列选项中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆涪陵·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程的一次项系数、常数项分别为（ ）． A． B．2，1 C． D．3，1 【考点题型二】一元二次方程的一般形式（） 5．（24-25九年级上·福建泉州·期中）将方程改写成的形式，则的值分别为（    ） A．1，4，2 B．1，4， C．1，，2 D．1，， 6．（24-25九年级上·河南新乡·期中）将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（   ） A．4 B． C．5 D． 7．（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】利用一元二次方程的定义求参数（） 8．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则a满足（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【考点题型四】一元二次方程的解求参数的值（） 12．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知关于x的方程的一个根是1，则m的值为 ． 13．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）若是方程的一个解，则代数式的值为 ． 14．（24-25九年级下·广东东莞·期中）若a是方程的根，则代数式的值是 ． 15．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）若t是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【考点题型五】解一元二次方程（） 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）解方程： (1) (2) 17．（24-25九年级上·四川成都·期中）解方程： (1)； (2)． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 19．（24-25九年级上·河南新乡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 20．（24-25九年级上·河南新乡·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型六】解一元二次方程中错解复原问题（） 21．（24-25九年级上·山西长治·期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．……………第一步 移项，合并同类项，得．……………………………第二步 系数化为1，得．………………………………………第三步 任务一：以上解方程的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请你写出正确的解答过程． 22．（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明同学解方程的过程如下所示． 解方程：． 解：…第一步 …第二步 即或…第三步 所以，…第四步 (1)小明同学想用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解．从第_____步开始出现错误． (2)请你用适当的方法正确解该方程． 23．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 【考点题型七】根据判别式判断一元二次方程根的情况（） 24．（23-24九年级上·广东潮州·期中）方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 25．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）关于x的一元二次方程的判别式的值为4，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 26．（24-25九年级上·河南新乡·期中）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（   ） A．由两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 27．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围为 ． 【考点题型八】利用一元二次方程根与系数的关系求值（） 28．（24-25九年级上·广东梅州·期中）已知α，β是一元二次方程的两根，则 ． 29．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）已知m、n是方程的两个根，则的值为 ． 30．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 31．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）设是方程的两个实数根，的值是 ． 【考点题型九】用一元二次方程解决实际问题（） 31．（24-25九年级上·河南新乡·期中）某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品： (1)求该商品价格的平均月增长率； (2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件，则商家在降价的同时，为保证每月的利润达到6000元，应将售价定为多少元？ 33．（24-25九年级上·四川成都·期中）某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系． (1)求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）； (2)该超市日均销售利润达到9万元时，请求出销售单价． 34．（23-24九年级上·广西贵港·期中）据统计某公仔在某电商平台6月份的销量是5万件，8月份的销量是7.2万件． (1)若该平台6月份到8月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降低元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 35．（24-25九年级上·北京海淀·期中）2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 36．（24-25九年级上·云南文山·期中）“当你看小说时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你打游戏时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你在教室嬉闹时，尼泊尔的背包客一起端起酒杯在火堆旁．有很多走不到的路，看不到的风光，遇不见的人，出去走走才会发现，世界有不一样的世界，有不一样的你．但少年，梦要你亲自实现，那些你看不到的风景和遇不到的人都将在你生命里出现”．这是某直播平台推销《备考案》辅导书时的台词，所推销辅导书的成本为每套元，当售价为每套元时，每天可销售套，为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)《备考案》公司不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每天利润中捐出元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到元，且要最大限度让利消费者，求此时每套辅导书的售价为多少元？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$