2025年重庆中考数学模拟卷02(新题型)-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

2025年重庆中考数学模拟卷02 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的相反数是（　　） A． B． C．3 D．-3 【答案】A 【来源】 重庆市暨华中学校2024—2025学年下学期3月月考九年级数学试题 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2．下图是设计师石昌鸿设计的《魅力中国》部分城市字体，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省温州市瑞安市六校联考2021-2022学年八年级上学期12月月考数学试题 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市江北中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】因为反比例函数的图象经过点，代入解析式，解之即可求得． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：． 故选：D． 4．如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为4，则的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【来源】 重庆市第八中学2024-2025学年 九年级下学期第一次月考数学试卷 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：与位似，点为位似中心，相似比为， 的周长的周长， 的周长为4， 的周长， 故选：B． 5．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市第十八中学 2024—2025 学年下学期3月考九年级数学试题 【分析】本题考查了平方差公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式，单项式乘以单项式等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据平方差公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式，单项式乘以单项式判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，故原写法错误，符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：C． 6．估计的值应在（  ） A．3到4之间 B．2到3之间 C．1到2之间 D．0到1之间 【答案】B 【来源】重庆市江北中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和夹逼法是解题的关键． 先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：B． 7．在中国西部的某光伏基地，工作人员按照某一点将光伏板一层一层的布置成圆形．若把光伏板看成一个点，如图，第①层布置了3个光伏板，第②层布置了6个光伏板，第③层布置了9个光伏板，第④层布置了12个光伏板，．．．，按此规律排列下去，布置到第⑦层时，一共布置的光伏板个数是（   ） A．63 B．84 C．94 D．108 【答案】B 【来源】重庆市万州二中教育集团 2024-2025学年九年级下学期第一次定时作业数学试卷 【分析】本题主要考查图形类规律，解题的关键是通过观察图形得出规律．根据已知图形找到规律：第n个层光伏板的个数为个，再计算综合即可．熟练求出第n个层光伏板的个数为个是解题的关键． 【详解】解：第①层布置了3个光伏板，为个， 第②层布置了6个光伏板，为个， 第③层布置了9个光伏板，为个， 第④层布置了12个光伏板，为个， 则第n个层光伏板的个数为个， 布置到第⑦层时，第⑦层光伏板的个数为个， 一共布置的光伏板个数是个， 故选：B． 8．如图，在中，，以为直径作半圆，分别与，交于，两点，点为圆心，连接，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，扇形面积的计算；根据已知得出，根据，得出，进而根据三角形内角和定理以及平角的定义得出，再根据半圆的面积减去三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴图中阴影部分的面积 故选：A． 9．如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市渝北中学教育集团2024-2025学年九年级下学期数学第一次月考试卷 【分析】过点F作交于H，利用证明可得， ，证得是等腰直角三角形可得，由，可得，运用勾股定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，进而证得，再运用直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点F作交于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，, '∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， '∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选:A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题大键． 10．已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（   ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】重庆市第八中学校2024-2025学年九年级下学期定时训练2 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出即可判断①；设，则，从而可得，解方程即可判断②；不防设为奇数，为偶数，则为奇数，每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，即可判断③；根据题意计算出即可判断④． 【详解】解：∵，，为方程的两根， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或，故②错误； ∵对于整数，，若为奇数， ∴不防设为奇数，为偶数， ∴为奇数， 每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，故在操作过程中，得到的一定为奇数，故③正确； ∵，， ∴， 选和，则， 选和，则， 选和，则， 此时， 故要使得成立，则至少为4，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是 边形． 【答案】十/ 【来源】重庆市长寿中学校2024-2025学年九年级下学期第一次素养测评数学试题 【分析】本题考查凸多边形的外角和与内角和．根据任意凸多边形的外角和都为，内角和都为（其中n为边数），再结合题意列出等式，求出n即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形，则依题意得： ， 解得， 故这个多边形是十边形． 故答案为：十． 12．一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为 ． 【答案】 【来源】重庆市渝北中学教育集团2024-2025学年九年级下学期数学第一次月考试卷 【分析】根据题意可得基本事件总3×3=9，然后再确定抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的事件数，最后由概率公式计算即可． 【详解】解：分别从标有数字1、2、3的3张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数3×3=9，抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的情况有（1，2）、（1，3）和（2，3）3种情况 则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为： ． 故答案为． 【点睛】本题考查了运用列举法求概率，运用列举法确定所有情况数和所需情况数是解答本题的关键． 13．如图，在四边形中，，的平分线交于点，连接和，，，若，，则 ． 【答案】 【来源】重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理；取的中点，以为直径作，根据题意可得在上，根据角平分线的定义可得，则即可得出，进而证明，得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，以为直径作， ∵， ∴ ∴在上 ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 在中， 故答案为：． 14．若关于的一元一次不等式组至少有三个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则符合题意的整数的个数是 ． 【答案】4 【来源】重庆市第八中学校2024-2025学年九年级下学期定时练习（三）数学试题 【分析】本题主要考查分式方程与一元一次不等式组的解法，熟练掌握各个解法是解题的关键；由不等式组可得，则有，由分式方程可得，然后根据整数解可进行求解． 【详解】解：由不等式组可得：， ∵该不等式组至少有三个奇数解， ∴， 由分式方程可得：， ∵该分式方程有整数解， ∴9是的倍数， ∴或1或或5或11或， ∵， ∴， ∴符合题意整数a的值有4个； 故答案为4． 15．如图，是的外接圆，是的直径，AD与相切，且与的延长线交于点D，过点C作分别交，于F，G两点，若，则 ；且，则 ． 【答案】 5 【来源】重庆市第一中学校2024——2025学年九年级下学期第一次月考数学试题 【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，连接，根据切线的性质和圆周角定理得出，由平行线的性质可得，从而得出，再证明，根据相似三角形的性质得出；由得，设，则，在中，由勾股定理得，可得，连接，设，得，由勾股定理得，从而可求出． 【详解】解：连接，如图， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵是的切线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴, ∴（负值舍去）； ∵， ∴设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， 连接，设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：5；． 16．对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与十位数字之和比百位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“差数”．对“差数”，将千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换，得到新的四位数，规定：，若四位数是一个“差7数”，则的值为 ．若是一个“差4数”，能被各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 51 8914 【来源】重庆市育才中学教育集团2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题 【分析】本题考查新定义概念相关问题，涉及整式混合运算，读懂题意，理解“差数”，按照“差数”的定义求解即可得到；再由能被各个数位上的数字之和整除，得到为整数，再由是各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，及要求满足条件的的最大值，即可确定答案，读懂题意，理解新定义概念是解决问题的关键． 【详解】解：四位数是一个“差7数”， ，解得， ， 将千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换，得到新的四位数， ； 设，则， 是一个“差4数”， ，则， ， 能被各个数位上的数字之和整除， ， 为整数，则为整数， 是各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数， ，则可取， 要求满足条件的的最大值， ，则、， ，则确定、， 即满足条件的的最大值为， 故答案为：；． 3、 解答题：（本大题共8个小题，17题16分，18-24题每小题10分，共86分） 17．计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【来源】 重庆市渝中区巴蜀中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算及求值，正确计算是解题的关键． （1）分别计算特殊角三角函数，负整数次幂，算术平方根，零次幂，再进行加减运算； （2）先将括号内式子通过，变除法为乘法，约分化简，最后将a的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 将代入，得： 原式． 18．数学研究小组在学习了等腰三角形和全等的相关性质以后，进行了更深入的思考．发现在一个三角形中，如果某个角的平分线与此角对边上的中线重合，那么这个三角形就是等腰三角形，他们想通过作垂线以及证明全等的思路来得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，平分交于点，是的中点，用尺规分别过点作，的垂线，交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：在中，平分交于点，是的中点，于点，于点．求证：是等腰三角形． 证明：于点，于点， ① 又平分， ． 又是的中点， ② ， ， ③ ， 是等腰三角形． 进一步思考，如果是三角形中某边上的中线和高线重合呢？请你仿照题中表述得到的结论是： ④ 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④如果是三角形中某边上的中线和高线重合， 那么这个三角形就是等腰三角形． 【来源】重庆市江北中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】（1）根据作垂线步骤，过点分别作，的垂线，即可解题； （2）结合垂直的性质，角平分线性质，线段中点特点，证明，进而得到，再结合等腰三角形的判定可以证明结论成立，最后仿照题中表述即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作，的垂线，分别为，，如图所示： （2）证明：于点，于点， ①， 又平分， ． 又是的中点 ②， ， ③， ， 是等腰三角形． ④如果是三角形中某边上的中线和高线重合， 那么这个三角形就是等腰三角形． 故答案为：①，②，③，④如果是三角形中某边上的中线和高线重合， 那么这个三角形就是等腰三角形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定，线段中点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组： A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息： 名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，． 名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，． 名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 男生 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)男生更喜欢《哪吒2》，理由见解析 (3) 【来源】重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义求得，进而得出评分在的人数，求得的值； （2）根据中位数和众数分析，即可求解； （3）用和分别乘以评分在D组的占比，即可求解． 【详解】（1）解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，． 出现最多，则， 根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，． 则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为， 则 根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为， ∴评分分数为和的人数都是人 ∴，则 故答案为：，，． （2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下： 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》 （3）（人） 20．杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元． (1)求玩偶套装的进价是多少元？ (2)该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，这批玩偶已卖出的部分获利4400元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？ 【答案】(1)玩偶套装的进价是60元； (2)第二天销售结束后还剩余20套玩偶套装 【来源】重庆市渝北中学教育集团2024-2025学年九年级下学期数学第一次月考试卷 【分析】（1）本题考查一元一次方程的实际应用，设玩偶套装的进价是x元，根据“第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元”建立方程求解，即可解题． （2）本题考查一元二次方程的实际应用，设第二天降价y元，则第二天的销量为套，售价为元，根据第一天的利润第二天的利润，建立方程求解，得到第二天的销量，即可解题． 【详解】（1）解：设玩偶套装的进价是x元， 根据题意有：， 解得：， 即玩偶套装的进价是60元； （2）解：设第二天降价y元，则第二天的销量为套，售价为元， 根据题意有：， 解得：或（不符合题意舍去）， 则第二天销量为（套）， ∴第二天销售后，剩余的数量为：（套）， 答：第二天销售结束后还剩余20套玩偶套装． 21．如图，在四边形中，，，，，，连接BD，动点P从点A出发沿折线方向运动，动点Q从点C出发沿方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，BQ．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，随的增大而增大 (3)或 【来源】重庆市第一中学校2024——2025学年九年级下学期第一次月考数学试题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键． （1）由勾股定理得到，当点P在上时，， 当点P在上时，过点A作于E，根据等面积法求出，则，再求出，，由此可求出； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象下方方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴ 在中，，， ∴, 如图1，当时，如图1， ∴，即； 当时，如图2，过点A作 ∵， ∴； 而 ∴，即 综上，； ∵ ∴，， ∴； （2）解：①画的图象： 列表： x 1 2 3 8 y 2 4 6 0 描点，连线，如图： 画的图象， 列表得， x 1 2 4 5 y 8 4 2 1.6 描点，连线，如图： 性质：当时，随的增大而增大； （3）解：联立方程组， 解得，或（舍去） 联立方程组 整理得，， 解得，或， 由函数图象可知，当或时，． 22．“十·一”国庆假期．李老师一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，李老师一家从轻轨站出口E处沿北偏东方向行走200米到达景点D处．再从D处沿正东方向行走400米到达景点C处．然后从C处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边B处．从B处沿正西方向到G处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点A在B处南偏西方向上．（A、G都位于E的正南方向上）    (1)求巴渝风情步行街的长度（结果保留根号）； (2)结束游玩之后李老师需要赶到重庆西站乘坐高铁．李老师从B处出发，现可沿①路线回到E处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1个小时；也可沿②路线到达出租车乘车点A处打车到达西站，出租车到达西站需20分钟，但会堵车半个小时．已知李老师步行速度是20米/分钟，请问李老师选择哪条路线能更快到达重庆西站（，，，，）． 【答案】(1)的长度为米 (2)选择2号路线更快 【来源】 重庆市垫江中学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题 【分析】（1）过C作于H，延长相交于F，再中可求得的长，再中可求得的长，即可求出答案； （2）分别计算出两条路线的长度，可求得时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过C作于H，延长相交于F，    则，，矩形， 由题意得： ，，， ∵中，，， ∴， ， ∵中，， ∴， ∴米， 答：的长度为米 ． （2）解：由题意得：，， ∵中，， ∴， ， 2号路线所用时间分钟， 1号路线所用时间分钟， 因为， ∴选择2号路线更快． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． 23．如图，已知二次函数的图象与直线相交于、两点，且点在轴上，直线与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，轴交直线于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，连接．将沿轴方向移动到，连接、，当面积最大时，求点的坐标及的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点是新抛物线上一动点，连接、．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)，的最小值 (3)或 【来源】重庆育才中学2024-2025学年九年级下学期第一次自主作业数学试题 【分析】（1）将的坐标代入直线的解析式，再求出的坐标，将、代入抛物线解析式，即可求解； （2）交轴于，设，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由即可求解的坐标；过作直线轴，作关于直线的对称点，连接、，当、、三点共线时，的值最小，此时，即可求解； （3）由平移得将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，就是将抛物线向下平移个单位，向右平移个单位，，①当在的下方时，、关于轴对称，由待定系数法得直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求解；②当在的上方时，作关于直线的对称点，连接、，延长交于， 设，可得，求出，同理可求直线的解析式，联立的解析式与的解析式即可求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：， ， ， 解得：， 抛物线的解析式； （2）解：交轴于， 设， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设， 当取得最大值时，取得最大值， ， 当时，取得最大值， ， 当时，取得最大值； 如图，过作直线轴，作关于直线的对称点，连接、， ， ， 当、、三点共线时， 的值最小， 此时， ， 将沿轴方向移动到， ， ； 故，的最小值； （3）解：由得 当时，， ， ， 设向下平移个单位，则向右个单位， 将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ， 解得：， 将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，就是将抛物线向下平移个单位，向右平移个单位， ， ①当在的下方时， 当时， ， ， ， 、关于轴对称， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， ； ②当在的上方时， 作关于直线的对称点，连接、，延长交于， ， ，， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：，， ， 同理可求直线的解析式， 联立， 解得：，（舍去）， ， 综上所述：点坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题，待定系数法，相似三角形的判定及性质，二次函数图象的平移，勾股定理等；掌握二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题的解法，能熟练利用待定系数法、勾股定理进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关 24．如图，在中，，为的角平分线． (1)如图1，若，求出的度数； (2)如图2，当时，将线段绕点B顺时针旋转得线段．点F是线段上一点，且，连接，当，请判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当时，N为线段上一动点，F为的中点，连接，将线段绕点F顺时针旋转得线段．H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，．当最大时，直接写出的面积的最大值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3) 【来源】 重庆市暨华中学校2024—2025学年下学期3月月考九年级数学试题 【分析】（1）在上截取，证明，得出，由已知得出，进而得出，即可求解； （2）连接交于点，证明，然后证明，得出，等量代换得出，证明，得出，即可得出； （3）勾股定理得出，最大时即取得最小值时，当时，最小，如图所示，设与交于点，依题意，，且，则，，当最大时，即与重合时，取得最大值，此时，进而根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，在上截取， ∵为的角平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵将线段绕点顺时针旋转得线段，， ∴，， ∴， 又∵，则， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵最大时即取得最小值时， 当时，最小，如图所示，设与交于点， 依题意，，且， 则，， ∴的面积最大时，为边上的高取得最大值， ∴当最大时，即与重合时，取的最大值， 此时， ∴的面积的最大值为． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年重庆中考数学模拟卷02 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的相反数是（　　） A． B． C．3 D．-3 2．下图是设计师石昌鸿设计的《魅力中国》部分城市字体，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 4．如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为4，则的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（  ） A．3到4之间 B．2到3之间 C．1到2之间 D．0到1之间 7．在中国西部的某光伏基地，工作人员按照某一点将光伏板一层一层的布置成圆形．若把光伏板看成一个点，如图，第①层布置了3个光伏板，第②层布置了6个光伏板，第③层布置了9个光伏板，第④层布置了12个光伏板，．．．，按此规律排列下去，布置到第⑦层时，一共布置的光伏板个数是（   ） A．63 B．84 C．94 D．108 8．如图，在中，，以为直径作半圆，分别与，交于，两点，点为圆心，连接，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 10．已知两个实数，，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从、、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从、、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（   ） ①若，，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则至少为4． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题） 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是 边形． 12．一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为 ． 13．如图，在四边形中，，的平分线交于点，连接和，，，若，，则 ． 14．若关于的一元一次不等式组至少有三个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则符合题意的整数的个数是 ． 15．如图，是的外接圆，是的直径，AD与相切，且与的延长线交于点D，过点C作分别交，于F，G两点，若，则 ；且，则 ． 16．对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与十位数字之和比百位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“差数”．对“差数”，将千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换，得到新的四位数，规定：，若四位数是一个“差7数”，则的值为 ．若是一个“差4数”，能被各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为 ． 3、 解答题：（本大题共8个小题，17题16分，18-24题每小题10分，共86分） 17．计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 18．数学研究小组在学习了等腰三角形和全等的相关性质以后，进行了更深入的思考．发现在一个三角形中，如果某个角的平分线与此角对边上的中线重合，那么这个三角形就是等腰三角形，他们想通过作垂线以及证明全等的思路来得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，平分交于点，是的中点，用尺规分别过点作，的垂线，交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：在中，平分交于点，是的中点，于点，于点．求证：是等腰三角形． 证明：于点，于点， ① 又平分， ． 又是的中点， ② ， ， ③ ， 是等腰三角形． 进一步思考，如果是三角形中某边上的中线和高线重合呢？请你仿照题中表述得到的结论是： ④ 19．2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组： A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息： 名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，． 名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，． 名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 男生 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 20．杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元． (1)求玩偶套装的进价是多少元？ (2)该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，这批玩偶已卖出的部分获利4400元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？ 21．如图，在四边形中，，，，，，连接BD，动点P从点A出发沿折线方向运动，动点Q从点C出发沿方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，BQ．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22．“十·一”国庆假期．李老师一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，李老师一家从轻轨站出口E处沿北偏东方向行走200米到达景点D处．再从D处沿正东方向行走400米到达景点C处．然后从C处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边B处．从B处沿正西方向到G处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点A在B处南偏西方向上．（A、G都位于E的正南方向上）    (1)求巴渝风情步行街的长度（结果保留根号）； (2)结束游玩之后李老师需要赶到重庆西站乘坐高铁．李老师从B处出发，现可沿①路线回到E处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1个小时；也可沿②路线到达出租车乘车点A处打车到达西站，出租车到达西站需20分钟，但会堵车半个小时．已知李老师步行速度是20米/分钟，请问李老师选择哪条路线能更快到达重庆西站（，，，，）． 23．如图，已知二次函数的图象与直线相交于、两点，且点在轴上，直线与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，轴交直线于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，连接．将沿轴方向移动到，连接、，当面积最大时，求点的坐标及的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点是新抛物线上一动点，连接、．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 24．如图，在中，，为的角平分线． (1)如图1，若，求出的度数； (2)如图2，当时，将线段绕点B顺时针旋转得线段．点F是线段上一点，且，连接，当，请判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当时，N为线段上一动点，F为的中点，连接，将线段绕点F顺时针旋转得线段．H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，．当最大时，直接写出的面积的最大值． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$